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新数学高考第一次模拟试卷附答案(1)

一、选择题

1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24

B ．16

C ．8

D ．12

2．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的

概率是( ) A ．

310

B ．

C ．

D ．

3．若43i z =+，则z

=（） A ．1

B ．1-

C ．

4355

i + D ．

4355

i - 4．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（） A ．

110

B ．

310

C ．

D ．

5．已知集合{}{}

x -1

C ．（-1,0）

D ．（1,2）

6．如果

α<<

，那么下列不等式成立的是（）

A ．sin cos tan ααα<<

B ．tan sin cos ααα<<

C ．cos sin tan ααα<<

D ．cos tan sin ααα<<

7．函数3

()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞

C ．(,0)-∞

D ．(0,2)

8．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I

A ．{0}

B ．{1}

C ．{1,2}

D ．{0,1,2}

9．若,αβv

v 是一组基底,向量γv =x αu v +y βu v (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv 在基底αu v ,βu v 下的坐标,现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v

=(-1,1), n v

=(1,2)下的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(0,-2)

C ．(-2,0)

D ．(0,2) 10．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则

A ．1,1a b ==

B ．1,1a b =-=

C ．1,1a b ==-

D ．1,1a b =-=-

11．已知向量()1,1m λ=+r ，()2,2n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-r r r r

，则λ=（） A ．4-

B ．3-

C ．2-

D ．1-

12．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径

的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2

D ．5

二、填空题

13．曲线2

y x x

在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688

P A B P B C P A B C ?=

?=??=，则()P B =_____．

15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则

m n

+的最小值为 16．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120?，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．

17．双曲线22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直

线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为

M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于． 19．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则

ACB =∠______________.

20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.

三、解答题

21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2AB AD ==

，

2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点E 到平面ACD 的距离．

22．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*

1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比

数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*221

()log log n n n c n N a a +=

∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：

1n T <.

23．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17

．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．

24．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点为

)

5,05

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

25．已知0,0a b >>.

(1)

211a b

≥

+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：22

4a b a b

+≥-．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】

根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。【详解】

根据题意，可分三步进行分析：

（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有2

22A =种情

况；

（2）将这个整体与英语全排列，有2

22A =中顺序，排好后，有3个空位；

（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224?=种，所以不同的排课方法的种数是22416??=种，故选B 。【点睛】

本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

2．A

解析：A 【解析】【分析】

基本事件总数32

52n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212

232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．

【详解】

由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，

因为基本事件总数32

52n C C 10==，

他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212

232m C C C 3==，

所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10

==．故选：A ．【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3．D

解析：D 【解析】【详解】

由题意可得：5z =

=，且：43z i =-，

据此有：4343555

z i i z -==-. 本题选择D 选项.

4．C

解析：C 【解析】【分析】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤，首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525?=种情况，当x y ≤时，可能的情况如下表：

5 5 1

()255

P x y ≤=

=，故本题选C .

【点睛】

本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.

5．A

解析：A 【解析】

利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．

6．C

解析：C 【解析】【分析】

分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】

如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

7．D

解析：D 【解析】【分析】

对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】

32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-

减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】

本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.

8．C

解析：C 【解析】【分析】

由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】

解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2?= 故答案选C. 【点睛】

本题主要考查交集的运算，属于基础题．

9．D

解析：D 【解析】【分析】【详解】

由已知αu r

=-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r

=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),

则由224λμλμ-+=??

+=?解得0

2λμ=??=?

∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r

在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2).

10．C

解析：C 【解析】【分析】

利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】

因为()a i i b i +=+，即1ai b i -+=+，

因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-，故选C. 【点睛】

本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.

11．B

解析：B 【解析】【分析】【详解】

∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴()()0m n m n +?-=r r r r

. ∴

，即2

(1)1[(2)4]0λλ++-++=，

∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】向量的坐标运算

12．A

解析：A 【解析】【分析】

准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】

设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，

又||PQ OF c ==Q ，||,2

PA PA ∴

=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2

c OA =

． ,22c c P ??

∴ ???

，又P 点在圆222x y a +=上，

22244c c a ∴+=，即2222

2,22c c a e a

=∴==． 2e ∴=，故选A ．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

二、填空题

13．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即解析：1y x =+

【解析】

设()y f x =，则21

()2f x x x

'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线2

y x x

在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=?-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是

000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不

存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．

14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题解析：

【解析】【分析】【详解】

分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B . 详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===, 因为()()()111,,688

P A B P B C P A B C ?=

?=??=，所以()()16118118ab b c ab c ?

=??

-=??

所以111a ,b ,324

c =

== 所以()1

P B 2

点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．

15．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误

解析：8 【解析】

∵函数log 1

1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中

0mn >，

∴21m n +=，又0mn >，

∴0m >，0n >，∴()12124 248n m

m n m n m n m n

+=+?+=++≥（），（当且仅当1

n m ==时取“=”），故答案为8.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

16．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的

【解析】【分析】

将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】

过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，

11BC C D BD ===

1cos 4C BD ∠=

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

17．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容

解析：2 【解析】

试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为

y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以

22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．

【考点】双曲线的性质

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为

的形式，当

，

时为椭圆，当

时为双曲线.

18．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则

CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C?AB?D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为

解析：1

【解析】【分析】【详解】

设AB =2,作CO ⊥面ABDE

OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C ?AB ?D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，

结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，

3,11(),2212

AN EM CH AN

AC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴?=

u u u r

u u u

r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN 1

126

33=?，

19．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据解析：30°

【解析】【分析】

作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解

cos ACB ∠即可. 【详解】

如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=?,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=?,∴103BC m =. 在ABC V 中,2

10103103cos 210103

ACB +-∠=

??30ACB ∠=?.

故答案为：30°

【点睛】

本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.

20．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图

解析：101 5

【解析】

【分析】

先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】

由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，

因为平面SAB⊥平面ABCD，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，

令1r 为SAB ?外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23

SBA ∠=,

∴sin

SBA ∠=

，∴132sin r SBA ==∠，∴1r =，又OF=12AD =, 可得222

1R r OF =+，

计算得，2

81101

12020R =

+= ，所以2

101

S R ππ==. 故答案为

101

π 【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.

三、解答题

21．（1）见解析（2（3

【解析】【分析】

（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知

CO ⊥BD ．在△AOC 中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；

（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME

中，11

EM AB OE DC 1222

====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；

（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD 中，CA CD 2AD ===

，

ACD

1S 2==V ，由AO ＝1，知2CDE 1S 22==V ，由此能求出点E 到平面ACD 的距离．【详解】

（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．

在△AOC 中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，

∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．

（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME 中，1211222

EM AB OE DC =

===，， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC

上的中线，∴1

OM AC =

=， ∴111

2242

21cos OEM +

-∠==??

， ∴异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦为

（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．

E ACD A CDE V V --=Q ，

ACD CDE h S AO S ∴=V V ．．．，在△ACD 中，22CA CD AD ===

，，

∴2

127

24222ACD

S ??=??-= ? ???

V ， ∵AO ＝1，213322CDE S =

??=

V ， ∴3

12127

CDE ACD

AO S h S ?

=V V ，

∴点E 到平面ACD 的距离为

21．

【点睛】

本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．

22．（1）2n

n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.

【解析】【分析】

（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简

221

log log n n n c a a +=

（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．

【详解】

（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①

n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②

①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8

∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n

∴(

)1231

212222222

212

n n n n b +-=++++==--L ，

∴b n ＝2n

﹣1．

（2）证明：由已知：()2211111

1n n 1

n n n c log a log a n n +=

==-++．

∴1231111111

111223n n 11

n c c c c n L L ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和. 23．(1) ∠A =π3 (2) AC

边上的高为2

【解析】

分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11

sin 22

ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–

17，∴B ∈（π

，π），∴

sin B =243

1cos 7

B -=．由正弦定理得

sin sin a b A B = ? 7sin A =8

437

，∴sin A =

．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．

（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =

311432727???-+?

???=33

．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =

h BC ，∴h =sin BC C ?=3333

7142

?=，∴AC 边上的高为

．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

24．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】【分析】【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

5533

a a =?=，且有2235

b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

2000094189360k

x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

，化简得()2

940y kx k ---=，即()()2

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

25．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】

(1) 已知0,0a b >>直接对

a b

+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．【详解】

证明：

(1)2 “”

11a b a b ≤===+时取； (2)()()()

244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b

-+-++===-+≥=----

，当

且仅当11a b =

=-+

或11a b ==-- 【点睛】

“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．

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黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

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