(易错题精选)初中数学二次函数难题汇编附答案
一、选择题
1.抛物线y =ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1,3),与x 轴的交点A 在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论,其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3,m),Q(3,n)在抛物线上,则m <n ; ②c =a+3; ③a+b+c <0;
④方程ax 2+bx+c =3有两个相等的实数根.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【答案】C 【解析】
试题分析:由抛物线与x 轴有两个交点,可知b 2-4ac >0,所以①错误;
由抛物线的顶点为D (-1,2),可知抛物线的对称轴为直线x=-1,然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点(-3,0)和(-2,0)之间,可知抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,因此当x=1时,y <0,即a+b+c <0,所以②正确; 由抛物线的顶点为D (-1,2),可知a-b+c=2,然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a
-=-1,可得b=2a ,因此a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确;
由于当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax 2+bx+c=2,因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C .
考点:二次函数的图像与性质
2.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b
+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=2
22ax bx +,
且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )
A .①②③
B .②④
C .②⑤
D .②③⑤
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【详解】
解:抛物线的开口向下,则a <0; 抛物线的对称轴为x=1,则-
2b
a
=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值 ∴+a b >2am bm +(故③正确)
:b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误) 由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)
⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2
11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a
a a
-=-=2 (故⑤正确) 故选D .
考点:二次函数图像与系数的关系.
3.对于二次函数()2
1202y ax a x a ??
=+-<
???
,下列说法正确的个数是( ) ①对于任何满足条件的a ,该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点; ②若该函数图象的对称轴为直线0x x =,则必有001x <<; ③当0x ≥时,y 随x 的增大而增大;
④若()14,P y ,()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点,如果12y y >总成立,则
112
a ≤-
. A .1个 B .2个
C .3个
D .4个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与性质(对称性、增减性)逐个判断即可. 【详解】 对于()2
1202y ax a x a ??
=+-<
???
当2x =时,1
42(2)12
y a a =+-=,则二次函数的图象都经过点()2,1 当0x =时,0y =,则二次函数的图象都经过点()0,0 则说法①正确
此二次函数的对称轴为12121
24a
x a a
-=-=-+ 0a 114a ∴- +> 01x ∴>,则说法②错误 由二次函数的性质可知,抛物线的开口向下,当1 14x a <- +时,y 随x 的增大而增大;当1 14x a ≥- +时,y 随x 的增大而减小 因1 1104a - +>> 则当1014x a <- ≤+时,y 随x 的增大而增大;当114x a ≥-+时,y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q 44m ∴+> 由12y y >总成立得,其对称轴1 144x a =- +≤ 解得1 12 a ≤- ,则说法④正确 综上,说法正确的个数是2个 故选:B. 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质(对称性、增减性),熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键. 4.已知,二次函数y=ax2+bx+a2+b(a≠0)的图象为下列图象之一,则a的值为() A.-1 B.1 C.-3 D.-4 【答案】A 【解析】 【分析】 分别对图形进行讨论:若二次函数的图形为第一个,则b=0,其顶点坐标为(0,a2),与图形中的顶点坐标不符;若二次函数的图形为第二个,则b=0,根据顶点坐标有a2=3,由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a,所以a=-4,它们相矛盾;若二次函数的图形为第三个,把点(-1,0)代入解析式得到a-b+a2+b=0,解得a=-1;若二次函数的图形为第四个,把(-2,0)和(0,0)分别代入解析式可计算出a的值. 【详解】 解:若二次函数的图形为第一个,对称轴为y轴,则b=0,y=ax2+a2,其顶点坐标为(0, a2),而a2>0,所以二次函数的图形不能为第一个; 若二次函数的图形为第二个,对称轴为y轴,则b=0,y=ax2+a2,a2=3,而当y=0时, x2=?a,所以?a=4,a=?4,所以二次函数的图形不能为第二个; 若二次函数的图形为第三个,令x=?1,y=0,则a?b+a2+b=0,所以a=?1; 若二次函数的图形为第四个,令x=0,y=0,则a2+b=0①;令x=?2,y=0,则 4a?2b+a2+b=0②,由①②得a=?2,这与图象开口向上不符合,所以二次函数的图形不能为第四个. 故选A. 【点睛】 本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系:a>0,开口向上;a<0,开口向下;抛物线的对称轴为直线x=-;顶点坐标为(-,);也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式. 5.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,m),且与x铀的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①abc>0;②a﹣b+c>0;③b2=4a(c﹣m);④一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根,其中正确结论的个 数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ,b ,c 的正负;根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点;根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解. 【详解】 ∵函数的图象开口向上,与y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0 ∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1 ∴b<0 ∴abc >0;①正确; ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间. ∴当x=-1时,y<0, 即a-b+c<0,所以②不正确; ∵抛物线的顶点坐标为(1,m ), ∴ 2 44ac b a - =m , ∴b 2=4ac-4am=4a (c-m ),所以③正确; ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点, ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点, ∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根,所以④正确. 故选:C . 【点睛】 考核知识点:抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质,弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键. 6.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x 在同平面直角坐标系中的图象大致是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a,b,c的值取值范围,进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案. 【详解】 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下, ∴a<0, ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点, ∴c=0, ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧, ∴a,b同号, ∴b<0, ∴一次函数y=ax+c,图象经过第二、四象限, 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限, 故选D. 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象,正确把握相关性质是解题关键. 7.若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整点”.抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2(m>0)与x轴交于点A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是() A.1 2 ≤m<1 B. 1 2 <m≤1C.1<m≤2D.1<m<2 【答案】B 【解析】 【分析】 画出图象,利用图象可得m 的取值范围 【详解】 ∵y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2=m (x ﹣2)2﹣2且m >0, ∴该抛物线开口向上,顶点坐标为(2,﹣2),对称轴是直线x =2. 由此可知点(2,0)、点(2,﹣1)、顶点(2,﹣2)符合题意. ①当该抛物线经过点(1,﹣1)和(3,﹣1)时(如答案图1),这两个点符合题意. 将(1,﹣1)代入y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1=m ﹣4m +4m ﹣2.解得m =1. 此时抛物线解析式为y =x 2﹣4x +2. 由y =0得x 2﹣4x +2=0.解得121 20.622 3.42 x x ==- ≈+≈,. ∴x 轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)符合题意. 则当m =1时,恰好有 (1,0)、(2,0)、(3,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣1)、(2,﹣2)这7个整点符合题意. ∴m ≤1.【注:m 的值越大,抛物线的开口越小,m 的值越小,抛物线的开口越大】 答案图1(m =1时) 答案图2( m =时) ②当该抛物线经过点(0,0)和点(4,0)时(如答案图2),这两个点符合题意. 此时x 轴上的点 (1,0)、(2,0)、(3,0)也符合题意. 将(0,0)代入y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0=0﹣4m +0﹣2.解得m =12 . 此时抛物线解析式为y =12 x 2 ﹣2x . 当x =1时,得13 121122y =?-?=-<-.∴点(1,﹣1)符合题意. 当x =3时,得13 923122 y =?-?=-<-.∴点(3,﹣1)符合题意. 综上可知:当m = 1 2 时,点(0,0)、(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣2)、(2,﹣1)都符合题意,共有9个整点符合题 意, ∴m =1 2不符合题. ∴m > 12 . 综合①②可得:当1 2 <m ≤1时,该函数的图象与x 轴所围成的区域(含边界)内有七个整点, 故选:B . 【点睛】 考查二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点,画出图象,数形结合是解题的关键. 8.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,有下面四个结论:0abc >①; 0a b c ②-+>; 230a b +>③;40c b ->④,其中正确的结论是( ) A .①② B .①②③ C . ①③④ D . ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>,根据对称轴02b x a =- >得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >;1x =-时,由图像可知此时0y >,所以 0a b c -+>;由对称轴1 23 b x a =- =,可得230a b +=;当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a b c ++>,将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >,根据对称轴02b x a =- >得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >,故①正确. ②1x =-时,由图像可知此时0y >,即0a b c -+>,故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =,可得230a b +=,所以230a b +>错误,故③错误; ④当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a b c ++>,将③中230a b +=变形为 23a b =-,代入可得40c b ->,故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系,注意用数形结合的思想解决问题。 9.将抛物线y =x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上,如图所示,则两条抛物线.直线y =﹣3和x 轴围成的图形的面积S (图中阴影部分)是( ) A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】B 【解析】 【分析】 B , C 分别是顶点,A 是抛物线与x 轴的一个交点,连接OC ,AB ,阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积. 【详解】 抛物线y =x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3),点A 是抛物线与x 轴的一个交点,连接OC ,AB , 如图,阴影部分的面积就是ABCO 的面积,S=2×3=6; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,阴影部分的面积;能够将面积进行转化是解题的关键. 10.某二次函数图象的顶点为()2,1-,与x 轴交于P 、Q 两点,且6PQ =.若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点,则a 、b 、c 、d 之值何者为正?( ) A.a B.b C.c D.d 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可以得到该函数的对称轴,开口方向和与x轴的交点坐标,从而可以判断a、b、c、d的正负,本题得以解决. 【详解】 ∵二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),此函数图象与x轴相交于P、Q两点,且PQ=6,∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x=2, ∴图形与x轴的交点为(2-3,0)=(-1,0),和(2+3,0)=(5,0), ∵此函数图象通过(1,a)、(3,b)、(-1,c)、(-3,d)四点, ∴a<0,b<0,c=0,d>0, 故选:D. 【点睛】 此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答. 11.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,对于以下说法:①b2﹣4ac> 0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正确的是() A.①③④B.①②④C.①②③D.②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点,结合根的判别式即可得出△=b2-4ac>0,①正确;②由点M(x0,y0)在二次函数图象上,利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解,②正确;③分a>0和a<0考虑,当a>0时得出x1<x0<x2;当a<0时得出x0<x1或x0>x2,③错误;④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式,再由点M(x0,y0)在x轴下方即可得出y0=a(x0-x1)(x0-x2)<0,④正确.【详解】 ①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2, ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根, ∴△=b2-4ac>0,①正确; ②∵图象上有一点M(x0,y0), ∴a+bx0+c=y0, ∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解,②正确; ③当a>0时,∵M(x0,y0)在x轴下方, ∴x1<x0<x2; 当a<0时,∵M(x0,y0)在x轴下方, ∴x0<x1或x0>x2,③错误; ④∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),∴y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), ∵图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方, ∴y0=a(x0-x1)(x0-x2)<0,④正确; 故选B. 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系,根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键. 12.在平面直角坐标系内,已知点A(﹣1,0),点B(1,1)都在直线 11 22 y x =+上, 若抛物线y=ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是() A.a≤﹣2 B.a<9 8 C.1≤a< 9 8 或a≤﹣2 D.﹣2≤a< 9 8 【答案】C 【解析】 【分析】 分a>0,a<0两种情况讨论,根据题意列出不等式组,可求a的取值范围.【详解】 ∵抛物线y=ax2﹣x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点, ∴令11 22 x+=ax2﹣x+1,则2ax2﹣3x+1=0 ∴△=9﹣8a>0 ∴a<9 8 ①当a<0时, 110 111 a a ++≤? ? -+≤? 解得:a≤﹣2 ∴a ≤﹣2 ②当a >0时,110 111 a a ++≥??-+≥? 解得:a ≥1 ∴1≤a < 98 综上所述:1≤a <9 8 或a ≤﹣2 故选:C . 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象点的坐标特征,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键. 13.如图,已知()4,1A --,线段AB 与x 轴平行,且2AB =,抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ,若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移,设平移的时间为t (秒).若抛物线与线段AB 有公共点,则t 的取值范围是( ) A .010t ≤≤ B .210t ≤≤ C .28t ≤≤ D .210t << 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数,得出B 点坐标,分别得出当抛物线l 经过点B 时,当抛物线l 经过点A 时,求出y 的值,进而得出t 的取值范围; 【详解】 解:(1)把点C (0,3)和D (3,0)的坐标代入y=-x 2+mx+n 中, 得,2 3 330n m n =?? -++=? 解得3 2n m =?? =? ∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3, 设点B 的坐标为(-2,-1-2t ),点A 的坐标为(-4,-1-2t ), 当抛物线l 经过点B 时,有y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5, 当抛物线l 经过点A 时,有y=-(-4)2+2×(-4)+3=-21, 当抛物线l 与线段AB 总有公共点时,有-21≤-1-2t≤-5, 解得:2≤t≤10. 故应选B 【点睛】 此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识,正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键. 14.如图,已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”).现将抛物线()()2 120y a x a =++<沿x 轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a 的取值范围是( ) A .1a ≤- B .12 a ≤- C .112 a -<≤ D .112 a -≤<- 【答案】D 【解析】 【分析】 画出图象,利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解: ∵ ()()2 120y a x a =++< ∴该抛物线开口向下,顶点(-1,2),对称轴是直线x=-1. ∴点(-1,2)、点(-1,1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1,-2)符合题意,此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意, 将(0,1)代入()()2 120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2 ∵有11个整点, ∴点(0,-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0,1)也必须符合题意. 综上可知:当1 -1a<-2 ≤ 时,点(-1,2)、点(-1,1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1,-2)、点(-2, 0)、(0,0)、点(0,-1)、点(-2,-1)、点(-2,1)、点(0, 1),共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点的求法,利用图象解决问题是本题的关键. 15.二次函数2y ax bx c =++(,,a b c 是常数,0a ≠)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表: x … 2- 1- 0 1 2 … 2y ax bx c =++ … t m 2- 2- n … 且当1 2 x =-时,与其对应的函数值0y >.有下列结论:①0abc >;②2-和3是关于 x 的方程2ax bx c t ++=的两个根;③0m <20 3 n +< .其中,正确结论的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【答案】C 【解析】 【分析】 首先确定对称轴,然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解. 【详解】 ∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是:x=-2b a =12 ; ∴a 、b 异号,且b=-a ; ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0< ∴abc >0,故①正确; ∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根;故②正确; ∵b=-a ,c=-2 ∴二次函数解析式:2-a -2=y ax x ∵当1 2 x =-时,与其对应的函数值0y >. ∴ 3204a ->,∴a 83 >; ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n , ∴m=n=2a-2, ∴m+n=4a-420 3 >;故③错误 故选:C . 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题型,主要利用了二次函数图象与系数的关系,二次函数的对称性,二次函数与一元二次方程等知识点,要会利用数形结合的思想,根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键. 16.抛物线2y ax bx c =++(,,a b c 是常数),0a >,顶点坐标为1(,)2 m .给出下列结论:①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -,在该抛物线上,当1 2 n < 时,则12y y <;②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解,那么( ) A .①正确,②正确 B .①正确,②错误 C .①错误,②正确 D .①错误,②错误 【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据二次函数的增减性进行判断便可; ②先把顶点坐标代入抛物线的解析式,求得m ,再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算,判断其正负便可判断正误. 【详解】 解:①∵顶点坐标为1,2m ?? ??? ,12n < ∴点(n ,y 1)关于抛物线的对称轴x=1 2 的对称点为(1-n ,y 1), ∴点(1-n ,y 1)与2322n y ?? - ??? ,在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ?? ---=-< ??? Q 3 122 n n ∴-< - ∵a >0, ∴当x >1 2 时,y 随x 的增大而增大, ∴y 1<y 2,故此小题结论正确; ②把1,2m ?? ??? 代入y=ax 2+bx+c 中,得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中, △=b 2-4ac+4am-4a 2 211444()4042b ac a a b c a a b a ?? =-+++-=+-< ??? ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解,故此小题正确; 故选A . 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,第①小题,关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来,再通过二次函数的增减性进行比较,第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负. 17.已知在平面直角坐标系中,有两个二次函数()()39m x x y =++及 ()()26y n x x =--图象,将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式 平移后,会使得此两个函数图象的对称轴重叠( ) A .向左平移2个单位长度 B .向右平移2个单位长度 C .向左平 移10个单位长度 D .向右平移10个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 将二次函数解析式展开,结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴,二者做差后即可 得出平移方向及距离. 【详解】 解:∵y =m (x +3)(x +9)=mx 2+12mx +27m ,y =n (x -2)(x -6)=nx 2-8nx +12n , ∴二次函数y =m (x +3)(x +9)的对称轴为直线x =-6,二次函数y =n (x -2)(x -6)的对称轴为直线x =4, ∵4-(-6)=10, ∴将二次函数y =m (x +3)(x +9)的图形向右平移10个单位长度,两图象的对称轴重叠. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质,根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键. 18.如图所示,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2,其中﹣2<x 1<﹣1,0<x 2<1.下列结论: ①4a ﹣2b+c <0;②2a ﹣b <0;③abc <0;④b 2+8a <4ac . 其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a <0,抛物线交y 轴于正半轴,则c >0,而抛物线与x 轴的交点中,﹣2<x 1<﹣1、0<x 2<1说明抛物线的对称轴在﹣1~0之间,即x =﹣2b a >﹣1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】 由图知:抛物线的开口向下,则a <0;抛物线的对称轴x=﹣2b a >﹣1,且c >0; ①由图可得:当x=﹣2时,y <0,即4a ﹣2b+c <0,故①正确; ②已知x=﹣ 2b a >﹣1,且a <0,所以2a ﹣b <0,故②正确; ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧,则a 、b 同号,又c >0,故abc >0,所以③不正确; ④由于抛物线的对称轴大于﹣1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即: 2 4 4 ac b a > 2,由于a<0,所以4ac﹣b2<8a,即b2+8a>4ac,故④正确; 因此正确的结论是①②④. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键. 19.如图抛物线交轴于和点,交轴负半轴于点,且.有下列结论:①;②;③.其中,正确结论的个数是() A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向,对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系,即可得出结论. 【详解】 解:根据图象可知a>0,c<0,b>0, ∴, 故③错误; ∵. ∴B(-c,0) ∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)和B(-c,0)两点, ∴, ac2-bc+c=0 ∴,ac-b+1=0, ∴,故②正确; ∴,b=ac+1 ∴ , ∴2b-c=2,故①正确; 故选:C . 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小:当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右.(简称:左同右异);常数项c 决定抛物线与y 轴交点:抛物线与y 轴交于(0,c );抛物线与x 轴交点个数由△决定:△=b 2-4ac >0时,抛物线与x 轴有2个交点;△=b 2-4ac=0时,抛物线与x 轴有1个交点;△=b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点. 20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结i 论:①abc >0;②b 2﹣4ac >0;③2a+b =0;④a ﹣b+c <0.其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围,根据对称轴的位置确定b 的取值范围,根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围,根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围,根据x =﹣1函数值可以判断. 【详解】 解:Q 抛物线开口向下, 0a ∴<, Q 对称轴12b x a =- =, 0b ∴>, Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方, 0c ∴>, 0abc ∴<,故①错误; Q 抛物线与x 轴有两个交点, 240b ac ∴->,故②正确; Q 对称轴12b x a =- =, 2a b ∴=-, 20a b ∴+=,故③正确; 根据图象可知,当1x =-时,0y a b c =-+<,故④正确; 故选:C . 【点睛】 此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用是解题关键. 初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则 两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b (易错题精选)初中数学代数式难题汇编及答案 一、选择题 1.下列说法正确的是() A .若 A 、 B 表示两个不同的整式,则 A B 一定是分式 B .()2442a a a ÷= C .若将分式xy x y +中,x 、y 都扩大 3 倍,那么分式的值也扩大 3 倍 D .若35,34m n ==则253 2m n -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可. 【详解】 A. 若 A 、B 表示两个不同的整式,如果B 中含有字母,那么称 A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=,故故此选项错误. C. 若将分式xy x y +中,x 、y 都扩大 3 倍,那么分式的值也扩大 3 倍,故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253 332544 m n m n -=÷=÷=,故此选项错误. 故选:C 【点睛】 本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质,熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键. 2.若2m =5,4n =3,则43n ﹣m 的值是( ) A .910 B .2725 C .2 D .4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解. 【详解】 ∵2m =5,4n =3, ∴43n﹣m= 3 4 4 n m = 3 2 (4) (2) n m = 3 2 3 5 = 27 25 故选B. 【点睛】 本题考查幂的乘方和同底数幂除法,熟练掌握运算法则是解题关键. 3.下列各运算中,计算正确的是( ) A.2a?3a=6a B.(3a2)3=27a6 C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2 【答案】B 【解析】 试题解析:A、2a?3a=6a2,故此选项错误; B、(3a2)3=27a6,正确; C、a4÷a2=a2,故此选项错误; D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误; 故选B. 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识,正确化简各式是解题关键. 4.下列计算正确的是() A.a2+a3=a5B.a2?a3=a6C.(a2)3=a6D.(ab)2=ab2 【答案】C 【解析】 试题解析:A.a2与a3不是同类项,故A错误; B.原式=a5,故B错误; D.原式=a2b2,故D错误; 故选C. 考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法. 5.如果多项式4x4+ 4x2+A是一个完全平方式,那么A不可能是(). A.1 B.4 C.x6D.8x3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义,逐一判断各个选项,即可得到答案. 【详解】 ∵4x4+ 4x2+1=(2x+1)2, ∴A=1,不符合题意, ∵4x4+ 4x2+ 4不是完全平方式, 二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为( ) A 0.5 B 0.1 C —4.5 D —4.1 2、在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2+2x 与坐标轴的交点的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0(a ≠0,a 、b 、c 为常数)一个解的范围是( ) A.3<x <3.23 B.3.23<x <3.24 C.3.24<x <3.25 D.3.25<x <3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若点M (-2,y 1),N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,则下列结论正确的是( ) A .y 1<y 2<y 3 B .y 2<y 1<y 3 C .y 3<y 1<y 2 D .y 1<y 3<y 2 5、把抛物线y=2x 2 -4x -5绕顶点旋转180o,得到的新抛物线的解析式是( ) A .y= -2x 2 -4x -5 B .y=-2x 2+4x+5 C .y=-2x 2+4x -9 D .以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:①a+b+c>0;②a -b+c>0;③abc<0; ④2a+b=0.其中正确的个数为( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示,根据其中提供的信息,可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( ) A .31≤≤-x B .31<<-x C .31>- 人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1.若a b +=1ab =,则33a b ab -的值为( ) A .± B . C .± D .【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形,3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-,然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值,从而求解. 【详解】 解:∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选:C . 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用,掌握公式结构灵活变形是解题关键. 2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( ). A .()x a b ax bx -=- B .()()222111x y x x y -+=-++ C .()()2111x x x -=+- D .()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 【详解】 解:A 、是整式的乘法运算,故选项错误; B 、右边不是积的形式,故选项错误; C 、x 2-1=(x+1)(x-1),正确; D 、等式不成立,故选项错误. 故选:C . 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义,明确因式分解的结果应是整式的积的形式. 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 数学错题集 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是-----------------------------() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是--------------------() A、2a B、2b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度-----------------() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有---------------------------------------------------------() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是-------------------------------------------------------------------()a b A. 两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6.函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是---------------------------------- ( ) A.当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7.如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是---------( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 最新初中数学数据分析易错题汇编 一、选择题 1.郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试,以便知道下一阶段的体育训练,成绩如下所示: 成绩(单位:米) 2.10 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50人数23245211 则下列叙述正确的是() A.这些运动员成绩的众数是 5 B.这些运动员成绩的中位数是 2.30 C.这些运动员的平均成绩是 2.25 D.这些运动员成绩的方差是 0.0725 【答案】B 【解析】 【分析】 根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析,即可得出答案. 【详解】 由表格中数据可得: A、这些运动员成绩的众数是2.35,错误; B、这些运动员成绩的中位数是2.30,正确; C、这些运动员的平均成绩是 2.30,错误; D、这些运动员成绩的方差不是0.0725,错误; 故选B. 【点睛】 考查了方差、平均数、中位数和众数,熟练掌握定义和计算公式是本题的关键,平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量. 2.某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示: 下列结论不正确的是() A.众数是8 B.中位数是8 C.平均数是8.2 D.方差是1.2 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据图形数出各环数出现的次数,在进行计算众数、中位数、平均数、方差. 【详解】 根据图表可得10环的2次,9环的2次,8环的3次,7环的2次,6环的1次.所以可得 众数是8,中位数是8,平均数是102+92+83+72+61 =8.2 10 ????? 方差是 22222 2(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2) 1.56 10 ?-+?-+?-+?-+- = 故选D 【点睛】 本题主要考查统计的基本知识,关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式. 3.有甲、乙两种糖果,原价分别为每千克a元和b元.根据调查,将两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合,取得了较好的销售效果.现在糖果价格有了调整:甲种糖果单价下降15%,乙种糖果单价上涨20%,但按原比例混合的糖果单价恰好不 变,则x y 等于() A.3 4 a b B. 4 3 a b C. 3 4 b a D. 4 3 b a 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格,进而得出等式求出即可.【详解】 解:∵甲、乙两种糖果,原价分别为每千克a元和b元, 两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合, ∴两种糖果的平均价格为:ax by x y + + , ∵甲种糖果单价下降15%,乙种糖果单价上涨20%, ∴两种糖果的平均价格为: 1520 (1)(1) 100100 a x b y x y -?++ + , ∵按原比例混合的糖果单价恰好不变, 初中数学 易错题专题 一、选择题(本卷带*号的题目可以不做) 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千M/小时,逆流航行时(m-6)千M/小时,则水流速度( ) A 、2千M/小时 B 、3千M/小时 C 、6千M/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,图像有一个交点 B 、1±≠m 时,肯定有两个交点 C 、当1±=m 时,只有一个交点 D 、图像可能与x 轴没有交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b初中数学易错题型大全共20页文档
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