热力学与统计物理答案(汪志诚)

第一章 热力学的基本规律

习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。 解：由得：nRT PV = V n R T

P P n R T V =

=

; 所以, T P nR V T V V P 1

1)(1==??=α

T PV Rn

T P P V /1)(1==??=β

P P

n R T V P V V T T /11

1)(12=--=??-=κ

习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:?-=)(ln dp dT V T κα如果1

T

α=

1T p κ= ,试求物态方程。

解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()(

??+??=, 因为T T p p

V

V T V V )(1,)(1??-=??=κα 所以, dp dT V

dV

dp V dT V dV T T κακα-=-=,

所以, ?-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.

CT pV p

dp

T dT V =-=?

:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和

1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ?;，由定义得：

74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=?=V x T κ

所以，410*07.4,622-=?=V p x n

习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是

0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为

ηα)(1T

L L ??=

等杨氏摸量定义为T L A L Y )(??=η

其中A 是金属丝的截面积，一般说

来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由1T 降2T 时，其张力的增加为

)(12T T YA --=?αη

解： ),(,0),,(T L L T L f ηη==

所以， dT T

L

d L dL T ηηη)()(

??+??= 因 AY L

L L L T T T =

????=??)(;)(1)(

ηη

η

dT AY d dT AY

d dL αηαη

-=-==,,

;0所以 所以, )(12T T YA --=?αη

习题1.7在C ?25下，压强在0至1000n p 之间，测得水的体积

13263)10046.010715.0066.18(---?+?-=mol cm p p V 如果保持温度不变，将1mol

的水从1n p 加压至1000n p ，求外界所做的功。 解：外界对水做功:

J

dp p P Vdp

W n

n

P P p

p 1.33)3

1106.410715.0066.18(3

8

100030

=?

?+?-=

=--?? 习题1.8解：外界所作的功：

?

?=

L

L dL J W 0

dL L L L L bT L

L ????

?

??-=02200

dT

L d AY

L dL T L L αμαη+=??=;)(

L

L L L L bT 0

22

0202????

????+=0

08L L bT +=8560TL = 习题1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压

强p 0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U 与原来大气中的0U 之差为000V p U U =-，其中0V 是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。

解：假设先前的气体状态是（P 0，dV 0,T 0）内能是u 0，当把这些气体充入一个盒

子时，状态为（P 0,dV ,T ）这时的内能为u ，压缩气体所做的功为：00dV p ,依绝热过程的热力学第一定律， 得 ()000

000=+-?dV P U U V

积分得 000V p U U =-

对于理想气体，上式变为 ()0

01v R T T T vc V =- 故有 ()01T R c T c V V += 所以 001V T c c T V

P

γ==

对于等压过程 010

1V T T V V γ==

习题 1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：A →B 等温过程

B

A

V V RT M

Q ln

11μ

=

B →

C 绝热过程 C →

D 等温吸热

C

D

V V RT M

Q ln

22μ

=

D →A 绝热， 2

11

1Q Q Q A Q -==

η

C

D B A B

A

V V RT M V V RT M

V V RT M ln ln ln

211μμμ-=

由绝热过程泊松方程： 1

21

1--=r C

r B

V T V T ；1

11

2--=r A

r D

V T V T

∴

D A C B V V V V =； C

D B A V V V V = ∴2

12

212212111T T T T T T T T T T T -+=-+-=-=

η

将功A 直接转化为热量1Q ，令高温物体吸收。有A=Q 1 ∴11

==

A

Q η。 习题1.16假设理想气体的C p 和C V 之比γ是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和V 的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：

()()?

-=T

dT

T F 1ln γ

解：准静态绝热过程中：0=dQ ，∴pdV dU -= (1)

对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为

dT C dU v = (2) 物态方程 V

n R T

P n R T pV =?= (3) (2)，(3)代入(1)得： dV V

nRT

dT C V -=

（其中1-=

γnR C V ） ()dT T dT nRT

nR

dT nRT C V dV V 111

-=-<=-γγ

()dT V dV

??-=-

11

γ 关系式

()

dT V ?

-=-11

ln 1γ γ为T 的函数 ∴V -1为T 的函数。∴V

T F 1)(=

1)(=V T F 。

第二章 均匀物质的热力学性质

习题2.1温度维持为25℃, 压强在0至1000p n 之间，测得水的实验数据如下：

（

T

V

??）p =(4.5310-3+1.4310-6P)cm 32mol -12K -1 若在25℃的恒温下将水从1p n 加压到1000p n , 求水的熵增和从外界吸收的热量。

解：利用麦氏关系：p

T V

)(?? =-T p

S )(?? 求熵增?S ; 从而?Q = T ?S ,?S =-0.572Jmol -12K -1 Q =-157J 2mol -1

习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。 解：由题意得： )()(V f T V k p +=。

因V 不变,T 、p 升高,故k (V )>0

据麦氏关系(2.2.3)式得: T V S )(

?? =V T

p

)(?? =k (V ) (k (V )>0) ?+=?);()(T g dV V k S

由于k (V )>0, 当V 升高时(或V 0→V ,V >V 0),于是

?>0)(dV V k

?T 不变时,S 随V 的升高而升高。

2.3设一物质的物态方程具有以下形式T V f P )(=，试证明其内能与体积无关。

解： T V f P )(= ，(

V

T V U ??),()T =T V T P

)(?? - p = )()(V Tf V Tf - =0 得证。

习题2.4求证：(ⅰ) H P S )(?? <0 (ⅱ) U V

S

)(?? >0

证: 由式(2.1.2)得： V d P

T d S dH += 等H 过程:H H VdP TdS )()(-=

?（

P S ??）H =-T

V

<0 (V >0; T >0) 由基本方程：PdV TdS dU -=

dV T

p

dU T dS +=?1;

?（

V

S

??）U =T p >0.

习题2.5已知 T V

U

)(

?? =0 , 求证 T p U )(??=0。 解： 由式(2.2.7)得：

T V U )(??=T V T p )(??-p ; ?T V U )(??=0 ; V T p T p )(??= T V U )(

?? =

),(),(T V T U ??=),(),(T p T U ??),(),(T V T p ??=0=T p U )(??T V

p

)(?? ∵ T

V p

)(??≠0 ; ?T p

U )(??=0。 习题2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下

温度随体积的增减。

解： F =U-TS , 将自由能F 视为P ,V 的函数; F =F (p ,V )

SdT

TdS dU dF --=),(V p SdT TdS pdV TdS ---=

p d V

V p S d T --=),( =

???

????p

V S ()()p V p S ,,??=()()???p T p S ,,()()p V p T ,,??()()()()p T p V p T p S ,,,,????==p

p T V T S ?

?? ???????

????

由关系T C p =p T S ??? ????;?=

???

????p

V S ?T C p p V T ??? ????。 习题 2.7 试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大

于在节流过程中的温度降落。（提示:证明S p T ???? ????-H

p T ????

????>0）

证：()??

?

????????

????+???? ??????? ????+???? ????=???

????+???? ????==???

????+?

??? ????==dS S H dp p H H T dp p T dH H T dp p T dT H p T T dS S T dp p T dT S p T T p S p H p H

p S

)

,(1)

,(

联立（1），

（2）式

得：

S p T ???? ????-H p T ???? ????=p H T ??? ????S p H ???? ????=p

S T

H

p H ???

?????

???

????=p S C p H ???? ????

据： pdV TdS dU -=

熵不变时，（dS =0）, pdV dU -=

Vdp TdS dH += S

p

H ???? ?

???=V ?S p T ???? ????-H p T ???? ????=0>p

C V

； 原题得证。 习题2.8实验发现,一气体的压强p 与比容v 的乘积及内能U 都只是温度的函数,

即

pv =f (T ); U =U (T )，试据热力学理论,讨论该气体物态方程可能具有什么形式。 解: pV =CT ，其中C 是一个常数。

）（）；（T U U T f pV ==

由式（2.2.7）及)(T U U =

? T V U ???

????=0=T

V

T p ???

????p -； ? T V

T p ??? ????=p

）（2 dS S T dp p H H T p T p S p H ???

????+???

????????? ????????

????+???? ?

???=

即：V

T f T f V T )

()(1=

'?

?

T

f

dT df =；T f T dT f df α=?= 习题2.9证明：T V

V

C )(?? = ,)(22V T p T ??T p p C )(

??=- ,)(22p T V T ??并由此导出： )(220

dV T p T C C V V

V V

V ??+=?

； )(220

dp T V T C C p p

p p p ??-=? 根据以上两式证明,理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T 的函数。

证：据式（2.2.5）： =V C V T U ??? ????=T V

T S ???

????

T V V C ???

????=T ???? ?????V T S 2=T V

T p ????

????22 类似可证： T

p

p

C ????

????=-T ????

????22T V 习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数,与比体积无关。

证： 范氏气体 ()RT b v v a p =-??? ?

?

+2

由式(2.2.7) ? T v U ??? ????=T V

T p ???

????-p =T

2v a p b v R =-- T v U ???

????=2v

a ?)(),(0T f v a U v T U +-=

=V C V

T U ???

????=)(T f ' ；与v 无关。

习题2.11证明理想气体的摩尔自由能可以表为：

00ln Ts v R dT T

C T u dT C f V

V

---+=?

? =v R Ts u dT c T

dT

T v

ln 002--+-??

解：Ts u f -=；sdT Tds du df --=，对于理想气体

dT C du V =，)(T u u =

V

T

选上图示积分路径，

过程Ⅰ：??

==T

dT C T dQ

s V

L

dT C u u V =-0；?

=-T

dT

C s s V 0 001Ts T

dT

C T u dT C Ts u f V V --+=-=??

?

过程Ⅱ：0=?u

Q T

Q

T Ts u f ?-=??-=-?=?2 0=?u ，根据热力学第一定律

0ln 0

v v RT v dv RT pdV Q V

V ===???

002

1ln v v RT Ts dT T C T u dT C f f f f V V +--+=?+?=?=?

? 习题2.14一弹簧在恒温下的恢复力X 与其伸长x 成正比,即.X = -Ax ；今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能F 、熵S 和内能U 的表达式分别为；

22

1)0,().(Ax T F x T F +

=

dT

dA

x T S x T S 2)0,(),(2-=

2

)(21)0.(),(x dT

dA T A T U x T U -+=

解： ),();(,x T U U T A A Ax X ==-=

=dU dT T U x ??? ????+dx x U T

???

????

?+-=;)(x d x T A S d T dF S T F x

-=??? ????;=x T A )(T x F ???

???? ?)()(2

1

),(2T B x T A T x F +=

-=?S X

T F ???

????=dT T dB x dT T dA )()(212--

由于TS U F -=, dT

dB

T

x dT dA T T B Ax TS F U --+=

+=?2221)(21

=??

?

???-+??????-dT dB T T B x dT T dA T T A )()()(212 ∵X =0时，U =0,即不考虑自身因温度而带来的能量。

实际上，dT dB T T B -)(=0 或 dT dB

T T B -)(=)0,(T U

即得：2

)()(21)0,(),(x dT T dA T T A T U X T U ??

????-=

-

2

2

1)0,(),(Ax T F T X F +=; dT dA x T S T X S 2)0,(),(2-

= 习题2.15承前1.5和1.8题.试求将理想弹性体等温可逆地由L 0拉长至2L 0时所

吸收的热和内能的变化。

解：设自由能为W , dW =-SdT +Fdl

???

? ??-==???

????2200L L L L bT F L W T

),(2),(000

2L T A L L L L bT T L W +???? ??+=? 显然，当0L L =时有：),(2),(0000L T A L L bT T L W +??

?

??+=

bT L L T W L T A 0002

3

),(),(-

=?；

),(232),(002

00

2L T W L L L L L bT L T W +????

??-+=? ??? ?

???-???? ??-+--???? ??-+-=??? ????-=T L T W L L L L bT L L L L L b L W S ),(23222320020202002 （注

)(00T L L =）

??? ????-?????? ??+-+???? ??-+-=T L T W T L L L L L bT L L L L L b ),(232223200020

202

002 000

),(),(S T L T W T L T W L L -=?

??

????=??= 00020

22

002

02322)223(S T L L L L L bT L L L L L b S +?????? ??+-+--=? )2

5

1(0020

αT bL S

S

L L L L --=-==

[

]??

?

??--==?=?==0

22510

αT bTL S

S

T S T Q L L L L

进而求U ?(略)。

习题2.16承2.15题，试求弹簧性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化。

解：上接ex.2.15， L

T S C L S T S L S T L T ?

?? ????-=??=??? ????),(),( ???

????

?

???? ??+++-=

03033

3

2021ααL L T L L L C TL L

习题2.19计算辐射能在等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量。

解：V aT S 334=；等T 过程：)(3

4

124V V aT S T Q -=?=

习题2.20试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环,计算其效率。 解： 吸

放吸

吸Q Q Q Q W

-==

η， ()21T T >

)0( pdV TdS dU -=

T 1线上： )1(311 dV V

U

dU pdV dU dS T +=+=

4

1aT V

U =；由V aT U 4=

dV aT VdT aT dU 433+=?；

在等T 过程中： ）（24

1 dV aT dU =

结合(0).(1).(2).式得：

14

1414113

431V aT dV aT aT S T Q ?=+=?=?）（吸

类似 24

223

4V aT S T Q ?=?=吸

绝热 dV V

U

pdV dU dS 30-=-=?=；

C V U V dV U dU =??=+?31

03；(常数)

代入a

b

d c V V V V V aT uV U =?==；4 12313

112414

21)()(1)

()

(11T T

V V T V V T T T V V T V V T Q Q d c d c d c a b -=--?-=---=-

=吸

放η

习题2.21如下图所示，电介质的介电常数E

D

T =

)(ε与温度有关，试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差。 解：当电路闭合时，电容器电场恒定

E E T

S

T C )(??=

当电路断开时，电容器电荷恒定

D D T

S

T C )(??=

EdD TdS dU += EdD SdT dF +-= D T T

E

D S )()(??-=??，因而 2

32

)()()()()(])()[(

dT

d E D T T D T E T T

D

D S T T S T S T C C

E D E T D E D E ε=????-=????=??-??=- 习题2.22已知顺磁物质的磁化强度为：H T

C

m =，若维持物质温度不变,使磁场由0增至H,求磁化热。

解：;H T

C

m = mV M =；据式(2.7.7)

T H S ??? ?????=0

μV H T m ??? ????=H T C ?

?

?

??-20μ 等T 下： 22

00

0H T CV HdH T C V S T Q H μμ?-=-

=?=?? 习题2.23已知超导体的磁感应强度()00=+=m H B μ；求证:(ⅰ)C m 与m 无关，只是T 的函数，其中C m 是在磁化强度m 保持不变时的热容量；

(ⅱ)02

02

U m dT C U m +-

=?μ；(ⅲ)0S dT T

C S m

+=?

解：超导体 ()m H m H M B -=?=+=00

(ⅰ) T C H =H

T S ???

???? (式2.7.9)

∵m H -=；T C C m H ==?H

T S ???

????

(ⅱ) 据式(2.7.3). HdM TdS dU 0μ+=;mV M =

代入m C 表达式

()?+-=00U mVdm M dT C U m

，其中U 0 为0K 时的内能。

(ⅲ) 由(ii)中已应用了dT C TdS m =

?T C T S m m

=??? ????；?0S dT T C S m +=? 〈忽略因体积变化带来的影响〉。

习题2.24实验测得顺磁介质的磁化率)(T χ。如果忽略其体积的变化,试求特性

函数f(m,t),并导出内能和熵。

解： 显然χ只与T 有关；)(T χ=T

H m ???

??；()T H m m ,=

H d M T d S dU 0μ+=; TS U f -=; SdT TdS dU df --=

02

02U Vm M dT C m +-=?

?HdM SdT df 0μ+-=; ?????????

????+??? ????=dT T m dH H m V dM H T

dH H m HV dT T m HV S df T H ???

????+?????

???? ???+-=?00μμ

()H T V H f χμ0=??

?

????；()()()T f m V T f H T V f 02

002022+=+=?χ

μχμ

f 既已知：-=S ()02

202S dT T d m V T f m

+?=???

????χχμ HdM TdS dU 0μ+=；TS U f -=

002

202022S f dT d m TV m V TS f U ++?+=+=?χ

χ

μχμ 第三章 单元系的相变

习题3.2试由0>v C 及0)(

p C 及0)(

p

。 证： 由式(2.2.1) T C C V p =-?V T p ??? ???? p T V ???

?

??? =P C

p T H ??? ????=p T S T ??? ????;=V C V T U ??? ????V

T S T ???

????=

=dp dV V p T ??? ????dT T p V ???

????+

=dp +??? ????dV V p S dS S p V

??? ????

=+???

????dV V p S V

S p ??? ?????????????

????+??? ????dT T S dV V S V T

?=??? ????T V p V S p ???

????T V S ??? ????+S

V p ??? ???? (1) =??? ????V T p V S p ??? ????T

T S ???

???? (2)

由麦氏关系(2.2.3)代入(1)式中 ?=?

?? ????S

V T -V S p ???

???? ?=??? ????T V p -??? ????S V p S V T ???

?

???=??? ????T V S -

???

????S

V p ()()???S V S T ,,()()T V T S ,,?? =+?

??

????S V p ()()???T V S T ,,()()???S V T V ,,()()T V S T ,,?? =+???

????S V p ()()???S V T V ,,()()2

,,????????T V S T =+?

?? ????S V p V

S T ??? ????()()2,,??

??????T V S T 由式(2.2.5) ?V C V T S T ??? ????=；即0>=

???

????V

V C T S T . 于是： 0>=??? ????T V p +???

????S V p 正数

于是： S

V p ???

????<0

=P C P T S T ??? ????()()=??=p T p S T ,,()()???V S p S T ,,()()=??p T V S ,,?

??? ????S

V p T ()()p T V S ,,?? ???? ????=S V p T ()()???V T V S ,,()()=??p T V T ,,????

????S V p T V T S ??? ????T

p V ???? ????? ???? ????=S

V p V T

C p V

????? ?

??? 0>V C ; 因而0>P C

习题3.4 求证：（1）-=??? ????n V T ,μV T n S ,??? ????；（2）-=???? ????n

T p ,μp T n V ,???

???? 证： (1) 开系吉布斯自由能

dn Vdp SdT dG μ++-= , ),(T V p p = ?dn dT T p dV V p V SdT dG V T

μ+????????? ????+??? ????+-=

dn dV V P V dT T P V S n T n V μ+????????? ????+???

??

???? ????+-=

?V

S T G n V +-=???

????,V

T p ???

???? ① V V G n T =??? ????,T V p ??? ???? ② μ=??? ????V

T n G , ③ 由式 ① ?n

V n V T G T p V S ,???

????-????????? ????=

V

T n S ,?

??

?????V

T n V n T G ,,??

??

??? ?????????????? ?????-=V n T G ???? ?????-=2V T n G ???? ?????-=2 V T n S ,??? ????n

V T ,???

????-=μ 第(1)式得证。 (2) 由式(3.2.6)得：

p T n V ,???

????T n p G ???? ?????=2T p n G ?

??? ?????=2n

T p ,???? ????=μ 习题3.7试证明在相变中物质摩尔内能的变化为：???

? ???-=?dp dT T p L u 1 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。 解：由式(3.2.7)得：V p S T U ?-?=?；又由式(3.4.6)得：

V T L

dT dp ?=；S T L ?=；dp dT T p L L U ??-=?????

? ???-=dp dT T p L 1 习题3.8在三相点附近，固态氨的蒸气压(单位为a P )方程为：T

p 3754

92.27ln -= 液态氨的蒸气压方程为：T

p 3063

38.24ln -

=，试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热。

解：(1)固态氨的饱和蒸气压方程决定了固态-气态的相平衡曲线；液态氨的饱和蒸气压方程决定了氨的液态-气态的相平衡曲线。三相点是两曲线的交点，故三

相点温度3T 满足方程：T T 3063

38.24375492.27-

=-

；由此方程可解出3T ，计算略； (2)相变潜热可由RT

L

A p -=ln 与前面实验公式相比较得到：

3754

=R

L

S ，从而求出S L ；类似可求出Q L ；计算略； (3)在三相点，有r Q S L L L +=，可求得r L ，计算略。 习题3.10 试证明，相变潜热随温度的变化率为：

β

p c dT

dL =-αp c -

+T L αβα

β

v v L T

v T v p p -???

????????? ????-???? ?

??? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为：

α

βp p c c dT

dL -= 证：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =，

在p ～T 相平衡曲线上。

()[]???

? ??????+???

?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中： =??? ?????T S ()P T S ???? ????β()P

T S ?

??? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ???? ????β()P

T S ???? ????-α]dT dp

? 又有： T C P =P

T S ???

????；()())(αβS S T L -=

由麦氏关系(2.2.4)： -=???? ????T

p S P T V ???

???? 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：

β

p c dT

dL =-αp c -

+T L αβα

β

v v L T

v T v p p -???

????????? ????-???? ?

??? 若β相是气相，α相是凝聚相；()

αV

～0；()p

T V ????

???α～0；

β相按理想气体处理，pV=RT ，?

α

βp p c c dT

dL -= 习题3.11 根据式(3.4.7)，利用上题的结果及潜热L 是温度的函数。但假设温度

的变化范围不大，定压热容量可以看作常数，证明蒸汽压方程可以表为：

T C T B

A p ln ln +-=

解：蒸汽压方程：

21RT L dT dp p = ?

2T

L d T

p dp = 利用ex.3.10结果。 ??=

p C dL dT C

L

T T =-0; 温度变化的范围不大；设()

()

常数）(C C C C p

P p =-=?αβ

? ()20T L CR LdL

p dp +=?()dL T L T T L T L CR p ????

?????+-++=200200)(1ln ()()

0001

ln 1T L T CR T L CR +?++=

L+T 0=T ； =

?p ln K T

T CR T CR +?+0

1ln 1 习题3.12蒸汽与液相达到平衡。以

dT

dv

表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为??

?

??-=?RT L T dT dv v 111。

解：由式(3.4.6)克拉珀珑方程。并注意到αV ～0.

方程近似为：

TV

L

T p ≈

??， V —气相摩尔比容。 V

p T L T V V 11??=???

① 气相作理想气体， pV=RT ② T R V p pV ?=?+?? ③ 联立①②③式，并消去△p 、P 得：

TL TV V

V

P T R ?=??-?

TLV TV V V RT T R ?=???

???-?L T V V RT TR =???-?2 2

1RT

L

RT T V V -=??? ?????

；??? ??-=-=??? ????=?RT L T RT T T V V P 111112α 习题3.13 将范氏气体在不同的温度下的等温线的极大点N 与极小点J 联起来，

可以得到一条曲线NCJ,如图3.17所示。试证明这条曲线的方程为：

)2(3b v a pv -=

并说明这条曲线分出来的三条区域ⅠⅡⅢ的含义。

解： 范氏气体： ()RT b v v a p =-??? ?

?

+2； 2v a b v RT p --=

等温线上极值点，? 极值点组成的曲线：

322)(v a b v RT =-；由2

v a

p b v RT +

=- ?)2(3b v a pv -=

习题3.14证明半径为r 的肥皂泡的内压与外压之差为r

σ4。 (略解)：连续应用式(3.6.6)及(3.6.16)。 习题3.16证明爱伦费斯公式：

()

()

()

()

1212k k dT dp --=α

α；()

()

()())

(1212αα--=Tv c c dT dp p p 证：对二级相变 0)(=?dS ；即()2dS -()1dS =0 0)(=?dV ；即()2dV -()1dV =0

()

2dS

()dT T S ???? ????=2()dp p S ???? ????+1；()

1dS ()dT T S ???? ????=1()dp p S ???

? ????+1 )(0dS ?=()

2dS =-()

1dS

?()()=????????-??dT T S T S 12()()dp p S p

S ???

?????-??-12 ()()()()???

?????-??????????-??-=?p S p

S T S T S dT dp 1212; 将p p T S T C ??? ????=代入得。 ()()

[]

()()p

S

p S C C T dT dp

p

P ??-??--=12121 ① 由式(3.2.6)得： αμV p T p S -=???-=??2； 结合式(3.7.2) 即为： ()-??p S 2()

()()()

121αα--=??V p

S ；

代入①得： ()

()()

()

121

2αα--=TV C C dT dp p P 类似地，利用0)(=?dV 可证第二式。（略）

第四章 多元系的复相平衡和化学平衡

习题4.1若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明：

（1）V

U

V

n U n U i i

i

??+??=∑；（2）V U v n U u i i i ??+??= 证：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U λλλλ=

根据欧勒定理，f x f x i

i

i =??∑ ，可得

V

U

V

n U n U i i

i

??+??=∑ （2） i i

i i i i i i i

i

u n V U

v n U n V U V n U n U ∑∑∑=??+??=??+??=)( V

U

v n U u i i i ??+??=

习题4.2证明),,,(1k i n n p T μ是k n n ,1的零次齐函数，0=???

?

????∑j

i

j j n n μ。 证：),,,(),,,(11k m k n n p T n n p T μλλλμ=，化学势是强度量，必有m =0,

0==???

?

????∑i j

i

j j m n n μμ 习题4.3二元理想溶液具有下列形式的化学势： 111ln ),(x RT p T g +=μ 222ln ),(x RT p T g +=μ

其中g i (T , P )为纯i 组元的化学势，x i 是溶液中i 组元的摩尔分数。当物质的量分

热力学与统计物理第二章知识总结

§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)

从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）

同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)

第七章、统计热力学基础习题和答案

统计热力学基础 一、选择题 1. 下面有关统计热力学的描述，正确的是：( ) A. 统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系 B. 统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系 C. 统计热力学是热力学的理论基础 D. 统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B 2. 在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令刀n i = N,刀n i & i = U , 这是因为所研究的体系是：( ) A. 体系是封闭的，粒子是独立的 B 体系是孤立的，粒子是相依的 C. 体系是孤立的，粒子是独立的 D. 体系是封闭的，粒子是相依的C 3. 假定某种分子的许可能级是0、&、2 ￡和3 &,简并度分别为1、1、2、3四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为3￡时，体系的微观状态数为：() A. 40 B. 24 C. 20 D. 28 A 4. 使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数N 很大，这是因为在推出该定律时：( ) . 假定粒子是可别的 B. 应用了斯特林近似公式 C. 忽略了粒子之间的相互作用 D. 应用拉氏待定乘因子法A 5. 对于玻尔兹曼分布定律n i =(N/q) ? g i ? exp( - ￡ i/kT)的说法：(1) n i是第i能级上的粒子分布数; (2) 随着能级升高，￡ i 增大，n i 总是减少的; (3) 它只适用于可区分的独立粒子体系; (4) 它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：( ) A. (1)(3) B. (3)(4) C. (1)(2) D. (2)(4) C 6. 对于分布在某一能级￡ i上的粒子数n i，下列说法中正确是：() A. n i 与能级的简并度无关 B. ￡ i 值越小，n i 值就越大 C. n i 称为一种分布 D. 任何分布的n i 都可以用波尔兹曼分布公式求出B 7. 15?在已知温度T时，某种粒子的能级￡ j = 2 ￡ i，简并度g i = 2g j，则「和￡ i上 分布的粒子数之比为：( ) A. 0.5exp( j/2￡kT) B. 2exp(- ￡j/2kT) C. 0.5exp( -￡j/kT) D. 2exp( 2 j/k￡T) C 8. I2的振动特征温度? v= 307K，相邻两振动能级上粒子数之n(v + 1)/n(v) = 1/2的温度是：( ) A. 306 K B. 443 K C. 760 K D. 556 K B 9. 下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：( ) A. S、G、F、C v B. U、H、P、C v C. G、F、H、U D. S、U、H、G B 10. 分子运动的振动特征温度?v是物质的重要性质之一，下列正确的说法是： ( ) A. ? v越高，表示温度越高 B. ?v越高，表示分子振动能越小 C. ?越高，表示分子处于激发态的百分数越小 D. ?越高，表示分子处于基态的百分数越小 C 11. 下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与

大学热力学统计物理第四版汪志诚答案2

1 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -?如果1 1 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ?? ????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若11,T T p ακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有000ln =ln ln ,V T p V T p -即00 p V pV C T T ==（常量），或 .p V C T = （5） 式（5）就是由所给1 1 ,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为

热力学与统计物理期末复习笔记1

热力学与统计物理期末 复习笔记1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《热力学统计物理》期末复习 一、简答题 1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功） 答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP； 自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV； 吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。 2、什么是近独立粒子和全同粒子描写近独立子系统平衡态分布有哪几种 答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。 3、简述平衡态统计物理的基本假设。 答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。 4、什么叫特性函数请写出简单系统的特性函数。

答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数称为特性函数。简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。 5、什么是μ空间并简单介绍粒子运动状态的经典描述。 答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。 6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。 答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。 7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。 答：玻耳兹曼关系：S=k lnΩ 熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。微观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减少。“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。

统计热力学基础复习整理版汇总

统计热力学基础 一、单选题 1) 统计热力学主要研究（A ）。 (A) 平衡体系(B) 近平衡体系(C) 非平衡体系(D) 耗散结构(E) 单个粒子的行为 2) 体系的微观性质和宏观性质是通过（ C）联系起来的。 (A) 热力学(B) 化学动力学(C) 统计力学(D) 经典力学(E) 量子力学 3) 统计热力学研究的主要对象是：（ D） (A) 微观粒子的各种变化规律(B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律(D) 宏观系统的平衡性质 (E) 体系的宏观性质与微观结构的关系 4) 下述诸体系中，属独粒子体系的是：（D ） (A) 纯液体(B) 理想液态溶液(C) 理想的原子晶体(D) 理想气体(E) 真实气体 5) 对于一个U,N,V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（B ） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论(D) 统计学原理(E) 能量均分原理 6) 在台称上有7个砝码，质量分别为1g、2g、5g、10g、50g、100g，则能够称量的质量共有：（B ） (A) 5040 种(B) 127 种(C) 106 种(D) 126 种 7) 在节目单上共有20个节目序号，只知其中独唱节目和独舞节目各占10个，每人可以在节目单上任意挑选两个不同的节目序号，则两次都选上独唱节目的几率是：（A ） (A) 9/38 (B) 1/4 (C) 1/180 (D) 10/38 8) 以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（A ） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 9) 各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（B ） (A)?ε t > ?ε r > ?ε v > ?ε e(B)?ε t < ?ε r < ?ε v < ?ε e (C) ?ε e > ?ε v > ?ε t > ?ε r(D)?ε v > ?ε e > ?ε t > ?ε r (E)?ε r > ?ε t > ?ε e > ?ε v 10) 在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（C ） (A) 气体和晶体皆属定域子体系(B) 气体和晶体皆属离域子体系 (C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系(D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 11) 对于定域子体系分布X所拥有的微观状态t x为：（ B）

11热力学统计物理第四版汪志诚_答案

第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果1 1 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2）

上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1, T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 000 p V pV C T T ==（常量）， 或 .pV CT = （5） 式（5）就是由所给11,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。

热力学与统计物理题

《热力学与统计物理》练习题 一 简答题 1．单元复相系的平衡条件； 2．熵增原理 3．能量均分定理 4．热力学第一定律； 5．节流过程 6．热力学第二定律的克氏表述 计算题 1. 1 mol 理想气体，在C 0 27的恒温下体积发生膨胀，由20大气压准静态地变到1大气压。求气体所作的功和所吸的热。 2．求证 （a ）0??? ????U V S 3．试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 (1)p dT u L T dp ?=- 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 4. 1 mol 范氏气体，在准静态等温过程中体积由1V 膨胀至2V ，求气体在过程中所作的功。 5．试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的 温度降落。 6．蒸汽与液相达到平衡。设蒸汽可看作理想气体，液相的比容比气相的比容小得多，可以略而不计。以 dv dT 表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为

111dv L v dT T RT ???? =- ? ????? 7. 在C 0 25下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为： 3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-?+??, 如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。 8．试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。 9．在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754 ln 18.70p T =- 液态的蒸汽压方程为 3063 ln 15.16p T =- 试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的熔解热 10. 在C 0 0和1atm 下，空气的密度为300129.0-?cm g 。空气的定压比热 11238.0--??=K g cal C p ，41.1=γ。今有327cm 的空气， (i)若维持体积不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 (ii)若维持压力不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 11．满足C pV n =的过程称为多方过程，其中常数n 为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量n C 为 V n C n n C 1 --= γ 其中/p V C C γ= 12．写出以i T,V,n 为自变量的热力学基本等式，并证明：

第七章 统计热力学基础

第七章统计热力学基础 一、选择题 1、统计热力学主要研究（）。 (A) 平衡体系(B)单个粒子的行为案(C) 非平衡体系(D) 耗散结构 2、能量零点的不同选择，在下面诸结论中哪一种说法是错误的：( ) (A) 影响配分函数的计算数值(B) 影响U，H，F，G 的数值 (C) 影响Boltzmann分布数N 的数值(D) 影响能级能量εi的计算数值 3、最低能量零点选择不同，对哪些热力学函数值无影响：( ) (A) U (B) S (C) G (D) H 4、统计热力学研究的主要对象是：（） (A) 微观粒子的各种变化规律 (B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律 (D) 宏观系统的平衡性质 5、对于一个U,N,V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论(D) 统计学原理 6、以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 7、各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（） (A) t > r > v > e(B) t < r < v < e (C) e > v > t > r(D) v > e > t > r 8、在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（） (A) 气体和晶体皆属定域子体系 (B) 气体和晶体皆属离域子体系 (C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系 (D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 9、对于定域子体系分布X所拥有的微观状态t x为：（） (A) (B)

热力学与统计物理学的形成

热力学与统计物理学的形成 人们最初接触热的概念是和火分不开的。自亚里士多德以后，在西方火被看作构成宇宙万物的四大元素之一。直到16、17世纪这种观点才被三要素学说取代。这三要素指可溶性、挥发性、可燃性的相应实体。可燃性要素从物体中逃逸出来，这就是燃烧。我国古代有五行说，有隧人氏"钻木取火"的传说。"钻木取火"说明我国人民在那时已经知道了摩擦生热的现象。但是，在古代社会生产力水平很低，人们在生产和生活中对热的利用，只限于煮熟食物、照明和取暖，最多也不过利用热来冶炼和加工一些简单的金属工具。由于生产和生活没有对热提出进一步的要求，所以也就没有人对热现象进行深入的研究。 18世纪初，正是资本主义发展的初期，社会生产已有很大的发展。生产需要大量的动力，许多人开始尝试利用热获得机械功，这样一来，就开始了对热现象所进行的广泛的研究。 对热现象的定量研究，首先必须解决如何客观地表示物体的冷热程度，温度计就应运而生。虽然伽利略早在16世纪就利用气体热胀冷缩规律做成气体温度计，但这种温度计使用起来不方便，而且随外界气压变化所测得的值也不同，误差较大。1709年华伦海特制造成了第一支用酒精做测温质的实用温度计，后来这种温度计又改用水银作测温质。经改进，把水的冰点定为32度，水的沸点定为212度，就成了如今的华氏温度计。华氏温标由单位用℉表示。1742年摄尔萨斯把一标准大气压下，冰水混合物的温度定为100度，水沸点定为0度，制成另一种温标的温度计。后来根据同事施勒默尔的建议，摄尔萨斯把这个标度倒了过来，就成了现代的摄氏温标。 实用温度计诞生之后，热学的研究走上了实验科学的道路。随着研究的深入，人们开始考虑热的本质问题。 关于热的本质，在古希腊时代就有两种学说。一种认为热是一种元素，另一种学说认为热是物质运动的一种表现。热科学的实验发展以后，不少学者倾向于热是一种元素的说法，后来热的元素学说，发展成热质说。热质说认为热是一种特殊的物质，它是看不见又没有质量的热质，热质可以透入到一切物体的里面，一个物体含的热质越多，就越热；冷热不同的两个物体接触时，热质便从较热的物体流入较冷的物体；热质不能凭空地产生，也不会被消灭。热质说能够成功地解?quot;混合量热法"的规律：两个温度不同的物体，混合后达到同一温度时，如果没有热量散失，那么，温度较高的物体失去的热质，等于温度较低的物体吸收的热质。热量单位"卡"，也是根据热质说的思想产生的．"卡"这个单位现在已废弃不用了。 与热质说相对立的学说认为热是物质运动的一种表现。培根很早就根据摩擦生热的事实提出了这种学说，罗蒙诺索夫在他的论文《论热和冷的原因》里批判了当时流行的热质说，认为热是分子运动的表现。但在热质说十分流行的时代。这些观点未被人们重视。 1798年，伦福特伯爵发现制造枪管时，被切削下来的碎屑有很高的温度，而且在连续不断的工作之下，这种高温碎屑不断产生。被加工的材料和车刀温度都不高，他们包含的热质应该是极有限的，工件和碎屑温度这么高，这些热质从何而来呢？1799年戴维做了一个实验，他用钟表机件作动力，在真空中使两块冰相互摩擦，整个设备都处于－2℃的温度下，结果冰熔化了，得到2℃的水。这些事实都没有办法用热质说来说明。但在当时由于能量转换的观点没有建立起来；还无法彻底推翻热质说。 1842年，德国医生买厄发表一篇论文，提出能量守恒的学说，他认为热是一种能量，能够跟机械能互相转化。他还从空气的定压与定容比热之差，算出了热和机械功的比值。与此同时，焦耳进行了许多实验，用各种各样的方法来测定热功当量，发现结果都一致。在这一发现的基础上焦耳提出了：自然界的能量是不能毁灭的，那里消耗了机械能，总能得到相当的热，热只是能的一种形式。可惜焦耳提出这个定律时，未被大多数科学家重视。直到19世纪中叶，许多科学家先后都宣布了和焦耳相同的结论，此时，焦耳所做的

热力学与统计物理答案详解第二章的

第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以

()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：

07章统计热力学基础(1)

第七章统计热力学基础 1. 设有一个体系,由三个定位的单维简谐振子所组成,体系能量为11/2 hν,这三个振子在三个固定的位置上振动,试求体系全部的微观状态数。 2. 当热力学体系的熵函数S增加0.418 J/K时，则体系的微观状态数增加多少？用ΔΩ/Ω1表示。 3. 对于双原子分子，证明： U r=NkT U v=NkT 设基态振动能为零，≈1+x 。 4．将N2气在电弧中加热，从光谱中观察到处于第一激发态的相对分子数 N(v=1)/N(v=0)=0.26,式中ν为振动量子数N(v=0)为基态占有的分子数，N(v=1)为第一激发振动态占有的分子数，已知N2的振动频率ν= 6.99×, (1) 计算气体温度。 (2) 计算振动能量在总能量（包括平动，转动和振动）中所占的百分数。 5．设某理想气体A,其分子的最低能级是非简并的,取分子的基态作为能量零点,相邻能级的能量为ε，其简并度为2，忽略更高能级。 （1）写出A分子的总配分函数的表达式。 （2）设ε=kT，求出相邻两能级上最概然分子数之比n1/n0。 （3）设ε=kT，试计算1 摩尔该气体的平均能量是多少？ 6．某气体的第一电子激发态比基态能量高400 kJ/mol,试计算 （1）在300 K时，第一激发态分子所占的百分数？ （2）若要使激发态的分子数占10%，则需多少温度？ 7．零族元素氩（Ar）可看作理想气体，相对分子量为40，取分子的基态（设其简并度为1）作为能量零点，第一激发态（设其简并度为2）与基态能量差为ε，忽略其它高能级。 （1）写出氩分子的总的配分函数表达式。 （2）设ε=5kT，求在第一激发态上最可几分布的分子数占总分子数的百分数。

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1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = 由此易得11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? 11,V p nR p T pV T β???= == ???? 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V = αdT κdp -?如果1 1 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以, T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p = 其全微分为.p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ??????? （1）全式除以V ，有11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ? ??????根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ= -? （3） 若 11,T T p ακ= =，式（3）可表为11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000 l n =l n l n ,V T p V T p -即000p V pV C T T ==（常量），或.pV CT =(5) 式（5）就是由所给11 ,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 1.3 简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数T κ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和T κ看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为()()000(,),01.T V T p V T T T p ακ=+--???? 解: 以,T p 为状态参量，物质的物态方程为(),.V V T p =根据习题1.2式（2），有 .T dV dT dp V ακ=- （1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在α和T κ可以看作常 量 的 情 形 下 ， 有 ()()000 ln ,T V T T p p V ακ=---（2）或 ()()()() 0000,,.T T T p p V T p V T p e ακ---=（3）考虑到α和T κ的数值很小，将指数函数展开， 准确到α和T κ的线性项，有()()()()0000,,1.T V T p V T p T T p p ακ=+---????（4） 如果取00p =，即有()()()00,,01.T V T p V T T T p ακ=+--????（5）

热力学与统计物理学基础

热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物

热力学与统计物理教案

导言 一．热力学与统计物理学所研究的对象与任务相同 对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统。 任务：研究热运动规律及热运动对物质宏观性质的影响。 一．热力学与统计物理学的研究方法不同 1. 热力学方法—热运动的宏观理论 热力学方法是从热力学三个定律出发，通过数学演绎，得到物质的各宏观性质之间的关系、宏观物理过程进行的方向和限度等一系列理论结论。 热力学方法的优点：其结论具有高度的可靠性和普遍性。因为热力学三定律是人们从大量的观测、实验中总结出来的基本规律，并为人们长期的生产实践所证实，非常可靠。而且热力学三定律又不涉及物质的具体微观结构，它适用于一切物质系统，非常普遍。 热力学方法的局限性：由热力学不能导出具体物质的具体特性；也不能解释物质宏观性质的涨落现象；等等。 2. 统计物理学方法—热运动的微观理论 统计物理学方法是从“宏观物质系统是由大量的微观粒子所组成的”这一基本事实出发，认为宏观物理量就是相应微观量的统计平均值。 统计物理学的优点：能把热力学三个相互独立的基本规律归结于一个基本的统计原理，阐明三个定律的统计意义；可以解释涨落现象；而且在对物质的微观结构作了某些假设之后，还可以求得物质的具体特性；等等。 统计物理学的局限性：由统计物理学所得到的理论结论往往只是近似的结果，这是因为对物质的微观结构一般只能采用简化模型所致。 总之，在热现象研究中，热力学和统计物理学两者相辅相成，相互补充。 一．主要参考书 王竹溪：《热力学简程》、《统计物理学导论》 第一章热力学的基本规律 本章主要介绍热力学的基本规律以及常见的基本热力学函数。但本章的大多数内容在普通物理的《热学》课程中已经较详细学习过，在此只作一个归纳。因此，本章的各节将有所改变， 与课本不完全一致。 第一章热力学的基本规律 §热平衡定律和温度 一．热平衡定律 热平衡定律也可称之为热力学第零定律。它是建立温度概念的实验基础。 1. 热力学系统 由大量微观粒子组成的有限的宏观客体称之为热力学系统，简称为系统。热力学所研究的系统有如下三种： ⑴孤立系统：与外界没有任何相互作用的系统。 ⑵封闭系统：与外界有能量交换，但无物质交换的系统。 ⑶开放系统：与外界既有能量交换，又有物质交换的系统。 2. 平衡状态及其描述 当没有外界影响时，只要经过足够长的时间，系统将会自动趋于一个各种宏观性质不随时间变化的状态，这种状态称为平衡状态，简称为平衡态。它是一种热动平衡状态。

热力学与统计物理论文

负温度状态 姓名：王军帅学号：20105052010 化学化工学院应用化学专业 指导老师：胡付欣职称：教授 摘要：通过分析负温度概念的引入，从理论上证明负温的存在，并论证实验上负温度的实现，在进步分析了负温度系统特征的基础上，引入了种新的温度表示法，使之与人们的习惯致。 关键词：负温度;熵;能量;微观粒 Negative Temperature State Abstract：The concept of negative temperature was introduced Its existence was proved theoretically and its realization in experiment also discussed after analysis of the negative temperature system characteristic，one kind of new temperature express is used in order to consistent with the common express. Key words: negative temperature; entropy; energy; microparticle 引言 温度是热学中非常重要的一个物理量，可以说任何热力学量都与温度有关.描述物体冷热程度的物理量—开尔文温度—一般都是大于零的，由热力学第三定律可知“绝对零度是不可能达到的”，也就是说自然界的低温极限是绝对零度，即-273.16℃.以OK作为坐标原点，通常意义上的温度一般就在原点的右半轴上，其范围就是零到 值总为正。那么有没有负温度呢？左半轴是不是可以用负温度来对应呢？它表示的温度是不是更低呢？此时系统的热力学性质又将会怎么样呢？这些问题激起人们对温度的疑惑与兴趣. 1.负温度概念的引入 通常所说的温度与系统微观粒子的运动状态有关，随着温度的升高，粒子的能量也升高，粒子运动就会越激烈，无序度也会增加:在低温时，高能量粒子的数目总是少于低能量粒子的数目，所以随着温度的升高，高能量粒子数目逐渐增

第七章 统计热力学基础

第七章统计热力学基础 一、单选题 1．统计热力学主要研究（）。 (A) 平衡体系(B) 近平衡体系(C) 非平衡体系 (D) 耗散结构(E) 单个粒子的行为 2．体系的微观性质和宏观性质是通过（）联系起来的。 (A) 热力学(B) 化学动力学(C) 统计力学(D) 经典力学(E) 量子力学 3．统计热力学研究的主要对象是：（） (A) 微观粒子的各种变化规律(B) 宏观体系的各种性质 (C) 微观粒子的运动规律(D) 宏观系统的平衡性质 (E) 体系的宏观性质与微观结构的关系 4．下述诸体系中，属独粒子体系的是：（） (A) 纯液体(B) 理想液态溶液(C) 理想的原子晶体 (D) 理想气体(E) 真实气体 5．对于一个U，N，V确定的体系，其微观状态数最大的分布就是最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（） (A) 玻兹曼分布定律(B) 等几率假设(C) 分子运动论 (D) 统计学原理(E) 能量均分原理

6．在台称上有7个砝码，质量分别为1g、2g、5g、10g、50g、100g，则能够称量的质量共有：（） (A) 5040 种(B) 127 种(C) 106 种(D) 126 种 7．在节目单上共有20个节目序号，只知其中独唱节目和独舞节目各占10个，每人可以在节目单上任意挑选两个不同的节目序号，则两次都选上独唱节目的几率是：（） (A) 9/38 (B) 1/4 (C) 1/180 (D) 10/38 8．以0到9这十个数字组成不重复的三位数共有（） (A) 648个(B) 720个(C) 504个(D) 495个 9．各种不同运动状态的能级间隔是不同的，对于同一种气体分子，其平动、转动、振动和电子运动的能级间隔的大小顺序是：（） (A)△e t >△e r >△e v >△e e(B)△e t <△e r <△e v <△e e (C) △e e >△e v >△e t >△e r(D)△e v >△e e >△e t >△e r (E)△e r >△e t >△e e >△e v 10．在统计热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（） (A) 气体和晶体皆属定域子体系(C) 气体属离域子体系而晶体属定域子体系 (B) 气体和晶体皆属离域子体系(D) 气体属定域子体系而晶体属离域子体系 11．对于定位系统分布X所拥有的微观状态t x为：（B） (A)(B)

第十八章 热力学与统计物理学概述

第十八章 热力学与统计物理学概述 18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即2 1 V V A pdV =-? 由此我们是否可以说，任何没 有体积变化的过程外界都不会对它作功？ 答：错误。外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。而式：2 1 V V A pdV =- ? 只适用于一个均匀的气体系统在没 有外场作用的情况下的准静态过程。如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。 18-2能否说系统含有多少热量？为什么？ 答：错误。因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。 18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。 答： 18-4为什么公式pV C γ =只有在准静态过程的条件下才成立？ 答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。 绝热过程 P —V 图 P —T 图 T —V 图

（2）在推导公式pV C γ =过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。 18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。 设氦气可看作理想气体，且3 2 V R C ν=。 解：(1)保持体积不变： 外界对系统不作功：0A =； 系统内能的变化为：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=?； 由热力学第一定律，吸收的热量为： 2 6.2310V Q U J =?=? 这表示，在系统体积不变的情况下， 外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。 (2)保持压强不变： 吸收的热量：()3 1.0410p p V Q C T C R T J ν=?=+?=? 系统内能的变化：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=? 外界对系统作功：2 4.1610p A U Q J =?-=-? 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。 (3)不与外界交换热量，即绝热过程： 吸收的热量：0Q = 系统内能的变化：23 6.23102 V U C T R T J ν?=?= ?=?

热力学与统计物理

《热力学与统计物理》课程教学大纲 课程英文名称：Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：0312043002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 《热力学与统计物理》课是物理专业学生的专业基础课，与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章热力学的基本规律 本章重点：热力学的基本规律，热力学的三个定律，掌握热力学函数内能、焓、熵、自由能、吉布斯函数的物理意义. 难点：熵增加原理的应用及卡诺循环及其效率。 本章学时:16学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节热力学系统的平衡状态及其描述 本节要求：掌握：系统、外界、子系统，系统的分类，热力学平衡态及其描述。 1系统、外界、子系统（①掌握：系统与外界概念。②了解：界面的分类。③了解：系统与子系统的相对性） 2系统的分类（掌握：孤立系、闭系、开系的概念。） 3热力学平衡态及其描述（①掌握：热力学平衡态概念。②掌握：状态参量的描述及引入。）第二节热平衡定律和温度 本节要求：掌握：热接触与热平衡，热平衡定律、温度、热平衡的传递性，存在态函数温度的数学论证，温度的测量(考核概率50%)。 1热接触与热平衡（①掌握：系统间没有热接触时系统状态参量的变化。②掌握：系统间热接触时系统状态参量的变化。） 2热平衡定律、温度、热平衡的传递性（①掌握：热平衡定律。②掌握：温度的数学论证，温标的确定及分类）（重点） 第三节物态方程