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2009年全国高中数学联赛加试-试题参考答案及评分标准(A卷)

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）

1．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ?（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 BC

、 AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ?的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．

⑴求证：MP MT NP NT ?=?；

⑵在弧

AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ?，QCB △的内心分别为1I ，2I ，

求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．

【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因

此NP MC =，PM NC =．

连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为

MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理 NC NI =．

于是

NP MI =，PM NI =．

故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=?，由三角形面积公式

sin 2

PMT S PM MT PMT =?∠△

s i n 2

PNT S PN NT PNT ==?∠△

s i n 2

P N N T P M

T =?∠ 于是PM MT PN NT ?=?． ⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，

所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ?=?得NT MT

MP NP

．由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12

NT MT

NI MI =．又因

12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有

12I NT I MT ??∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而

1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．

因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2．求证不等式：

2111ln 12n k k n k =??

-<- ?+??

∑≤，1n =，2，… 【解析】证明：首先证明一个不等式：

⑴ln(1)1x x x x

<+<+，0x >．事实上，令

()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1x

g x x x

=+-+．

则对0x >，

()101h x x

'=->+，22

11()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++．于是

()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．

在⑴中取1

x n

=得

⑵

111ln 11n n n

??<+< ?+??．令2

1ln 1

n k k x n k ==-+∑

，则11

2x =， 121ln 111n n n x x n n -?

?-=

-+ ?+-?? 21

1n n n

<-+

0(1)n n

=-<+ 因此1112

n n x x x -<<<= ．又因为

1ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=??

=--+---++-+=+ ???∑ ．

从而

211

1ln 11n

n n k k k x k k -==??

=-+ ?+??∑∑

211ln 11

1n k k n k k n -=??

??=-++ ? ?++????∑1

2111n k k k k -=??>- ?+??∑ 1211(1)n k k k -==-+∑1

(1)n k k k -=-+∑≥

11n

=-+>-．

3．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．

【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+??．我们证明()

C 1k m l =，

．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p ?．

若!p k ?

，则由 1!C ()k

k m

i k m k i ==-+∏

1[(

(!)]k i i t l k =≡+∏ 1

i i =≡∏

()

1!m o d k p α+≡．

及|!p k α，且1!p k α+?，知|!C k m p k α且1

!C k m p k α+?．从而C k m p ?．

证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+??，我们证明()

C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p ?．

若!p k ?

，则由 1!C ()k

k m

i k m k i ==-+∏

[(

(!)]k i i t l k =≡+∏

i i =≡∏

()!m o d k p ≡．

即p 不整除上式，故C k m p ?．

若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+?．12|(!)p k α+．故由

1!C ()k k

i k m k i -==-+∏

21[(

(!)]k i i t l k =≡+∏ 1

i i =≡∏

()

1!mod k p α+≡

及|!p k α，且1!p k α+?，知|!C k m p k α且1

!C k m p k α+?．从而C k m p ?． 4．在非负数构成的39?数表

111213141516171

212223242526272829

313233343536373839

x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x

?? ?

= ? ??? 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，

18x ，38x ，19x ，29x 均大于1．如果P 的前三列构成的数表

111213

2223313233x x x S x x x x x x ?? ?

= ? ?

满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ??

? ???

（1k =，2，…，9）均存

在某个{}123i ∈，

，使得

⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．

求证：

（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．

（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ??

? ? ???

，*1k ≠，2，3使得33?数表

***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?'= ? ? ?

仍然具有性质()O ．

【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则

存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任

何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，

，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知

{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设

{}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．

由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，

第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字． 111213212223313233x x x S x x x x x x ?? ?

= ? ???

记{}129M = ，，，，令集合

{}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．

显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ?．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．

故I ?≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33?数表

***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?

'= ? ? ?

具有性质()O ．

从上面的选法可知{}

{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，

．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．

又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是

{}

**2

212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．

下证唯一性．设有k M ∈使得数表

111212122231323k k k x x x S x x x x x x ?? ?= ?

???

具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311

m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，

{}331323333

m i n u x x x

x ==，，

3231x x <．

由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111

m i n k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}331

33min k

u x x x x ==，，，或者 {}221

22()min k

b u x x x x ==，，．

如果()a 成立，由数表 S 具有性质()O ，则 {}111

m i n k u x x x x

==，，， ⑸ {}22122222min k u x x x x ==，，， {}331

m i n k k

u x x x x ==，，．

由数表 S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得

*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *

3323k x x u >=．于是只能有 *222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*

222k k x u x '=≤．从而*k k =．