3.2 圆的对称性(1)

课题

§3．2．2 圆的对称性(二)

教学目标

(一)教学知识点(二)

1．圆的旋转不变性．

2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

(二)能力训练要求

1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．

2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

(三)情感与价值观要求

培养学生积极探索数学问题的态度及方法．

教学重点

圆心角、弧、弦之间关系定理．

教学难点

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学方法

指导探索法．

教具准备

投影片两张

第一张：做一做(记作§3．2．2 A)

第二张：举反例图(记作§3．2．2B)

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么?哪位同学知道?

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．

[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗?下面我们继续来探讨．Ⅱ．讲授新课

[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?

[生]大小一样．

[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?

[生]重合．

[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

[师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2 A)

按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．

2．在⊙O和⊙O′，上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．

[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′．

[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B=∠O′B′A′．

[生丙]由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′．

[生丁]由旋转法可知弧AB＝弧A′B′．

[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到弧AB＝弧A′B′的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．

[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以弧AB和弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即=弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．

[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?

[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

下面，我们一起来看一看命题的证明．

(学生互相讨论交流．学生口述，教师板书)

如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．

求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．

证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半

径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，

∴半径OB与O′B′重合．

∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，

∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．

∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．

上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．

[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2 B)

[生]如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，，但AB≠A′B′，弧AB=弧A′B′下面我们共同想一想．

[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

在同圆或等圆中②

也相等

①相等③

?你是怎么想的?请你说一说．(同学们互相交流、讨论)

[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．

[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到，

[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论?

[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心

角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧

所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．

例如，右图中的∠1=∠2，

有的同学认为∠1对AD，∠2

对BC，就推出了AD=BC，显

然这是错误的，因为AD、BC

不是“等圆心角对等弦”的弦．

[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容．

课本P97随堂练习1、2、3

Ⅲ．课时小结

[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)

[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理……

Ⅳ．课后作业

课本P98习题3．3：1、2

圆的对称性—知识讲解(基础)

圆的对称性—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

圆的对称性_知识点与典型例题

圆的对称性 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解： 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（） 第5题

第8题 A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝ 5cm ，∠DEB ＝60°， 则CD ＝___________。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。 求证： 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。 15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。 第11题

9下-§3.2 圆的对称性

9-§3.1 圆 一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.） 1.圆的对称性： （1）轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 （2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 2. 圆的相关性质： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 如图1，⊙O 和⊙O 1是两等圆，111AOB AO B ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. 如图2，在⊙O 中，11AOB AOB ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 如图3所示，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，根据圆心角、弧、弦之间的关系填空： ① 若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ； ②若CD ，则AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，AB ＝CD ． 二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.） 1.圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。（圆的中心对称性是旋转不变性的特例） 2.在运用本节课所学的圆的相关性质时，一定要抓住“同圆，等圆”这一重要前提。 3.本节课采用的几何图形研究方法总结：折叠，轴对称，旋转，推理证明等。 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.） 【典例】如图，在⊙O 中，AB ，CD 为是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ． 图1 图2 B D A C O 图3

圆的对称性与性质

圆的对称性与性质 【重点知识】 1.弦心距：圆心到弦的距离. 2.圆周角：顶点在圆上，它的两边分别和圆相交的角，叫做圆周角. 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 5.直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径. 【归纳总结】 1.在同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等.此四项中任何一项成立，则其余对应的三项都成立. 【典型例题】 例1.①如图1，在⊙O 中，,AB AC = 070,A ∠=则C ∠=______. ②如图2，已知,,A B C 在⊙O 上，且040,BAC ∠=则OCB ∠=_____. ③如图3，已知AB 是⊙O 的直径，,,C D E 都是⊙O 上的点，则12∠+∠=_____. ④如图4，已知圆心角AOB ∠的度数为0100，则圆周角ACB ∠的度数是______. (图1) （图2） （图3） （图4） (图5) ⑤如图5，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点,,,,8,1,G B F E GB cm AG cm == 2,DE cm =则EF =_______cm ． ⑥如图6，在⊙O 中，0 60,3,ACB D AC ∠=∠==则ABC ?的周长为________． ⑦（2008湘潭）如图7，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 ． 图6 图7

⑧（2008重庆）已知，如图8，AB 为⊙O 的直径，,AB AC BC =交⊙O 于点,D AC 交⊙O 于点0,45.E BAC ∠=给出以下五个结论：①0 22.5;EBC ∠=②;BD DC =③2;AE EC = ④劣弧? AE 是劣弧?DE 的2倍；⑤.AE BC =其中正确结论的序号是 . ⑨（2008黄石）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ． 图8 图9 ⑩如图10，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= . 例2.①在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为AOB ∠=______. ②⊙O 的半径2,OA =弦,AB AC 的长为一元二次方程20x x -+=的两 个根，则BAC ∠=_____. ③如图，在⊙O 中，AB 是直径， CD 是一条弦，//,AB CD 圆周角030,10,CAD AB cm ∠==则弦CD 的长是______. ④如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ） A. COE DOE ∠=∠ B. CE DE = C.OE BE = D. BD BC = ⑤（2008上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 ③图 ④图 ⑤图 ⑥图 B ?E D C B A O 20 题图 图10

圆的对称性—知识讲解(提高)

圆的对称性—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

圆的对称性

圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒

【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？

【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝

2.2圆的对称性2教案

学上教育 数学 学科个性化导学案 学生 教师 左老师 班主任 日期 2018/7/ 时间段 8:00-10:00 年级 八年级 课时 2小时 课题 2.2 圆的对称性（2） 课堂类型 学情分析 重点 (学习目标) 圆的对称性 难点 圆的对称性 教学辅助设备 教案 教学过程 教学内容 第2章 对称图形——圆 2.2 圆的对称性（2） 【基础提优】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ．CB ⌒=BD ⌒ C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD 第1题 第2题 2．如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） A ．42 B ．82 C ．25 D ．45 3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ） A ．4m B ．5m C ．6m D ．8m

第3题第4题 4．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为（） A．25 6 cm B．5cm C．4 cm D． 19 6 cm 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM 的长不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5 第5题第6题 6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=23，OC=1，则∠B= ． 7．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ． 第7题第8题 8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm． 9．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长．

27.1.2圆的对称性(教学设计)

第27章圆 27.1.2．圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。

第一环节 课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境，引入新课 活动内容： 问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？ 活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容： （一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性； 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： 它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。 （二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。

(完整版)圆的对称性习题(有答案)

2 圆的对称性 一、选择题（共 10 小题） 1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与 坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和 120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴于点 A ，则点 A 的坐标为（ ） ） C ．（ ，0） D ．（1， ） 2．已知 ⊙O 中，弦 AB 长为 ，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 3．下列说法： ① 若∠1 与∠2 是同位 角， 则 ∠1=∠ 2 ② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④ 等腰梯形是轴对称图形， 但不是中心对称图形 ⑤ 平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ． 2 D ． 3 4．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若 ∠AOB= α，则弦 AB 的长为（ ） A ． B ． 2Rsin α C ． D ． Rsin α 5．已知矩形 ABCD 的边 AB=3 ，AD=4 ，如果以点 A 为圆心作 ⊙ A ，使 B ，C ，D 三点中在圆内和在圆外都至少 有一 个点，那么 ⊙ A 的半径 r 的取值范围是（ ） A ． 3

圆的对称性测试题1(含答案)

圆的对称性测试题1（含答案） 27.1.2圆的对称性1 农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题） 1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且A B⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm或 cm 4．如图，⊙O的直径CD 垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（） A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90° 6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（） A．4 B． C． D． 7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（） A．3 B．3 C． D． 8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（） A． B． C．3 D．2 二．填空题（共6小题） 9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B 两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= _________ ． 10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是_________ ． 11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC 的最小值为_________ ． 12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为_________ cm． 13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N 是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________ ． 14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，

圆的对称性1

第三章圆 2．圆的对称性（一） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的相关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适合应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的水平。 二、教学任务分析 圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称轴是任一条过圆心的直线。具体地说，本节课的教学目标是： 知识与技能： 1．理解圆的轴对称性及其相关性质； 2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 情感态度与价值观： 1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 教学难点：和圆相关的相关概念的辨析理解。

三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。 第一环节课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸） 2.预习课本P88~P92内容 活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手水平；在第2个活动中，主要指导学生展开自学，培养良好的学习习惯。 实际教学效果： 1.学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其实行启 发引导，找出圆心。 2.预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。 第二环节创设问题情境，引入新课 活动内容： 教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。 活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提升学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。 实际教学效果： 1.因为学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义， 所以教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学准确叙述其定 义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。 2.通过几何图形去记忆或理解几何概念性质定理，是学生学好几何知识的 有效途径。

圆的定义及对称性

第三十二讲 圆的定义与圆的对称性 【知识要点】 （1）在同一平面内，一条线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆.定点O 就是圆心，线段OP 就是圆的半径.以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”,读作“圆O ”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”. (2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上 点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为 d ，那么 点在圆外d r ?>；点在圆上d r ?=；点在圆内d r ?< 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质) 圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合. 说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条 （1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 （2A 、B 为端点 的弧记作 AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ” 大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧

圆的有关性质—圆的对称性(1)

第2课 圆的对称性（1） 初三（ ） 班 姓名： 学号： 环节一 1．（1）圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其 ； （2）圆是中心对称图形； （3）圆是轴对称图形，其对称轴是 ，有 条对称轴. 环节二、新课学习 （一）圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角. 如图2， 是圆心角. （二）在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系 2． （1）将图（1）中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图（2）， 比较前后两个图形，你能否找到相等的圆心角、相等的弦、相等的弧？ （2）由于圆心角∠AOB （或孤AB ，或弦AB ）确定了扇形AOB 的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等（''AOB A OB ∠=∠），那么它所对的弧______，所对的弦_____. 在一个圆中，如果弧相等(? ?''AB A B =)，那么所对的圆心角_____，所对的弦_______. 在一个圆中，如果弦相等(''AB A B =)，那么所对的圆心角_____，圆心角所对的弧_ _ （3）结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.

O 图5 D C B A O A B C （三）例题 24.1-10 分析图：AOC BOC AOB ∠=∠=∠ AB=AC= AB= , ABC ?是 。 ABC ?是 是 ， 060=∠ACB ( ) AB= = . ∴AOB ∠= AB ︵＝AC ︵ 环节三、练习： 1.如图4，若21∠=∠，则可以推出哪些相等关系？ 2．在图4中，已知弦AB DC =，0 501=∠，则=∠2 ； =∠D ． 3. 如图5，已知∠AOB=∠COD ，则AB=CD 吗？

北师大版数学九年级下册3.2 圆的对称性

3.2 圆的对称性 01 基础题 知识点1 圆的对称性 1．下列语句中，不正确的是( ) A ．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合 D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 2．(泰安中考)下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为____________(结果保留π)． 知识点2 圆心角、弧及弦之间的关系 4．在同圆或等圆中，如果AB ︵＝CD ︵ ，那么AB 和CD 的关系是( ) A ．A B ＞CD B ．AB ＝CD C ．AB ＜C D D ．AB ＝2CD 5．(厦门中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠A ＝30°，则∠B＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15° 6．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( ) ①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵ ；③AC＝BD ；④∠BOD＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等．其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③ 8．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空：

(1)若AC ＝BC ，则____________； (2)若AC ︵＝BC ︵ ，则____________； (3)若∠AOC＝∠BOC ，则____________． 9．如图，BD 是⊙O 的直径，AB ＝CD ，且∠AOB＝50°，则∠AOC 的度数为____________． 10．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵ 的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由． 02 中档题 11．(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵ ，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( ) A ．51° B ．56° C ．68° D ．78° 12．形如半圆形的量角器直径为4 cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O 重合，零刻度线在x 轴上)，连接60°和120°刻度线的两个端点P 、Q ，线段PQ 交y 轴于点A ，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，3) B ．(0，3) C ．(3，0) D ．(1，3) 13．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵ ，则下列结论正确的是( ) A ．AB>2CD B ．AB ＝2CD

圆的对称性习题(有答案)

2 圆的对称性 一、选择题（共10小题） 1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（） ））（ 3．下列说法： ①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2 ②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）

9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C 与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE=x ，AP=y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ） 10．（2013?合肥模拟）如图， 是半径为1的圆弧，△AOC 为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s 的取值范围是（ ） ≤s ≤ ＜s ≤ ≤s ≤ ＜s ＜ 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？ 12．一条弦AB 分圆的直径为3cm 和7cm 两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= _________ cm ． 13．若⊙O 的半径为13cm ，圆心O 到弦AB 的距离为5cm ，则弦AB 的长为 _________ cm ． 14．已知点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且PO=4，则过点P 的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 _________ ． 15．若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P 的坐标是（5，8），则点P 在⊙A _________ ． 16．在下图所列的图形中选出轴对称图形： _________ ．

初三数学培优之圆的对称性

初三数学培优之圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D

40圆的对称性2

课题 圆的对称性（二） 学科 数学 课型 新课 年级 九 主备人 张勇博 审核人 班级 姓名 2.通过动手操作发现圆中圆心角、弧、弦、弦心距的关系。 3、根据所学知识能解决具体问题。 学习重点：圆心角所对的弧 所对的弦，及弦心距之间的关系。 学习过程： 一、回顾引入： （1）圆是 对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 。 （2）根据圆的轴对称性我们得到了垂径定理为： 结合图形用几何语言叙述此定理： 二、预习导学：自学课本102—105页后填空： 1、圆是 对称图形，它的对称中心是 。 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦、两条弦上的弦心距中有一组量相 等，那么其它他量相等吗？你能说明吗？ 结合104页例2的图形用几何语言叙述它的用法，和合同伴交流。 三、研讨展示： 1.重点研讨：如图，在⊙O 中，弦CD AB =，AB 的延长线与CD 的延长线相交于点P ， 直线OP 交⊙O 于点E ，F ，你以为APE ∠与CPE ∠有什么大小关系？为什么？ 2.巩固性训练： A 组：1、下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等 2．下列命题中，不正确的是（ ） A ．圆是轴对称图形 B ．圆是中心对称图形 C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D ．以上都不对 3、下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直 径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A.3个 B.2个 C.1个 D.4个 4、同圆中，两条弦长分别为a 和b ，它们的弦心距分别为c 和d ，若c >d ，则有（ ） A.a >b B.a

2.1 圆的对称性.1 圆的对称性

2.1 圆的对称性 【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.点与圆的位置关系. 【过程与方法】 通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】 结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.

1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形. 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识. 二、思考探究，获取新知 1.圆的定义 问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象. 如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做 半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”. 注意:圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.点与圆的位置关系 一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有 （1）点P在⊙O内d＜r （2）点P在⊙O上d=r

圆的对称性1

圆的对称性(1) 【学习目标】 基本目标： 1. 经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程。 2. 理解圆的中心对称性及有关性质。 提高目标：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。 【重点难点】 重点：理解圆的中心对称性及有关性质。 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。 【预习导航】 1． 什么叫中心对称图形？中心对称图形有哪些性质？ 2. 什么叫弦心距？ 3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数之间有什么关系？ 4. (1) 如下图，若∠AOB=40?，则AB 的度数为 ，若AB 的度数为50°，则∠AOB= . (2)如图，已知⊙O 、⊙O ' 半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦, OE 为O ' F 为圆中弦心距则：若AB=CD ， 则 ， ， . 若AB CD =，则 ， ， . 若∠AOB=∠CO ' D ，则 ， ， . 若OE=O ' F ，则 ， ， . 【课堂导学】 活动（一）1．圆具有什么样的对称性呢？ 2．用透明塑料纸描画出右边的圆，让它们圆心重合， 看透明塑料纸上的圆，旋转多少度能和右边的圆重合？ 活动（二） 1．以下边的点O 为圆心，画出半径为1的圆，在圆上画出60°的圆心角∠AOB ，画出弦AB ； E F

O B A C E B 2．在透明塑料纸上画出半径为1的圆O ′，并在圆上画出60°的圆心角∠A ′O ′B ′，画出弦A ′B ′； 3．将圆O ′与圆O 重合，用圆规的规脚固定圆心，将其中的一个圆旋转某个角度，使得OA 和O ′A ′重合．你发现了什么？把你画的圆O ′在其他同学导学案上试试，你的结论还成立吗？ 结论： 4．在上面你画的圆O 中，画弦CD=1cm ，连接OC ，OD ，在透明塑料纸上画出弦C ′D ′=1cm ，连接O ′C ′，O ′D ′,重复上面的活动.你发现了什么？ 5．在上面你画的圆O 中，任意画EF ⌒，连接EF ，OE ，OF ，在透明塑料纸上画出E ′F ′⌒= EF ⌒，连接E ′F ′，O ′E ′，O ′F ′,重复上面的活动.你发现了什么？ 结论： 活动（三） 如图所示：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角 是10°的角．那么它所对的弧是叫做10°的弧． 问题：（1）在上图中，你能画出30°的圆心角和30°的弧吗？ （2）当∠AOB =40°时对着的AB ⌒是 度.60°的AB ⌒ 所对的∠AOB = . n °的圆心角对着n °的弧；n °的弧对着n °的圆心角. 例题 例1如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？ 为什么？ 例题2 如图，在ΔABC 中，90C ∠=?，，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，求AD 和ED 的度数。 28B ∠=?o