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考试方式:闭卷
太原理工大学 矩阵分析 试卷(A )
适用专业:2013级硕士研究生 考试日期:2014.1.14 时间:120 分钟 共 8页
一、本题共10小题,每小题3分,满分30
分.
1-5题为填空题:
1.如果n 阶矩阵()
ij A a =,并且2014ij a ≡,则A 的最小多项式()m λ= . 解答
2014(2014)(2014)(2014),()2014n n E A E E E E m λλλλλλλ-=-=-=-=-=-
2.如果()ij
A a =为n
阶可逆矩阵,则
t
A e d ττ=?
.
解答
100001111
10111
!(1)!
11()
(1)!!
t t A n n n n n n n n n n At n n e d A d A t n n A A t A A t A e E n n τ
τττ∞
∞
+==∞
∞
-++--====+===-+∑∑??∑∑
3.已知2阶矩阵1011A ??
=
???
,则cos A = . 解答 cos1
0cos sin1cos1A ??= ?-??
4.在3
R 中,如果1V 是过原点的平面∏,2V 是平面∏上过原点的直线L ,那么
12dim()V V += .
解答 121212dim()dim()dim()dim()2112V V V V V V +=+-?=+-=
5.已知()1234A =,则A 的全部奇异值为 . 解答
(1234),,,30,T T T T T T A A A A A ααααααααα===== 所以全部奇异值为
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6-10题为单项选择题:
6.下列矩阵中不是正规矩阵的是( B ).
(A) H
A A = (
B )1
T
A A -=
(C )H
AA (D )H
A A =-
7.如果A A =2
,则下列多项式中不是A 的化零多项式的是( C ). (A)A 的特征多项式 (B )A 的最小多项式
(C )A 的第一个不变因子1()d λ (D )2()f λλλ=-
8.下列矩阵范数中不是算子范数的是( D ).
(A) 1A (B )2A (C ) A ∞ (D )F
A
9.已知12,V V 都是线性空间V 的子空间,则下列集合不是V 的子空间的是( B ).
(A) 12V V ? (B) 12V V ? (C) 12V V + (D)12V V ⊕
10.矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是( A ).
(A)A 的初等因子都是一次的 (B) A 的若当标准型中只有一个若当块 (C)A 的最小多项式是一次的 (D) A 的行列式因子都是一次的
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二、本题共2小题,满分24分.
11. (12分)
(1)已知{|,0,(1,1,,1)}n n T V X X R X αα?=∈==,证明V 是n n R ?的一个线性子空间,并
求V 的维数及当2n =时V 的一个基. 证明
显然0O α=, 所以X O V =∈, 因此V φ≠.
设,X Y V ∈, 那么0,0X Y αα==, 所以()000X Y X Y ααα+=+=+=,所以X Y V +∈.
设,X V k R ∈∈, 那么0X α=, 所以()()00kX k X k αα===, 所以kX V ∈,所以V n n
R ?是的一个线性子空间.
设()ij X x V =∈, 那么0X α=,所以111212122
2120
00n n n n nn x x x x x x x x x +++=??+++=??
??++
+=?,即111212122212n
n
n n nn
x x x x x x x x x =---??=---????=---?,
所以2
dim()V n n =-,当2n =时,V 的一个基为121100,0011X X -??
??== ? ?-????
.
(2)在线性空间[]{|,(0)0}n V f f R x f =∈=上定义运算[]1
,()()f g f x g x dx ''
=
?
,证明
,f g 是内积. 当3n =时,求,,a
b c
使232123(),(),()f x x f x x ax f x x bx cx ==+=++两两正交.
证明
1
20
,
()0f f f x dx '=≥?,,0f f =,当且仅当()0f x '=,当且仅当()f x C =, 而
(0)0f =,所以()0f x =
[][
]11
,()(
)()()()()()(),f g f x g x f x g x dx g x f x g x f x dx g f ''''=+=+=??
[][][]11
111
,(()())()(()())()()()()()()()()(),,f h g f x h x g x dx f x h
x g x dx
f x
g x
h x g x dx f x g x dx h x g x dx f g h g
'''''+=+=+''''''''=+=+=+?????
111
,(())()()()()()
,kf g kf x g x dx kf x g x dx k f x g x dxk k f g ''''''====???
所以,f g 是内积,12,10f f a =+=,13,10f f b c =++=, ,
()()1
2
2301
322
0,2326423234
023
f f x a x bx c dx x bx cx ax abx ac dx b c a ab ac ??=+++?
???
=
+++++??=+++++=??, 所以311,,22a b c =-=-=
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12. (12分)
(1)证明T 是n
R 上的线性变换当且仅当存在n n
A R ?∈使得对任意的n
x R ∈有Tx Ax =,并且满足
Tx Ax =的A 是唯一的.
(1)证明 如果Tx Ax =,那么()()()()T x y A x y Ax Ay T x T y +=+=+=+,
()()()()T k x A k x k A x
k T x =
==,如果T 是n R 上的线性变换,取n
R 中的简单基12,,,n εεε,
那么对任意的
12(,,,)T n n x x x x R =∈,1122n n x x x x εεε=+++,
于是
1
12212()
()()()((),(),
,())
n n n T x x T x T x T T T T x εεεεεε=+++=,令 12((),(),,())n A T T T εεε=, 则Tx Ax =. 如果对任意的n x R ∈有Tx Ax =,Tx Bx =, 那么
n x R ∈有()0A B x -=, 所以A B =. 所以满足Tx Ax =的A 是唯一的.Tx Ax =
(2)当3n =时,对任意的3123(,,)T x x x x R =∈,定义线性变换122331()(,,)T T x x x x x x x =---, 求
33A R ?∈使得对任意的3123(,,)T x x x x R =∈,有T x
A =,并求T 在基
123
(1,1,1),
(1,1,0),(1,0,0)
T T
T
ααα===下的矩阵A α.
(2)解答 112233123110110()(,,)0
11011101101T
x T x x x x x x x x x x --?????? ??? ?=---=-=- ??? ? ??? ?--??????
, 所以
110011101A -??
?=- ?
?-??
,
因为123123111
1
11(,,)110(,,)1
10
10010
0αααεεε???? ?
?== ? ? ? ????
?,所以12312312311
12
31
23111111111(,,)
(,,)110(
,,)110(100100
100
111
1
11110111(,,)110(,,)11001
1
1
1
100100101
T T T T T T A A A A A αααεεεεεεεεεεεεααα-?????
? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ????
???-????? ? ? ==- ? ?
? ? -??
?
??000?
? ? ? ???
所以
1
11
11
1
011100111011111
00
1111001101111010010110011010110010111101111211002
112110
0011A α---????????????
? ??? ?????-=-- ? ??? ?????
? ??? ?????---????????????---??????
???
?=-= ??? ? ??? ?--??=?
???
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三、本题共2小题, 满分26分.
13. (10分)
(1)设20312102810A ?? ?
= ? ?-??
,证明A 的特征值都是实数,并在实轴上找出三个互不相交的集合,使
得每个集合内有且仅有A 的一个特征值.
解答 A 的三个行盖尔圆分别为
{1|204}S z z =-≤,{2|104}S z z =-≤,{3|9}S z z =≤,
所以1S 内有且仅有A 的一个特征值,A 的三个列盖尔圆分别为
{1|2010}T S z =-≤,
{2|104}T S z z =-≤,{
3|3}T
S z z =≤, 所以3T
S 内有且仅有A 的一个特征值, 而12330λλλ++=,所以1231020λλλ-=--,
12323102020λλλλλ-=--≤-+≤13, 记1{|1013}S z λ=-≤,
那么113\()T
S S S λ∈?
(2) 设A 为n 阶方阵,证明2F A A =当且仅当存在n 为列向量,αβ使得T A αβ=.
证明 因为2
1
n
H
i F i A trAA tr λ===Λ=∑,所以2F A A =当且仅当1
1
0n i i λ-==∑,而0i λ≥,
所以当且仅当230n λλλ===
,当且仅当()1H R AA ≤, 当且仅当()()1H R A R AA =≤当
且仅当T A αβ=.
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14. (16分)设100020100A ?? ?= ? ???
.(1)求A 的加号逆+
A
100100020010100000A ???? ? ?=→ ? ? ? ?????, 101000201010A BC ???? ?== ? ??
? ???
,
1010120020200410T B B ?????? ?== ? ? ????? ???, 1
102()104T B B -?? ?=
? ?
???
111
1001011011222()10201010200042T T
B B B -???? ? ?????=== ? ? ? ? ??? ??? ? ?????
1010010010100100T CC ?????? ?== ? ? ????? ???, 1
101010()010*******T T C CC -????
?? ? ?== ? ? ??? ? ?????
,
111010110111()()010100102200000T T T T
A C CC
B B B +--????
?? ? ?=== ? ? ??? ? ?
????
(2)求使得线性方程组Ax β=无解的全体向量123b b b β?? ?
= ? ???
,并求矛盾线性方程组Ax β=的极小范
数最小二乘解(即最佳逼近解).
解答 1122331100100(,)020020
100000b b A A b b b b b β???? ? ?==→ ? ? ? ?
-???
?,所以123b b b β??
?
= ? ???,13b b ≠.
11322310111010220000b b b A b b b β++?????? ??? ?== ??? ? ??? ???????
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四、本题共2小题,满分20分.
15. (10分) 已知110220103A ?? ?
= ? ???
.
(1) 求A 的Smith 标准型)(λA .
2
2211
011010022022003010301301310010001301003000(3)E A λλλλλλλλλλλλλλλ---?????? ? ? ?-=--→--→- ? ? ?
? ? ?------??????
????
? ?→-→ ? ?
? ?--?
???
(2) 求A 的Jordan 标准型J .
因为A 的初等因子为λ,2
(3)λ-, 所以
000030013J ?? ?= ?
???或者300130000J ?? ?
= ? ???
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16. (10分)已知1111A ??=
?
??
.(1) 求三种方法求At
e . 解答 方法一 211
(1)1011A E λλλλ--==--=-,120,2λλ==,假设()r a b λλ=+,
那么022t e a e a b ?=?=+?,所以2112
t a e b =???-=
??,所以21()12t
e r λλ-=+,所以2222111211t t At t t e e e e e ??+-= ?-+??,
解答 方法二 对应于特征值120,
2λλ== 的特征向量分别为11,11????
? ?-????
,所以 1
222222111011111011111111011110112211t t At
t t t t
e e e e e e e --??+-????????????=== ? ????? ?????----+??????????????
解答 方法三 1111A ??=
???,1
2n n A A -=,
1011221222211112(2)!!
2!1111(2)(1)2!21121121t At
n n n n n
n n n t t
t
n t
t n e A t E A t E A t n n n e E A t E A e E A e e e n e ∞∞
∞-===∞===+=+-=+??+- ?=+-=+=-+??
∑∑∑∑
(2) 求解微分方程组1
122121212(0)(0)0dx x x dt dx
x x dt
x x ?=++???=++??==???
.
解答
2()2()1()
2()2()00222()2()022*******()22113(1)31112
,
32231(1)231(1)4231(1)42
t t t t A t t t t t t t t t t x e e e f d d x e e e t e d e e t x e t x e t τττττττττττ-------??+-????== ? ? ?-+????
????-- ???-== ? ?+ ?
??-+ ???
?=--???
?=-+?????
2013年国家公务员考试真题及答案解析 常识部分 1、《国家“十二五”时期文化改革发展规划纲要》提出要加大政府对文化事业建设的投入力度。下列属于政府投入保障政策的是: A.支持文化企业在投资、投标、营销、参展和宣传等活动 B.继续完善文化市场的准入政策,吸引社会资本投资文化产业 C.文化内容创意生产、非物质文化遗产项目经营享受税收优惠 D.通过政府购买服务的方式,鼓励社会力量提供公共文化产品 2、关于中国共产党历史上的得要会议,下列说法不正确的是: A.古田会议:解决新型人民军队建设问题 B.遵义会议:纠正“左倾”的军事路线 C.洛川会议:决定北上抗日的总方针 D.瓦窑堡会议:确定建立抗日民族统一战线的方针政策 3、中国人民艰苦卓绝的革命斗争中,诞生了不少脍炙人口的歌曲。下列歌词均来自这些著名歌曲,其中创作时期与其他三首不同的是: A.河西山冈万丈高,河东河北高粱熟了 B.我们生长在这里,每一寸土地都是我们自己的 C.每个人被迫着发出最后的吼声 D.宽广美丽的土地,是我们亲爱的家乡 4、下列经济指标与衡量对象对应关系正确的是: A.赤字率――财政风险 B.恩格尔系数――收入分配差距 C.基尼系数――居民生活水平 D.生产者物价指数――货币供应量 5、下列不属于收入再分配手段的是: A.最低工资保障 B.最低生活保障 C.税收 D.社会保险 6、下列诗句反映的历史事件,按时间先后排序正确的是:①北师覆没威海卫,签订条约在马关②鸦片带来民族难,销烟虎门海滩前③武装起义占三镇,武昌汉口和汉阳 A.①③② B.②③① C.①②③ D.②①③ 7、某县开展行政执法大检查:①某食品厂生产腐竹时非法添加硼砂被当场查获,县工商局以证据确凿为由吊销该厂营业执照,不再另行举行听证会;②县矿业公司将含镉的工业废渣倾倒入河,造成河水镉农度超标,县环保局、县水利局分别决定对其罚款10万元和5万元;③县卫生局接到群众举报某火锅店使用过期牛油,遂派一工作人员前往检查,对牛油进行查封、送检。上述县直单位做法妥当的是: A.县工商局 B.县环保局 C.县水利局 D.县卫生局
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
2013年社会工作师中级实务真题及答案 第一题(案例分析) 社区矫正对象李某,男,25岁,未婚,初中毕业,与父母同住。李某认为钱是万能的,能够改变一切,他一直梦想一夜暴富,对于收入较低的工作岗位不屑一顾。他从不主动了解就业市场的需求,加上学历较低,所以一直失业在家,每日无所事事。新入职的社工小王认为,李某目前的状况主要由失业所致,只要替他找到工作问题就全部解决了。于是,小王相反设法寻找就业信息,多次向李某提供就业岗位,但一直没有成功。因此,小王十分沮丧、困惑。 1、本案例中社工小王服务目标存在什么偏差? 答:本案例中矫正对象李某择业观存在偏差,他认为钱是万能的,能够改变一切,他一直梦想一夜暴富,对于收入较低的工作岗位不屑一顾。而社工小王简单地认为李某目前的状况主要由失业所致,只要替他找到工作问题就全部解决了。尽管多次为李某提供就业岗位,但一直没有成功,小王的服务目标与李某的就业目标不一致,服务目标存在简单归因。 2、对社工小王的服务目标做出具体的修改? 答:1、首先要帮助李某树立正确的择业观,不能好高骛远,要脚踏实地,先就业再择业。 2、帮助李某多了解劳动力市场的新动向,新需求,积极参加就业培训和指导,提高就业竞争力,努力寻找适合自己的工作。 3、李某已经25岁了,却还依靠父母生活,社工小王可以从他父母方面入手,依靠其家庭,来督促李某尽快就业,从而为下一步开展社区矫正工作打下良好的基础。 第二题(案例分析) 社工在社区调研中,发现该社区部分低保家庭中,有些因病致贫,家庭照顾负担较重;有些虽有较强的就业动机,但因缺乏技能,找不到工作;有些则产生了福利依赖思想,缺乏就业动机;有些眼高手低无法顺利就业。 同时,社工还发现社区存在大量资源,例如,该社区位于中心城区,社区内有不