文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 大学物理下第17章习题详解

大学物理下第17章习题详解

第17章习题解答

【17-1】解 首先写出S 点的振动方程

若选向上为正方向,则有:

-0.01=0.02cos ?0 2

1cos 0-=? υ0=-A ωsin ?0>0, sin ?0<0

即 π?3

20-=

初始位相 π?320-=

则 m t y s )32cos(02.0πω-=

再建立如图题17-1(a )所示坐标系,坐标原点选在S 点,沿x 轴正向取任一P 点,该点振动位相将落后于S 点,滞后时间为:

u x t =? 则该波的波动方程为:

m u x t y ?????

?--=πω32)(cos 02.0 若坐标原点不选在S 点,如图题17-1(b )所示,P 点仍选在S 点右方,则P 点振动落后于S 点的时间为:

u

L x t -=? 则该波的波动方程为:

m u L x t y ?????

?---=πω32)(cos 02.0 若P 点选在S 点左侧,如图题17-1(c )所示,则

m u L x t y ??

????--+=πω32)(c o s 02.0 【17-2】解(1)由图题17-2可知,

波长 λ=0.8m

振幅 A=0.5m

频率 Hz Hz u v 1258.0100===

λ 周期 s v

T 31081-?== (2)平面简谐波标准动方程为:

???

???+-=?ω)(c o s u x t A y 由图可知,当t=0,x=0时,y=A=0.5m ,故?=0。

将A 、ω(ω=2πv)、u 、?代入波动方程,得:

m x t y ??

????-=)100(250cos 5.0π 【17-3】解 (1)由图题17-3可知,对于O 点,t=0时,y=0,故

?±=

再由该列波的传播方向可知,

υ0<0

取 2π

?=

由图题17-3可知,m OP 40.0==λ,且u=0.08m/s ,则

s r r a d s r a d u

v /5

2/40.008.0222ππλππω==== 可得O 点振动表达式为:

m t y )2

52c o s (04.00ππ+= (2)已知该波沿x 轴正方向传播,u=0.08m/s ,以及O 点振动表达式,波动方程为: m x t y ??

????+-=2)08.0(52

cos 04.0ππ (3)将x=λ=0.40代入上式,即为P 点振动方程:

m t y p ???

???-=ππ3252c o s 04.0 (4)图题17-3中虚线为下一时刻波形,由图可知,a 点向下运动,b 点向上运动。

【17-4】解 (1)平面谐波标准波动方程为:

??

????+-=?ω)(cos u x t A y 由图可知,A=0.2m

对于图中O 点,有:

T t m y x 4

3,2.0,0=== 代入标准波动方程:

??

????+=?π)43(2cos 2.02.0T T

1)2

3cos(=+?π 故 2π

?=

对于O 点,t=0时的初始位相

20π

?=

图中P 点位相始终落后O 点

4T 时间,即位相落后2π,故t=0时,P 点初位相?p =0。 (2)由u=36m/s ,λ=0.4m 知,

s rad u

v /18022πλππω===

故根据平面谐波的标准波动方程可知,该波的波动方程为:

m x t y ?????

?+-=2)36(180cos 2.0ππ 【17-5】解 图题17-5(a )中,根据波的传播方向知,O 点振动先于P 点,故O 点振动的方程为:

)(cos 0u

L t A y +=ω 则波动方程为:)(cos u

L u x t A y +-=ω

图题17-5(b )中,根据波的传播方向知,O 占振动落后于P 点,故O 点振动的方程为:

)(cos 0u L t A y -=ω 则波动方程为:

)(cos u

L u x t A y -+=ω 图题17-5(c )中,波沿x 轴负方向传播,P 点振动落后于O 点,故O 点振动的方程为:

)(cos 0u

L t A y +=ω 则波动方程为:

)(cos u

L u x t A y ++=ω 此时,式中x 与L 自身为负值。

【17-6】解(1)根据平面简谐波的标准波动方程:

???

???+=?ω)(c o s u x t A y 有:)2

(4cos )24(cos x t A x t A y +=+=ππ

两式比较得:

波速 u=2m/s ,ω=4πrad/s

频率 Hz Hz v 2242===

πππω 波长 m m v u 12

2===λ (2)波峰位置即是y=A 的位置。

当y=A 时,有cos π(4t+2x)=1,故

π(4t+2x )=2k π (k=0,±1,±2…)

可得: x=k -2t

当t=4.2s 时,

x=(k-8.4)m

要求离坐标原点最近的波峰,且

x=-0.4m

(3)设该波峰由原点传播至x=-0.4m 处所需时间为?t ,则

s s u x

t 2.024

.0=-=?=?

可知该波峰经原点的时刻s t 4='

【17-7】解(1)如图题17-7(a )所示。

平面简谐波沿x 轴负方向传播,因A 点的振动方程为:

y=3cos(4πt -π)m

故波动方程为:

m x t y ??

????-+=ππ)20(4cos 3 取x=-9m ,代入即得B 点振动方程为:

m t y B )5

144cos(3ππ-= (2)如图题17-7(b)所示,平面简谐波沿x 轴正方向传播,有:

??

????+-=?ω)(cos u x t A y 对于A 点

m t y )4

1cos(3?ωω+-= 已知A=3m ,ω=4πrad/s ,t=0时,

π?ω-=+-4

1 得 ?=0

则波动方程为:

?????

?-=)20(4cos 3x t y π 取x=(9+5)m=14m ,代入即为B 点振动方程:

m t y B )5

144cos(3ππ-

= 可见 两种不同的坐标中,B 点的振动方程是相同的。

题17-7图

【17-8】解 (1)由题可知,垂直于波传播方向的面积为:

222221054.1)2

14.0(14.3)2(m m d S -?=?==π 据平均能量密度与波强、波速的关系,得:

3533

/103/300

109m J m J u I --?=?==ω 最大能量密度为:

3522/1062m J A m -?===ωωρω

(2)两相邻同相面间,波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量, 因 )(s i n )(s i n 2222u x t u x t A m -=-=ωωωωρω

故 dx u x t S Sdx m )(sin 20-==

??=ωωωωλλλ v

u S S m m ωλω2121==

J J 751062.4300

3000154.02106--?=???= 【17-9】解 (1)P 为单位时间通过截面的平均能量,有:

s J s J t W P /107.2/10

107.232

--?=?=?= (2)I 为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量,有:

2122123

10910

00.3107.2-------???=????==m s J m s J s P I (3)据平均能量密度和I 与u 的关系,有:

2422

1065.2340

109----??=??==m J m J u I ? 【17-10】解 由题可知,每一列波传播的距离O S O S O S 321,,都是波长λ的整数倍,则三列波在O 点引起振动的振动方程分别为:

)2

cos(1π

ω+=t A y t A y ωcos 2= )2

cos(23π

ω-=t A y , 在O 点,三个振动叠加,合振动的振幅及位相可利用旋转矢量图法及矢量合成求得(见图题17-10(b ))。

合振动频率及振动方向不变,有: 4,22221π?-==+=合合A A A A

故振动方程为:

)4

cos(20π

ω-=t A y 题17-10图 【17-11】解 设P 点为波源S 1外侧任意一点,相距S 1为r 1,相距S 2为r 2,则S 1、S 2的振动传到P 点的位相差为: )(221102012r r -+

-=-=?λπ????? πλ

λππ

-=-+-=)4(22 合振幅 A=|A 1-A 2|=0

故 I P =0

设Q 点为S 2外侧的任意一点,同理可求得S 1、S 2的振动传到Q 的位相差为:

042212=?+-=-=?λ

λπ

π

???,

合振动 A=A 1+A 2=2A 1

合成波的强度与入射波强度之比为:

4421

210==A A I I Q , 即 I Q =4I 0

【17-12】解 (1)因合成波方程为:

y=y 1+y 2

=[0.06cos π(x -4t)+ 0.06cos π(x+4t)]m 2)

4()4(cos 06.02t x t x ++-?=ππ

0.12cos π×cos4πtm

故细绳上的振动为驻波式振动。

(2)由cos πx=0得: 2)

12(ππ+=k x 故波节位置为:))(12(2

1m k x += (k=0,±1,±2…) 由|cos πx|=1得: πx=k π

故波腹位置 x=k(m) (k=0,±1,±2…)

(3)由合成波方程可知,波腹处振幅为:

A=0.12m

在x=1.2m 处的振幅为:

A x =|0.12cos1.2π|m=0.097

【17-13】解 (1)由O 点的振动方程及波长得入射波波动方程:

m x t y ??

????-+?=-4.124500cos 1053πππλ 该波在B 点的振动方程为:(x=2=2.1m )

?????

?-+?=-4.11.224500c o s 1053πππλt y B

m t ??

????-+?=-πππ34500cos 1053 由B 点为波节知,反射波在B 点的振动方程为:

m t y B ??

????+-+?=-ππππ24500cos 1053反 m t ?????

?+?=-ππ47500c o s 1053 由反射波在B 点的振动方程,以及任一点P 与B 点的位相差λπ

x l --2,可得反射波波动

方程为: m x t y ?????

?---?=-4.11.2247500cos 1053πππ反 m x t ??

????+-?=-4.12)43500(cos 1053πππ 式中,原点初位相最后取小于2π的值。

(2)由23λ

=L 及B 点为波节,而相邻波节间距为2

λ,可知OB 之间波节位置分别为: x=0,0.7m ,1.4m ,2.1m

(3)入射波及反射波在x=0.175m 处引起分振动的位相差为:

24.1175.0244.1175.024

3πππππ?-=??????--??????+-=? 故D 点的振幅为:

??++=

cos 2212221A A A A A m A 31101.72-?==

【17-14】解 (1)据题意可知,S 点的振动表达式为:

y 0=Acos ωt

故平面波的表达式为:

)(cos u

x t A y -=ωλ (2)反射点的振动表达式为:

)(cos u

D t A y P -='ω 考虑反射面的半波损失,则反射面的振动表达式为:

)cos(πωω--=u D

t A y P

故反射波的表达式为:

????????? ??+-??? ?

?--=πωωu d u x D t A y cos 反 =??

??????? ??+-??? ??

+=πωωu d u x t A 2cos (3)合成波的表达式为:

y 合=y λ+y 反

????????? ??+-??? ??++????????? ??

-=πωωωu

D u x t A u x t A 2c o s c o s ?????

???? ??+-??????-+=2c o s 2c o s 2πωωωπωu D t u x u D A (4)距O 点为3

D 处的一点的合振动方程为: ????????? ??+-???????+=2cos 232cos 23

πωωπωu D t u D A y D

【17-15】解 (1)由第一列波在Q 点的振动y Q =Acos ωt 和第二列波在O 点振动的位相比,第一列波Q 的位相超前π,得到第二列波在O 点的振动为:

y o =Acos(ωt+π)

由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为:

??

????--=)(cos u x l t A y Q ω ??

????+-=πω)(cos u x t A y O 将l =1,x=x p 代入,得到两列波在P 点处的振动表达式为:

)22cos(1λπλπωp P x t A y +-

=

)2cos(2πλπω+-=p P x t A y 上述两个振动在P 点引起的合振动为:

y p =y p1=y p2

++-=)22c o s (λπλπ

ωp

x t A )2c o s (πλπω+-p

x t A

)2s i n ()s i n (2λ

πλπλπω-?--p x t A (2)当波的频率v=400Hz ,波速u=400m/s 时,由u=v λ可知,波长m v

u 1==

λ。 将λ=1m 代入①式,①式中的x p 换成变量x ,得驻波方程为:

y=-2Asin(ωt -π)·sin(2πx -π)

=-2Asin ωtsin2πx

为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:

sin2πx=0

即 2πx=k π (k=0,1,2…)

得 2k x = 在O 与Q 之间(包括O 、Q 两点在内),因干涉而静止的点的位置为:

m m x 1,2

1,0= 【17-16】解 相干波合成后从小值到相邻极大值之间,即声音减弱一次的位相差为π,相应的波程差为

2λ,C 管每伸长h=8cm ,声音减弱一次,则 2λ

=h

所以λ=2h=16cm=0.16m

声波的频率为:

Hz Hz u

v 212516

.0340===λ 【17-17】解 (1)因为波源的振动方程为:y=acos ωt

故波源向反射面发出的沿x 轴负方向的行波波动表达式为:

)2cos(x t A y λπ

ω+=负

沿x 轴正方向传播的行波表达式为:

)2cos(x t A y λπ

ω-=正

(2)因为沿x 轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为:

)2cos(λπωx

t A y +=' 将4

3λ-=x 代入上式,得: )23cos(πω+

='t A y 因为反射面有半波损失,故作为反射波波源的振动表达式为:

)2

cos()23cos(πωππω-=+-=t A t A y 故反射波的行波波动方程分别为:

在MN -yO 区域内

)]}(43[22cos{x t A Y yO MN ---

-=-λλππ

ω ]2322cos[x x t A ---

=λππω ]22cos[πλπω--=x

t A

或 )2cos(λπωx t A y yO MN -

=- 在x>0区域内

)]4

3(22cos[0x t A y x +--=>λλππ

ω )2cos(λ

πωx

t A -= 由此可见,反射波波源所发生的沿x 轴正方向传播的行波,无论在MN -yO 区域,还是在x>0区域,其波动议程皆可表示为:

)2cos(λπωx

t A y -=反

(3)在MN -yO 区域内,入射波与反射波叠加后的波动表达式为:

y 合=y 负+y 反

)2c o s ()2c o s (λπωλπωx t A x t A -++

=

t x A ωλπc o s 2c o s 2?=

这是驻波方程。

干涉极大条件为:A x A 2|2cos

2|=λπ (波腹) 即干涉极大的坐标为:

2,0λ

-=x 干涉极小条件为:0|2cos

2|=λπx A (波节) 即干涉极小的坐标为:

λλ

4

3,4-=x (4)在x>0区域内,入射波与反射波叠加后的波动表达式为:

y 合=y 正+y 反

)2c o s ()2c o s (λπωλπωx t A x

t A -

+-= )2c o s (2λ

πωx

t A -= 这是振幅为2A 的沿x 轴正方向传播的行波。

【17-18】解 (1)由波源的振动表达式:

m t y )22cos(5.0π

π+= 知,入射波的波动表达式为:

m x t y )222cos(5.0π

λππλ+-= m x t )2

42c o s (5.0πππ+-= 因反射点有半波损失,将x=2m 人入射波动表达式,则反射波的振动表达式为: m t y )2

132cos(5.0ππ-= 反射波的波动表达式为:

m x t y ??

????---=213)2(22cos 5.0πλππ反 m x t ??

????-+=22942cos 5.0πππ (2)入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻波,波动表达式为: y 合=y λ+y 反

m x x x t )2

2942cos(5.0)242cos(5.0ππππππ-+++-= m t x )72c o s ()2

154cos(5.0ππππ--=

即为驻波的波动表达式。

(3)因 0)2154cos(=-

ππx 有: 2)12(2154πππ+=-

k x 故波节位置为: m k x 4

8+= 因为波源与反射点之间距离为2m ,故k 只能取

k=0,-1,-2,…,-8

因为两个相邻的波节的距离为

m 25.02=λ,因此包括波源及反射点两个波在内共有9个波节。

波节坐标为:

x=0,0.25m,0.5m,0.75m,1m,1.25m,1.5m,1.75m,2m

因 1|)2154cos(|=-

ππx 有: πππk x =-2

154 故波腹的位置为:m k x 8152+=

k=0,-1,-2,…,-7

波腹坐标为:

x=0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m

【17-19】解 (1)波源远离观察者运动,故υs 应取负值,观察者听到的声音频率为: Hz Hz v u u v s 4.97110010

340340=?+=-='υ (2)波源向着悬崖运动,υs 应取正值,从悬崖反射的声音频率为: Hz Hz v u u v s 3.103010010

340340=?-=-=''υ (3)拍频?v=v ″-v ′(1030.3-971.4)Hz=58.9Hz

理论上应有58.9拍,但因为强弱相差太悬殊,事实上可能听不出拍频。