2015高考数学理科全国一卷及详解答案
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z
1z
-
=i，则|z|=
（A）1 （B（C（D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=
（A）（B（C）
1
2
-（D）
1
2
（3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为
（A）?n∈N, 2n>2n（B）? n∈N, 2n≤2n
（C）?n∈N, 2n≤2n（D）? n∈N, 2n=2n
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
（5）已知00(,)M x y 是双曲线2
2:12
x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是
（A ）（， （B ）（，
（C ）（3-
，3
） （D ）（3-，3）
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则
（A ）1433AD AB AC =-
+ (B) 14
33
AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =
+ (D) 41
33
AD AB AC =-
（8）函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为
(A)13(,),44k k k Z ππ-
+∈ (B) 13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -
+∈ (D) 13
(2,2),44
k k k Z -+∈
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
（10）2
5
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =
（A ）1
（B ）2
（C ）4 （D ）8
12. 设函数()(21)x
f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，
则a 的取值范围是（ ） A.3[,1)2e - B. 33[,)24e - C. 33[,)24e D. 3
[,1)2e
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =
（14）一个圆经过椭圆22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。 （15）若,x y 满足约束条件10,
0,40,x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
则y x 的最大值为 .
（16）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式：
（Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{}n b 的前n 项和。 （18）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平
面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。 （1）证明：平面AEC ⊥平面AFC
（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x
（单位：千元）对
年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中i w =
8
1
i i w w ==∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传
费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-。根据（Ⅱ）的结果回答下
列问题： （i ）
年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为：
^
^^
1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i u u v v v u u u βαβ==--=
=--∑∑
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线2
:4
x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交与,M N 两点，
（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。
（21）（本小题满分12分）
已知函数3
1
(),()ln 4
f x x ax
g x x =++
=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
（Ⅱ）用min
{}
,m n 表示m,n 中的最小值，设函数
}{()min (),()
(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是
O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E
（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是
O 的切线；
（II ） 若OA =，求∠ACB 的大小.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中。直线1C :
2x =-，圆2C ：()()22
121x y -+-=,以坐标原点
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；
（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求
2C MN 的面积
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围
参考答案
一．选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D
（9）C
（10）C
（11）B
（12）D
二．填空题 （13）1
（14）22
3
25()2
4
x y -+= （15）3 （16）
三．解答题 （17）解：
（Ⅰ）由2243n n n a a S +=+，可知2
111243n n n a a S ++++=+
可得22
1112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即
22
11112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-
由于0n a >，可得12n n a a +-=
又2
111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =
所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+…………………6分
（Ⅱ）由21n a n =+可知
111111
()(21)(23)22123
n n n b a a n n n n +=
==-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则
12...n n T b b b =+++
1111111[()()...()]235572123n n =-+-++-++ 3(23)
n
n =
+ (12)
分
（18）解：
（Ⅰ）连结BD ，设BD AC G ?=，连结,,EG FG EF
在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=，可得3AG GC ==
由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥
在Rt EBG 中，可得2BE =，故2
2
DF =
在Rt FDG 中，可得6FG =
， 在直角梯形BDFE 中，由22,2,BD BE DF ===
，可得32EF = 从而222
EG FG EF +=，所以EG FG ⊥ 又AC FG G ?=，可得EG ⊥平面AFC
因为EG ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC …………………………6分
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方
向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得
(0,3,0)A -，(1,0,2)E ，2
(1,0,)2
F -，(0,3,0)C ，
所以2
(1,3,2),(1,3,
)2
AE CF ==--…………………………………10分
故cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF <>=
=- 所以直线AE 与直线CF
所成角的余弦值为
3
…………………………12分 （19）解：
（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归
方程类型………………2分
（Ⅱ）令w =
y 关于w 的线性回归方程，由于
8
^
1
8
2
1
()()
108.8
681.6
()
i
i
i i
i w w y y d w w ==--=
=
=-∑∑ ^^
56368 6.8100.6c y d w =-=-?=
所以y
关于w 的线性回归方程为^
100.668y w =+，因此y 关于x 的线性回归
方程^
100.6
y =+6分 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值
^
100.6576.6y =+=
年利润z 的预报值
^
576.60.24966.32z
=?-=…………………………………9分
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值
^
0.2(100.620.12z x x =+-=-+
13.6
6.8
2
==，即46.24
x=时，
^
z取得最大值，
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分（20）解：
（Ⅰ）由题设可得),()
M a N a
-
，或(),)
M a N a
-
又
2
x
y'=，故
2
4
x
y=
在x=
C
在点)a处
的切线方程为y a x
-=-
y a
--=
2
4
x
y=
在x=
，C
在点()a
-处的切线方程
为y a x
-=+
y a
++=
故所求切线方程为0
y a
--=
和0
y a
++= (5)
分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设(0,)
P b为符合题意的点，
1122
(,),(,)
M x y N x y，直线,
PM PN的斜率分别
为
12
,k k
将y kx a
=+代入C的方程得2440
x kx a
--=
故
1212
4,4
x x k x x a
+==-
从而12
12
12
y b y b
k k
x x
--
+=+
1212
12
2()()
kx x a b x x
x x
+-+
=
()
k a b a
+=
当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故
OPM OPN ∠=∠，所以点(0,)P a -符合题意…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则00()0,()0f x f x '==，即
3
0020
10,
430.x ax x a ?++=??
?+=? 解得013,24
x a =
=- 因此，当3
4
a =-
时，x 轴为曲线()y f x =的切线…………………………5分 （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<，
故()h x 在(1,)+∞无零点
当1x =时，若54a ≥-
，则5
(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)04
f a h f
g g =+≥===，故
1
x =是()h x 的零点；若5
4
a <-，则
(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)0f h f g f =<==<，
故1x =不是()h x 的零点。 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->。所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数。
（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2
()3f x x a '=+在（0，1）无零点，故()f x 在（0，
1）单调，而15
(0),(1)44
f f a =
=+，所以，当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当0a ≥时，()f x 在（0，1）没有零点。
（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在(0,)3a -
单调递减，在(,1)3
a
-单调递增，故在（0，1）中，当3
a
x =-
时，()f x 取得最小值，最小值为21()3334
a a a f -=-+。
①()03a f -
>，即3
04a -<<，()f x 在（0，1）无零点； ②()03a f -
=，即3
4a =-，则()f x 在（0，1）有唯一零点； ③()03a f -
<，即334a -<<-，由于15
(0),(1)44
f f a ==+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0，1）有两个零点；当534
a -<≤-时
，
()
f x 在（0，1）有一个零
点………………………………………………10分
综上，当34a >-
或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或5
4
a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -<<-
时，()h x 有三个零点……………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）连结AE ，由已知得，,AE BC AC AB ⊥⊥
在Rt AEC 中，由已知得，DE DC =，故DEC DCE ∠=∠ 连结OE ，则OBE OEB ∠=∠
又90ACB ABC ∠+∠=，所以90DEC OEB ∠+∠=，故90OED ∠=，
DE 是O 的切线……………………………………5分
（Ⅱ）设1,CE AE x ==
，由已知得AB BE ==由射影定理可得，2
AE CE BE =
，所以2x ，即4
2
120x x +-=
可得x =
60ACB ∠=……………………………10分
（23）解：
（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极
坐标方程为2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=……………………………5分
（Ⅱ）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=
，得240ρ-+=
，解得
12ρρ==
，故12ρρ-
||MN =
由于2C 的半径为1，所以2C MN 的面积为
1
2
………………………10分 （24）解：
（Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->
当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得
2
13
x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤< 所以()1f x >的解集为2
{|
2}3
x x <<…………………5分 （Ⅱ）由题设可得，12,1,()312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --<-??
=+--≤≤??-++>?
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21
(
,0)3
a A -，
(21,0)B a +，(,1)C a a +，ABC 的面积为22
(1)3
a +
由题设得
22
(1)63
a +>，故2a > 所以a 的取值范围为(2,)+∞………………………………10分