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2019年高考数学一轮复习 导数的综合应用——导数与方程

第19讲 导数的综合应用——导数与方程

1.已知函数y =x 3-3x +c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则c =(A)

A .-2或2

B .-9或3

C .-1或1

D .-3或1

由三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点,结合函数的图象,可得极大值或极小值为零即可满足要求.

2019年高考数学一轮复习 导数的综合应用——导数与方程

而f ′(x )=3x 2-3=3(x -1)(x +1),

当x =±1时,取得极值,由f (1)=0或f (-1)=0,可得c -2=0或c +2=0,所以c =±2.

2.若曲线f (x )=ax 2+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是(A)

A .(-∞,0)

B .(-∞,0]

C .[0,+∞)

D .(0,+∞)

该函数的定义域为(0,+∞).

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f ′(x )=2ax +1x

. 因为曲线f (x )=ax 2+ln x 存在垂直于y 轴的切线,

问题转化为方程2ax +1x

=0在(0,+∞)内有解, 于是可得a =-12x 2∈(-∞,0). 3.已知x 0是函数f (x )=2sin x -πln x (x ∈(0,π))的零点,设x 1,x 2∈(0,π),且x 1

①x 0∈(1,e); ②x 0∈(e ,π);

③f (x 1)-f (x 2)<0; ④f (x 1)-f (x 2)>0.

其中正确的命题是(A)

A .①④

B .②④

C .①③

D .②③

f ′(x )=2cos x -πx

2019年高考数学一轮复习 导数的综合应用——导数与方程

. 当x ∈(0,π2)时,πx

>2,f ′(x )<0; 当x =π2

时,f ′(x )=-2<0; 当x ∈(π2,π)时,1<πx

<2,则f ′(x )<0, 综上可知,f ′(x )<0,f (x )在(0,π)上为减函数,

所以f (x 1)>f (x 2),即f (x 1)-f (x 2)>0,④正确.

因为f (1)=2sin 1-πln 1=2sin 1>0,f (e)=2sin e -π<0,所以x 0∈(1,e),即①正确.

4.设a ∈R ,若函数y =e ax +3x (x ∈R )有大于零的极值点,则(B)

A .a >-3

B .a <-3

C .a >-13

D .a <-13

(方法一)函数y =e ax +3x 的导数为y ′=a e ax +3.

令y ′=a e ax +3=0,显然a =0时无解,故可否定A ,C.

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当a =-1时,若x >0,则y ′=-e -x +3>2,显然没有大于零的极值点,否定D ,故选

B.

(方法二)函数y =e ax +3x 的导数为y ′=a e ax +3.

令y ′=a e ax +3=0,显然a =0时无解,

当a ≠0时,得e ax =-3a >0,所以a <0.故可否定A ,C.

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