20-21 第3章 3.3 幂函数
3.3
幂函数
学习目标核心素养1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析
式．(重点、易混点)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
1
x，y＝x 1
2
的图象，掌握它们的性质．(重
点、难点)
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.
给出下列五个问题：
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数．
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S 1
2
，这里a
是S的函数．
⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1m/s，这里v是t的函数．
问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
(2)判断一个函数是幂函数的依据是什么？
提示：
(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x
1
2，⑤y＝x－1.
(2)依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式．
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x
1
2
，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2y＝x3y＝x
1
2y＝x－1
定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}
值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增函数
x∈[0，＋∞)时，
增函数
x∈(－∞，0]时，
减函数
增函
数
增函数
x∈(0，＋∞)时，
减函数
x∈(－∞，0)时，
减函数1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．()
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．()
(3)当幂指数α取1,3，
1
2时，幂函数y＝x
α是增函数．() (4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．
() [答案](1)×(2)√(3)√(4)×
2．下列函数中不是幂函数的是()
A．y＝x B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
3．已知f(x)＝(m＋1)x
m2＋2
是幂函数，则m＝()
A．2B．1
C．3D．0
D[由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点
?
?
?
?
?
2，
2
2
，则f(4)＝________.
1
2[由f(2)＝
2
2
可知2α＝2
2
，即α＝－1
2
，
∴f(4)＝4
－1
2＝1
2.]
幂函数的概念
[解]由题意得
??
?
??m2＋2m－2＝1，
m2－1≠0，
2n－3＝0，
解得???
m ＝－3，n ＝3
2，
所以m ＝－3，n ＝3
2.
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟进训练]
1．在函数y ＝1
x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [∵y ＝1
x 2＝x －2，∴是幂函数；
y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；
y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．]
幂函数的图象及应用
【例2】 (教材P 91练习T 1改编)点(2，2)与点? ???－2，－12分别在幂函数f (x )，
g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：
(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x ) ∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2 ，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0,1)时，f(x) 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于y＝x－1或y＝x 1 2或y＝x3)来判断. [跟进训练] 2.(1)若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是() A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D ．a >b >d >c (2)函数y ＝x 12 －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( ) A B C D (1)B (2)B [(1)令a ＝2，b ＝12，c ＝－1 3，d ＝－1，正好和题目所给的形式相符合． 在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B. (2)y ＝x 12 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12 －1的图象可看作由y ＝x 12 的图象向下平移1个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12 －1的图象关于x 轴对称后即为选项B.] 幂函数性质的综合应 用 1．幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2. 【例3】比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.2 1 2 ，0.9 － 1 2 ， 1.1. [思路点拨 ]构造幂函数，借助其单调性求解． [解](1)∵函数y＝x3 是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9 － 1 2＝ ? ? ? ? ? 10 9 1 2， 1.1＝1.1 1 2 . ∵1.2> 10 9>1.1，且y＝x 1 2在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.2 1 2 >? ? ? ? ? 10 9 1 2 >1.1 1 2，即1.2 1 2 >0.9 － 1 2 > 1.1. 把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系： (1)? ? ? ? ?2 5 0.5 与 ? ? ? ? ?1 3 0.5 ； (2)? ? ? ? ? － 2 3 －1 与 ? ? ? ? ? － 3 5 －1 . [解](1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的， 又2 5> 1 3 ， 所以 ? ? ? ? ?2 5 0.5. >? ? ? ? ?1 3 0.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－ 2 3<－ 3 5，所以? ? ? ? ? － 2 3 －1 >? ? ? ? ? － 3 5 －1 . 比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”. 1．理解1个概念——幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式． 2．掌握1个规律——幂函数图象的变化规律 幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小．3．会用3个性质——幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数． 1．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是() A．y＝x－1B．y＝x 1 2 C．y＝x2D．y＝x3 B[设f(x)＝xα，则2α＝2， ∴α＝ 1 2 ，∴f(x)＝x 1 2. 选B.] 2．函数y＝x 5 4的图象是() A B C D C [∵函数y ＝x 54 是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又5 4>1，故选C.] 3．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)x 1a －2 为幂函数，则实数a 的值为( ) A ．－1或2 B ．－2或1 C ．－1 D ．1 C [因为f (x )＝(a 2－a －1)x 1 a －2 为幂函数，所以a 2－a －1＝1，即a ＝2或－1. 又a －2≠0，所以a ＝－1.] 4．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是________． －1 8 [因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减， 所以当x ＝－2时，y 最小值＝(－2)－3＝1(－2)3＝－ 1 8.] 5．比较下列各组数的大小： (1)3－ 52 与3.1－ 52 ； (2)4.125 ，3.8－23 ，(－1.9)－35 . [解] (1)因为函数y ＝x －52 在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3－52 >3.1－52 . (2)4.125 >125 ＝1,0<3.8－23 <1－23 ＝1，而(－1.9)－35 <0，所以4.125 >3.8－23 >(－1.9)－35 .