概率论与数理统计第二章课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第二章

1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

35

35

24

35

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

====

2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律；

（2） X 的分 布函数并作图； (3)

133{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

31331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35

C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ========== 故X 的分布律为

（2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数

0,

022

,0135

()34,12351,2x x F x x x

(3)

3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

312

32

2

3

3(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

故X 的 分布律为

分布函数

0,

00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x

=≤

≥??

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

k

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .

（2） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知

1()e !

k

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

g

故 e a λ-=

(2) 由分布律的性质知

1

1

1()N

N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,

(1)

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++

222233

33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

(2)

=

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机

降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)

【 解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有

()0.01P X N ><

即 200

2002001

C (0.02)(0.98)

0.01k k k

k N -=+<∑

利用泊松近似

2000.02 4.np λ==?=

41

e 4()0.01!k

k N P X N k -∞

=+≥<∑B 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊 松定理） 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000， 001）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

故

所以 4

4

51

210

(4)C ()33243

P X ===

. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （ 2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1 ）3

2

(0)e P X -

== (2) 52

(1)1(0)1e P X P X -

≥=-==-

11.设P { X =k }=k

k

k

p p --22)

1(C , k =0,1,2

P {Y =m }=

m

m m p p --44)

1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5

9

，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=

，故4(1)9

P X <=. 而 2

(1)(0)(1)P X P X p <===-

故得 24(1),9p -= 即 1

.3

p =

从而 465

(1)1(0)1(1)0.8024781

P Y P Y p ≥=-==--=

≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有

5册错误的概率.

【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,.利用泊松近似计算,

20000.0012np λ==?=

得 25

e 2(5)0.00185!

P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为

34，失败的概率为1

4

.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L

113

()()44

k P X k -==

(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+L L

321131313

()()444444

k -=++++g L L 21314145

1()4

==-g 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,，则所求概率为

(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤

由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有

514

e 5(15)10.000069!k

k P X k -=>≈-≈∑

(2) P (保险公司获利不少于10000)

(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤

510

e 50.986305!k

k k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤

55

e 50.615961!k

k k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X 的密度函数为

f (x )=A e |x |, ∞

求：（1）A 值；（2）P {0

()d 1f x x ∞

-∞

=?

得

||0

1e d 2e d 2x x A x A x A ∞

∞

---∞

===??

故 1

2

A =

. (2) 11011

(01)e d (1e )22

x p X x --<<==-?

(3) 当x <0时，11

()e d e 22x x x F x x -∞==?

当x ≥0时，0||0111

()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+???

1

1e 2

x -=-

故 1e ,0

2

()11e 0

2

x

x x F x x -?

?-≥??

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为

f (x )=?????<≥.100,

0,

100,1002

x x x

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】

（1） 150

2

1001001

(150)d .3

P X x x ≤=

=?

33128

[(150)]()327

p P X =>==

(2) 1223

124

C ()339

p == (3) 当x <100时F （x ）=0

当x ≥100时()()d x

F x f t t -∞=

?

100

100

()d ()d x f t t f t t -∞=+?

?

2

100100100

d 1x

t t x

=

=-? 故 100

1,100()0,

0x F x x

x ?-

≥?=??

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为

1

,0()0,

x a

f x a

?≤≤?=???其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时0

1()()d ()d d x

x x

x F x f t t f t t t a a

-∞

====?

??

当x >a 时，F （x ）=1

即分布函数

0,

0(),

01,

x x F x x a a x a

?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即

1

,25

()3

0,x f x ?≤≤?=???其他 53

12

(3)d 33

P X x >==?

故所求概率为

223333

21220C ()C ()33327

p =+=

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1

()5

E .某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5

X E ，即其密度函数为

5

1e ,0

()5

0,x

x f x -?>?=??≤?

x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为

25

101(10)e d e 5

x P X x -∞

->==?

2~(5,e )Y b -,即其分布律为

225525

()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5

(1)1(0)1(1e )0.5167

k

k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服

从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些 （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则

406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--??

<=<== ???

若走第二条路，X~N （50，42），则

506050(60)(2.5)0.99384

4X P X P Φ--??

<=<== ???++

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N （40，102），则

404540(45)(0.5)0.691510

10X P X P Φ--??

<=<== ???

若X~N （50，42），则

504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--??

<=<=- ???

1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X ~N （3，22），

（1）求P{2

【解】（1）

23353

(25)

222

X

P X P

---

??

<≤=<≤

?

??

11

(1)(1)1

22

0.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ

????

=--=-+

? ?

????

=-+=

433103

(410)

222

X

P X P

----

??

-<≤=<≤

?

??

77

0.9996

22

ΦΦ

????

=--=

? ?

????

(||2)(2)(2)

P X P X P X

>=>+<-

323323

2222

1515

11

2222

0.691510.99380.6977

X X

P P

ΦΦΦΦ

-----

????

=>+<

? ?

????

????????

=--+-=+-

? ? ? ?

????????

=+-=

333

(3)()1(0)0.5

22

X

P X PΦ

-

>=>=-=

-

(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（,）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.

【解】

10.050.12

(|10.05|0.12)

0.060.06

X

P X P

?-?

->=>

?

??

1(2)(2)2[1(2)]

0.0456

ΦΦΦ

=-+-=-

=

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥，允许σ最大不超过多少

【解】

120160160200160 (120200)

X

P X P

σσσ

---

??

<≤=<≤

?

??

404040

210.8

ΦΦΦ

σσσ

-

??????

=-=-≥

? ? ?

??????

故

40

31.25

1.29

σ≤=

24.设随机变量X 分布函数为

F （x ）=e ,0,

(0),00.xt A B x ,

x λ-?+≥>?

（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.

【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞

→+

→-=???=??得11A B =??=-?

（2） 2(2)(2)1e

P X F λ

-≤==-

33(3)1(3)1(1e

)e P X F λ

λ-->=-=--=

(3) e ,0

()()0,

0x x f x F x x λλ-?≥'==?

25.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

?

??<≤-<≤.

,0,21,

2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.

【解】当x <0时F （x ）=0

当0≤x <1时0

()()d ()d ()d x

x

F x f t t f t t f t t -∞

-∞

=

=+?

?

?

2

0d 2

x

x t t ==?

当1≤x<2时()()d x F x f t t -∞=?

1

1

1

1

22

()d ()d ()d d (2)d 13222221

2

x

x f t t f t t f t t

t t t t

x x x x -∞==+=+-=+--=-+-?

????

当x ≥2时()()d 1x

F x f t t -∞

=

=?

故 22

0,0,01

2

()21,1221,

2

x x x F x x x x x

26.设随机变量X 的密度函数为

（1） f (x )=a e |x |,λ>0;

(2) f (x )=?

????<≤<<.

,0,21,1

,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由

()d 1f x x ∞

-∞

=?

知||0

21e d 2e d x x a

a x a x λλλ

∞∞

---∞

===

??

故 2

a λ

=

即密度函数为 e ,02

()e 02

x

x x f x x λλλλ-?>??=??≤??

当x ≤0时1

()()d e d e 22

x

x

x x F x f x x x λλλ

-∞

-∞===?

?

当x >0时0

()()d e d e d 2

2

x

x

x x F x f x x x x λλλ

λ

--∞

-∞

=

=+?

??

11e 2

x

λ-=-

故其分布函数

11e ,02

()1e ,02

x

x x F x x λλ-?->??=??≤??

(2) 由12

20

1

11

1()d d d 22

b f x x bx x x x ∞

-∞

=

=+=+?

??

得 b =1

即X 的密度函数为

2,011(),120,

x x f x x x

<

=≤

当x ≤0时F （x ）=0 当0

()()d ()d ()d x

x

F x f x x f x x f x x -∞-∞

=

=+?

?

?

2

d 2

x

x x x =

=?

当1≤x <2时012

1

1()()d 0d d d x

x

F x f x x x x x x x -∞

-∞

==++?

???

312x

=

- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为

20,0,01

2

()31,1221,2

x x x F x x x x ≤???<

27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=，求z α; （2）α=，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=

即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得

1()0.003z αΦ-=

即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得

/21()0.0015z α-Φ=

即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=

求Y =X 的分布律.

【解】Y 可取的值为0，1，4，9

1(0)(0)5

117(1)(1)(1)61530

1(4)(2)511

(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X ====

===-+==+====-=

====

29.设P {X =k }=(

2

)k

, k =1,2,…,令 1,1,.

X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时

求随机变量X 的函数Y 的分布律.

【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L

242111

()()()222

111()/(1)443

k =++++=-=L L

2(1)1(1)3

P Y P Y =-=-==

30.设X ~N （0，1）.

（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.

【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时，()()(e )(ln )x

Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤

ln ()d y

X f x x -∞

=

?

故 2/2

ln d ()1()(ln ),0

d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2

(211)1P Y X =+≥=

当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=

当y >1时2

()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤

212y P X P X ?-??

=≤=≤≤ ? ???

()d X f x x =

故 d ()()d Y Y X

X f y F y f f y ?

?==+? ???

(1)/4

,1y y --=>

(3) (0)1P Y ≥=

当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y

X y

f x x -=

?

故d

()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y

=

=+- 2/2

,0

y y -=

> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：

（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=

故 (1e e)1X

P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=

当1

Y F y P y P X y =≤=≤

ln 0

d ln y

x y ==?

当y ≥e 时()(e )1X

Y F y P y =≤=

即分布函数

0,

1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??

=<

故Y 的密度函数为

1

1e ,()0,Y y y f y ?<

??

其他 （2） 由P （0

(0)1P Z >=

当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤

/2(ln )(e )2

z z P X P X -=≤-=≥ /2

1

/2e

d 1

e z z x --=

=-?

即分布函数

-/2

0,

0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0

故Z 的密度函数为

/2

1e ,0

()20,

z Z z f z z -?>?=??≤?0

32.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=22,0π,π0,

.x

x ?<

试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=

当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=

当0

(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<

arcsin π2

20πarcsin 22d d ππy

y x x

x x -=+?? 22

2211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）

2

arcsin π

y =

当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为

201π()0,Y y f y ?<

其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：

???

??≥

<+=.

)3(,

)2(,

)1(,11

)(2

x x x x F

试填上(1),(2),(3)项.

【解】由lim ()1x F x →∞

=知②填1。

由右连续性+

0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。 从而③亦为0。即

2

1

,0()11,

0x F x x x ?

=+??≥? 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P (A i )=

1

6

.且A 1与A 2相互独立。再设C ={每次抛掷出现6点}。则

121212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+-U

111111

666636

=

+-?=

故抛掷次数X 服从参数为11

36

的几何分布。

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于 【解】令X 为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则

X~b (n ,

00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9n

n P X P X ≥=-==-≥

即 (0.9)0.1n

≤ 得 n ≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

F （x ）=????

?

????≥<≤+<.

2

1,1,21

0,

21,0,0x x x x

则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数.

（A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型.

【解】因为F （x ）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞

=

lim ()1x F x →+∞

=,所以F （x ）是一个分布函数。

但是F （x ）在x =0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ）

37.设在区间[a ,b ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=sin x ，而在[a ,b ]外，f (x )=0，则区间 [a ,b ]

等于（ ）

(A ) [0,π/2]; (B ) [0,π];

(C ) [π/2,0]; (D) [0,

π2

3]. 【解】在π

[0,]2

上sin x ≥0，且π/20sin d 1x x =?.故f (x )是密度函数。

在[0,π]上π

sin d 21x x =≠?

.故f (x )不是密度函数。

在π

[,0]2-

上sin 0x ≤，故f (x )不是密度函数。 在3[0,π]2上，当3

ππ2

x <≤时，sin x <0，f (x )也不是密度函数。

故选（A ）。

38.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大 【解】因为21

3

~(0,),(13)(

)X

X N P X P σσ

σ

σ

<<=<

<

31

()()()g σσσ

=Φ-Φ令

利用微积分中求极值的方法，有

22

3

311()()()()g σσ

σσσ

'''=-

Φ+Φ

22

2

2

9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----==

-=令

得2

04

ln 3σ=

,则

0σ= 又 0()0g σ''<

故0σ<

故当σ=

X 落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P （λ），每个顾客购买某种物

品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律.

【解】e (),0,1,2,!

m

P X m m m λλ-==

=L 设购买某种物品的人数为Y ，在进入商店的人数X =m 的条件下，Y ~b (m ,p )，即

(|)C (1)

,0,1,,k k m k

m P Y k X m p p k m -===-=L 由全概率公式有

()()(|)m k

P Y k P X m P Y k X m ∞

======∑

(1)e C (1)!e

(1)!()!()[(1)]e

!

()!()e e

!

()e ,0,1,2,!

m k k

m k

m m k

m

k

m k

m k k m k m k

k p k p p p m p

p k m k p p k m k p k p k k λλ

λ

λλλλλλλλλ-∞

-=∞

--=-∞

-=---=-=---=-===∑∑∑g L

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1e 2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为

22e ,0

()0,

0x X x f x x -?>=?≤?

由于P （X >0）=1，故0<1e 2X <1，即P （0

当y ≤0时，F Y （y ）=0 当y ≥1时，F Y （y ）=1

当0

Y F y P Y y P y -=≤=≥-

1

ln(1)220

1

(ln(1))

22e d y x P X y x y

---=≤--==?

即Y 的密度函数为

1,01

()0,Y y f y <

?其他

即Y~U （0，1）

41.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=????

?????≤≤≤≤.,

0,63,9

2

,10,31

其他x x

若k 使得P {X ≥k }=2/3，求k 的取值范围. (2000研考) 【解】由P （X ≥k ）=

23知P （X

3

若k <0,P (X

若0≤k ≤1,P (X

011d 333k

k x =≤? 当k =1时P （X

3

若1≤k ≤3时P （X

d 0d 33k x x +=??

若3

d d 39933

k x x k +=-≠??

若k >6,则P （X

故只有当1≤k ≤3时满足P （X ≥k ）=2

3

. 42.设随机变量X 的分布函数为

F (x )=???????≥<≤<≤--<.3,

1,31,8.0,11,4.0,1,

0x x x x

求X 的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为

43.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求A

在一次试验中出现的概率.

【解】令X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P （A ）=p ,则

X ~b (3,p )

由P （X ≥1）=1927知P （X =0）=（1p ）3=827

故p =

13

44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少 【解】

1

,16

()5

0,x f x ?<

24(40)(2)(2)(2)5

P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=

45.若随机变量X ~N （2，σ2），且P {2

P {X <0}= . 【解】22

2

42

0.3(24)(

)X P X P σ

σ

σ

---=<<=<

<

22

()(0)()0.5σσ

=Φ-Φ=Φ-

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

第二章练习题(含答案)

第二章地球上的大气练习题 读大气受热过程图，回答1-2题。 1.图中（） A. 晴朗天气，a大部分为大气吸收 B. 湖泊湿地，b能和缓的加热大气 C. 二氧化碳增多，c较少补偿地面失热 D. 冰雪地面，a→b的转化率增加 2.甲、乙、丙代表太阳辐射能在自然界常见的三种类型，则（） 读下列图表，回答3-4题。 3.下列说法正确的是（）。 A.北京晴转多云，最低气温出现在午夜 B.上海中雨，可能诱发滑坡、泥石流灾害 C.哈尔滨有雾，大气能见度低 D.西宁晴，外出应做好防晒、防中暑准备 4.该日上海与北京最高气温不同，下图中能正确解释其根本原因的序号是（）。 A.① B.② C.③ D.④ 左图为南昌附近一个蔬菜大棚的照片，右图为地球大气受热过程示意图，图中数字代表 某种辐射。回答5-6题。 5.乙图中（）。 A.①能量大部分被大气所吸收 B.②是近地面大气的根本热源 C.③只出现在夜晚 D.④表示散失的少量长波辐射 6.照片拍摄季节，南昌的农民一般会给大棚覆盖黑色尼龙网，而不是我们常见的白色塑料薄膜或者玻璃大棚。照片拍摄的时间以及这样做的目的分别是（）。 A.7-8月；削弱①以减少农作物水分蒸腾 B.10-11月；阻挡②以防止夜间温度过低 C.12-次年1月；增加③以提高土壤的温度 D.6-7月；增强④以降低白天大气的温度 据石家庄机场透露，7日，16时30分，受雾霾影响 石家庄机场能见度由1400米骤降至100米，导致55个

航班被迫取消。16时58分石家庄机场能见度提高，达到起飞标准，第一个离港航班NS3267石家庄至深圳顺利起飞，机场航班陆续恢复正常。下图为我国四个雾霾多发地区。回答7-8题。 7.雾霾天气使能见度降低的原因之一是: A.雾霾吸收地面辐射，增强大气逆辐射 B.雾霾削弱了地面辐射 C.雾霾对太阳辐射有反射作用 D.雾霾改变了太阳辐射的波长 8.图中四地深秋初冬时节多雾，其原因说法正确的是: A.昼夜温差较大，水汽不易凝结，直接附着在地面上 B.昼夜温差减小，水汽不易凝结，直接悬浮于大气中 C.昼夜温差减小，水汽易凝结，但风力微弱，水汽不易扩散 D.昼夜温差较大，水汽易凝结，且该季节晴好天气多，有利于扬尘的产生 火山冬天是指因一座较大的火山爆发，全球数年或者某年没有夏天而只有冬天。2014年9月2日冰岛东南部的巴达本加火山喷发，产生大量的火山灰。下图为火山喷发对大气影响示意图。回答9-10题。 9.火山冬天现象的主要成因是（）。 A.火山灰和二氧化硫弥漫在对流层散射了太阳辐射 B.火山灰和二氧化硫到达平流层削弱了太阳辐射 C.火山灰和二氧化硫削弱了大气逆辐射 D.火山喷发形成酸雨削弱了太阳辐射 10.下列说法正确的是（）。 A.火山爆发的动力是太阳辐射 B.火山喷发的火山灰对航空运输不会产生影响 C.冰岛冬季受低压控制，天气晴朗 D.火山喷发可能会导致降雨量增大 某学校地理兴趣小组设计并做了实验（如下图）。完成11-12题。 11.该实验的主要目的是测试（）。 A. 水循环 B. 温室效应 C. 热力环流 D. 海陆热力性质差异 12.下图中所示地理现象的成因与所示实验原理相同的是（）。 A.① B.② C.③ D.④ 下图为某滨海地区某日某时等压面垂直剖面图（相邻两个等压面气压差相等），回答13-14

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

大学基础会计习题(附答案)及案例(二)

第二章 会计要素与会计等 式 （一）单项选择题 1. 企业的原材料属于会计要素中的（ A .资产 B .负债 C 2. 企业所拥有的资产从财产权力归属来看， A .企业职工 B .债权人 3. 一个企业的资产总额与权益总额（ A .必然相等 B C.不会相等 D 4. 一个企业的资产总额与所有者权益总额（ A .必然相等 B C.不会相等 D 5. 一项资产增加，一项负债增加的经济业务发生后，都会使资产与权益原来的总额（ A .发生同增的变动 C.不会变动 6. 某企业刚刚建立时， ）。 ．所有者权益 D ．权益 一部分属于投资者，另一部分属于（ C ．债务人 D ．企业法人 ）。 ．有时相等 ．只有在期末时相等 ）。 .有时相等 .只有在期末时相等 ）。 ）。 B .发生同减的变动 D .发生不等额的变动 权益总额为 80万元，现发生一笔以银行存款 10万元偿还银行借款的经 济业务，此时，该企业的资产总额为（ ）。 A . 80万元 B . 90万元 7. 企业收入的发生往往会引起（ A .负债增加 B .资产减少 8. 企业生产的产品属于（ ）。 A .长期资产 B ?流动资产 9. 对会计对象的具体划分称为（ A .会计科目 B ?会计原则 10. 构成企业所有者权益主体的是（ A .盈余公积金 B ?资本公积金 11. 经济业务发生仅涉及资产这一会计要素时， A .同增变动 B . C. 一增一减变动 D . 12. 引起资产和权益同时减少的业务是（ A .用银行存款偿还应付账款 C.购买材料货款暂未支付 13. 以下各项属于固定资产的是（ A .为生产产品所使用的机床 C.已生产完工验收入库的机床 （二）多项选择题 1. 下列等式中属于正确的会计等式有（ A .资产=权益 B C.收入-费用=利润 D E .资产+负债-费用=所有者权益+收入 2. 属于引起会计等式左右两边会计要素变动的经济业务有（ ）。 A .收到某单位前欠货款 20000元存入银行 B .以银行存款偿还银行借款 C.收到某单位投来机器一台，价值 80万元 D .以银行存款偿还前欠货款 10万元 C ． 100万元 D ． 70万元 ）。 C ．资产增加 ．所有者权益减少 ）。 C ）。 B D ．固定资产 ．长期待摊费用 ．会计要素 ）。 ．实收资本 只引起该要素中某些项目发生（ 同减变动 不变动 ）。 向银行借款直接偿还应付账款 工资计入产品成本但暂未支付 ．会计方法 ．未分配利润 ） 。 正在生产之中的机床 已购入但 尚未安装完毕的机床 ）。 ．资产 =负债 +所有者权益 ．资产 =负债 +所有者权益 +（收入 - 费用）

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计课后习题答案

习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

管理会计第二章课后习题及答案

思考题 1. 管理会计对成本是如何进行分类的？各种分类的主要目的是什么？ 管理会计将成本按各种不同的标准进行分类， 以适应企业经营管理的不同需 求。 1. 按成本经济用途分类：制造成本和非制造成本。 主要目的是用来确定存货成本和期间损益，满足对外财务报告的需要。 2. 按性态分类：固定成本、变动成本和混合成本。 按性态进行划分是管理会计这一学科的基石， 管理会计作为决策会计的角色， 其许多决策方法尤其是短期决策方法都需要借助成本性态这一概念。 3. 按可控性分类：可控成本和不可控成本 4. 按是否可比分类：可比成本和不可比成本 5. 按特定的成本概念分类：付现成本和沉没成本、原始成本和重置成本、可 避免成本和不可避免成本、差别成本和边际成本、机会成本 6. 按决策相关性分类：相关成本和无关成本 2. 按成本性态划分，成本可分为几类？各自的含义、构成和相关范围是什么？ 按成本性态可以将企业的全部成本分为固定成本、 变动成本和混合成本三类。 1）固定成本是指其总额在一定期间和一定业务量范围内，不受业务量变 动的影响而保持固定不变的成本。但是符合固定成本概念的支出在 的强弱上还是有差别的， 所以根据这种差别又将固定成本细分为酌量性固定成本 和约 束性固定成本。 酌量性固定成本也称为选择性固定成本或者任意性固定成本， 是指管理当局的决策可以改变其支出数额的固定成本。 约束性固定成本与酌量性 固定成本相反， 是指管理当局的决策无法改变其支出数额的固定成本， 为承诺性固 定成本， 它是企业维持正常生产经营能力所必须负担的最低固定成本， 其支出的大小只取决于企业生产经营的规模与质量， 因而具有很大的约束性， 企 业管理当局不能改变其数额。 固定成本的 “固定性”不是绝对的，而是有限定条件的，这种限定条件在 管理会计中叫做相关范围， 表现为一定的期间范围和一定的空间范围。 就期间范 围而言， 固定成本表现为在某一特定期间内具有固定性。 从较长时间看， 所有成 第二章课后习题 固定性” 因而也称

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8

{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。