当前位置：文档库 › 《高数》下册第十一章练习题

《高数》下册第十一章练习题

第十一章

曲线积分与曲面积分

习题 11-1

1.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。用对弧长的曲线积分分别表达：

（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I

（2）这曲线弧的质心坐标x ,y

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3

3.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22

(x y )n

ds +?，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤

（2）(x y)ds L

+?，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

（3）

x L

ds ?

，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界

（4）22

x y L

ds +?

，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇

形的整个边界

（5）2221ds x y z Γ++?，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t t

x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2

的这段弧（6）

2x yzds Γ

?，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0）

，（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2）（7）2L

y ds ?

，

，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤

（8）

22(x )ds L

y +?

，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤

4.求半径为ａ，中心角为2?的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中

02t π≤≤，它的线密度

222(x,y,z)x y z ρ=++．求：

（１）它关于ｚ轴的转动惯量z I

（２）它的质心。

习题 11-2

1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：

(x,y)dx 0

P =?

2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：

(x,y)dx (x,0)dx

P P =?

3.计算下列对坐标的积分：（1）2

2(x

y )L

-?，其中L 是抛物线

2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）

xydx

，其中L 为圆周

222

(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3）

ydx xdy

，其中L 为圆周

cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到

2π

的一段弧

（4）22

(x y)dx (x y)dy L x y +--+?，其中L 为圆周

222

+y x a =（按逆时针方向绕行）（5）2x dx zdy ydz

+-?

，其中

Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π

的一段弧（6）(x y 1)dz xdx ydy Γ

+++-?

，其中

Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

（7）

+y dx dy dz

，其中

Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）2

2(x

2xy)dx (y 2xy)dy

-+-?，其中L 是抛物线

2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）

的一段弧 4.计算

(x y)dx (y x)dy L

++-?，其中L 是：

（1）抛物线

y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段

（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线

（4）曲线

21,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222

x y R +=按

逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功

6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功

7.把对坐标的曲线积分

(x,y)dx Q(x,y)dy

P +?

化成对弧长的积分曲线，其中L 为：

（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）

（2）沿抛物线2

y x =从点（0,0）到点（1,1）

（3）沿上半圆周

222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设

Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz

++?

化成对弧长的曲线积分

习题 11-3

1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）

22(2xy x )dx (x y )dy

-++?，其中L 是由抛物线

2y x =和2y x =所围成的区域的

正向边界曲线（2）

222(x xy )dx (y 2xy)dy

-+-?

，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）

的正方形区域的正想边界

2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线

33cos ,sin x a t y a t ==

（2）椭圆2

9+16y 144x = （3）圆2

2x y ax +=

3.计算曲线积分22ydx 2(x y )

L xdy -+?，其中L 为圆周

(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向

4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值

（1）

(2,3)

(1,1)(x y)dx (x y)dy

++-?

（2）

(3,4)

2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-?

（3）

(2,1)

423(1,0)

(2xy y 3)dx (x 4xy )dy

-++-?

5.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy

-+++-?，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）

的三角形正向边界；

（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dy

x x L

x y x xy x y e dx +-+-?

，其中L 为正向星形线

222

(a 0)

x y a +=>

（3）

3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dy

dx -+-+?

，其中L 为在抛物线

22x y π=上由点

（0,0）到（2π

，1

）的一段弧

（4）2

2(x

y)dx (x sin y)dy

--+?

，其中L 是在圆周

22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧

6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：

（1）(2)(2)x y dx x y dy +++

（2）

2xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -

（4）

2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）

22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2

,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

.判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。

（1）

2222(36)(6x y 4y )dy 0x xy dx +++=

（2）

222(a 2xy y )dx (x y)0(a )dy ---+=为常数（3）(xe 2y)dy 0y y

e dx +-=

（4）(xcosy cosx)y ysinx siny 0+-+=

（5）

2(x y)dx xdy 0--= （6）

2y(x 2y)dx x 0dy --= （7）

22(1)d 2e 0e d θθρρθ++= （8）

22(x y )dx xydy 0++= 9.确定常数

λ，使在右半平面x>0上的向量42242(x,y)2xy(x y )(x y )A i x j λλ

=+-+为某二元函数u （x,y ）的梯度，并求u(x,y)

习题 11-4

1.设有一分布着质量的曲面

∑

，在点（x,y,z ）处它的面密度为

μ（x,y,z ）,用对面积的曲

面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式

(x,y,z)ds (x,y,z)ds (x,y,z)ds

f f f ∑

∑∑=+??????

其中

∑是由1

∑和

∑组成的

当

∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分(x,y,z)dS

f ∑

??与二重积分有什么关系？

4.计算曲面积分

(x,y,z)dS

f ∑

，其中

∑为抛物面222(x y )z =-+在xOy 面上方的部分，

(x,y,z)f 分别如下：

（1）(x,y,z)1f =

（2）22

(x,y,z)x y f =+

（3）(x,y,z)3f z =

22∑

∑??计算（x +y ）dS,其中是：

（1）

22z z 1x y =+=锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面

（2）

222z 3(x y )z 0z 3=+==锥面被平面和所截得的部分 6.计算下列对面积的曲面积分：

（1）4x z ,13234y z

ds ∑

∑++=??（+2x+y ）其中为平面在第一卦限中的部分

（2）2

xy ds x ∑

∑??

（2-2x -x+z ）,其中为平面2+2y+z=6在第一卦限中的部分（3）

222

(x y z)ds,x

z (0h a)y z a h ∑

++∑++=≥<

（4）

2222xy z x 2x y y ax ∑

∑++=??（+yz+zx ）ds,其中为锥面=被柱面所截得的有限部分7.

1z (x y )(0z 1)=z 2

μ=

+≤≤求抛物面壳的质量，此壳的面密度为

8.22220x +y +z =a (z 0)z μ≥求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量

习题 11-5

1.按对坐标的曲线面积的定义证明公式 1

[P (x,y,z)P (x,y,z)]dydz (x,y,z)dydz (x,y,z)dydz P P ∑

∑

±=±??????

x y x O R ∑

∑??当为面内的一个闭区域时，曲面面积（,y,z ）dxdy 与二重积分有什么关系？

3.计算下列对坐标的曲面积分：

（1）

22222,x y z R x

y zdxdy ∑

∑++=??其中是球面的下半部分的下侧

（2）22

z ,x 1z 0z 3dxdy xdydz ydzdx y s ∑

++∑+===??其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧

（3）[(x,y,z)x]dydz [2(x,y,z)y]dzdx (x,y,z)z]dxdy,(x,y,z)x y z 1f f f f ∑

+++++∑-+=??其中为

连续函数，

是平面在第四卦限部分的上侧

（4）

xz ,x 0,y 0,z 0,x y z 1dxdy xydydz ∑

+∑===++=??其中是平面所围成的空间

区

域的整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分

x P

∑

??（,y,z ）dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy 化成对面积的曲面积分其中

（1）3x 2236y z ∑++=是平面在第一卦限的部分的上侧（2）228(x y )xOy z ∑=-+是抛物面在面上方的部分的上侧

习题 11-6

1.利用高斯公式计算曲面积分：（1）

222x dydz y dzdx z dxdy ∑

++??，其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a 所围成的立体的表面的外侧（2）333x dydz y dzdx z dxdy ∑

++??，其中∑为球面2

222x

y z a ++=的外侧

（3）

2232

(x y z )(2xy y z)xz dydz dzdx dxdy

∑

+-++??，其中∑为上半球体

2222220,z a x y x y a ≤≤--+≤的表面的外侧

（4）

y z xdydz dzdx dxdy ∑

++??，其中∑是界于z=0和z=3之间的圆柱体2

29x

y +≤的

整个表面的外侧

（5）

z xzdydz dzdx y dxdy ∑

-+??，其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的

立方体的全表面的外侧

2.求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量：

（1）A yzi xzj xyk =++，∑为圆柱222

(0z h)x y a +≤≤≤的全表面，流向外侧（2）

(2x z)A i x yj xz k =-+-，∑为立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的全表面，流向外侧

（3）2

(2x 3z)(xz y)(y 2z)A i j k =+-+++，∑是以点（3，-1,2）为球心，半径R=3的球面，流向外侧

3.求下列向量场A 的散度：

（1）2

2(x z)(y xz)(z )A y i j xy k =+-+++

（2）

2cos(xy)cos(xz )xy A e i j k =++ （3）

2xy xz A y i j k =++ 4.设u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，u n ??,v

n ??依次

表示

u(x,y,z),v(x,y,z)沿

∑的外法线方向的方向导数。证明

(u )dxdydz (u

)ds v u

v u v n n

νΩ

∑

???-?=-???????，其中

∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。

5.利用高斯公式推证阿基米德原理，浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向沿铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力

习题 11-7

222222

z ,1,,Q x,R z x y x y P y ∑=++≤===试对曲面：验证斯托克斯公式 2.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：（1）ydx zdy xdz Γ

++?

，其中Γ为圆周2222=,0x y z a x y z ++++=，若从x 轴的正向

看去，这圆周是取逆时针方向

（2）

(y z)dx(z x)dy(x y)dz

-+-+-

?，其中Γ为

椭圆

,1(a0,b0)

x z

x y a

a b

+=+=>>，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向

（3）

3ydx xzdy yz dz

?，其中Γ为圆周222,2

x y z z

+==，若从z轴的正向看去，

这圆周是取逆时针方向

（4）

ydx xdy z dz

?，其中Γ为圆周2229,0

x y z z

++==，若从x轴的正向看去，

这圆周是取逆时针方向

3.求下列向量场A的旋度：

（1）

(2z3y)i(3x z)j(y2x)k A=-+-+-

（2）

(z siny)i(z xcosy)j A=+--

（3）

sin i sin(xz)j sin(cosz)k A x y y xy

=++

4.利用斯托克斯公式把曲面积分

rotA nds

∑

??化为曲线积分，并计算积分值，其中A，∑及

n分别如下：

（1）

A y i xyj xzk

=++，为上半球面22

z x y

=--

的上侧，n是

∑

的单位法向量

（2）

(y z)i yzj xzk

A=-+-，∑为立方体{(x,y,z)02,02,02}

x y z

≤≤≤≤≤≤的表面

外侧去掉

xOy面上的那个底面，n是∑的单位法向量

5.求下列向量场A沿闭曲线

Γ（从z轴正向看Γ依逆时针方向）的环流量

（1）A yi xj ck

=-++（c为常量），Γ为圆周221,0

x y z

+==

（2）

(x z)i+(x yz)j3xy k

A=-+-，其中Γ为圆周22

2,0

z x y z

=-+=

6.证明

(a b)rota rotb rot+=+

7.设

(x,y,z)

u u

具有二阶连续偏导数，求

rot(gradu)

总习题十一

1.填空

（1）第二类曲线积分

Pdx Qdy Rdz Γ

++?

化成第一类曲线积分是————，其中α，β，

γ为有向曲线弧Γ在点（x,y,z ）处的—————的方向角

（2）第二类曲线积分

Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑

++??化成第一类曲线积分是————，其中

α，β，γ为有向曲面∑在点（x,y,z ）处的—————的方向角

2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论：

设曲面∑是上半球面：

2222

x =R (z 0)y z ++≥，曲面1∑是曲面∑在第一卦限中的部分，则有——————。（A ）1

4xds xds ∑

∑=????

（B ）14yds xds ∑

∑=????

4zds xds ∑

∑=????

(D)

4xyzds xyzds

∑

∑=????

3.计算下列曲线积分：

（1）

22L

x y ds

+?，其中L 为圆周

22x y ax

（2）

zds

，其中

为曲线

0cos ,sin ,(0t t )

x t t y t t z t ===≤≤

（3）(2a y)dx xdy

-+?，其中L 为摆线

(sin ),(1cos )

x a t t y a t =-=-上对应t 从0到

2π

的一段弧

（4）2

22(y

z )dx 2yzdy x dz

-+-?，其中是曲线

,,x t y t z t ===上由

t =到

t =的

一段弧

（5）

(e siny 2y)(e cosy 2)dy

x x

dx -+-?，其中L 为上半圆周

222(x a)+y ,0

a y -=≥沿逆

时针方向

（6）

xyzdz

，其中

是用平面y=z 截球面

2221

x y z ++=所得的截痕，从z 轴的正向看

去，沿逆时针方向 4.计算下列曲面积分：

（1）

222ds x y z ∑

++??，其中

∑

是界于z=0及z=H 之间的圆柱面

222

x y R +=

（2）

222(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy ∑

-+-+-??

，

其中

∑

为锥面

22(0z h)

z x y =+≤≤的外侧

（3）

xdydz ydzdx zdxdy

∑

++??，其中

∑

为半球面

222

z R x y =--的上侧

（4）xyzdxdy

∑

??，其中

∑

为球面

2221(x 0,y

x y z ++=≥的外侧

5.证明：22xdx ydy

x y ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的

全微分，并求出一个这样的二元函数。 6.设在半平面x>0内有力3

(xi yi)k

F ρ

+构成力场，其中k 为常数，22

x y ρ=+。证

明在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。

7.设函数f(x)在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半球面（y>0）内的有向分段光华曲线，其起点为（a,b ），终点为（c,d ）。记2221I [1y f (xy)]dx [y f(xy)1]dy L x

y y

=++-?

（1）证明曲线积分I 与路径积分（2）当ab=cd 时，求I 的值

8.求均匀曲面

222

z a x y

=--

的质心的坐标

9.设u(x,y),v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线，证明：

（1）

(grad grad)dxdy

D D

v udxdy ds

μνν

??=-+

??????

（2）

()dxdy()ds

n n

νμμννμμν

???-?=-

???

其中

μ?

?，n

ν?

?分别是u,v沿L的外法线向量n的方向导数，符号

x y

?=+

??称二维拉

普拉斯算子

10.求向量

=xi

A yj zk

通过闭区域

{(,,)01,01,01}

x y z x y z

Ω=≤≤≤≤≤≤

的边界曲

面流向外侧的通量

11.求力F yi zj xk

=++

沿有向闭曲线

所做的功，其中为平面

x y z

++=

被三个坐标面

所截成的三角形的整个边界，从z轴正向看去，沿顺时针方向。