弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章
2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量ζij 为ζij =???
??
?????1003
100
310010000
00（应力单位） 求出：
（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；
（c ）主应力的大小；
（d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：
(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量n
T i ，得
n
T 1=ζ
1j
n j =ζ11n 1+ζ12n 2 +ζ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 n
T 3=ζ3j n j
=157.31
所以，应力矢量n
T 的大小为
=
n
T [(n
T 1 )2
+(n
T 2 )2
+(n
T 3)2]1/2=314.62
(b)(c)特征方程：ζ3—I 1ζ 2 + I 2ζ—I 3=0
其中I 1 =ζij 的对角项之和、I 2 =ζij 的对角项余子式之和、I 3 =ζij 的行列式。 从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =ζ1+ζ2+ζ3 I 2=ζ1ζ2+ζ2ζ3+ζ3ζ1 I 3=ζ1ζ2ζ3
其中得，ζ1=400、ζ2=ζ3=0 是特征方程的根。 将ζ1、ζ2和ζ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）
=（±1， 0，0）
注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。 (d ）由式（2.96），可算
ζotc =1/3（0+100+300）=133.3
ηotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56
(e) 已经求得ζ1=400、ζ2=ζ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为ηmax =200
2.2（曾海斌）对于给定的应力张量ζij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
ζij =?
??
?
?
???
?
?------4/114
/5)22/(14/54/11)
22/(1)22/(1)22/(12/3（应力单位） （a ）从给定的ζij 和从主应力值ζ1，ζ2和ζ3中确定应力不变量I 1，I 2和I 3； （b ）求出偏应力张量S ij ；
（c ）确定偏应力不变量J 1，J 2和J 3； （d ）求出八面体正应力与剪应力。 解答：同上题2.1（a ）（b ）（c ）方法得到ζ1=4、ζ2= 2 、ζ3=1 对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i
（1）
=（0，
2
1，±
2
1）
n i （2）=（±2
1， 0.5， 0.5）
n i （3）=（±
2
1， ±0.5，±0.5）
（a ）特征方程：ζ3—I 1ζ 2 + I 2ζ—I 3=0
中I 1 =ζij 的对角项之和、I 2 =ζij 的对角项余子式之和、I 3 =ζij 的行列式。 代入数据的：I 1 =7；I 2 =14；I 3 =8
（b ）偏应力张量由式子（2.119）得出S ij =ζ12-p δij ，其中p=7/3
S ij =?
??
?
?
???
?
?-------12/54
/5)22/(14/512/5)
22/(1)22/(1)22/(16/5-
(c)J 1= S ii =0，J 2=1/6[4+1+9]=2.333, J 3=1/27(2*49+9*7*14+27*8)=0.741
(d) ζotc =1/3*7=2.333 ηotc
= 2/3(I 12-3 I 2) 1/2
=1.247
2.3（李云雷）（a ）解释：如果吗？能得出0S ,3321=>>S S S （b ）解释：2J 可以为负值吗？ （c ）解释：3J 可以为正值吗？ 解：
（a ）不能，因为,0321=++S S S 所以3S 不能等于0.
（b ）因为])()()[(6
12
132
322
212σσσσσσ-+-+-=
J ，所以2J 不可能为负值。
（c ）可以，当321,,S S S 中有一个正数，两个负数时3J 为正值。
2.7 （金晶）证明以下关系
（a ）2
212
13
J I I =
-
证明：
1123
2121332
2
2
2
2
11231233122
2
2
1231213322222
12123121332121332
22
2
12312133221()()2()22211(222)33
1
1
()()33
1[(6I I I I I J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++=++=++=++++=+++++-=+++++-++=++-++=- 2
2
2
222
213321*********
212
1
1)()()]()()33
13
J I I σσσσσσσσσσσσσσ+-+-=++-++∴=-
（b ）
3
33121
123
27
J I I I I =-
+
证明：
1123
21213323123
121231213322
2
2
2
2
2
123121232321313
322222233121123123121232321313123()()
31212(3)()
327327I I I I I I I I I σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++=++==++?++=++++++-+=-+++++++++=2
2
2
2
2
2
333
1212323213131231233111213212223
11223331
323311
2
4
()()9279131
(3
ij jk ki ij ij ij
jk jk jk
ki ki ki ij J s s s s p s p s p p
s p s p s p s p
p p σσσσσσσσσσσσσσσσσσσδσδσδσσσσσσσσσσσσσ-+++++++++==-=-=--????=-∴=-=-=-????-??
=+ 同理代入得
233123123222222333
121232321313123123
3
33121
)()()()
124()()927912
327J s s s p p p J I I I I σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+==-?-?-=-+++++++++∴=-+代入下式
（c ）1
22oct 12=33I I τ-（）
证明：
2222
1123123312212133222
2
2
2
2
2
32
13
12
1
212312133222222321312121
2
2
oct 12()()2()3(
)(
)(
)
2
2
2
44[()()()](3)92229
=33
oct
I I I I I I I I σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσστ
τ=++=++++=++---∴-=++---=++---=++=-∴- （）
(d)
2123213()
J s s s s s s =-++
证明：
222
2112233122121122222222221
2
3
11
22
33
12
23
31
2221122332211331223
31
12321311()
2
2
11()(222)
2
2
()
ij ji J s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s σ
σ
σσσ
σ
==
+++++???=++=+++++=---+++=-++
2.9（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。 证明：设静水应力为),,(p p p ，从主方向的定义有i j ij n n σσ=，从给定的应力状态中减去静水应力得i j ij ij n p n p )()(-=-σδσ，即：
1313212111)()(n p n n n p -=++-σσσσ
2323222121)()(n p n n p n -=+-+σσσσ
3333232131)()(n p n p n n -=-++σσσσ
把等式右边的i pn 移项到左边得
1313212111n n n n σσσσ=++
2323222121n n n n σσσσ=++
3333232131n n n n σσσσ=++
所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。
2.10（张东升） 证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量n S 。
证明：关于主应力轴，任意平面上n S 是用1σ，2σ， 3σ由式
2
2
22222
2
112
2
3
3
11
2233()
()n S n n
n n n n σσ
σ
σσσ
=++-++给出。
现假设静水应力状态（,,σσσ）是被叠加上去，得一组主应力
123
,,σσσσσσ+++。对于这一新的应力状态，在任意斜截面i n 上的剪应力分量由
下
式
得
出
：
2
2
2
2
2
2
2
2
22
112233112233[()()()][()()()]
n S n n n n n n σσσσσσσσσσσσ=+++++-+++++
由恒
等
式
1i i n n =，
将
上式展
开
化
简得
2
2
22
2
2
112
233
112
2
3
3
()
()n S n n
n n n n
σσσσσσ
=++-++。
这表明，原结论成立。
2.11 （黄耀洪）画出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。
求
(1)
10030303
2ij
σ??
??=??????
的主应力，
1112233103215
I σσσ=++=++=
222311*********
33
31
33
21
22
3010310062093047
23
20
3
I σσσσσσσσσσσσ=
+
+
=++=+-+=
11
1213321
222331
32
33
1003030333
2I σσσσσσσσσ??
??
===??????
代入3
2
1230
I I I σσσ-+-= 解得1
11
σ
= 2
3σ=
31
σ=
同理，解得
(2)
3000700
5ij
σ
??
??=-????-??
的主应力
13σ= 25σ=- 37
σ=-
(1)
ij σ(2)
ij
σ在主应力空间上的两个应力状态如下图所示：
求
10
030303
2ij
σ??
??=??????
的
1
ρ 、
1
θ
1155
3
3I p =
==
111156
s p σ=-=-=
22352
s p σ=-=-=-
33154
s p σ=-=-=-
1
2
222
1123
()7.48
s s s ρ=++=
2
2
2
21231()28
2
J s s s =
++=
1cos 0.98
θ=
=
1arccos 0.981128θ'
==?
同理，求得
(2)
3000700
5ij
σ??
??=-????-??
的2
7.48
ρ
= 、 2
1128θ
'
=?
(1)
ij σ(2)
ij
σ在偏平面上的投影如下图所示：
2.12 （李松） 如果σij t jk =t ij σjk , σij 和t ij 为两点的两个应力状态，证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将t ij 作为另一个应力张量——如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）
证明：由题意得：σij t jk =t ij σjk 对i 、j 取1至3展开关系式得： σ11t 1k +σ12t 2k +σ13t 3k = t 11σ1k + t 12σ2k + t 13σ3k （1） σ21t 1k +σ22t 2k +σ23t 3k = t 21σ1k + t 22σ2k + t 23σ3k （2） σ31t 1k +σ32t 2k +σ33t 3k = t 31σ1k + t 32σ2k + t 33σ3k （3）
参照
σij 的主轴，即i ≠j 时，σij =0. 所以，对于（1）式
K 分别取2、3.由于i ≠j 时，σij =0. 则有： K=2时，σ1t 12=t 12σ2 ；k=3时，σ1t 13=t 13σ3
对于σ1＞σ2＞σ3，t 12=0和t 13=0. 同理由（2）（3）式可得： t 21=0和t 23=0，t 31=0和t 32=0.一般地，i ≠j 时，t ij =0. 所以t ij 的主方向与σij 的主方向重合
2.14 （卢俊坤）在偏平面上画出下列函数：
（a ）212k J =
（b ）6
22
33
225.2k J J =- （c ）3max k =τ
其中，321k k k 和、为常数。
解：（a ）依题意得：将 212k J = 代入 22J =
ρ 得 21k =ρ
所以，在偏平面上的图像为以三轴交点为圆心，半径为21k 的圆。 函数图象如图a 所示（利用Matlab 绘制，图线与最外围的黑线圆重合，绘图时常数1k 暂不考虑）。
图a
（b ）依题意得：由 2
/32
32
333cos J J =
θ 及 22J =
ρ
得：3
2
2
2
33cos 27
4J J ?=
θ 和 2
2
2ρ
=
J
再代入 62233225.2k J J =- 得：2
6
/122)
3cos 3
11(k =
?-
ρθ
函数图象如图b 所示（利用Excel 和Matlab 绘制，以'1σ为x 轴，绘图时常数2k 暂不考虑）。
图b （c ）依题意得：由 3max k =τ 得：312)3
sin(
2k =+=θπ
τ
再得：2
)3
sin(
3?
=+k θπ
ρ
令 ρ
θρ
θρy
x
y x =
=
+=
sin ,cos ,2
2 得
2
23=+y x
函数图象如图c 所示（利用Excel 和Matlab 绘制，以'1σ为x 轴，绘图时常数3k 暂不考虑）。
图c
2.15 （兰成）如果由两个应力状态叠加得出一个应力状态，证明： （a ）其最大主应力不大于单独的最大主应力之和； （b ）其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和；
（c ）静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加，但剪力分量合成是两个单独状态的矢量相加。
证明：假设两个应力状态为：
)
1(3
)
1(3)
1(2
)
1(2)
1(1
)
1(1)
1(n T n T
n T
T n ++=和)
2(3
)
2(3)
2(2
)
2(2)
2(1
)
2(1)2(n T
n T
n T
T
n ++=
叠加之后得到：)
3(3
)
3(3)
3(2
)
3(2)
3(1
)
3(1)
3(n T
n T
n T
T
n ++=
正应力为i i n
n
n n T n T =?=σ，剪应力为22
2n
n n
T S σ-??
?
??=。
（a ） 应力状态的叠加是矢量的叠加，当这两个应力状态的方向相同时，叠加之后得到的应力状态方向也相同，其最大主应力等于两个单独的最大主应力之和；当方向相反时，最大主应力为两个单独的最大主应力之差；当两个应力状态的方向不同时，叠加之后得到的应力状态的方向沿两个应力状态方向所夹的平行四边形的对角线方向，根据平行四边形法则，其最大主应力小于单独的最大主应力之和。所以，叠加之后其最大主应力不大于单独的最大主应力之和。
（b ） 同（a ）的分析方法，两个应力状态方向相同时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之和；方向相反时，叠加后最大剪应力等于单独的最大剪应力之差；方向不同时，根据平行四边形法则，叠加后最大剪应力小于单独的最大剪应力之和。所以，叠加之后其最大剪应力不大于单独的最大剪应力之和。
（c ） 因为静水压力张量相当于常数正应力张量，两个常数正应力张量方向一致，其合成不改变其主方向。因此，静水压力分量的合成是两个单独状态简单的代数相加。因为在所有方向上加减一个常数正应力不会改变其主方向，偏应力张量与原应力张量的方向一致。所以剪力分量合成相当于原应力张量合成，即矢量相加。
2.16 （黄莉根）从式（2.172）出发，其中s 1=[(2ζ1-ζ2-ζ3)/3]，并利用式（2.104）~式（2.113）给出的关系（对于ζ1≥ζ2≥ζ3）： (a) 证明；式中0,]
1[21cos max
min 2
/12≥=
+-+=
ττξξξξθ
(b) 证明对于0≤ξ≤1，θ在0≤θ≤π/3的范围内变化；
(c) 定义称作Lode 的应力参数μ为 3
11
322σσσσσμ---=
证明以下关系：
( i ) μ=2ξ-1； (ii ) );3/()1(4
3sin 2
2+-=
μμθ
(iii) 。，则即如果11)10(321≤≤-≤≤≥≥μξσσσ 证明：(a) 由式（2.172）知 2
123cos J s =
θ
s 1=[(2ζ1-ζ2-ζ3)/3]=[(ζ1-ζ2)+(ζ1-ζ3)]/3=[2η12+2η
13
]/3
∵ ζ1≥ζ2≥ζ
3，
则有 η12
=η
min
η
13
=η
max
∴ s 1=2[η
min
+η
max
]/3
又由式（2.134） oct oct J J ττ2
33222=
=
，得
oct
oct
J s ττττττθmax min max min 2
13
22
33
)(22
323cos +=
+=
=∴
2
/12
2
max
max min
]
1[211
9
813
21
3
2+-+=
+-+=
+=
ξξξξξξττττoct
其中用到式（2.110）max
2
22
)1(9
8τ
τξξoct
R =
+-=，证毕。
(b) 令：cos θ=()1/2
2
121f ξξξξ+=
??-+??
，其中：01ξ≤≤
()()()1/2
2
121313f ξ
ξξξ+=
??
+-++??
，
1112
1ηξ
≤
=≤+
分子分母除以1ξ+，配方可得下式：
()()
1/2
2
1
11
2324f ηη=
?
?
-+???
?
，其中：
112
η≤≤
可以解得：()112
f η≤≤
即：
1cos 12
θ≤≤，则03
π
θ≤≤
，证毕。
(c) ( i )1)
(2)
(2223
1323
131323
11
32---=
----=
---=
σσσσσσσσσσσσσσσμ
ξ
τττττττττ212
112
1212max
min max
min
max max
int
13
23
-=-=--=-=
-=
(i
i)
3
)21()
1(3444363)121(
1cos 1sin 2
2
2
22
2
2
2+--=
+-+-=
+-+-=-=ξξξξξξξ
ξξθθ
3
)
1(433
)21(4/]1)21[(32
2
2
2
++=
+-+-=
μμξξ
(iii) 如果ζ1≥ζ2≥ζ3，即0≤ξ≤1则
-1≤μ=1-2ξ≤1
2.17 （周浩超、陈康海） 考虑对于主偏应力的式（2.129）
并代入导出
(a) 考虑后一等式与三角几何恒等式 331sin sin sin 3044
ψ-ψ+
ψ=
的相似性，采用
r =
和33/2
2
sin 32
J J ψ=-
证明r 和对于
是不变量。
解：因为32/3
2
cos 32
J J θ=
32/32
sin 3cos 32
J J
θ
∴ψ=-
=-
题目中已知r = 2.172
）cos θ=
可得1c o s s r θ
=
因为co s 3θ的值为与偏应力不变量2J 和3J 有关的不变量。 所以说sin 3ψ和r 与2J ，3J 有关的不变量。即r
和
对于
是
不变量。
（b ）利用（a ）中得出的结果及式（2.166）和式（2.175）证明： （i
）r =
解：式（2.166）
2221/2
123()
NP s s s ρ==++=
式
(2.175) 33/2
cos 32
J J
θ=
可知
ρ=
得 2
24
J ρ
=
r ∴=
=
=
得证
r =
(ii)对于
0，，以及范围内
变化。
解：已知
32/3
2
cos 32
J J θ=
32/32
sin 3cos 32
J J
θ∴ψ=-
=-
而 sin 3cos 3sin(
3)sin(3)2
2
π
π
θθθψ=-=--=-
=-
2
π
θψ 33
6
π
θ∴ψ=- 03
π
θ≤≤
-
6
3
π
π
∴ψ≤ψ≤
在范围类变化
（c ）对于由主应力定义的任意应力状态，并考虑在平面上
的投影（如图2.30所示），求解在以下条件中相应的和：
（i ） 2σ= 或；
解：已知
1
23231
312
200
3200
320
3ij s σσσσσσσσσ=
---??
????--??????
--?????
?
()2222122331
1
()()6J σσσσσσ??
=
-+-+-?
? 3123J S S S = ， 03
π
θ≤≤
， 6
π
θψ=-
由于代入已知式子，得3
1233
2()
3
J σσ-=
， 3/2
3/232
121()()3
J σσ=-
33/22
2cos 312
2
J J
θ=
?
=
?
=
30θ∴= 00
=0=-=-306
π
θθψ得，
（ii ）2σ=
或
；
解：2
2131()3
J σσ=- 3
3313
2()
3
J σσ=
-
2cos 312
θ-∴=
?=-
3,603
π
θπθ∴==
= 0
306
π
θψ=-
=
（i i i ）
2131()2
σσσ=+ 或1
2
ξ=
，0μ=
解：
2131
()2
σσσ=
+ 2
2131=-4J σσ得（），3=0
J
cos 30θ∴= 0
306
π
θ== ，006
πθψ=-=
2.18 （李树旺、李炜） 对于纤维增强（金属基）复合材料，考虑下面的“屈服函数”： 2
1232
2
194(41)
f L L L k α
λ=++=-
其中，2
2
2
1202030023ij 120
,1,,,,4
11,,2
31().,d 3
x 030903i i j jk ki i j ij ij ji ij jk ki
ij ij kk ij i i
i J I I L I I L I I d d s s I d d s J s s J s s s s s x x x αλσσδ??αλ=-+
=-====
=
=+-==和k 是材料常数，组合不变量L 表示为L 其中，是对称二阶张量，参照坐标轴假定矢量位于平面内，构成角（轴反时针测量）。
对于，，以及和=7，画11221112,)(ii),(,)
σσσσ出在下例子应力空间中由f 表示的表面的投影：（i) (
第三章
3.1（黄耀洪）给定一点上的相对位移量
'
ij
ε，试证明对于坐标轴的转换
'2
'2
'2
()
x y z εεε++是不变量。
证明：
2
2
2
2
2
2
21122223333112
2
2
1223312
2
2
221
()2()2()2()2x y z x y z x y y z z x x y z x y z x y z I I εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε++=+++++=+++++=+++++'
=+++'=
∴
'
-'
=++2
2
1
2
2
2
2I I z y x εεε
3.1 （张东升）给定一点上的相对位移张量'
ij ε，试证明对于坐标轴的转换
'2'2'2
()x y z εεε++是不变量。
证明：给定一点上的相对位移张量'ij ε。在无限小变形情况下，其各分量'ij ε很小，
其乘积与其分量一次项相比可忽略不计。
设线元OP =单位矢量n ，假设线元在纯刚体运动后所处新位置为''O P ，则
2
2
2
2n n
n
n n
n δδ
=+=+。因考虑的是无限小变形，'n
δ的高次项被忽略，由''n i ij
j
n δε=代
入
上
式
得
：
'
'
()0
n n
i i ji j n n n n δδε===，
即
'
'2
'
2
'
2
'
'
'
11
1
2
22
333
12
21
122
()()()0j i
i
j
n
n n n n n
n n n εε
ε
εε
εεεεε
=++++++
++
。 因为对于任意123,,n n n 值上式必须成立，所以张量'
ij ε代表刚体旋转的必要充分条
件为：'''''''''
11
22331221233231130εεεεεεεεε===+=+=+=。 所以'''
0x y
z εεε++=。
3.2 （梁健伟）给定一点上的相对位移张量'
ij ε为
'
0.10
0.200.400.20
0.250.150.40
0.30
0.30ij ε-??
??=--??????
计算：
（a ） 应变张量ij ε； （b ） 旋转张量ij ω；
（c ） 主应变1ε，2ε和3ε及其主方向；
（d ）
对具有方向11,,22n →
?= ?的纤维元，找出应变矢量n
δ
，转动矢量n
Ω和
相对位移矢量'n
δ。
解：
（a ） 由公式：()
()()()()()
'
'
'
'
'
11122113
31''
'
''
122122
2332'''
'
'
133123
3233
112
2
11
2
2
11
2
2
ij εεεεεεεεεεεεεεεε??++??
?
?
??=++???
???++????
由已知条件可得：
0.1000
0.250.0750
0.075
0.3ij ε??
??=??????
（b ） 由公式：()
()()()()()
'
'
''
12
2113
31''
''21
1223
32
''''
311332
231
102
2
11
022
11
22
ij εεεεωεεεε
εεεε?
?--?
??
???=--???
???--???
?
由已知条件可得：
0.20.40.200.2250.4
0.225
0ij ω+-??
??
=--??
????
（c ） 由主应变特征方程：3'2''1230I I I εεε-+-=
'
1112233I εεε=++=0.65
222311131112'
232
33
31
33
21
22
I εεεεεεεεεεεε=
+
+
=0.799
11
1213
'
321
222331
32
33
I εεεεεεεεε==0.074 带入特征方程中可以解得：1230.354,0.196,0.10εεε=== 由公式()0ij ij j n εεδ-=，将1,2,3,εεε带入可得到：
1ε主方向： ()
()10,0.5847,0.8113i
n =±±； 2ε主方向： ()
()20,0.8113,0.5847i
n =±±；
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析知识点 位移与变形 正应变 纯变形位移与刚性转动位移 应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组 体积应变 变形协调方程 变形协调方程证明变形与应变分量 切应变 几何方程与应变张量 位移增量的分解 应变张量 应变状态特征方程 变形协调的物理意义 变形协调方程的数学意义多连域的变形协调 一、内容介绍 本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。 对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。 应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。 二、重点 1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量； 2、几 何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变 状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程 与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程 学习思路: 由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。 弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。 由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。根据正应变和切应变定义，不难得到应变与位移的关系－几何方程，或者称为柯西方程。 几何方程给出的应变通常称为工程应变。几何方程可以表示为张量形式，应该注意的是，正应变与对应应变张量分量相等；而切应变等于对应的应变张量分量的两倍。 几何方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。 学习要点： 1、位移函数； 2、变形与应变分量； 3、正应变表达式； 4、切应 变分量；5、几何方程与应变张量。 1、位移函数 由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，即产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。 第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。 第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形。 一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。当然，对于弹性力学，主要是研究变形，因为变形和弹性体的应力有着直接的关系。 根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连
弹性力学重点复习题及其答案
弹性力学重点复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为 了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
弹性理论习题及答案
第三章弹性理论 姓名班级学号考试时间：20分钟 一、单项选择题 1、点弹性和弧弹性之间（）关系 A、有 B、没有 C、不确定 2、冰棒的需求价格弹性（）药品的需求价格弹性 A、大于 B、小于 C、等于 D、大于或等于 3、供给弹性（）点弹性和弧弹性的区分 A、有 B、没有 C、不确定 4、垂直的需求曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 5、水平的供给曲线是（）弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 6、一种商品价格下降，另外一种商品需求上升，则两种商品之间是（）关系 A、互补品 B、替代品 C、正常品 D、劣品 7、在长期中，供给曲线更（）弹性 A、缺乏 B、富有 C、不确定 D、依商品而定 8、容易被替代的商品，其需求弹性（） A、大 B、小 C、不确定 二、多项选择题 1、弹性一般分为（）弹性 A、供给 B、需求 C、价格 D、收入 2、利用价格需求弹性可以区分出（） A、生活必须品 B、奢侈品 C、经济商品 D、免费物品 三、简答题 1、影响商品需求价格弹性的因素 2、需求价格弹性的五种情况
答案 一．单项选择题 2. A 二．多项选择题 三．简答题 1. 影响商品需求价格弹性的因素 (1). 必需品与奢侈品 一般地说，奢侈品需求对价格是有弹性的，而必需品则是缺乏弹性的。 (2). 相近替代品的可获得性 一般来说，相近替代品越多的商品越富有弹性。替代品多，消费者从这种商品转向购买其他商品较为容易，对商品价格更敏感（如，香烟）。 (3). 商品所划定范畴的大小 一般来说，如果某产品存在着很接近的替代品的数量愈多，其需求价格弹性愈大。 (4). 时间的长短 计算某种商品价格弹性系数所考虑的时间愈长，其系数会愈大。当某一商品价格上升时，消费者需要一段时间去寻找可以接受的替代品，因此，短期内对该商品的需求量变化不大，而长期内消费者更可能转向其他替代品，因此，该提价商品的需求量变化会更加明显些。 2. 需求价格弹性的五种情况 (1). 当e=0时，需求对价格是完全无弹性的，即需求量与价格无关。则需求曲线为一条垂直于x轴的直线。如，垄断价格；婚丧用品，特效药等接近于完全无弹性。 (2). 当e=1时，需求对价格为单位弹性，即价格变化的百分比与需求量变化的百分比相等。 (3). 当e=∞时，需求对价格是完全有弹性，即需求曲线为一条垂直于P轴的直线。如，银行以某一固定的价格收购黄金；实行保护价的农产品。 (4). 当e>1时，需求对价格富有弹性，即需求变化的幅度大于价格变化的幅度。如，奢侈品。 (5). 当e<1时，需求队价格缺乏弹性，即需求变化的幅度小于价格变化的幅度。如，生活必需品。
弹性力学题库.doc
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”是指（B）。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A）。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D）。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于弹性阶段的应力、应变和位移。 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答：1）研究对象更为普遍； 2）研究方法更为严密； 3）计算结果更为精确； 4）应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。（×） 改：弹性力学不仅研究板壳、块体问题，并对杆件进行精确的分析，以及检验材料力学公式的适用范围和精度。 7、弹性力学对杆件分析（C）。 A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）
A 、材料力学 B 、结构力学 C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答：该构件为变截面杆，并且具有空洞和键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都是体力。（√） 11、下列外力不属于体力的是（D ） A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上，所以它属于内力。（×） 解答：外力。它是质量力。 13、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。（ × ） 解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为（D ） A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1 τ2 τ3 τ4 τO x y z 15、按弹性力学规定，下图所示单元体上的剪应力（ C ）。
第二章弹性力学基础
第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力?比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。
弹性力学教材习题及解答
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。
弹性力学试题
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”就是指(B)。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识就是(A )。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都就是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的就是(D )。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下,处于(弹性)阶段的(应力)、(应变)与(位移) 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题;并对杆状结果进行精确分析,以及验算材力结果的适用范围与精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答:1)研究对象更为普遍; 2)研究方法更为严密; 3)计算结果更为精确; 4)应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件,不能分析板壳;弹性力学研究板壳,不能分析杆件。(×) 改:弹性力学不仅研究板壳、块体问题,并对杆件进行精确的分析,以及检验材料力学公式的适用范围与精度。 7、弹性力学对杆件分析(C) A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力与位移分析要用什么分析方法？(C) A、材料力学 B、结构力学
C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答:该构件为变截面杆,并且具有空洞与键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于( B )。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都就是体力。(√) 11、下列外力不属于体力的就是(D) A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上,所以它属于内力。(×) 解答:外力。它就是质量力。 13、在弹性力学与材料力学里关于应力的正负规定就是一样的。( × ) 解答:两者正应力的规定相同,剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为(D) A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1τ2 τ3τ4τO x z 15、按弹性力学规定,下图所示单元体上的剪应力( C )。
应用弹性力学教程第三章
第三章薄壁结构的构造与传力——板与壳3．1 飞机薄壁结构所承受的载荷 3．2 结构元件的功用 ·现代飞机结构是由蒙皮、横向加强件、纵向加强件组成的薄壁结构。他们中绝大多数用金属材料制成。近年来部分结构元件开始采用复合材料，包括金属基和陶瓷基复合材料。
·飞机结构的主要功用是支撑和传递飞机在使用中所遇到的载荷，提供最佳的气动外形，以及保障乘员、有效载重等免遭飞行和着路时所处外部环境条件的危害。 ·无论是机翼尾翼还是机身都可看作是蒙皮外壳+纵横加强元件组成： 每种元件在承力和传力过程中都有其各自独有的作用，实际人员可根据不同的传力方案来进行薄壁结构的不同布局。 （一） 机翼 机翼结构由蒙皮、翼肋、翼梁以及长桁等组成，如图3.1所示。 机翼支承在机身上，机身一侧的半个机翼?? ?比）像一根悬臂板（小展弦比）像一根悬臂梁（大展弦 机翼上的???? ? ????? ???????→?????????? ???????→→???????传到机身支承端 翼梁腹板剪流蒙皮剪流通过剪切扭转来承受蒙皮正应力翼梁腹板正应力翼梁突缘轴力长桁轴力由弯曲机翼上发生外挂载荷等油箱载荷起落架载荷气动力
?? ?? ?? ?? ? →?? ?→???? ???????→?? ?? ??????????→?翼梁腹板剪流 翼梁气动力蒙皮剪流翼肋腹板剪流翼肋气动力长桁气动力 拉伸剪切弯曲蒙皮气动力转变通过蒙皮 注意：（1）长桁支撑在翼肋上，就像一根具有多支点（即翼肋支点）的连续梁，将其上的空气动力转变为支点上的集中力而作用在翼肋上； （2）翼肋上的空气动力，加上长桁传来的集中力，通过翼肋本身的受力， 而以剪流形式传给蒙皮和翼梁腹板。 （二） 蒙皮 机翼蒙皮的主要作用是形成飞机结构光滑而密闭的表面，产生、支承并传递不均匀分布的空气动力。机翼之所以能成为飞机的主要升力面，就由于它能产生这种不均匀分布的空气动力(图 3.3和图3.4)。 蒙皮具有较强的抗拉能力。但是，薄的蒙皮却缺乏较高的抗压和抗剪能力。蒙皮愈薄，愈容易在受压和受剪时失去稳定性而发生屈曲。
(完整word版)弹性力学简明教程(第四版)_第二章_课后作业题答案
第二章 平面问题的基本理论 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
弹性力学课后习题详解
第一章习题 1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。 1．均匀的各向异性体： 如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 2．非均匀的各向同性体： 实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。 实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。 再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。 3．非均匀的各向异性体： 如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体 理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。 一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。 一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。 一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。 一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。 1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途 连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性，
(完整word版)弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
弹性力学简明教程 课后习题答案
《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2－1 是 2－2 是 2－3 按习题2－1分析。 2－4 按习题2－2分析。 2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。 2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。 2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。 2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。 2－10 参见本章小结。 2－11 参见本章小结。 2－12 参见本章小结。 2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）应力边界条件（假设)。 2－14 见教科书。 2－15 见教科书。 2－16 见教科书。 2－17 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 2－18 见教科书。 2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。 第三章习题的提示与答案 3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力， （3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3－3 见3-1例题。 3－4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是： 主要边界： 所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；上边界有向下的法向面力q。 次要边界： x=0面上无剪切面力作用；但其主矢量和主矩在x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。 3－5 按半逆解法步骤求解。 （1）可假设 （2）可推出 （3）代入相容方程可解出f、，得到 （4）由求应力。 （5）主要边界x=0,b上的条件为 次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 读者也可以按或的假设进行计算。 3－6 本题已给出了应力函数，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即 而在次要边界y=0 上，已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0， 使本题无解），可用积分条件代替： 3－7 见例题2。 3－8 同样，在的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。
弹性力学 第二章 应力状态分析
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
弹性力学试题及答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
第二章弹性力学的基本原理
第二章 弹性力学的基本原理 §2.1 应力分析 2.1.1应力与应力张量 应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ?, 设S ?的外法线为ν, S ?上的力为T ?，如极限ν???T S T S =→/lim 0 存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。 考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有 j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3 1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到 九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量： ? ?? ?? ??=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或??? ? ? ??=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。 2.1.2 柯西(Cauchy)方程 记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α ),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。 设此斜截面ABC ?的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为 ??? ?? ?=?=?=?=?=?=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α?α?α?n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即 j n j n T e T )()(= (2.4) 另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为 ()031 3)3(2)2(1)1()(=??+?+?+?-?h S S S S S n f T T T T (2.5) 其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ?3 1 为此微元的体积。当
弹性力学习题集
1 《弹性力学》习题 第一章：绪论 第二章：平面问题的基本理论 一、试导出求解平面应力问题的用应力分量表示的相容方程。 二、试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出这两类平面问题 中弹性常数间的转换关系。 三、弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 四、写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 五、求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？ 六、试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程） , , 。 七、试写出应力边界条件： （a ）图用极坐标形式写出；（b ）图用直角坐标形式写出。 八、已知受力物体中某点的应力分量为：0,2,,,0,2x y z xy yz zx a a a a σσστττ======。试求 作用在过此点的平面31x y z ++=上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面的正应力和切应力。 九、图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面受力P 作用。不计体力，试求梁的应 力分量。（应力函数取为3Axy Bxy ?=+） 十、试用下面的应力函数求解如图所示挡水墙的应力分量。已知挡水墙的密度为ρ，厚度为 h ，水的密度为γ。
2 五、 2、（10分）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受 P 力的作用，其余边界上均无面力作用。试证明A 点处为零应力状态。 第三章：平面问题的直角坐标解答 三、写出下列平面问题的定解条件 1、（10分）楔型体双边受对称均布剪力q 。 2、（10分）楔形体在一面受有均布压力q 和楔顶 A y 2233 3 3161066x y x Axy Bxy C x y D Exy ???=-++++ ???
(完整版)弹性力学复习题期末考试集锦(2)
弹性力学复习题（06水工本科） 一、选择题 1. 下列材料中，（）属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 2 关于弹性力学的正确认识是（）。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 4. 所谓“完全弹性体”是指（）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 5. 所谓“应力状态”是指（）。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 6. 变形协调方程说明（）。 A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的； B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束； C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件； D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。 7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。 A. 几何方程适用小变形条件； B. 物理方程与材料性质无关； C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件； D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件； 8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以
最新弹性力学复习重点+试题及答案【整理版】
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。