1-2-3 无穷小量的比较

题型三 无穷小量的比较

类型1 比较给定的两个无穷小量

①当0x +

→ ）

A.1-

B.ln

1- D.1c o s -

②设(),()f x g x 为连续函数，且0

lim ()lim ()1x x f x g x →→==，令2

()()x

F x f t d t

=

?

，0

()()x G x tg x t d t =

-?

，则当0x →时，()F x 是()G x 的（ ）

A.高阶无穷小量

B.低阶无穷小量

C.等价无穷小量

D.同阶而非等价无穷小量

③[2012统考P22]已知0x →时，()c o s f x x =

-，2

ln (1)

()sin x g x td t -=

?

，

()arcsin h x x x =-都是无穷小量，按照它们关于x 的阶数从低到高的顺序排列，正确的排

列次序为（ ）

A.(),(),()f x g x h x

B.(),(),()h x f x g x

C.(),(),()f x h x g x

D.(),(),()h x g x f x

④[2012精解P10] 当0x →时，3

34

0()sin lim 5x f x x x x →??

-+=????

，则()f x 是x 的（ ） A.高阶无穷小量 B.低阶无穷小量 C.等价无穷小量 D.同阶而非等价无穷小量

⑤[2012统考P21]设1

()1tx

g x e d t =

-?

，2

()s in x

f x t d t =

?

，则当0x →时，()g x 是()

f x 的（ ）

A.高阶无穷小量

B.低阶无穷小量

C.等价无穷小量

D.同阶而非等价无穷小量 [答案：BDCAB]

例2 ①[北航P34]当0x →时，2

2

ln (1)x t d t +?是2

3x 的几阶无穷小量？

②当0x →时，下列无穷小中阶数最高的是（ ）

B.345345x x x -+

C.2

c o s x

e x - D.2

1c o s 0

s in x t d t t

-?

[答案：9；D]

练习：

①[2009十八] 当0→x 时，x

x

e e -sin 是x 的__________

阶无穷小

②设()2sin sin co s f x x x x x =--，当0→x 时，()f x 是x 的 阶无穷小

③ 设()f x 为连续函数，(0)0f =，'(0)0f ≠，22

()()()x

F x x t f t d t =

-?

，且当0x →时，

'()F x 与k

x 为同阶无穷小量，则k =（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

④ 把0x +

→时的无穷小量2

c o s x

t d t α=

?

，2

tan

x

t β=

?

，3

in t d t γ=

?

排列起来，

使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是（ ） A ．,,αβγ B.,,αγβ C.,,βαγ D.,,βγα [答案：3；3；C ；B]

类型2 已知两个无穷小量比较的结果，确定参数 例1 ①[2010十九，北航P34]

已知当0x →时，1

2

3(1)1a x +-与1co s x -是等价无穷小，则常数a = __________

②已知当0x →时，2(1)x e a x b x -++是2

x 的高阶无穷小，则a = ，b =

[答案：①3;2a =

②1,12

a b =

=]

练习：

①[2002十二] 设当0x →时，()()21co s ln 1x x -+是比s in n

x x 高阶的无穷小，而s in n

x x

是比()

2

1x

e -高阶的无穷小，则n = 。

②[2008十七] 当0x →时，()2

x kx α=与()x β=

则k = 。

③[北航P35]若0

()lim

11c o s x f x x

→=-且

2

()x

f t d t ?

是n

x 的同阶无穷小，则n =

④设当0→x 时，ta n x

x e e -与n

x 是同阶无穷小量，则n =

⑤设当0→x 时，2

c o s

x

e --与n

a x 是等价无穷小量，则n = ，a =

⑥设当0→x 时，()sin f x x a x =-与2

()ln (1)g x x b x =-为等价无穷小量，则a = ，

b =

⑦[2012精解P10]试求当k 为何值时，2

20

s in (1)x t

x e

d t -?与k

x 是0→x 时的同阶无穷小

量，并求出此时的极限值。

⑧[2012统考P23] 已知当0x →时，2

()sin x x a b e x -+?是关于x 的5阶无穷小量，求常数,a b

⑨ [2012统考P22]试确定常数,,A B C ，使得23

(1)1()x e B x c x A x x ο++=++。

[答案：2；

34

；6；3；4，

13

；1，16

-

；15,

3

；

51,66

；121,,336-]

题型四 极限的逆问题（即已知极限值或极限存在，求极限式中的常数） 例1 ①[2012统考P20]若0

s in lim

(c o s )5x

x x x b e a

→-=-，则a = ，b =

②[2012统考P20] 若3

s in lim

(0)ln (1)

x x

a

b x x

c c t

d t

t

→-=≠+?

，求,,a b c

③若)

lim

0x a x b →+∞

--=，求,a b

[答案：1,4-；10,1,2

；11,

2

]

练习一： ①若32

2

lim

82

x x a x b

x →++=-，求,a b

②[2011二十](本题8分)已知2

1lim (

)01x x

a x

b x

→∞

+-+=+，求常数a 和b .

③()b x

x f x a e

=

+且lim ()0x f x →-∞

=，()f x 在(,)-∞+∞上连续，则（ ）

A.0,0a b <<

B.0,0a b <>

C.0,0a b ≥>

D.0,0a b ≥<

④(

)

lim 2()0x x a x b →-∞

-

+=,求,a b

⑤已知()f x 在0x =处连续且2

s in ()lim 2x x f x x

x →??

+

=

???

，求(0)f 及'(0)f

⑥[2007十六] 已知2

1lim lim co s 1x

x

x x x c x x →∞→∞-???

?= ? ?+???

?，则大于0的常数c =

⑦[2009十八] （本题8分）已知极限α

α

)

1(lim

2009

--∞

→n n

n n 是不为零的有限数，试求α以及

极限值。 ⑧设lim

2006(1)

n n n

n α

β

β

→∞

=--，求,αβ的值。

[答案：1,4--；1，1；D ；13,2

-；1,2-；1,''(0)f ；2；12010,

2010

；

2005

1

,

20062006

]

练习二：

①设()f x 在(0,)+∞内可导，()0f x >，lim ()1x f x →+∞=且满足1

1

0()lim ()h

x h f x h x e f x →??+=????，求()f x

②设()f x 是多项式且8

2

()8lim

4231

x f x x

x x →∞

-=++，0

()lim

8x f x x

→=，求()f x

③若已知0

lim

x c x →=且0c ≠，求,a b ，使得当0x →时，()b

f x a x

④设()f x 在(,)-∞+∞内可导，lim '()x f x e →∞=，又lim lim [()(1)]x

x x x c f x f x x c →∞→∞

+??

=-- ?-??

，试确定c 的值。

⑤设()f x 在0x =的某邻域内有一阶连续导数且(0)0

f ≠

，'(0)0f ≠，若0

()(2)(0)

l i m

h a f h b f h f h

→+-=，试确定,a b 的值。

⑥已知2

2

c o s 1

lim

1ln (1)x

x a x b x c t d t

→+-=+?

（0c ≠）

，求实数,,a b c 的值。

[答案：1()x

f x e

-=；82

()888f x x x x =++；2,3a c b ==；12

c =

；2,1-；

11,1,

2

12

]

题型五 求解含参变量的极限

例1 已知(1)2(1)21

()lim

x n

n

x n

n n x e x

f x e

x

--+→∞

+=+，求0

()e f x d x ?

[答案：013(),

1

2

1

x x f x x x

≤

=?≥??]

例2 [2010十九]设0a b <<，求()

1

lim n

n

n

n a

b

--→∞

+

[答案：

1a

]

题型六 利用级数收敛的必要条件求极限 例1 求!lim

n

n n n

→∞

练习： 求lim

3!

n

n

n n

n →∞

?

[答案：0；0]

题型七 利用lagrange 中值定理求极限

例1 lim s in

s in

x I →+∞

?=?

例2 []2

lim ln a rc ta n (1)ln a rc ta n x I x x x →+∞

=+-

例3 2

lim a rc ta n a rc ta n 1n a a I n n n →∞??

=-??+??（0a >）

[答案：0；2

,a π

]

练习：

[2001十一]求极限()2

lim 0n n

x →∞

>

[答案：ln x ]

第七节 无穷小量的比较

第七节 无穷小的比较 教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：???????>∞<==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数） 可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类： 定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α β，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠， 因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2 01sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?' 'αβlim ，那么αβαβ '' =?lim lim 。 【例2】 求x x x 20sin cos 1lim -→。 解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=- =-→→x x x x x x 。 【例3】 求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ， 所以 原式122 22 lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 221 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业：

《数学分析》无穷小量与无穷大量

§５ 无穷小量与无穷大量 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。 教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞ =. 我们称之为无穷小数 列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： limsin 0,x x →= 20 lim 0, x x →= 我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。 一、无穷小量 1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。若0 lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。记作： 0()0(1)()f x x x =→. （类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。 例：(1,2, ),sin ,1cos k x k x x =-都是当0x →时的无穷小量；1x -→时的无穷小量； 21sin ,x x x 是x →∞时的无穷小量。 2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念 定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作： 0()(1)()g x O x x =→. 例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1 sin x 是当0x →时的有界量，即1 sin (1)(0)O x x =→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０， f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点 的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。 （２）性质 性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

试比较和中哪一个是高阶无穷小量

习题2-3 9. 试比较)(x α和)(x β中哪一个是高阶无穷小量? (1) x x x 10)(3+=α, 4)(x x =β, 当0→x 时; 解: 010 lim 10lim )()(lim 23 03400=+=+=→→→x x x x x x x x x x αβ，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. （4）() x α=1()1x x β=-, 当x →+∞时; 解: ()lim lim lim (1 ()x x x x x αβ→+∞→+∞ ===-∞，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. 10．当0→x 时求下列无穷小量关于x 的阶： （1）36x x +； 解：36333(1)x x x x x +=+ ，所以36x x +关于x 的阶为3. （3 x = ，所以x x 的阶为1. 11. 用等价无穷小量替代法计算下列极限: (1) x x x x 7tan 5sin lim 2 0+→; 解: 7 575lim )775sin (lim 75sin lim 7tan 5sin lim 002020==+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 习题2-4 3.指出下列函数的间断点并说明其类型.若是可去间断点, 则补充定义函数值后使它连续. (7) 2 31)(22+--=x x x x f ; 解: 1=x 是)(x f 的可去间断点，2=x 是)(x f 的第二类间断点. 因为2) 2()1(lim )1)(2()1)(1(lim )(lim 111-=-+=---+=→→→x x x x x x x f x x x . 1=x 是)(x f 的可去间断点, 定

无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较 先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． 考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ， 这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。 定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ， 使得当n N >时， 有 0?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α， 这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更 高阶的无穷小量 还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||