第01讲求根公式

第一讲 走进追问求根公式

形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．

求根公式a

ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．

【例题求解】

【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．

思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）

A ． 一4

B ．8

C ．6

D ．0

思路点拨 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=．

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．

思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论．

【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．

思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．

【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a

d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．

思路点拨 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值．

注： 一元二次方程常见的变形形式有：

(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；

(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；

(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．

解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x ==．

学历训练

1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．

2．已知0232

=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．

3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．

4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )

A ．b a =

B ．0=+b a

C ．1=+b a

D ．1-=+b a

5．当分式4

312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x

6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．解下列关于x 的方程：

(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；

(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．

8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．

9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．

注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．

10．若0152=+-x x ，则1

539222+++-x x x ＝ ．

11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．

12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。则代数式a

200012000120003+++的值为 ． 13．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )

A ．1 n ．2 C ．3 D ．2．5

14．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )

A ．2

B ．1

C ．3

D ．4

15．已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么a

b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．2

51+- D ．251-- 16．已知3819-=x ，求15823

18262234+-++--x x x x x x 的值．

17．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值．

18．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等

分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若

小正方形面积为3281

1，求n 的值． 19．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的

值．

20．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然

数．求证：AB

BS 需为无理数．

参考答案

数学的解题方法

数学的解题方法 技巧，积累教学资料，提升业务水平和教学水平。下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不但用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些相关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它能够是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。使用构造法解题，能够使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过准确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题准确的一种方法。反证法能够分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了准确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存有/不存有；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定初中各年级课件教案习题汇总语文数学英语物理化学理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算相

高中物理解题方法例话：2判别式法

2判别式法 .对于一元二次方程02 =++c bx ax ， 方程有解时，042≥-=?ac b ；方程无解时，042<-=?ac b [例题1]在一平直较窄的公路上，一辆汽车以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s 的速度向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为2/6s m ，若两车不相撞，则两车的间距至少为多少？ 解析：要使两车不相撞，设它们间距为S ，则地者在任一时间内位移关系应满足 S S S +≠自汽即S vt at t v +≠-202 1代入数值得 01832≠+-S t t 所以关于t 的一元二次方程无实数解，所以当042<-=?ac b 时上式成立，即0341842 2，所以最小间距为27m 是 车不与自行车相撞的条件 [例题2]如图所示，侧面开有小孔s 的量简中注满水，高为h 的量简放图在高为H 的平台上，问小孔s 应开在何处，从孔中喷出的水为最远？ 解析：设小孔s 的位置离地面的高度为y ，水的水 平射程为x ，并设某一时刻质量为m 的水由小孔喷 出，做初速度为0V 的平抛运动，经时间l 落地，由 运动学公式可得 t v x 0= ① 22 1gt y = ② 喷出的水的动能可相当于它从水面处下落)(y H h -+的高度量力所做的功。 根据机械能守值定律有 202 1)(mv y H h mg = -+ ③ 联立①②③式得 022)(44=++-x y H h y 这是一个关于y 的一元二次方程，由于y 必须是正实数，所以△≥0,即 044)](4[22≥?-+-x H h , 又因x>0,所以x ≤h+H ，故最大水平射程H h x +=max ,此时方程的解为

求根公式及根的判别式

加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是 （2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。（全国初中数学竞赛题） 例题2 已知0132=+-a a ，那么=++ --2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65 例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及 0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○ 2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。求

a b a b b a b a --++的值。 例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ， （2）关于x 的方程0122 23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ） A 、不存在； B 、有一组； C 、有两组； D 、多于两组； 例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。（湖北省荆门市中考题） 例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）

关于判别式法求值域增根的研究

关于判别式法求值域增根的研究 文章来源：2008年下半年度《试题与研究》 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先 约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！ 例：求二次分式函数y = 的值域．

y = y = = ， = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，

用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！ 函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y 值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 公式法解一元二次方程与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

公式法与根的判别式

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为2 040a a ≠>所以

公式法与根的判别式

公式法与根的判别式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0） 的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+ 2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式

判别式法求值域

关于判别式法求值域增根的研究 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！ 例：求二次分式函数y = 的值域． y = y = = y =

y = = 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说，用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！

函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y 值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。 但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中出现的增根是否源于此呢？让我们一起分析一下吧！

公式法与根的判别式

八年级数学学科总计20 课时第5课时 课题________ 教学目标： 1熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点： 1求根公式的推导和用公式法解一元二次方程 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1正确理解“当b2 -4ac :: 0时，方程ax2 bx弋=0@厂0）无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程ax ? b = 0 （其中a、b是已知数，且a* 0）的根唯一存 一 b 2 在，它的根可以用已知数a、b表示为x ,那么对于一元二次方程ax bx 0 （其 a 中a、b、c是已知数，且a丰0）,它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程ax2bx ■ c = 0（a严0） 解：ax2? bx - -c 移常数项 x2二-- 方程两边同除以二次项系数（由于a*0,因此不需要分类讨论） a a 2 b b 2 c b 2 x x （）（）两边配上一次项系数一半的平方 a 2a a 2a 2 （x ?——）2=- 4一转化为（x ? m）2二n的形式 2a 4a 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论

因为a = 0所以4a20 2a

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以

不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法

不等式 不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。 第一节基本不等式 1.若则，等号成立的条件：； 证明：当时，,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。 2.基本不等式的变形（包括2个方面） ①若的实数，则,等号成立的条件：； 若则,等号成立的条件：； 若则,等号成立的条件：；(上述3个不等式，考虑如何证明？) 注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。 ②若则等号成立的条件：（注意：不等式的右边是） 例题1.已知∞且，求的最小值及的最小值。 解：，∴的最小值为：； 求有两种方法，其一是配式，，∴；另一种方法是，由 ,∵∞，∴。 例题2.已知,求证：。 证明：由基本不等式得：这里等号成立的条件是，； 同理，这里等号成立的条件是，，∴ 而条件是,即对于不等式等号成立，即且即。 注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。 例题3.已知满足求的最小值。 解：,这里 ,. 注：解答本题的关键是，如何运用好，两次使用了基本不等式，但不矛盾。 例题4. 求的最大值。 解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于 与的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。 ∵2 ，当且仅当→时成立，故。

例题5.已知,则的最小值为（）。 解：当且仅当等号成立，的最小值为16. 注：这里要求2元表达式的的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部用基本不等式的变形公式进行处理。 例题6.若二次函数的值域为[0,+∞),则的最小值为（）。 解：由题意得即则 ，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以的最小值为。 注：本题也可用消元法，由消去a或c，比较麻烦。 例题7.已知a,b,c>0,且则的最小值为。 例题8.已知a,b,c>0,且，则的最大值为（）。 解： ,当且仅当等号成立，∴所求的最大值为。 例题9.已知函数的定义域是[a,b],其中且，(1)求的最小值； (2)若其中,求证：. 解：(1)由基本不等式的变形公式可得，则∴ ,上面各式等号成立的条件都是：时取得（虽然两次使用了基本不等式，但x的取值不矛盾），∴。 (2)设时，由(1)的结论可得：①,同理 1)2=2( 2s1)2②由①+②得：f(x1)+fx2≥ . 上面两次用到基本不等式，等号成立的条件都是s=2时取得，∴(2)得证。 例题10.已知两条直线：和：与函数的图象从左至右相交于A,B,与函数的图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为（）。 解：在同一坐标系中作出, 图象，令

一元二次方程根的判别式及公式法解方程

１ 一元二次方程根的判别式及公式法解方程 姓名： 一、选择题 1. 如果关于x 的一元二次方程2 690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k < B ．0k ≠ C ．1k <且0k ≠ D ．1k > 2. 下列关于x 的方程中，没有实数根的方程是（ ） A ．212270x x -+= B ．22320x x -+= C ．223410x x +-= D ．2230x x k --= 3. 若关于x 的一元二次方程22220x ax a a b +++-=有两个相等实根，则a b = （ ） A ．2 B ．12 C ．2- D ．1 2- 4. 方程2320x x m -+-=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．14m >- B ．14m ≥ C ．14m -≥ D ．1 4m > 5. 方程2210x ax a ++-=的根的情况是（ ） A ．有两个相等实数根 B.有实数根 C ．有两个不等实数根 D ．有两个实数根 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．2210x x +-= B ．220x ++= C ．210x += D ．220x x -++= 7. 已知关于x 的方程0)3(4122 =+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大的整数值是（ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、-1 8. 、若方程2x （kx-4）-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、不存在 9. 若c 小于0，则关于x 的一元二次方程2530x x c ++=的根的情况是（ ） A ．两根一正一负，且正根的绝对值大于负根的绝对值 B ．两根一正一负，且负根的绝对值大于正根 C ．无实根 D ．有两个负根 10. 方程242()0x a b x ab ---=的根的判别式为（ ） A ．2()4a b ab -- B ．2()a b + C ．24()a b + D ．24()a b - 11. 如果方程220x x m ++=有两个同号的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．01m <≤ C ．01m <≤ D ．0m >

初中数学解题方法归纳总结

初中数学知识点归纳总结 一、基本运算方法 (2) 1、配方法 (2) 2、因式分解法 (2) 3、换元法 (2) 4、判别式法与韦达定理 (2) 5、待定系数法 (3) 6、构造法 (3) 7、反证法 (3) 8、面积法 (3) 9、几何变换法 (4) 10、客观性题的解题方法 (4) 二、基本定理 (5) 三、常用数学公式 (10)

一、基本运算方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等

高中数学解题方法归纳总结

高中数学解题方法归纳总结 一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。 二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。

高考数学巧用判别式

巧用判别式 在解题中，大家往往会遇到有关一元二次方程a x b xc 20 ++=（a 、b 、c ∈R ，a ≠0）的问题，而利用判别式?=-b a c 2 4解题，却能使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果。所以，如果已知条件中含有二次方程或二次函数，则可考虑直接应用判别式，点击思维，灵活运用。下面通过几例解法，说明一下自己的感悟。 例1. 已知s i n s i n s i n 2221αβγ++=，求证：|s i n s i n s i n |222αβγ ++≤22。 证明：由已知得c o s c o s c o s 222 2αβγ++= 构造函数f x x x x ()(s i n c o s )(s i n c o s )(s i n c o s )=-+-+-ααββγγ 222 =-+++x x 22222(sin sin sin )αβγ 因f x ()≥0 ，所以?=++-≤(s i ns i ns i n )222802αβγ 故|sin sin sin |22222αβγ++≤成立。 说明：本题利用构造法，解题过程简捷、流畅，并且需要有较强的直接观察能力。 例2. 设实数x 、y ，且x x y y 221++=。求x x y y 22-+的取值范围。 解：已知x x y y 221 ++= ① 设x x y y k 22-+= ② ①－②整理得x y k =-121() ③ 由①得()x y x y +=+21，把③式代入得()()x y k +=-2123， 则有12 303()-≥≤k k ，得。 ④ 在条件④下，x y k +=-±32 ⑤ 由③⑤可知，x 、y 是方程t k t k 23212 0+-+-=·的根。 因为t R ∈，所以?=---≥32210k k ()，解得k ≥13 综上可知，133≤≤k ，即13 322≤-+≤x x y y

解析几何综合题解题方法总结.

解析几何综合题解题方法总结 富源县第一中学 解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体, 综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层 次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解 决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维 .即在掌握通性通法的同时, 不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿 .而 应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断 克服解题征途中的道道运算难关 、判别式 2 案例1已知双曲线C : y - 2 2 y 1，直线I 过点A 72,0 ,斜率为k ，当0 k 1时, 双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线I 的距离为72，试求k 的值及此时点B 的坐标。 分析1解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是 研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到: 过点B 作与I 平行的直线，必与双曲线C 相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判 别式 0.由此出发，可设计如下解题思路： 解题过程略. 分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且 仅有一点B 到直线I 的距离为72 ”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思 路: 关于x 的方程 7 kx J 2 X 2 72k 歩~1 72 0 k 1有唯一解

简解：设点M （X,寸2 X 2）为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线I 的距离为: kx J 2 X 2 V 2k J k 2 1 于是，问题即可转化为如上关于X 的方程. 于是关于X 的方程 k 1可知: k 2 1 X 2 2k j 2(k 2 1) Vi kx J 2(k 2 1) 由如上关于X 的方程有唯一解，得其判别式 0，就可解得 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思 维的优越性. 2 判别式与韦达定理 例2.已知椭圆C:x 2 2y 2 8和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A B 两点，在线段 AP AQ AB 上取点Q,使-- -Q ，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. PB QB 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。 42 0 k 1 由于0 k 1，所以J 2 X 2 X kx ，从而有 kX J 2 X 2 V 2k kx 4 2 X 2 72k. kx J 2 X 2 V2k J 2(k 2 1) J 2 J 2(k 2 1) (J 2(k 2 1) J 2k kx)2, 72k kX 0 k 2 1 X 2 J 2(k 2 1) 2k J 2(k 2 1)血k X 逅k kX 0. J2(k 2 1) 0, 方程 k 2 1 X 2 2k J 2(k 2 1) 72k X J 2(k 2 1) 0的二根同正，故 J2(k 2 1) J 2k kX 0恒成立，于是 等价于 2 0. 2丿 5 5

公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 _______ 教学目标： 1、 熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程 2、 通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想 3、 通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度 4、 能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 5、 培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点： 1、 求根公式的推导和用公式法解一元二次方程 2、 会用判别式判定一元二次方程根的情况 教学难点： 1、正确理解“当b 2 4ac 0时，方程ax 2 bx c 0(a 0)无实数根 2、运用判别式求岀符合题意的字母的取值范围 、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程 ax b 0 (其中a 、b 是已知数，且a 工0)的根唯一存在， . b 2 它的根可以用已知数 a 、b 表示为x ，那么对于一元二次方程 ax bx c 0 (其中a 、 a b 、 c 是已知数，且 a ^ 0)，它的根情况怎样？能不能用已知数 a 、b 、c 来表示呢？我们用配方 法推导一元二次方程的求根公式 解： ax 2 bx c 移常数项 x 2 b x - 方程两边同除以二次项系数(由于 a ^ 0，因此不需要分类讨论) a a 2 b b 2 c b 2 x -x () -() 两边配上一次项系数一半的平方 a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 2 (x )2 2 转化为(x m)2 n 的形式 2a 4a 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为a 0所以 4a 2 0 用配方法解一元二次方程 2 ax bx c 0(a 0)

高中数学解题方法(3)待定系数法

待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 一、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2 ＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2 ， 2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2 ，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2 , 1 3 )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207

数学解题方法与技巧数学思想方法总结

数学解题方法技巧 一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y 或者把题中某一变量如x ，用新变量t 的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y 或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y 或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。 例1 分解因式：(x 2-x-3)(x 2-x-5)-3 例2 在实数集上解方程：4141433=-++x x 例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy 的取值范围. 例4 设x,y ∈R ，且14 22 =+y x ，求函数f(x,y)=x 2+2xy+y 2+x+2y 的最小值和最大值。 二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。 例1 解方程组： 11 514=+--y x x+1=y x-y-z=6 例2 解方程组： y-z-x=0 z-x-y= -12 例3、设a,b,c 均为不等于1的正数，若 a x =b y =c z ① 0111=++z y x ②