第九章立体几何

276 宇宙生命的数学秘密（1）

宇宙是数与形的统一体，奇妙的世界处处体现数学的奥秘！只要我们细心体验，就会发现数学的无所不在、无处不有的妙趣！

生命的每一个层面都有数学的身影，要看见它，只需细心观察要回答有关生命的所有问题，谈何容易。要完全理解生命的本质，必须依靠数学的帮助。无论在哪一个层面上，从分子结构中，从生态系统中，从千姿百态的生命现象中，我们都能找到各种数学规律。让数学和生物学紧密结合的时候来到了。

277宇宙生命的数学秘密（4）---放射虫的骨架

放射虫是一种只有在显微镜下才能看到的海洋生物，这些微型动物用自己的机体构筑起各式各样的外观十分美丽的数学图案，一些图案与欧几里德的正多面体形状惊人地相似——其中有八面体、

十二面体、二十面体等等。有人会说，这种相似性实在太离奇了，

作者对这些骨架的规律性也许有点夸大其词了。即便如此，这些生

物所呈现出来的漂亮、精巧且十分规则的图案总是毋庸置疑的事

实。它们看上去就像一个个小小的数学模型。

278 宇宙生命的数学秘密（5）----美丽的鹦鹉螺

螺线是另一种极为普遍且与生命相

关的数学形态。我们对蜗牛背上的螺线形

外壳都已十分熟悉，甚至许多人对海中的

峨螺和滨螺也有所了解。有些水生贝类（如

珠蚌那样的双壳类动物）则是由两片盘状

的贝壳铰合而成的，它们就没有螺线那种

引人注目的数学美。但多数水生贝类都具

有螺线形的贝壳。

279 宇宙生命的数学秘密（6）----美丽的鹦鹉螺

我们在鹦鹉螺身上看到的也许是最漂亮的螺线了。它的形状非常接近于一种曲线，数学家将其称为对数螺线（或等角螺线）。用一根绳子的一端拴住一块石子，并将整段绳子缠绕在石子上。然后在头顶上方旋转挥舞，让绳子慢慢松开。绳子的长度不断增加，其增加的长度与石子转过的角度是成正比的（比方说，石子每转过30°，绳长就增加10％）。此时，石子运动的轨迹就是一条对数螺线。这种对数螺线如此优美，以至于最早弄清其几何特性的数学家贝努里（JacobBernoulli）还请人将它镌刻在自己的墓碑上。

280 宇宙生命的数学秘密（7）----斐波那契之花

植物王国的数学特征更优美也更神秘。《增殖与形态》一书

用了整整一章阐述植物的几何特征和数字特征——例如，树叶沿

着枝条排列的形状，向日葵籽盘上相互交叉的奇特螺线，花瓣的

数目，等等。其中的数学的确非常奇妙。植物结构经常涉及一个

有趣的数列，我们称之为斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，

34，55，89，144，……

281 宇宙生命的数学秘密（8）------动物的步态（1）

几年前，我曾到英国一个海滨城市参加一次数学研讨会。宾馆距离会场有一段路，时值美丽的春天，我决定徒步前往。一条拉布拉多猎犬走在我的前面，它沿着山路自由自在地小跑着，毫不在乎世界上发生的一切。每当它的身体向一侧移动时，尾巴就偏向另一侧，四只脚在地面上敲击出轻快的节拍。我不知道这条拉布拉多猎犬是否也有诗人的情怀——它也许算不上世界上最有风度的狗，但它走路的节拍可以算是动物王国中完美而典型的自由步态。

282 宇宙生命的数学秘密（9）------动物的步态（2）

仔细观察，我甚至可以看清它的四只脚点击地面的先后次序：左后脚，左前脚，右后脚，右前脚。它始终迈着整齐的步伐，不断重复同样的模式。我们可以用两种相互交织的数学序列概括狗踱步的规律。当然，也可以概括狐狸、马、大象以及其他四足动物步态的规律。步法的一个基本数学特征就是周期性：如果不受地形变化及其他外界因素影响，并且周围也不存在其他动物的话，动物本身是不会改变行进速度的，它会一而再三地重复同样节律的运动。

283 宇宙生命的数学秘密（10）------动物的步态（3）

步法的另一个重要数

学特征乃是对称性。1965年，

美国动物学家希尔德勃兰德

（MiltonHildebrand）着重

指出，对称性普遍存在于各种步法之中。

284 宇宙生命的数学秘密（10）------动物的步态（4）

比方说，动物在跳跃时，两条前腿是一起运动的，两条后

腿也一样。这个动作的对称性是通过动物的左右反射变换

形成的。有些步法的对称性更为精妙。

例如，骆驼走路时，左半身与右半身的移动姿态是一

样的，但位相上相差半个周期——即移动滞后的时间等于

步法周期的一半。这是一种在时空上都对称的步态，同时

包含着在空间和时间上的变化。

为什么步法是一种时空模式呢？这个问题的答案似

乎与振子（周期性变化的事物）的数学原理有关。

268 非欧几何的艰难历程（1）

1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。可是，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。

269 数学家与消防员（1）

数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。” 消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。”

270 数学家与消防员（2）

消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。” 消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？” 数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

269非欧几何的艰难历程（2）

失败的启迪

罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一。公元前3世纪，希腊亚历山大里亚学派1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。可是，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。

270非欧几何的艰难历程（3）

公元前3世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得（Euclid，约公元前330年-前275）集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在这部著作中，欧几里得为推演出几何学的所有命题，一开头就给出了五个公理（适用于所有科学）和五个公设（只应用于几何学），作为逻辑推演的前提。《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意，唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑。

271非欧几何的艰难历程（3）

第五公设是论及平行线的，它说的是：如果一直线和两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的侧相交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句还是在内容上都不大像是个公设，而倒像是个可证的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明，才不得不把它放在公设之列。为给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但都遭到了失败。

272非欧几何的艰难历程（4）

罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始，他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在1816--1817学年度向何教学中给出的几个证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界的。

272非欧几何的艰难历程（5）

罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的

呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法--反证法。这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。

273非欧几何的艰难历程（6）

依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一

点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何罗辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的罗辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。

274非欧几何的艰难历程（7）

1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、天文学家西蒙诺夫（A.M.CИMOHOB），有后来成为科学院院士的古普费尔（A.R.KYI-Iφep）以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼（H.Д.Бp-aшMah）。在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。

275非欧几何的艰难历程（8）

可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得向何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。

275非欧几何的艰难历程（8）

宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。

276非欧几何的艰难历程（9）

罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海，不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已被推选为喀山大学校长，可能出自对校长的“尊敬”，《喀山大学通报》全文发表了这篇论文。1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基（M.B.OCTPOГPAДCK?ИЙ，1801-1862）院士作评定。

277非欧几何的艰难历程（10）

奥斯特罗格拉茨基是新推选的院士，曾在数学物理、?数学分析、力学和天体力学等方面有过卓越的成就，在当时学术界有很高的声望。可惜的是，就是这样一位杰出的数学家，也没能理解罗巴切夫斯基的新几何思想，甚至比喀山大学的教授们更加保守。如果说喀山大学的教授们对罗巴切夫斯基本人还是很“宽容”的话，那么，奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击。同年11月7日，?他在给科学院的鉴

定书中一开头就以嘲弄的口吻写道：“看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作。他达到自己的目的。”接着，对罗巴切夫斯基的新几何思想进行了歪曲和贬低。

277非欧几何的艰难历程（10）

最后奥斯特罗格拉茨基粗暴地断言：“由此我得出结论，罗马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。”这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上反动势力的敌对叫嚣。名叫布拉切克（C.A.БypaЧek）和捷列内

（C.И.ЗeЛeHbi?Й）的两个人，以匿名C．C在《祖国之子》杂志上撰文，公开指名对罗巴切夫斯基进行人身攻击。匿名者在题为《评罗巴切夫斯基的著作《几何学原理》一文中，开始就不怀好意地写道：“甚至难以理解，罗巴切夫斯基先生是如何用数学中最简明的几何学，建立起晦涩的、不可思议和神秘莫测的学说的。”

278非欧几何的艰难历程（11）

文中嘲弄道：“为什么不能把黑的想象成白的，把圆的想象成方的，把三角形内角和想象成小于两直角，把同一个定积分值想象成既等于π/4，又等于∞？非常、非常可能，尽管理智是不能理解这些的。”在文章的结尾处，作者更加放肆地讥讽道：“为什么不写成，例如对几何学的讽刺，几何学漫画等什么的，来代替标题《几何学原理》？”

针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基撰写了一篇反驳文章。但《祖国之子》杂志却以维护杂志声誉为由，将罗巴切夫斯基的文章扣压下来，一直不予发表。对此，罗巴切夫斯基极为气愤。

278非欧几何的艰难历程（12）

《祖国之子》杂志刊登攻击科学家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景的。原来这家杂志的把持者布尔加林（Ф. В. БyjiГapИH）和格列奇（M.И.ГpeЧ）同沙皇秘密政治组织“第三厅”有着联系，?他们靠“第三厅”的资助维持杂志，并且充当帮凶，专门监视和打击先进的思想家和具有革命倾向的科学家。明显表现有无神论和唯物主义倾向的喀山大学校长罗巴切夫斯基，自然要被他们列为危险对象加以监视。借歪曲、诋毁科学新成果，来压制、打击具有进步思想的科学家，是一切反动势力的惯用伎俩。

279非欧几何的艰难历程（13）

罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫斯基（1804－1889?）还在其所著的《平行线》一书中对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性。英国著名数学家莫尔甘（Morgan，1806－1871）对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。

280非欧几何的艰难历程（14）

在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯（Gauss，1777－1855）也不肯公开支持他的工作。?高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有“欧洲数学之王”的盛名，早在1792年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。他把这种新几何最初称之为“反欧几何”。后称“星空几何”，最后称“非欧几何”。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世。

280非欧几何的艰难历程（15）

高斯谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作《平行线理论的几何研究》（1840年）后，内心是矛盾的，他一方面私下

在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论。他积极推选罗巴切夫斯基为哥延根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会上和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，他对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献－－创立非欧几何却避而不谈。

281非欧几何的艰难历程（16）

高斯凭任在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的公认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气。高斯的沉默和软弱表现，不便严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度，而且客观上助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击。晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制，而且在工作上还受到限制。按照当时俄国大学委员会的条例，教授任职的最高斯限是30年，依照这个条例，1846年罗巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，请求免去他在数学教研室的工作，并推荐让位给他的学生A.Φ.波波夫。

282非欧几何的艰难历程（17）

人民教育部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫斯基抱有成见，但又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务。罗巴切夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口，不仅免去了他主持教研室的工作，而且还违背他本人的意愿免去了他在喀山大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击。他对人民教育部的这项无理决定，表示了极大的愤慨。家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿子因患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。

283非欧几何的艰难历程（18）

他的身体也变得越来越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么也看不见了。1856年2月12日，伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。

284非欧几何的艰难历程（19）

罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，他从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。为了扩大非欧几何的影响，争取早日取得学术界的承认，除了用俄文外，他还用法文、德文发现了自己的著作，同时还精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文观测方案。不仅如此，他还发展了非欧几何的解析和微分部分，使之成为一个完整的、有系统的理论体系。在身患重病，卧床不起的困境下，他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著《论几何学》，就是在他双目失明，临去世的前一年，口授他的学生完成的。285非欧285 非欧几何的艰难历程（20）

1868年，意大利数学家贝特拉米（Beltrami，1835－1899）发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

286非欧几何的艰难历程（21）

在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士。同样，一名科学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科这成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果。我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者。

287 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（1）

20世纪即将过去，21世纪就要到来．我们站在世纪之交的大门槛，回顾20世纪科学技术的辉煌发展时，不能不提及20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼．众所周知，1946年发明的电子计算机，大大促进了科学技术的进步，大大促进了社会生活的进步．鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为"计算机之父"．

288 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（2）

约翰·冯·诺依曼（ John Von Nouma，1903－1957），美藉匈牙利人，1903年12

月28日生于匈牙利的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境富裕，十分注意对孩子的教育．冯·诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘．据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言．最擅德语，可在他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语．他对读过的书籍和论文．能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此．

289 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（3）

1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁．1921年一1923年在苏黎世大学学习．很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺依曼年仅22岁．1927年一1929年冯·诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国．

290 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（4）

1931年成为该校终身教授．1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生．冯·诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等校的荣誉博士．他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院土． 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席．1954年夏，冯·诺依曼被使现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁．

291 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（5）

冯·诺依曼在数学的诸多领域都进行了开创性工作，并作出了重大贡献．在第二次世界大战前，他主要从事算子理论、鼻子理论、集合论等方面的研究．1923年关于集合论中超限序数的论文，显示了冯·诺依曼处理集合论问题所特有的方式和风格．他把集会论加以公理化，他的公理化体系奠定了公理集合论的基础．他从公理出发，用代数方法导出了集合论中许多重要概念、基本运算、重要定理等．特别在 1925年的一篇论文中，冯·诺依曼就指出了任何一种公理化系统中都存在着无法判定的命题．

292 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（6）

1933年，冯·诺依曼解决了希尔伯特第5问题，即证明了局部欧几里得紧群是李群．1934年他又把紧群理论与波尔的殆周期函数理论统一起来．他还对一般拓扑群的结构有深刻的认识，弄清了它的代数结构和拓扑结构与实数是一致的．他对其子代数进行了开创性工作，并莫定了它的理论基础，从而建立了算子代数这门新的数学分支．这个分支在当代的有关数学文献中均称为冯·诺依曼代数．这是有限维空间中矩阵代数的自然推广．

293 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（7）

冯·诺依曼还创立了博奕论这一现代数学的又一重要分支． 1944年发表了奠基性的重要论文《博奕论与经济行为》．论文中包含博奕论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际博奕应用的详细说明．文中还包含了诸如统计理论等教学思想．冯·诺依曼在格论、连续几何、理论物理、动力学、连续介质力学、气象计算、原子能和经济学等领域都作过重要的工作．冯·诺依曼对人类的最大贡献是对计算机科学、计算机技术和数值分析的开拓性工作．

294 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（8）

现在一般认为ENIAC机是世界第一台电子计算机，它是由美国科学家研制的，于1946年2月14日在费城开始运行．其实由汤米、费劳尔斯等英国科学家研制的"科洛萨斯"计算机比ENIAC机问世早两年多，于1944年1月10日在布莱奇利园区开始运行．ENIAC机证明电子真空技术可以大大地提高计算技术，不过，ENIAC机本身存在两大缺点：（1）没有存储器；（2）它用布线接板进行控制，甚至要搭接见天，计算速度也就被这一工作抵消了．ENIAC 机研制组的莫克利和埃克特显然是感到了这一点，他们也想尽快着手研制另一台计算机，以便改进．

295 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（9）

冯·诺依曼由ENIAC机研制组的戈尔德斯廷中尉介绍参加ENIAC机研制小组后，便带领这批富有创新精神的年轻科技人员，向着更高的目标进军．1945年，他们在共同讨论的基础上，发表了一个全新的"存储程序通用电子计算机方案"--EDVAC（Electronic Discrete Variable AutomaticCompUter的缩写）．在这过程中，冯·诺依曼显示出他雄厚的数理基础知识，充分发挥了他的顾问作用及探索问题和综合分析的能力．

296 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（10）

EDVAC方案明确奠定了新机器由五个部分组成，包括：运算器、逻辑控制装置、存储器、输入和输出设备，并描述了这五部分的职能和相互关系．EDVAC机还有两个非常重大的改进，即：（1）采用了二进制，不但数据采用二进制，指令也采用二进制；（2建立了存储程序，指令和数据便可一起放在存储器里，并作同样处理．简化了计算机的结构，大大提高了计算机的速度．

297 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（11）

1946年7，8月间，冯·诺依曼和戈尔德斯廷、勃克斯在EDVAC方案的基础上，为普林斯顿大学高级研究所研制IAS计算机时，又提出了一个更加完善的设计报告《电子计算机逻辑设计初探》．以上两份既有理论又有具体设计的文件，首次在全世界掀起了一股"计算机热"，它们的综合设计思想，便是著名的"冯·诺依曼机"，其中心就是有存储程序原则--指令和数据一起存储．这个概念被誉为'计算机发展史上的一个里程碑"．它标志着电子计算机时代的真正开始，指导着以后的计算机设计。

298 数学奇才、计算机之父 -- 冯· 诺依曼（12）

冯·诺依曼还积极参与了推广应用计算机的工作，对如何编制程序及搞数值计算都作出了杰出的贡献．冯·诺依曼于1937年获美国数学会的波策奖；1947年获美国总统的功勋奖章、美国海军优秀公民服务奖；1956年获美国总统的自由奖章和爱因斯坦纪念奖以及费米奖．

冯·诺依曼逝世后，未完成的手稿于1958年以《计算机与人脑》为名出版．他的主要著作收集在六卷《冯·诺依曼全集》中，1961年出版．

299 数学名称的由来（1）

古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在１９世纪变成了大堆文章，而在２０世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。在现存的资料中，希罗多德（Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。

300 数学名称的由来（2）

作为一个人类学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成１２个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。

柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Ｔｈｅｕｔｈ），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。

301 数学名称的由来（3）

柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念

化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》第１卷第１章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：１．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。

302 数学名称的由来（4）

就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。

303 数学名称的由来（5）

“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（１８７７年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。

304 数学名称的由来（6）

“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。

305 数学名称的由来（7）

首先，亚里士多德提出，“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（ＤｉｏｇｅｎｅｓＬａｅｒｔｉｕｓ）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；

306 数学名称的由来（8）

赫拉克利特（公元前５００年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，“人们不可

能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。

对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元２世纪的拉丁作家格利乌斯和公元３世纪的希腊哲学家波菲利以及公元４世纪的希腊哲学家扬布利科斯的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。

307 数学名称的由来（9）

这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（１５９６－－１６５０年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而２０世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。

308 数学名称的由来（10）

在１８世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而１９世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而２０世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

309 中国不朽的数学家---华罗庚（1）

华罗庚(1910~1985)中国科学院院士。1910年11月12日生于江苏金坛，1985年6月12日卒于日本东京。华罗庚原来也是个调皮、贪玩的孩子，但他很有数学才能。有一次，数学老师出了一个中国古代有名的算题——有一样东西，不知是多少。3个3个地数，还余2；5个5个地数，还余3；7个7个的数，还余2。问这样东西是多少？——题目出来后，同学们议论开了，谁也说不出得数。老师刚要张口，华罗庚举手说：“我算出来了，是23。”他不但正确地说出了得数，而且算法也很特别。这使老师大为惊诧。

310 中国不朽的数学家---华罗庚（2）

这位聪明的孩子，在读完中学后，因为家里贫穷，从此失学了。他回到家里，在自家的小杂货店做生意，卖点香烟、针线之类的东西，替父亲挑起了养活全家的担子。然而，华罗庚仍然酷爱数学。不能上学，就自己想办法学。一次，他向一位老师借来了几本数学书，一看，便着了魔。从此，他一边做生意、算帐，一边学数学。有时看书入了神，人家买东西他也忘了招呼。傍晚，店铺关门以后，他更是一心一意地在数学王国里尽情漫游。一年到头，差不

多每天都要花十几个小时，钻研那些借来的数学书。有时睡到半夜，想起一道数学难题的解法，他准会翻身起床，点亮小油灯，把解法记下来。

311 中国数学的圆心---华罗庚（3）

正在这时，他却得了伤寒病，躺在床上半年，总算捡回了一条命，但左脚却落下了终身残疾。在贫病交加中，华罗庚仍然把全部心血用在数学研究上，接连发表了好几篇重要论文，引起清华大学熊庆来教授的注意。 1932年在熊庆来教授的帮助下，华罗庚到了清华大学数学系，当一名管理员。他一人要干几个人的事，仍继续自学课程，还自修了英文、德文，能用英文写论文。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。

312 中国数学的圆心---华罗庚（4）

华罗庚历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。

313 中国数学的圆心---华罗庚（5）

主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对Ｇ.Ｈ.哈代与Ｊ.Ｅ.李特尔伍德关于华林问题及Ｅ.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。

314中国数学的圆心---华罗庚（6）

在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。

315 中国数学的圆心---华罗庚（7）

华罗庚的专著有《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。

316 摘取数论皇冠上的明珠---陈景润（1）

陈景润(1933.5~1996.3) 是中国现代数学家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953

年毕业于厦门大学数学系。由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华罗庚的重视，被调到中国科学院数学研究所工作，先任实习研究员、助理研究员，再越级提升为研究员，并当选为中国科学院数学物理学部委员。陈景润是世界著名解析数论学家之一，他在50年代即对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果，作出了重要改进。60年代后，他又对筛法及其有关重要问题，进行广泛深入的研究。

317 摘取数论皇冠上的明珠---陈景润（2）

1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。

318 摘取数论皇冠上的明珠---陈景润（3）

他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿·威尔(A Weil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”陈景润于1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作45

分钟报告的邀请。这是中国人的自豪和骄傲。他所取得的成绩，他所赢得的殊荣，为千千万万的知识分子树起了一面不凋的旗帜，辉映三山五岳，召唤着亿万的青少年奋发向前。

陈景润共发表学术论文70余篇。

319 中国古代杰出的数学家-----祖冲之（1）

祖冲之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。祖冲之长在这样的家庭里，从小就读了不少书，人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。

320 中国古代杰出的数学家-----祖冲之（2）

这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的

精确程度了。公元４６２年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”

321 中国古代杰出的数学家-----祖冲之（3）

宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行。尽管当时社会十分动乱不安，但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。他更大的成就是在数学方面。他曾经对古代数学著作《九章算术》作了注释，又编写一本《缀术》。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在３．１４１５９２６和３．１４１５９２７之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。

322 奇妙的遗嘱

农场主人在死后，将17匹马遗留给儿子们，遗嘱里写着「大儿子分得二分之一，三分之一归给二儿子，其余给小儿子，他可得到九分之一」。三个儿子实在困恼，就是不知道该怎么分，也不必白白将一头马给杀了，这的确是很头大的事。

父亲的好友知道兄弟间无法遵照着父亲的遗嘱顺利分配马匹时，特地前来说明其父生前曾借给他一匹马，就先还给他们，等遗产分配完后，倘有剩余再送还他。结果是令大家都满意的，你知道怎么分的吗？

最后，在18匹马中，大儿子分到９匹、二儿子分到６匹、小儿子分到２匹，剩下１匹又还给了父亲的朋友。问题解决了，马也回到父亲好友身边，好完美的结局。

323 数学奇想-----阿奚里追龟问题（1）

阿奚里是希腊传说中的一个善走的神。可芝诺却声言，虽然阿奚里走的速度很快，

假设10倍于龟，但却永远追不上徐徐前进的乌龟。他的理由是：开始时，乌龟在阿

奚里前面10里，当阿奚里走完这10里时，在这段时间里，乌龟又向前走了1里；而当

阿奚里再走完这1里时，乌龟又向前走了1/10里，这样推论下去，阿奚里每追赶乌龟

一段路程，乌龟就又向前前进了这段路程的1/10。于是，阿奚里和乌龟之间总有一段

距离，因此始终追不上乌龟。

324 德国数学家----莱布尼茨（1）

莱布尼茨（1646-1716），德国数学家、哲学家、自然科学家。生于莱比锡，卒于汉诺威。他自幼丧父，但作为莱比锡大学伦理学教授的父亲，给他留下了丰富的藏书，他的母亲很有学识和远见，从小送他进莱比锡最好的学校学习，使他自幼受到良好的家庭及学校教育。他从小就学习用多种语言表达思想，并表现出超

常的哲学天赋。14岁时对逻辑学产生兴趣，常提出自己的独立见解。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，接触了伽利略、培根、霍布斯、笛卡儿等人的科学和哲学思想。

325 德国数学家----莱布尼茨（2）

1666年他在纽伦堡阿尔特多夫大学取得法学博士学位。他当时写出的论文《组合的艺术》已含有数理逻辑的早期思想，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。学校聘请他为法学教授，但是他拒绝了，决心投身到外部世界，去干更有意义的事情。１６６７年后，他投身于外交界，有机会游历欧洲各国，接触数学界名流，尤其是与惠更斯的交往，激起了他对数学的兴趣。他曾制作了一台能作乘法的计算器，是继帕斯卡加法器（１６４２）之后，计算工具的又一进步。１６７３年出访伦敦时，他把这台机器献给了英国皇家学会，还曾送一台复制品给中国的康熙皇帝，可惜目前在故宫已找不到这台机器。

326 德国数学家----莱布尼茨（3）

１６７６年，他到了汉诺威，任公爵处顾问及图书馆馆长。此后４０年，他常居汉诺威，直到去世。他曾创建勃兰登堡科学协会（后改为柏林科学院），并担任主席。他是当时全世界四大科学院（英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院）的核心成员。晚年莱布尼茨失宠爱，于1716年在德国的汉诺威市孤凄地离开了人世，终年70岁。1793年汉诺威人为他建立了纪念碑。1983年汉诺威市政府重修了莱布尼茨纪念馆，供人们瞻仰。他虽卷入过各种政治斗争，但始终未中断科学研究。他的研究领域极为广泛，涉及到逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史学、语言学、生物学以及外交、神学等方面。他在数学领域最重要的贡献是与牛顿各自独立地创立了微积分学。

327 德国数学家----莱布尼茨（4）

牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼茨则从几何学的角度去考虑，特别和巴罗的微.分三角形有密切关系。他的第一篇微分学论文于１６８４年发表在《学艺》杂志上，是世界上最早的微积分文献。他所创造的微积分符号至今仍在高等数学领域中广泛使用。此外，他在组合分析、代数行列式、曲线族的包络等理论方面也都有重要发现。他系统地阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。在哲学方面，他倡导客观唯心主义的单子论，并含有辩证法的因素，１７１４年写成《单子论》，综述了他的哲学观点。

328 德国数学家----莱布尼茨（5）

莱布尼茨博览群书，他的研究领域和研究成果遍及数学，逻辑学，物理学，地质学，哲学等，在化学，生物学，气象学，心理学等领域也做了重要的工作。但是，他的最大功绩是与牛顿分别独立地创立了微积分，这是17世纪数学继笛卡儿的

解析几何之后最为璀灿耀眼的明珠。微积分的创立，奠定了近代数学和近代科学的基础。应该指出，微积分所处理的一些具体问题，如求切线问题，求面积问题，瞬时速度问题以及函数的极大极小值问题等，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。

329 德国数学家----莱布尼茨（6）

牛顿和莱布尼茨的特殊功绩在于，他们站在更高的角度，分析与综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧，统一为两类普遍的算法--微分与积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓的微积分基本定理（现今称为牛顿-莱布尼茨公式），从而完成了微积分发明中最关键的一步，并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。由于受当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊，因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。

330 德国数学家----莱布尼茨（7）

经过18、19世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并用简洁而严格地证明了微积分基本定理即牛顿-莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。牛顿是在研究物体运动时发现微积分的，莱布尼茨是在研究曲线的切线和曲线包围的面积时发现微积分的。牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。

331 德国数学家----莱布尼茨（8）

莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。他常常对各种数学符号进行长时期的比较研究，然后再选用他认为最好的符号。他创设的符号还有除号“a/b”，比号“a:b”，相似号“∽”，全等号“≌”，并“∪”，交“∩”，此外还有对数，函数，行列式的符号等等。许多数学符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关。莱布尼茨善于吸收别人的思想，只要他抓住一个新课题，就查阅与此有关的一切资料，从不囿于传统的观念，而是希望产生与他具有的天才相当的创造性作品。

332 德国数学家----莱布尼茨（9）

莱布尼茨善于用访问和通信方式与人们讨论问题，一生中曾与千余人有过书信交往，留下了一万五千多封信件。与他通信的有各种各样的人士，既有科学界、哲学界的知名学者，也有各国的王侯皇妃，距离远至中国。内容涉及历史学、哲学、语言学、数学、逻辑学、化学、生物学、物理学、工程技术等等。这些信件记载着他的思想、见解和种研究成果。他的许多著作生前未发表，大量的手稿和书信现在还存放在汉诺威图书馆中。法国科学院准备在20世纪末出版《莱布尼茨全集》。

333 英国数学家----- 图灵（1）

图灵（１９１２-１９５４）,英国数学家。早年兴趣集中在"可计算数"上，他的理论奠定了计算机科学理论的基础。二次大战时，图灵奉召到英国外交部通讯部所属的密码学校从事破译工作，他领导的数学家，语言学家和计算人员共同研制了一种快速计算机，能高速分析密码--各种可能的组合。图灵的理想计算机的思想导致了世界上第一台数字式专用"巨人"电子计算机的研制成功，也为二次大战的最后胜利建立了不朽功勋。

334 英国数学家----- 图灵（2）

大战结束后，图灵致力于研制大型电子计算机，写出了计算机总体设计方案，包含了仿真系统、子程序和子程序库、错误自检系统、机器自动编译程序等。图灵在机器智能方面做出了许多开创性的工作。并论述了智能机器的可能性，以他特有的理论彻底性对包括智能计算机在内的所有机器作了严密的分类，把数学计算机分为"有组织的"和"无组织的"，两大类。图灵一生的工作覆盖了几个重要领域：数理逻辑、群论、破译码机、计算机、机器智能，并做出了巨大的贡献，他还对与生命起源有密切关系的"形态发生"的化学理论进行了可贵的探索。他的独创性和预见性愈来愈受到人们的敬佩。

335数学趣事（1）

（1）工程师与数学家

一队工程师在丈量一根旗杆的高度，他们只有一根皮尺，不好固定在旗杆上，因为皮尺总是落下来。一位数学家路过，拔出旗杆，很容易就量出了数据。他离开后，一位工程师对另一位说：“数学家总是这样，我们要的是高度，他却给我们长度！”

（2）二分法

世界上有两种数学家: 会数数的和不会数数的. 世界上有两种人: 一种相信世界上的人分为两种, 一种不相信. 世界上有两种人: 一种可以被归类于两种人之一, 一种不可以.

336 数学趣事（2）

（3）数学家、生物学家和物理学家的故事

数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里, 看着人们从街对面的一间房子走进走出. 他们先看到两个人进去. 时光流逝. 他们又看到三个人出来. 物理学家:“测量不够准确.” 生物学家:“他们进行了繁殖.” 数学家:“如果现在再进去一个人, 那房子就空

了.”∏是什么

（4）∏是什么?

数学家: ∏是圆周长与直径的比. 工程师: ∏大约是22/7. 计算机程序员: 双精度下∏是 3.141592653589. 营养学家: 你们这些死心眼的数学脑瓜, “派”是一种既好吃又健康的甜

336 数学趣事（2）

工程师、化学家和数学家的故事（5）

工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里. 当晚先是工程师的咖啡机着了火, 他嗅到烟味醒来, 拔出咖啡机的电插头, 将之扔出窗外, 然后接着睡觉. 过一会儿化学家也嗅到烟味醒来, 他发现原来是烟头燃着了垃圾桶. 他自言自语道:“怎样灭火呢?

应该把燃料温度降低到燃点以下, 把燃烧物与氧气隔离. 浇水可以同时做到这两点.” 于是他把垃圾桶拖进浴室, 打开水龙头浇灭了火, 就回去接着睡觉. 数学家在窗外看到了这一切, 所以, 当过了一会儿他发现他的烟灰燃着了床单时, 他可一点儿也不担心. 说:“嗨, 解是存在的!”就接着睡觉了.

337 无用的答案

物理学家和工程师乘着热气球，在大峡谷中迷失了方向。他们高声呼救：“喂——！我们在哪儿？” 过了大约15分钟，他们听到回应在山谷中回荡：“喂——！你们在热气球里！” 物理学家道：“那家伙一定是个数学家。” 工程师不解道：“为什么？” 物理学家道：“因为他用了很长的时间，给出一个完全正确的答案，但答案一点用也没有。”

338 希伯修斯------用生命开辟数学的大门（1）

我们已经知道，除去整数、分数这些有理数之外，还有无理数，如。

如果有人说：“世界上只有整数和分数，除此之外，就再没有别的什么数了”，你肯定说这是谬论，奇怪的是，这一谬论竞出自一位数学家之口，这位数学家还还残忍地杀害了他的一名学生，而这名学生正是第一个站起来反对这一谬论的人。

事情要追朔到二千多年前的古希腊。那时希腊的手工业、商业、航海事业就有较快发展，促进了各国政治、经济、文化的交流，科学研究气氛也很浓，涌现出一批哲学家、数学家、天文学家。

338 希伯修斯------用生命开辟数学的大门（2）

有一位名叫毕达哥拉斯（约公元前560年~公元前480年）的数学家，以他为代表的一批学者组成了毕达哥拉斯学派，既是学习团体，又是政治、宗教团体，有严格的清规戒律。比如，会员必须宣誓“决不把知识传授给外人”，否则要受到严重处分，甚至极刑——活埋。毕达哥拉斯学派对古希腊数学发展作出了突出的贡献。著名的勾股定理就是这个学派成员智慧的结晶，称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派证明了勾股定理后，碰到一个伤脑筋的

问题：如果正方形达长是1，那么它的对角线L是多长呢？

339 希伯修斯------用生命开辟数学的大门（3）

由勾股定理L=？是整数？是分数？显然，L不是整数，因而，所以L是一个比1大又比2小的数。按照毕达哥拉斯的观点，L只能是一个分数，但他们费了九牛二虎之力，也没有找到这个分数。

这真是一个神秘的数。

发现这个神秘数的却是毕达哥拉斯的一个十分勤奋好学的学生——希伯修斯，他断言，边长是1的正方形的对角线的长既不是整数，也不是分数，而是一个人们还未认识的新的数。

340 希伯修斯------用生命开辟数学的大门（4）

希伯修斯的大胆发现，实际上推翻了毕达哥拉斯的论断“世界上只有整数和分数，除此之外，就没有别的什么数了”，因此，毕达哥拉斯大为恐慌，立即下令封锁“发现”，并扬言，谁胆敢把这一机密泄露给局外人，就将谁处以极刑。

但是，希伯修斯坚信自己的发现是正确的，他予感到自己正确的发现有遭到埋没的危险。于是暗地里与伙伴们研究这个问题。结果，一传十、十传百。毕达哥拉斯马上下令追查泄露机密的人，追查的结果当然是希伯修斯。

341 希伯修斯------用生命开辟数学的大门（5）

希伯修斯胆大包天！竞敢反对自己的老师，背叛自己的学派。希伯修斯闻声逃走。毕达哥拉斯发誓要抓到希伯修斯，于是，毕达哥拉斯的盲目的信徒位四处追捕。结果，在地中海的一艘船上抓住了希伯修斯，当场就残酷地将希伯修斯仍到海里淹死了。

毕达哥拉斯学派证明了勾股定理，结果促使希伯修斯发现了一种新的数，震撼了毕达哥拉斯学派的数学基石——万物皆依赖于整数。但希伯修斯为了追求真理，却献出了自己宝贵的生命，这就是人们称作的第一次数学危机。

空间向量与立体几何(三)同步练习

空间向量与立体几何（三）同步练习 巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习 （答题时间：40分钟） 一、选择题 1. 已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（） A. （1，－1，1） B. （2，－1，1） C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1） 2. 设直线l1的方向向量为a＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为b＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（） A. 1 B. －2 C. －3 D. 3 3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论： ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1。 这四个结论中正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 4. 已知直线l的方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。 5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。 6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有AB＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD。其中正确的是________。

三、解答题 7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO? 8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。

中职数学试卷：立体几何

江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（立体几何） 时间120分钟 满分150分 一．选择题（每题5分，共50分） 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ，直线m ?a ，则L 与的关系是（ ）。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ） A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（ ）。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（ ）。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中，上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为（ ）。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ）。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是（ ）。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中，底面边长为33，侧棱长为5，则它的高为是（ ）。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题（每题5分，共30分）

立体几何同步练习一(必修2)

立体几何同步练习 二是一个平面，则a 、b 在：?上的射影有可能是 ②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点 （写出所有正确结论的编号） 2?多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一 个顶点A 在 平面内，其余顶点在:-的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的 三个顶点到:-的距离分别 为1,2和4, P 是正方体的其余四个顶点中的一 个，则P 到平面的距离可能是： ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为 ____________ 。（写出所有正确结论的编号 ） 3.—个长方体的长、宽、高分别为 9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能 大地切下一 个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体， 最后再从第二次剩下 部分上尽可能 大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3 4?在正三棱柱 AB^A 1B 1C 1中，AB =d .若二面角C-AB-C^!的大小 为60 ',则点C 到平面ABC i 的距离为 ________________ . 5.正四面体 ABCD 的棱长为1,棱AB //平面a ，则正四面体上的所有点在平面 a 内的射 影构成的图形面积的取值范围是 ________ . 1已知a 、b 为不垂直的异面直线, ①两条平行直线 ③同一条直线 在上面结论中，正确结论的编号是

6有一个各棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以 折叠，那么包装纸的最小边长为____________________ .

积为V i ，若将同样的正方形纸片按照如图( 2)中虚线所示的方法 剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为 V 2，则V 1和V 2的大小关系 是( ) A . V 1 V 2B . V 1 : V 2C . y =V 2D . V 1

职高数学——立体几何

平面的基本性质 一、高考要求： 理解平面的基本性质. 二、知识要点： 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符 号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地 说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; ; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ . 3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题： 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P $ ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内.

立体几何同步训练14多面体及欧拉公式.

立体几何同步训练14 多面体及欧拉公式 班级_______ 姓名___________ 一、选择题 1、关于正多面体的概念，下列叙述正确的是（） (A)每个面都是正多边形的多面体 (B)每个面都是有相同边数正多边形的多面体 (C)每个面都是相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体 (D)每个面都是具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 2、一个凸n面体共有8条棱，5个顶点，则n等于（） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7 3、一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角和为（） (A)54000 (B)64800 (C)72000 (D)79200 4、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是（） (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 5、一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 6、已知一个简单多面体的每个面均是五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V分别等于（） (A) F=6 V=26 (B) F=20 V=12 (C) F=12 V=26 (D) F=12 V=20 二、填空题 7、一个简单多面体每个顶点处都有3条棱，则它的顶点数V和面数F的关系是___________。 8、每个面都是三角形的正多面体有_________个。 9、正四面体的外接球的球心到底面的距离与此正四面体高的比为_________。 10、命题（1）底面是正多边形，且侧棱章与底面边长相等的棱锥为正多面体。 （2）正多面体的面不是三角形就是正方形。（3）若长方体的各个侧面都是正方形时，这就是正多面体。（4）正三棱锥就是正四面体。其中正确的序号是_________。

职高数学——立体几何

平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、

立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修

立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

第11课时 直线与平面垂直 分层训练 1.已知a ⊥平面α, b α, 则a 与b 的位置关系是 ( ) A. a a ⊥b C. a 与b 垂直相交 D. a 与b 垂直且异面 2.下列命题中正确的是(其中a 、b 、c 为不相重合的直线, α为平面) ( ) ①若b ① ② ③ ④ B. ① ④ C. ① D. ④ 3.已知直线l ⊥平面α，直线 m 平面β，有下列四个命题 (1)若α(2)和(4) D(1)和(3) 3.已知直线a 4.在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, 则这个多面体面是直角三角形的为______________ . 5.如图, 在正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 则BD 1与AC 的位置关系 ___________ . BD 1与B 1C 的位置关系___________ . 进而可得BD 1与平 面ACB 1的关系___________ . 6.如图。一点P 不在ΔABC 所在的平面内，O 是ΔABC 的外心，若PA=PB=PC. 求证：PO ⊥平面ABC. A B C A 1

选修延伸 1.证明: 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 2．已知直线a 接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ ∵Ｏ为重心 ∴ＡＤ⊥ＢＣ 而ＰＯ平面ＡＢＣ ∴ＢＣ⊥ＰＡ 7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD 而BC ⊥AB,CD ⊥AD ∴BC ⊥PB,CD ⊥PD ∴PBC, PDC 是Ｒt 。PAB ，PAD 也是Ｒ t （２）∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成 角，易求tan ∠ PCA= 2 拓展延伸 7．证明∵ＳＡ⊥平面ABCD O A B P C

(2020年整理)中职升高职数学历年真题回编—立体几何.doc

中职升高职数学真题汇编—立体几何 李远敬整理 一．选择题 1.XXXX08、若平面α∥平面β，直线 ?平面α，直线 ?平面β，那么直线，的位置关系是（ ） 平行 异面 平行或异面 相交 2.XXXX10、下列命题中正确的是（ ） ∥平面，直线∥平面则∥ ⊥直线，直线⊥直线则∥ ⊥平面，直线⊥平面则∥ ⊥平面，平面⊥平面则∥ 3.XXXX10在正方形ABCD 中，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，则P 到直线BD 的距离是（ ） A B 2 C D 3 4.XXXX08 正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与直线11D B 所成的角（ ） A ο90 B ο60 C ο45 D ο30 5.XXXX08、下列说法： ①γβαγβγα⊥?=?⊥⊥l l ,, ②b a b b ⊥?αα,//,// ③b a b a ⊥?⊥αα,//, ④b a b a ⊥?⊥⊥αα,, ⑤ββαα//,,a a ?⊥⊥ 说法正确的有（ ） A 、①②③ B 、③④⑤ C 、②③④ D 、①③⑤ 二．填空题 6.XXXX19．若直线m ⊥平面α，直线n ⊥平面α，则直线m 与n 的位置关系是 7.XXXX18、直二面角βα--l 内一点S ，S 到两个平面的距离分别为5和4，则S 到 l 的距离为 .

8.XXXX19 正方体1111D C B A ABCD 中，平面11D ABC 与平面ABCD 所成二面角的大小是_______________。 9.XXXX18、在长方体 － 中， ＝3， ＝４， ，则对角线 所成的角是 10.XXXX18、在空间，通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条. 三．解答题 11.XXXX26证明（10分） 已知：如题26图，是正方形所在平面外一点，是正方形对角线与 的 交点， 底面 ，为中点，为中点。 ⑴ 求证：直线∥平面 ； ⑵ 若正方形 边长为4， ，求：直线 与平面 的所成角的大 小. 12.XXXX26证明（10分） 如题26图，是二面角 内一点， 是垂足。 求证：。 O E P D C B A F L B C A 题26图

立体几何同步练习一(必修2)

立体几何同步练习 1．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号） 2．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为___________。（写出所有正确结论的编号．．） 3．一个长方体的长、宽、高分别为9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为_____________3 cm 4.在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距离为_____________． 5．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 . 6有一个各棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为_________________.

(2) (1) 7．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 8长为4a 的正方形纸片按照如图（1）中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱柱，设其体积为1V ，若将同样的正方形纸片按照如图（2）中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为2V ，则1V 和2V 的大小关系是（ ） A ．21V V > B ．21V V < C ．21V V = D ．21V V ≤ 9.如图，在正三棱柱中，AB ＝3，，M 为的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱到M 的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N ，求： （I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长; （II ）PC 和NC 的长; （III ）平面MNP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值。 同步练习参考答案 N B

中职数学立体几何教案设计

x x 职业技术教育中心 教案

复习引入： 新授： 1． 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来 表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示 竖直的平面．请注意它们画法之间的区别． 如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步 骤进行． 一个平面通常用小写希腊字母 α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面 α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面 ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分． 空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ?α； ③直线l 在平面α内，记作l ?α； ④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?． 在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习1 1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？ 2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面． 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面． 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ； (3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ； (4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？ (1)点A 在平面α内，记作A ?α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α； (3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?． 2. 平面的基本性质 基本性质： 图5-28 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (第3题图) 图5-27(2) β D A B C D 图5-27(1) A D B C α

立体几何(同步)-潍坊市某中学高中数学二轮复习

9.立体几何 1．掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2．能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图． 3．能借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系． 4．能从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系． 5．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40?，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A ．20? B ．40? C ．50? D ．90? 【答案】B 【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线， 依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥． 由于40AOC ∠=?，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=?，

由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?，所以40BAE OAG ∠=∠=?， 也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=?． 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质． 2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线， 当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交； 当,,m n l 两两相交时，设m n A =，m l B =，n l C =， 根据公理2可知，,m n 确定一个平面α， 而B m α∈?，C n α∈?， 根据公理1可知，直线BC 即l α?，所以,,m n l 在同一平面， 综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用． 一、选择题． 1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥ ③若m α∥，n α∥，则//m n

2020年高中数学02 空间向量与立体几何(同步练习)(解析版)

专题02 空间向量与立体几何（同步练习） 一、空间向量基础知识 1-1．对于任意空间向量),,(321a a a a = ),,(221b b b b =，给出下列三个命题：①332211//b a b a b a b a ==?；②若1321===a a a ，则为单位向量；③0332211=++?⊥b a b a b a b a 。其中真命题的个数为( )。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】B 【解析】①1b 、2b 、3b 有可能有0，例如)1,1,1(=a 、)0,0,0(=b ，则b a //， 但不能推出3 32211b a b a b a ==，错； ②1321===a a a ，则13||≠=a ，不是单位向量，错； ③0332211=++?⊥b a b a b a b a ，对；故选B 。 1-2．在四面体ABC O -中，1G 是ABC ?重心，G 是1OG 上一点， 且13GG OG =，若z y x ++=，则),,(z y x 为( )。 A 、)41,41,41( B 、)43,43,43( C 、)31,31,31( D 、)3 2,32,32( 【答案】A 【解析】连接1AG 交BC 于点E ，则E 为BC 中点，)2(21)(21OC OA OB AC AB AE +-=+= ， 则)2(31321OC OA OB AE AG +-==，∵)(3311OG OG GG OG -==，∴143OG OG =， ∴OC OB OA OC OA OB OA AG OA OG OG 4 14141)313231(43)(434311++=+-+=+==， 故选A 。 1-3．设k j m a +-=21，k j m a 232-+=，k j m a 323-+-=，k j m a 5234++=，(其中、、k 是两两垂直的单位向量)，若3214a a a a υ+μ+λ=，则实数λ、μ、υ的值分别是( )。 A 、1，2-，3- B 、2-，1，3- C 、2-，1，3 D 、1-，2，3 【答案】B 【解析】k j m k j m k j m k j m a 523)32()23()2(4++=-+-υ+-+μ++-λ=， 即k j m k j m 523)32()3()22(++=υ-μ-λ+υ+μ+λ-+υ-μ+λ， 则2-=λ，1=μ，3-=υ，故选B 。 二、直线与直线成角

2020届中职数学第9章《立体几何》单元检测试题及答案【基础模块下册】

2020届中职数学第九章《立体几何》单元检测 （满分100分，时间：90分钟） 一.选择题（3分*10=30分） 1、不共面的四个点可以确定的平面个数是 （ ）A 、1B 、3 C 、4 D 、无数 2、垂直于同一要直线的两条直线一定（ ）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 3、下列命题正确的是（） A、空间任意三点确定一个平面； B、两条垂直直线确定一个平面； C、一条直线和一点确定一个平面； D、两条平行线确定一个平面4、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α5、两个球的体积比为8:27,则这两个球的表面积比是（ ） A、2:3 B、4:9 C、8:27 D、22:33 6、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（ ）A ． π3 4B ．π 2 C.π 4D ．π 87.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.无法确定 8、空间四面体A-BCD,AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四 边形EFGH 是（）A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 9、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为( )A.2B ．2 C ．4 D ．2 210、如图，是一个正方体，则∠B 1AC= （ ）A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 第9题

二.填空题（4分*8=32分） 11、三条直线相交于一点可以确定平面的个数是_________.12、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________. 13、已知平面α//β，且α、β间的距离为1，直线L 与α、β成60o 的角，则夹在α、β之间 的线段长为 .14、在正方体1111D C B A ABCD -中,与棱AA’异面的直线共有_____条.15、夹在两个平行平面间的平行线段________________. 16、四条线段首尾顺次连接，最多要以确定_____个平面 17、若a,b 分别为长方体相邻两个面的对角线，则a 与b 的关系是________.18、已知球的体积为36π，则此球的表面积为________. 三.解答题（共6题，共计38分） 19、（6分）画出长为4cm,宽为4cm,高为5cm 的长方体的直观图。 20、（6分）如图，空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥,AH BCD ⊥平面求证：BH CD ⊥. 21、（6分）长方体一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一个球面上，求主穿上球面的表面积。 22、（6分）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，求这个三棱锥的侧面积和体积。 23、（6分）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90o ，AC=BC=1，若PA ⊥平面ABC ， P B C A D H C B A

立体几何点线面位置关系习题精选

同步练习 第I 卷（选择题） 1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）. A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥n B 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥β C 、若n ∥,n α∥β,则α∥β D 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ 3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α?，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l ∥α，m α?，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//b B ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα// C ．若α//a 且β//a ，则βα// D ．若αγ//且βγ//，则βα// 7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α?，则//a α B ．若//a α，b α?，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要 9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ） ①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α?,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

中职数学《立体几何》单元检测试题及参考答案.docx

精品文档 中职数学《立体几何》单元检测 一 . 选择题 题号12345678910 答案 1、直线 L 与平面内的两条直线垂直，那么L 与平面的位置关系是（） A、平行 B、L C、垂直 D、不确定 2、如果直线 a b，且 a 平面，则（） A、 b//平面 B、 b C、 b平面 D、b//平面或 b 3、已知直线a,b和平面，若 b,a, b a ，那么（） A、 b B、 b⊥平面 C 、b//平面D、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（） 4 B ．2C．4D．8 A ． 3 5.长方体ABCD A1B1C1D1中,直线AC与平面 A1 B1C1D1的关系() A.平行 B.相交 C.垂直 D. 无法确定 6、下列命题正确的是（） 第 5 题 A、空间任意三点确定一个平面； B、两条垂直直线确定一个平面； C、一条直线和一点确定一个平面； D 、两条平行线确定一个平面 7、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的 2 3 倍， 3 那么这个二面角的度数是（） A、30o B、45o C、60o D、90o 8、空间四面体 A-BCD, AC=BD,E 、F、G、 H 分别为 AB 、BC、CD 、DA 的中点，则四边形 EFGH 是（） A 、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形 9、如图，是一个正方体，则B1AC=（） A、 30o B、 45o C、 60o D、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的 3 倍， 第 9题 那么这条斜线与平面所成角的正切值为 () A. 2B．2C．4 D ．2 2

立体几何同步训练15球.

立体几何同步训练15 球（A ） 班级_______ 姓名___________ 一、 选择题 1、,A B 是球面上相异两点，则经过,A B 可作的大圆个数为 （ ） (A)只有一个 (B)无数个 (C)两个 (D)一个或无数个 2、半径为5的球被一个平面所截，截面面积为16π，则球心到截面的距离为 （ ） (A) 4 (B) 3 (C)2.5 (D) 2 3、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦,,QA QB QC ，则222QA QB QC ++= （ ） (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定 4、已知地球的半径为R ，在南纬α的纬度圈上有A,B 两点，若沿纬度圈这两点间的 距离为cos R πα，则A,B 两点间的球面距离为 （ ） (A) R π (B) cos R πα (C) R α (D) (2)R πα- 5、球的半径为R ，,A B 是球面上两点，且球面距离为3R π ，则球心到过,A B 的 所有平面的距离中，最大距离为 （ ） (A) R (B) 2R (C) 12 R (D) 不存在 6、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9,16ππ，则这两个平行 平面间的距离是 （ ） (A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7 二、 填空题 7、正方体的内切球与外接球的半径之比为____________。 8、球的半径为10，经过球面上任意一点作截面，若截面与经过该点的半径成0 45角， 则截面面积是_________。 9、已知球的半径为12，过球的直径的三等分点作垂直于该直径的截面，则截面面积为___________。 10、下面三个命题（1）球面上不同的三点不可能在同一直线上。（2）球面上两点的最短距离即为这两点的球面距离。（3）球面上两点的球面距离就是过这两点的大圆弧长。其中正确命题的序号是_________。（正确的全部写上）

最新中职数学基础模块下立体几何测试题

中职数学立体几何测试题 （时间：60分钟 总分：100分） 得分：_________ 一、 单选题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1、直线L 与平面α内的两条直线垂直，那么L 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、L ?α C 、垂直 D 、不确定 2、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 3、已知,b ,,a b a b a ααα ?? 直线和平面， 若，那么（ ） A 、b ?α B 、 b ⊥平面α C 、b//平面α D 、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为 （ ） A ．π3 4 B ．π2 C ．π4 D ．π8 5、下列命题正确的是（ ） A 、空间任意三点确定一个平面； B 、两条垂直直线确定一个平面； C 、一条直线和一点确定一个平面； D 、两条平行线确定一个平面 6、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的23倍，那么这个二面角的度数是 （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、90o 7、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是 （ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 8、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 9、如图，是一个正方体，则∠ B 1AC= （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为 （ ） A ． 2 B ．2 C ．4 D ．22 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________ 12、已知平面α//β，且α、β间的距离为1，直线L 与α、β成60o 的角，则夹在α、β之间的线段长为 。 13、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有_____条. 14、夹在两个平行平面间的平行线段________________ 三、解答题（共30分） 15、（15分）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，求这个三棱锥的侧面积和体积。 16、（15分）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90o ，AC=BC=1，若PA ⊥平面ABC ，且PA=2。（1）证明BC ⊥PC （2）求直线BP 与平面PAC 所成的角。 财务优秀员工评语集锦 优秀员工的评选能够激发员工的工作积极性，能够让他们更好的在以后的工作中发光发热。查字典范文大全为大家整理了关于财务优秀员工评语范文的相关资料，希望对您有帮助。 P B C A

空间向量与立体几何同步检测4

第三章3.1 3.1.4 一、选择题 1. 如图所示的空间直角坐 标系中，正方体ABCD — A i B i C i D i棱 长为1, B i E i =^A i B i，则BE i等 于（ ） 1 A . (0, 4，—1) 1 B. (—4, 0,1) 1 C. (0,—4，1) i D. (4, 0,—1) ［答案］C ［解析］??? B(1,1,0), A i(1,0,1), B i(1,1,1). 3 i ??? E i(i, 4, 1)，二BE i = (0,—4, 1).故选C 2. 若a= (2x,1,3), b = (1,—2y,9).且a// b,则( A . x= 1, y= 1 B. x= 2, y=—舟 C. x= 6, y = —3x=— 1 6 ’ 3 y=2

［答案］C 2x 1 3 ［解析］若 a / b ,则 1 = — 2y = 9. 3. 若a = （1,入2）, b = （2,— 1,2）,且a 与b 的夹角的余弦值 二 x = 1 6’ 3 y = — 2.

8 为9,则入等于（） ［答案］C l a l|b| 5+ 卞? 9’ ___ 2 8- 5 + ?2= 3(6 —为，解— 2 或后 55. 4. 已知向量OA = (2,— 2,3)，向量Ofe = (x,1 — y,4z)，且平行四边 3 1 形OACB 对角线的中点坐标为(0, 2，—刁，则(x , y , z )=( ) A . (— 2,— 4,— 1) B . (— 2,— 4,1) C . ( — 2,4,— 1) D . (2,— 4,— 1) ［答案］A 3 ［解析］由已知 OC = OA + OB = (2 + x ,— 1— y,3+4z)= 2(0,刁 2+ x = 0 — 1 — y = 3 ，二 x = — 2, y = — 4, z =— 1. 3+ 4z =— 1 故选A. 5. 与向量 a = (1,— 3,2)平行的一个向量的坐标为( ) A . (1,3,2) B . (— 1,— 3,2) C . (— 1,3,— 2) D . (1,— 3,— 2) 2 C. — 2 或 55 2 D. 2 或- 55 8 ［解析］由已知得8

中职数学基础模块下册第九章《立体几何》单元检测试题及参考答案

中职数学第九章《立体几何》单元检测 （满分100分，时间：90分钟） 一.选择题（5分*10=50分） 1、直线L 与平面α内的两条直线垂直，那么L 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、L ?α C 、垂直 D 、不确定 2、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 3、已知,b ,,a b a b a ααα ?? 直线和平面，若，那么（ ） A 、b ?α B 、 b ⊥平面α C 、b//平面α D 、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为 （ ） A ．π34 B ．π2 C ．π4 D ．π8 5.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.无法确定 6、下列命题正确的是（ ） A 、空间任意三点确定一个平面； B 、两条垂直直线确定一个平面； C 、一条直线和一点确定一个平面； D 、两条平行线确定一个平面 7倍，那么这个二面角的度数是 （ ） A 、30o B 、45 o C 、60o D 、90o 8、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是 （ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 9、如图，是一个正方体，则∠ B 1AC= （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍， 第5题 第9题