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复数高考集锦

《复数》高考题集锦

班级姓名

1.（2013全国卷一2）若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（） A.4- B.5

C. 4

D.54

2.（2013全国卷二2）设复数z 满足(),21i z i =-则z= （） A.i +-1 B.i --1 C.i +1 D.i -1

3.（2013山东卷1）复数z 满足()()523=--i z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（）

A.i +2

B.i -2

C.i +5

D.i -5

4.（2013安徽卷1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z i z z 22=+?，则z=（）

A. i +1

B. i -1

C. i +-1

D. i --1

5.（2013广东卷3）若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（）

A.(2, 4)

B.(2, -4)

C.(4, -2)

D.(4, 2)

6.（2013陕西卷6）设21,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A.若 ,021=-z z 则21z z = B.若21z z =，则21z z = C.若21z z =，则2211z z z z ?=?

D.若21z z =，则2

221z z =

7.（2013江西卷1）已知集合{}{}{}4,4,3,,2,1=?==N M N zi M ，则复数z= （） A.-2i B.2i C.-4i D.4i 8.（2013湖北卷1）在复平面内，复数i

z +=

12的共轭复数对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9.（2013湖南卷1）复数)1(i i z +?=在复平面上对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

10．（2013重庆卷11）已知复数i

z 215+=

，则z = 11.（2013北京卷2）在复平面内，复数()2

2i -对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12.（2013天津卷9）已知,,R b a ∈若()()bi i i a =++1，则=+bi a 13.（2013福建卷1）已知复数z 的共轭复数i z 21+=，则z 在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 14.（2013浙江卷1）已知i 是虚数单位，则()()i i -+-21= （） A.i +-3 B.i 31+- C.i 33+- D.i +-1 15.（2013辽宁卷1）复数1

i z 的模为（） A.21 B.2

2 C.2 D. 2 16.（2013江苏卷2）z=()2

2i -，则复数z 模为

17.（2012全国卷3）下面是关于复数i

z +-=

的四个命题： 1p ：2=z 2p ：i z 22=

3p ：z 的共轭复数为i +1 4p ：z 的虚部为1- 其中的真命题为（）

A. 2p ,3p

B. 1p ,2p

C. 2p ,4p

D. 3p ,4p

18.（2012北京卷3）设"0.",=∈a R b a 是“复数bi a +是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

19.（2012安徽卷1）复数z 满足()()52=--i i z ，则z= （） A.i 22-- B.i 22+- C.i 22- D.i 22+

20.（2012山东卷1）若复数z 满足()i i z 7112+=-，则z 为（） A.i 53+ B.i 53- C.i 53+- D.i 53--

21.（2012广东卷1）设i 为虚数单位，则复数

65-= （） A.i 56+ B.i 56- C.i 56+- D.i 56-- 22.（2012天津卷1）设i 是虚数单位，复数

=+-i

37 （） A.i +2 B.i -2 C.i +-2 D.i --2 23.（2012福建卷1）若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（） A.i --1 B.i -1 C.i +-1 D.i +1 24.（2012江苏卷3）设i

bi a R b a 21711,,--=

+∈，则b a +的值为 25.（2012湖北卷1）方程01362=++x x 的一个根是（） A.i 23+- B.i 23+ C.i 32+- D.i 32+ 26.（2011全国卷1）复数

212-+的共轭复数是（） A.i 5

3- B.i 53

C.i -

D. i

27.（2011北京卷2）复数

=+-i

i 212

（） A. i B.i - C.i 5354-- D.i 5

54+-

28.（2011江西卷1）若i

z 21+=，则复数z = （）

A.i --2

B.i +-2

C.i -2

D.i +2

29.（2011安徽卷1）设i 是虚数单位，复数

i ai

-+21为纯虚数，则实数a 的值为（） A. 2 B. 2- C.2

1- D.21

30.（2011湖南卷1）若i R b a ,,∈是虚数单位，且()i b i i a +=+，则（） A.1,1==b a B.1,1=-=b a C.1,1-=-=b a D.1,1-==b a

答题卷

(完整版)高考真题：复数

高考真题：复数一、单选题 1i （A ）1+i （B ）1?i （C ）?1+i （D ）?1?i 2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z= （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i -- 3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2= （A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i 4．设i 为虚数单位，则6 (i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 5 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41 i zz =- A ． 1 B ． ?1 C ． i D ． ?i 8．设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ． 12i -+ B ． 12i - C ． 32i + D ． 32i - 9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ． ()31-， B ． ()13 -， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（） A ． ?3 B ． ?2 C ． 2 D ． 3 11．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y （A ）1 （B （C （D ）2 12．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． 12 B ． √22

(完整版)名词单复数总结,推荐文档

小学英语不规则名词单复数一般情况下，直接加s，如：apple-apples, pig-pigs, book-books等。一、以f 和fe结尾的单词规则：变f或fe为“ves”。单数复数词义单数复数词义wolf wolves狼wife wives妻子，太太half halves半个knife knives小刀，刀子calf calves小牛life lives（个人的）性命sheaf sheaves捆，束，扎thief thieves贼 leaf leaves叶子二、结尾是o的单数词，无生命的，加s就成复数词单数复数词义单数复数词义piano pianos钢琴photo photos照片，相片radio radios收音机bamboo bamboos竹子 zoo zoos动物园kangaroo kangaroos 袋鼠三、结尾是o的有生命力的词，一般加“es”口诀：黑人英雄吃西红柿马铃薯。单数复数词义单数复数词义negro negroes黑人hero heroes英雄 tomato tomatoes西红柿potato potatoes土豆，马铃薯mango mangoes芒果四、以s，x，ch，sh结尾的词名词变复数时，要在词尾加es 单数复数词义单数复数词义 bus buses公共汽车class classes班级 box boxes盒子fox foxes狐狸 match matches火柴，比赛lunch lunches午餐 brush brushes画笔，刷子五、以man结尾表示一类人的，变man为men 单数复数词义单数复数词义man men男人woman women女人，妇女policeman policemen警察fireman firemen消防员

高考集合复数真题

2017年高考集合、复数真题 1701、(17全国Ⅰ理1)已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（） A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 1702、(17全国Ⅰ理3)设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为（） A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 1703、(17全国Ⅰ文1)已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（） A ．A I B =3|2x x ??

英语语法名词单复数总结

名词与名词词组——重点是名词的“数” 名词的数(number)——单数(singular number)和复数(plural number)

英语名词复数的思维规律，及与汉语名词复数的区别名词的可数与不可数这一区分反映了中国人与英美人在看待客观物质世界时所持的两种不同的世界观。在本栏目接下来的几期内容中,笔者就要和大家一起来探讨“老外”看待物质世界的四大思维规律,帮助大家从英语思维的高度来理解并区分英文名词的可数与不可数。下面笔者首先来分析第一个规律:不可分隔的物质与可分隔的个体物品。该规律包含四个方面的内容,本期先着重讨论第一、二方面的内容。物质名词表示个体物品时转化为可数名词在英文中,一个名词若表示无法分隔的物质,或者说被分隔之后各个部分与原先整体没有本质差别,我们就无法用数目来计量它,只能将其看作一个整体,此时该名词是不可数名词。但如果在特定的语境中,这个名词表示能够分隔的个体物品,则转为可数名词。比如说我们每时每刻都需要呼吸的“空气”(air),是无法被分隔成个体的,或者说被分隔之后的各个部分的空气与原先整体的空气没有本质差别,依然还是空气,我们无法用数目1、2、3等来计量它,因而air表示“空气”时是不可

数的。下面举几个例句来说明: 1. Let’s go out and get some fresh air. 让我们出去呼吸些新鲜空气。在上面这个例子中,air前面没有加不定冠词an修饰,因为air在这个语境中用作不可数名词,不能被不定冠词修饰。值得注意的是,air除了表示大家熟悉的“空气”这个意思之外,还可以指人的外表、神态、气质,或者指周围环境的氛围、气氛。此时,air表示某一种特定的神态、气质或氛围、气氛,是可以数的,因而成了一个可数名词,前面需要加不定冠词an修饰,比如: 2. There was an air of tension at the meeting.会上的气氛有点紧张。再如下面这个例子,air指人所具有的某种具体的气质、神态: 3. John set about his task with an air of quiet confidence. 约翰悠然自信地开始了自己的工作。当air表示“空气”这样的物质名词时是不可数的,这从我们汉语的思维角度也能理解,因为在汉语思维里,“空气”也是无法用具体数目去计量的。不过,还有很多物质名词在汉语里是可以用数目计量的,但在英文里是不可数的,这时就需要我们理解英语思维是如何看待这些物质名词的。比如,让我们中国人难以理解的是“纸”(paper)在英文里为什么是不可数的,因为我们汉语里可以说“一张纸”“两张纸”。那么英文思维又是如何看待“纸”是不可数的呢?原来,在英文思维中,“纸”被看做是一种可以无限分割的物质,比如大家拿出一张A4的纸,将它裁成两半、四半、八半等,你可以一直这样无限裁下去,但它还是一张张纸——虽然大小不同,但每张被裁的小纸片与原先A4大小的纸张在物质材料方面是没有区别的。从这个角度来看,“纸”就是不可数的。因此,“两张纸”在英语里不可以直接说“two papers”,而要说成“two pieces of paper”或“two sheets of paper”,比如下面的例句: 4. We send to China little pieces of paper for their goods. 中国人生产产品给美国人用,而我们只给了他们一些小纸片。这是美国“股神”巴菲特日前批评美国高负债的政策时说的一句话。这里的“小纸片”指的是美国国债。不过,当把paper作为个体的物品,比如作为“报纸”“论文”或“考卷”来讲时,则是可数的。这时我们就可以说“two papers”,但不表示“两张纸”,而是表示“两份报纸”“两篇论文”或“两张考卷”,比如: 5. a. I have a term paper to write on weekend. 我周末有一篇学期论文要写。 b. I bought a paper to read news. 为了了解新闻,我买了一份报纸。在a句中,paper的意思是“论文”,为可数名词;在b句中,paper相当于newspaper,表示“报纸”,为可数名词。从以上例子我们看到,随着词义不同,paper的可数性也不同。与此类似的名词还有glass,该词表示“玻璃”时是不可数名词,但表示“玻璃杯”时则是可数名词,请看例句: 6. a. He broke a glass. 他打碎了一个玻璃杯。 b. He broke a piece of glass. 他打碎了一块玻璃。

卷高考题大全—复数

卷高考题大全—复数 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.

2011年——2016年高考题专题汇编专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ） 43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31) -，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（）（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（）

n次单位根

n次单位根一.复数的几何表示-----关于模和辐角 1.复数的几何表示 (1)我们可以作为平面上以a和b为坐标的点来画出每一个复数x=(a,b).这个用它的点来代表复数平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点.在这样的复数表示法下,横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数.因此横轴称为实轴,纵轴称为虚轴. (2)复数还可以用从原点出发的矢量α表示.在这样的复数表示法下,实数部分 a与虚数部分的系数b就称为该矢量的分量. 2.复数加法的几何意义设x和y是两个复数,于是: 和数x+y可以表为它的分量等于矢量x和y的对应分量之和的矢量. 也就是说,数α+β可以用以矢量α与β为相邻边的平行四边形的对角形表示. 3.模与辐角的概念设复数,x=a+bi, r=(a^2+b^2)^(1/2), 这个正数r叫做复数x的模,记作|x|.与r为半径原点为中心的圆周上的点所表示的具有同一个模r.数0是唯一的以零为模的复数. 矢量x的方向是由Ox轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的,用q表示.这个θ称为复数x的辐角.记作. arg x=q 有: tan q=b/a . 对于每一个复数x,它的辐角可以有无穷多个,彼此间各差2\pi的若干倍.数0是唯一的数,其辐角没有定义.我们有,因此 a=rcosq, b=rsinq, a+bi=r(cosq+isinq). 4.关于模和辐角的定理

作两个复数x=r(cosq+isinq), y=t(cosp+isinp). 的乘积可得: xy=rt(cosq+isinq)(cosp+isinp)=rtr[cos(q+p)+isin(q+p)]. 于是有如下性质: |xy|=|x||y|, arg(xy)=argx+arg. 就是说,两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数的乘积的辐角等于它们的辐角之和. 把上述的乘积推广到n个复数的乘积: |xy...z|=|x||y|...|z|, arg(xy...z)=argx+argy+...+argz. 特别地, |x^n|=|x|^n, arg(x^n)=nargx. 我们得到如下的隶莫佛尔公式: [r(cosq+isinq)]^n=r^n(cosnq+isinnq). 二.关于复数的n次根设, x=a+bi=r(cosq+isinq),我们定义x^{1/n}为一个自乘n次后等于x的复数.这个数的模显然等于r^(1n),它的辐角等于[q+(2k\pi)]/n,其中k是任意的整数.令k=0,1,2，…,n-1,就得到表达式的n个不同的辐角值;所以按照下列公式x^{1/n}有n个不同的值: x^{1/n}=r^{1/n}(cos{[q+(2k\pi)]/n}+isin{[q+(2k\pi)]/n}),k= 0,1,...,n-1. 从几何意义来看: x^{1/n}的这n个值显然可以用一个内接于以原点为中心r^{1/n}为半径的圆周的正n边形的顶点来表示. 特别地,当x=1时,上述论述中的r=1， =0，于是得到了的n个值,即多项式x^n-1的n个根,它们称为n次单位根. 三.n次单位根 1. x^n-1的n个根 \xi_k=cos{(2k\pi)/n}+isin{(2k\pi)/n}, k=0,1,...,n-1, 就是多项式x^n-1的n个根,它们称为n次单位根. 2. n次单位根的性质 (1)令\xi=\xi_1,由上面关于复数辐角的讨论可知: \xi_k=\xi^k.

英语单复数总结含习题及答案

1. 基本变化规则 ①一般在名词后加s,变成复数。如boy→boys, pen→pens等。 ②以s, x, sh, ch结尾的,在后面加es。如class→classes, fox→foxes,box→boxes, brush→brushes, watch→watches。但stomach(胃)的复数为stomachs。 ③“以辅音字母+y”结尾的,y变为i,然后再加es。如baby→babies, family→families, country→countries, city→cities.像以元音字母加y结尾则直接加s,例如boy→boys, toy→toys, way→ways。另外以y结尾的专有名词,则直接加s变复数,如the Henrys(亨利一家)。 ④以o结尾的名词,除有生命的“两人两物”Negro(黑人), hero, tomato, potato在后面加es外,一般是在后面直接加s。如kilo→kilos, photo→photos, zoo→zoos, radio→radios, piano→pianos, video→videos. ⑤以f或fe结尾的名词英语中共有100多个,其中直接加s的有90多个,但这些绝大多数不常用,如, belief→beliefs,roof→roofs等;把f或fe改为v, 再加es的只有十几个,但13个都是常用的名词,如half→halves, knife→knives, leaf →leaves, wolf→wolves, wife→wives, life→lives, thief→thieves 等 2. 不规则变化名词单数变复数的不规则变化要注意以下几点: ①含man的名词,一般变man为men。如woman→wom en, policeman→policemen, Englishman→Englishmen。但German→Germans除外。 ②将oo改为ee的有foot→feet, tooth→teeth, goose→geese等。

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。解：原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。二、恒等变换的方法与技巧恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

高考复数真题

复数高考真题汇编 1、（2017北京文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 2、（2017新课标Ⅱ理）． 3i 1i +=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3、（2017新课标Ⅲ理数）设复数z 满足(1)2i ，则∣z ∣= A ．12 B ． C D ．2 4、（2017山东理）已知a R ∈ 是虚数单位，若,4z a z z =?=，则（A ）1或-1 （B （C ）（D 5、（2017新课标Ⅰ理数）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为（） A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 6、（2017新课标Ⅱ文）．(1i)(2i)++=（） A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i + 7、（2017北京理）若复数（1–i ）（）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A （–∞，1） B （–∞，–1） C （1，+∞） D （–1，+∞） 8、（2017新课标Ⅲ文数）复平面内表示复数(–2)的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、（2017新课标Ⅰ文数）下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1)2 B ．i 2(1) C ．(1)2 D ．i(1) (1i)(i)a -+a (,1)-∞(,1)-∞-(1,)+∞(1,)-+∞

复数知识点精心总结

复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.

复数最新高考试题精选(一)

复数最新高考试题精选(一) 一．选择题（共32小题） 1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2 D．i（1+i） 2．=（） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 3．（1+i）（2+i）=（） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（） A．B． C．D．2 6．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 8．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（） A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D． 9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（） A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3） 10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 11．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 12．若z=4+3i，则=（）

A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i 13．若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 14．复数=（） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 19．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．? 20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 21．i为虚数单位，i607=（） A．﹣i B．i C．1 D．﹣1 22．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 23．若为a实数，且=3+i，则a=（） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 24．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（） A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4 25．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）

复数的性质

单位根的基本性质 x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1 性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k 推论1：εj -1=ε-j 推论2：εk m =εmk 推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr 注：它说明εk等价于r=0 推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k 说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n 次原根。从而所有n次单位根还可以写作 ε1,ε12,…,ε1n(ε0=1) 推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即 εk'=εn-k('表示共轭) 因为εk'εk=|εk|2，εk'=1/εk=ε-k=εn-k (由推论3) 注：由上证明看到1/εk=εk'，说明所有虚的n次单位根都成

对共轭推论6：对任意整数k,h，有εk h=εh k 性质三：A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m 当n|m时，A=n，否则A=0 证明：由性质二推论4有 A=1+ε1m+(ε12)m+…+(ε1n-1)m =1+ε1m+(ε1m)2+…+(ε1m)n-1 =[1-(ε1m)n]/( 1-ε1m)=[1-(ε1n)m]/ (1-ε1m)=(1-1)/ (1 -ε1m)=0 推论1：∑(i从0到n-1) εi=0 推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1) εk i=0 证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，∑(i从0到n-1) εk i=∑(i从0到n-1) εi k=0 性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分。练习：求1+C n3+C n6+C n9+…+C n3h-3+C n3h 其中3h是不大于n的最大的3的倍数。（[2n+2cos(nπ/3)]/3）单位根的性质的应用把1的每一个n(n∈N)次方根叫做n次单位根，简称单位根．1的n个单位根表示

单位根的性质的应用

单位根的性质的应用把1的每一个n(n ∈N )次方根叫做n 次单位根，简称单位根．1的n 个单位根表示数学问题时，可以大大地简化解证题过程．下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：性质1 2110n εεε-+++ +=,进而可推广为若1n z =且z≠1，则z 的任意连续n 个整数次幂的和为0，本结论可表示为：()110m m m n z z z m ++-++ +=∈ 性质2 (),mn k k m k εε+=∈ 下面简要说明单位根性质的应用． … 一、在复数计算中的应用

2．计算：219991232000i i i +++ + (答案：－1000(1＋i)) 二、在复数证明中的应用例2 求证：二项方程(),0,,1n x z z z n n =∈≠∈ >的n 个根的和为零． (注：本题如应用韦达定理证，也较为简单) 三、在求三角函数式的值方面的应用 %

练习题：四、在恒等式证明中的应用证明：∵ε是1的七次方根，则71ε=． ()()()2 4 2 4 5 6 3 2 4 5 6 3 4 34 212111εεεεεεεεεεεεεεεε εε+++=+++++=+++++++-+=-+ ^

∴原式得证．练习题： x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1 性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k 【推论1：εj -1=ε-j 推论2：εk m =εmk 推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr 注：它说明εk等价于r=0

复数2014-2016最新高考题汇总(含答案)

2014——2016年各省市高考题汇总 1．[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 2．[2014·全国卷] 设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i 【答案】D 3．[2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝( ) A ．－2 B ．－2iC ．2 D ．2i 【答案】C 4．[2014·北京卷] 复数? ????1＋i 1－i 2 ＝________．【答案】-1 5．[2014·福建卷] 复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i 【答案】C 6．[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 【答案】D 7．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，? ????1－i 1＋i 2 ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 【答案】A 8．[2014·湖南卷] 满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 【答案】B 9．[2014·江西卷] z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 【答案】D 10．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 【答案】A 11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3 （1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i

英语名词单数变复数口诀总结

英语名词单数变复数口诀 (一) 规则变化名词单数变复数，直接加-s 占多数； s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es；词尾是f 或fe，加-s 之前先变ve；辅母+ y 在词尾，把y 变i 再加-es；词尾字母若是o，常用三个已足够，要加-es 请记好，hero, tomato, potato。 (二) 不规则变化男人女人a 变e，鹅足牙oo 变ee；老鼠虱婆也好记，ous 变ic；孩子加上ren，鱼鹿绵羊不用变。注：1．以s，sh，ch，x等结尾的词加“es”，如bus→buses，peach→peaches box → boxes class → classes 2.以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如family→families ， library →libraries 以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys，toy→toys 3．以o 结尾的名词变复数时加es的名词有：口诀：英雄爱吃西红柿、土豆和芒果。 hero →heroes tomato→tomatoes potato→potatoes mango→mangoes 4．以f或fe结尾的名词变复数时： a）加s的名词有： belief→beliefs roof→roofs等 b）去掉f，fe 加ves的名词有：口诀：小偷的妻子用树叶做小刀杀了一匹狼把它劈成了两半挂在了架子上，从此过上幸福生活。 thief→thieves wife→wives leaf→leaves knife→knives wolf→wolves half→halves shelf→ shelves life→lives 5. 名词复数的不规则变化需要特别记忆。例如：man →men, woman →women, goose →geese, foot →feet, tooth →teeth, mouse →mice,child →children, fish →fish, deer (鹿) →deer, sheep →sheep 等。 6.表示“某国人”的名词复数形式变化可通过歌诀记忆：中日不变英法变，其余-s 加后面。例如：Chinese →Chinese, Japanese →Japanese；Englishman →Englishmen, Englishwoman →Englishwomen, Frenchman →Frenchmen, Frenchwoman →Frenchwomen；American →Americans, Rusian →Rusians, Arab →Arabs, German →Germans 等。 7. 不可数名词一般只有单数形式，没有复数形式。有些不可数名词可借助单位词表示一定的数量。例如：a cup of tea 一杯茶, two piece of paper 两张纸, an item of news 一则新闻。

近世代数学习系列四抽象代数的人间烟火

抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191 摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵

名词单数变复数总结版

名词单数变复数口诀 ?(一)规则变化 ?名词单数变复数，直接加-s 占多数； ?book-books; pen-pens; apple-apples ?s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es； ?dress-dresses; box-boxes; buzz-buzzes; watch-watches; brush-brushes 词尾是f 或fe，加-s 之前先变ve；记住10个把f或fe变成v再加es的单词； Wife life knife leaf 树叶thief half self shelf架子loaf面包wolf狼但是，roof-roofs屋顶，除外 leaf-leaves; wife-wives; knife-knives 辅音+ y 在词尾，把y 变i 再加-es； ?study-studies; baby-babies; city-cities 元音+y在词尾, 只加s就足够 ?boy – boys ; day – days; monkey – monkeys ?词尾字母若是o，常用三个已足够，要加-es 请记好，hero, tomato, potato。 ?美国黑人和英雄爱吃土豆和西红柿。辅音+o 词尾+es 元音+o 词尾+s ?negro-negroes; hero-heroes; potato-potatoes; tomato-tomatoes ?其余o结尾的词加s, photo-photos; piano-pianos ? ? ?(二) 不规则变化 ?男人女人a 变e，鹅足牙oo 变ee； ?man-men; woman-women; goose-geese; foot-feet; tooth-teeth ?老鼠虱子也好记，ous 变ic； ?mouse-mice; louse-lice ?孩子加上ren，鱼鹿绵羊不用变 ?child-children; fish; deer; sheep ?this---these(这些) ?that -- those(那些) ⑶单复数同形：people Chinese Japanese fish deer鹿sheep 绵羊 ⑷某国人的复数：Chinese Japanese 后面不加s Englishman Frenchman 把man变为men 其他各国人以an,ian结尾的均直接加s,如Americans German 除外，German-Germans III. 名词的所有格：名词在句中表示所有关系的语法形式叫做名词所有格。所有格分两种：一是名词词尾加’s 构成，二是由介词of加名词构成。前者多表示有生命的东西，后者多表示无生命的东西。

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