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山东省威海市2019届高三第二次模拟数学(理)试卷含解析

高三理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z 满足2(1)(3)z i i +=+，则||z =( )

C. D. 8

【答案】C 【解析】【分析】

先根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后再求出||z 即可．【详解】∵2

(1)(3)z i i +=+，

∴2(3)86(86)(1)

(43)(1)711(1)(1)

i i i i z i i i i i i i +++-=

===+-=-+++-，

∴||5052z === 故选C ．

【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题．

2.已知集合x y y A 2log |{==，1

4}2

x ≤≤，{|2}B x =≤，则A B ?=( ) A. [1,2]- B. ]2,0[

C. [1,4]-

D. [0,4]

【答案】B 【解析】【分析】

根据对数的单调性求出集合A ，解不等式得到集合B ，然后再求出B A 即可得到答案．【详解】由题意得221

4}{|log log {|}[1,212]2

A y y y y ≤≤=≤≤=-=-，

又{|

2}[0,4]B x =≤=，

∴[0,2]A B ?=．故选B ．

【点睛】本题考查集合的交集，解题的关键是根据题意得到集合,A B ，属于基础题．

3.下图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x 的值为

( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】B 【解析】【分析】

根据茎叶图中的数据及平均数的定义得到关于x 的方程，解方程可得所求．【详解】茎叶图中的

数据为：86,80,90,91,91x +，由数据平均数为89得1(868090

9191)895

x +++++=，解得7x =．故选B ．

【点睛】解答本题时首先要由茎叶图得到相关数据，解题的关键是要明确茎叶图中茎中的数字表示十位数字，叶中的数字表示各位数字，属于基础题．

4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则cos2α=( )

C. 13

【答案】D 【解析】【分析】

先根据三角函数的定义求出3

cos =

α，然后再根据二倍角的余弦公式求出cos2α．【详解】∵M 为角α终边上一点，

∴cos3

α===，

∴22

cos22cos121

αα

=-=?-=．

故选D．

【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题．

5.若,x y满足约束条件

210,

220,

20,

x y

-+≤

-+≥

?+-≤

则3

z x y

=-的最大值为( )

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

【答案】A

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，由3

z x y

=-得z

=3，平移直线并结合z的几何意义得到最优解，进而可得所求最大值．

【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由3

z x y

=-得z

=3，

所以z表示直线z

=3在y轴上截距的相反数．

平移直线z

=3，结合图形可得当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由

210

x y

-+=

+-=

解得

，

所以)1,1(A ，

所以max 3112z =?-=．故选A ．

【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．

6.函数sin 22y x x =+的图象可由2cos 2y x =的图象如何变换得到( )

A. 向左平移12π

个单位 B. 向右平移

12π

个单位 C. 向左平移6

个单位

D. 向右平移6

个单位

【答案】B 【解析】【分析】

由题意化简得sin 2322cos[2()]12

y x x x π

=+=-，然后再把函数2cos 2y x =的图象经过平移后可得到所求

答案．

【详解】由题意得sin 222sin(2)2cos[(2)]2cos(2)3236

y x x x x x π

πππ

==+

=-+=-+ 2cos(2)2cos[2()]612

x x ππ

=-=-，

所以将函数2cos 2y x =的图象向右平移12π

个单位可得到函数2cos[2()]12

y x π=-，即函数sin 22y x x =+的图象．故选B ．

【点睛】在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：①变换的方向，即由谁变换到谁；②变换前后三角函数名是否相同；③变换量的大小．特别注意在横方向上的变换只是对变量x 而言的，当x 的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解．

7.若P 为ABC ?所在平面内一点，且|||2|PA PB PA PB PC -=+-u u r u u r u u r u u r u u u r

，则ABC ?的形状为( )

A. 等边三角形

B. 等腰三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

【答案】C

【分析】

由条件可得||||BA CA CB =+uu r uu r uu r ，即||||CA CB CA CB -=+u u r u u r u u r u u r

，进而得到CA CB ⊥，所以ABC ?为直角三角形．

【详解】∵|||2|PA PB PA PB PC -=+-u u r u u r u u r u u r u u u r

，

∴|||()()|||BA PA PC PB PC CA CB =-+-=+u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r

，即||||CA CB CA CB -=+u u r u u r u u r u u r ，

两边平方整理得0CA CB ?=， ∴CA CB ⊥，

∴ABC ?为直角三角形．故选C ．

【点睛】由于向量具有数和形两方面的性质，所以根据向量关系式可判断几何图形的形状和性质，解题时需要对所给的条件进行适当的变形，把向量的运算问题转化为几何中的位置关系问题，解题中要注意向量线性运算的应用，属于中档题．

8.已知函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 的值域为( ) A. )2,0( B. [0,)+∞ C. (2]-∞ D. (,0]-∞

【答案】D 【解析】【分析】

根据函数()f x 的图象关于直线1x =对称可得(1)(1)f x f x +=-，由此可得2a =，所以()ln ln(2)f x x x =+-，再结合函数的单调性和定义域求得值域．

【详解】∵函数()ln ln()f x x a x =+-的图象关于直线1x =对称 ∴(1)(1)f x f x +=-，

即ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x a x x a x -+-+=++--， ∴(1)(1)(1)(1)x a x x a x --+=+--，整理得(2)0a x -=恒成立，

∴()ln ln(2)f x x x =+-，定义域为)2,0(．又2()ln ln(2)ln(2)f x x x x x =+-=-， ∵02x <<时，2021x x <-≤， ∴2ln(2)0x x -≤，

∴函数()f x 的值域为(,0]-∞．故选D ．

【点睛】解答本题时注意两点：一是函函数()y f x =的图象关于x a =对称

()()f a x f a x ?+=-()(2)f x f a x ?=-；二是求函数的值域时首先要考虑利用单调性求解．本题考查转化及

数形结合等方法的利用，属于中档题．

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )

A. 6

B. 8

C. 26

D. 【答案】B 【解析】【分析】

根据三视图画出四棱锥的直观图，然后再结合四棱锥的特征并根据体积公式求出其体积即可．

【详解】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体

1111ABCD A B C D -中，14,2,3AB AD AA ===，点1,E E 分别为11,AB A B 的中点．

由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D 即线段CE 即为四棱锥的高．

所以111111

(3833

DEE D C DEE D V S CE -=??=???=四棱锥. 故选B ．

【点睛】本题考查三视图还原几何体和几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于中档题．

10.在ABC ?中，3AC =，向量在上的投影的数量为2,3ABC S ?-=，则=BC ( )

A. 5

B. 72

D. 24

【答案】C 【解析】【分析】

由向量在上的投影的数量为2-可得||cos 2AB A =-，由3=?ABC S 可得1

||||sin 32

AB AC A =，于是可得3,||224

A A

B π

=BC 的长度．【详解】∵向量在AC 上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-．① ∵3=?ABC S ， ∴

||||sin ||sin 322

AB AC A AB A ==， ∴||sin 2AB A =．②

由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ?的内角，

∴4

3π=

A ，

∴2

||3sin

AB π==．在ABC ?中，由余弦定理得

2222232cos

323(2942

BC AB AC AB AC π=+-???=+-??-=，

∴BC =

故选C ．

【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题．

11.已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ??=-

，对任意的x R ∈满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为( )

A. 711,66ππ??

???

B. 45,33ππ??

???

C. 2,33ππ

D. 5,66ππ??

【答案】D 【解析】【分析】

根据题意构造函数2

()()21g x f x x =-+，则()()40g x f x x ''=->，所以得到()g x 在R 上为增函数，又

2111

()()2()10222g f =-?+=．然后根据

(sin )cos 20

f αα+>可得

21(

s i n )(s i n

)2s i n 12g f

f g ααααα=-+

=+>=，于是2

sin >α，解三角不等式可得解集．【详解】由题意构造函数2

()()21g x f x x =-+，则()()40g x f x x ''=->， ∴函数()g x 在R 上为增函数．

∵1122f ??=-

???

， ∴2

111()()2()10222

g f =-?+=．又(sin )cos 20f αα+>，

∴2

1(sin )(sin )2sin 1(sin )cos 20()2

g f f g ααααα=-+=+>=， ∴21sin >

α， ∵02απ≤≤， ∴

πα<<

， ∴不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为5,66ππ??

．故选D ．

【点睛】解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解，构造时要结合所求的结论进行分析、选择，然后根据所构造的函数的单调性求解．本题考查函数和三角函数的综合，难度较大．

12.设1F ，2F 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，点()0,2P x a 为双曲线上一点，若21F PF ?的重心和内

心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )

【答案】A 【解析】【分析】

设21F PF ?的重心和内心分别为,G I ，则02(,

)33

x a

G ．设(,)I I I x y

，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得I x a =，于是03x a =，03x a =，所以()3,2P a a ．然后由点P 在双曲线上可得221

b a =，于是可得离心率．【详解】画出图形如图所示，

设21F PF ?的重心和内心分别为,G I ，且圆I 与21F PF ?的三边1212,,F F PF PF 分别切于点,,M Q N ，由切线的性质

可得1

122||||,||||,||||PN PQ FQ F M F N F M ===．不妨设点()0,2P x a 在第一象限内， ∵G 是21F PF ?的重心，O 为12F F 的中点，

∴1

||||3

OG OF =

， ∴G 点坐标为02(,)33

x a

．由双曲线的定义可得121

212||||2||||||||PF PF a FQ F N F M F M -==-=-，又12||||2F M F M c +=， ∴12||,||F M c a F M c a =+=-， ∴M 为双曲线的右顶点．又I 是21F PF ?的内心， ∴12IM F F ⊥．

设点I 的坐标为(,)I I x y ，则I x a =．由题意得GI x ⊥轴， ∴

x a =，故03x a =， ∴点P 坐标为()3,2a a ．

∵点P 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上，

∴22222294491a a a a b b -=-=，整理得2212

b a =，

∴2

c e a ====．故选A ．

【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点P 的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在5(2x 的展开式中，4x 的系数是__________．【答案】80. 【解析】【分析】

先求出二项展开式的通项，然后可求出4x 的系数．【详解】由题意得，二项展开式的通项为5552

(2)

(0,1,2,3,4,5)r r r

r r

r r T

C x x C x

r -

--+=??==，

令2r =得4x 的系数为32

5280C ?=．

故答案

：80．

【点睛】解答此类问题的关键是求出二项展开式的通项，然后再根据所求问题通过赋值法得到所求，属于基础题．

14.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到x 轴的距离为4,到焦点的距离为5,则=p __________．【答案】2或8. 【解析】【分析】

设00(,)M x y ，则0||4y =，由题意可得052

x +=，0162px =，两式消去0x 后解方程可得所求值．【详解】设00(,)M x y ，则0||4y =， ∴0162px =．①

又点M 到焦点的距离为5， ∴052

x +

=．②

由①②消去0x 整理得210160p p -+=，解得2p =或8p =．故答案为：2或8．

【点睛】本题考查抛物线定义的应用，即把曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，属于基础题．

15.直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ?

∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，

则球O 表面积的最小值为__________．【答案】16π. 【解析】【分析】

设,AB c BC a ==，由三棱锥O ABC -的体积为1可得6=ac ．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为

)12

c R +=+，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．

【详解】如图，在Rt ABC ?中，设,AB c BC a ==，则22AC a c =+．

分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111C B A Rt ?和Rt ABC ?外接圆的圆心，连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．

∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132

O ABC ac

V -=

??=， ∴6=ac ．

在2Rt OO C ?中，可得22

222

12()()11224

O O AC a c R +=+=+=+，

∴222

244(1)4(1)1644

a c ac

S R ππππ+==+≥+=球表

，当且仅当c a =时等号成立，

∴O 球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．

【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．

16.“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨?克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为__________．【答案】10或64. 【解析】【分析】

从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m 的所有可能的取值．【详解】如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；

经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64．所以正整数m 的值为10或64．故答案为：10或64．

【点睛】本题考查推理应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知{}n a 是递增的等比数列，548a =，2344,3,2a a a 成等差数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设数列{}n b 满足21a b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【答案】(Ⅰ) 123-?=n n a .(Ⅱ) 323(1)n

n S n =?+-.

【解析】【分析】

(Ⅰ)由条件求出等比数列的首项和公比，然后可得通项公式．(Ⅱ)由题意得1n n n b b a +-=，再利用累加法得到

1323n n b -=?+，进而可求出n S ．

【详解】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >， ∵24a ，33a ，42a 成等差数列，

∴324642a a a =+，即23

111642a q a q a q =+，

∴0232

=+-q q ，解得2q =或1q =（舍去）又4

5111648a a q a ===，

∴31=a .

∴1

23-?=n n a .

(Ⅱ)由条件及（Ⅰ）可得12326b a ==?=． ∵1n n n b b a +=+， ∴1n n n b b a +-=， ∴11(2)n n n b b a n ---=≥， ∴()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+

+-+

123216n n n a a a a a ---=++++++L

1332612n --?=+-

1323(2)n n -=?+≥．

又16b =满足上式，

∴1

323(*)n n b n N -=?+∈

∴1

23(122)332233323(1)12

n n n n S b b b n n n --?=+++=+++++=+=?+--L L ．

【点睛】对于等比数列的计算问题，解题时可转化为基本量（首项和公比）的运算来求解．利用累加法求数列的和时，注意项的下标的限制，即注意公式的使用条件．考查计算能力和变换能力，属于中档题．

18.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ?为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，

PD 与平面PAC 所成角的正切值为

15.

(Ⅰ)证明：//BC 平面PAD ；

(Ⅱ)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）25

11. 【解析】【分析】

(Ⅰ)先证明DPC ∠为

PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =，于是60CAD ∠=?．又由题意得到

60BCA ∠=?，故得AD BC //，再根据线面平行的性质可得所证结论． (Ⅱ) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得

AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到

二面角的余弦值．

【详解】(Ⅰ)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，所以PA CD ⊥

又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，

所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角．

在Rt PCD V 中，PC ==

所以CD =

所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=?. 又60BCA ∠=?，

所以在底面ABCD 中，AD BC //, 又AD ?平面PAD ，BC ?平面PAD ，所以//BC 平面PAD ．

(Ⅱ)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(Ⅰ)知AD BC //，所以AN AD ⊥，

分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .

则(0,0,2)P

，1,,022C ?? ? ???，(0,2,0)D

，1,144M ??

- ? ???

所以3,,022CD ??

=- ? ???uu u r ，(0,2,2)PD =-

，9,144DM ??=- ? ???

uuu u r

设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，

由1100n CD n PD ??=???=??

，即111130220y y z ?+=??-=??

，得11

x z y ?=??=??，

令11y =，则1

(3,1,1)n =．

设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =，

由2200n CD n MD ??=???=?

，即2222230940y y z ?+=?-+=

，得22

2232x y z ?=?

?=??

，

令21y =

，则232n ?

=??u u r ．

所以12

12331cos ,||||

n n n n n n ++

?<>===

?u r u u r

u r u u r u r u u r ，由图形可得二面角P CD M --为锐角，所以二面角P CD M --的余弦值为

11．【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论．

19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），己知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100 元.现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表:

以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润. (Ⅰ)当19n =时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的槪率； (Ⅱ)以销售利润的期望为决策依据，判断17n =与18n =应选用哪—个. 【答案】(Ⅰ)解析式见解析；槪率为0.71；(Ⅱ) 18n =. 【解析】【分析】

(Ⅰ) 根据题意可得解析式为分段函数9500,?

19,6001900,19X T X X ≥?=?

．分析题意可得当18X ≥时可满足利润不少于

8900元，求出16,17X X ==的概率后再根据对立事件的概率公式求解即可． (Ⅱ) 结合题意中的销售情况，分别求出当17n =和18n =时的销售利润的期望，比较后可得结论．【详解】(Ⅰ)由题意可知，当19X ≥，500199500T =?=；当19X <，500(19)1006001900T X X X =?--?=-，所以T 与X 的函数解析式为9500,?

19,6001900,19X T X X ≥?=?

由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3.

设销售的利润不少于8900元的事件记为A . 当19X ≥，5001995008900T =?=>，当19X <，60019008900X -≥，解得18X ≥，所以()(18)P A P X =≥．

由题意可知，(16)0.30.20.06P X ===?；

(17)0.30.50.40.20.23P X ??==+=；

所以()(18)10.060.230.71P A P X ==--=≥. (Ⅱ)由题意得(16)0.06P X ==，(17)0.23P X ==，

(18)0.40.50.30.30.30.20.35P X ???==++=，(19)0.40.30.30.50.27P X ??==+=， (20)0.30.30.09P X ===?．

①当17n =时，

()(500161100)0.06500170.948464E T =?-??+??=；

②当18n =时，

()(500162100)0.06(500171100)0.23185000.718790E T ????????=-+-+=．

因为84648790<，所以应选18n =．

【点睛】本题考查应用概率解决生活中的实际问题，解题的关键是深刻理解题意，然后再根据题中的要求及数学知识进行求解，考查应用意识和转化、计算能力，是近年高考的热点之一，属于中档题．

20.在直角坐标系xOy 中，设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且

160AF B ∠=?

，点1

在C 上.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ?面积取得最大值时，求直线l 的方程.

【答案】(Ⅰ) 2214

x y +=

.(Ⅱ) y x =【解析】【分析】

(Ⅰ) 由160AF B ∠=?，可得2a b =；由椭圆C

经过点1)2，得

2231144b b

+=，求出22,a b 后可得椭圆的方程． (Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得1422+=k m ，解方程可得切点坐标为41

(,)k P m m

-，再根据直线和圆相切得到2

||1OQ k

+||PQ ，进而得到

OPQ

1k =+，将1422+=k m 代入后消去m 再用基本不等式可得当三角形面积最大时1k =

，于是可得m =

【详解】(Ⅰ)由160AF B ∠=?，可得2a b =，①

由椭圆C

经过点

1)2，得2231

144b b

+=，② 由①②得224,1a b ==，

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

(Ⅱ)由2

214x y y kx m ?+=???=+?

消去y 整理得()222

148440k x kmx m +++-=（*），

由直线l 与椭圆相切得，

()()222264161140k m m k ?=--+=，

整理得1422+=k m ，

故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=，解得4k

x m

，设()11,P x y ，则12

4414km k x k m

--==+，故111

y kx m m =+=，因此41

(

,)k P m m

-．又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O

相切，可得||OQ =

所以||PQ ==

所以1||||2OPQ

S PQ OQ ?=?=，将1422+=k m 式代入上式可得

22411OPQ

S k k ?=++222

22214(41)34(1)34142111k k k k k k +-+--++=++

=21321k k =?+3112k k

+，由0k >得1

2k k +≥，

所以313

124OPQ S k k

?=?≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ?取得最大值．

由22415m k =+=

，得m = 所以直线l

的方程为y x =±

【点睛】解决解析几何问题的关键是将题中的信息坐标化，然后再利用一元二次方程根与系数的关系进行转化处理，逐步实现变量化一的目的．由于解题中要涉及到大量的计算，所以要注意计算的合理性，通过“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解，考查转化和计算能力，属于难度较大的问题．

21.已知函数2()(1)1

a x f x e x x -=

>-+. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；

(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。

2019年高考理科数学全国一卷一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。 1．已知集合M={x |-4＜x ＜2}，N={x | -x -6＜0}，则M∩U = A{x |-4＜x ＜3} B{x |-4＜x ＜-2} C{x |-2＜x ＜2} D{x |2＜x ＜3} 2．设复数z 满足|z -i|=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A B C D 3．已知a =2.0log 2，b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5，著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5．函数()][ππ，的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π

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2019年数学高考试题(附答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（） A ． B ． C ． D ． 3．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（） A ． 1.2308?.0y x =+ B ．0.0813?.2y x =+ C ． 1.234?y x =+ D ． 1.235?y x =+ 4．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 718 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（）

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=?P AB P A P B 。第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 (A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i 2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{} ,=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 3、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21 (),=+ f x x x 则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为9 4 ，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A) 512π (B) 3π (C) 4π (D) 6 π 5、将函数sin(2)?=+y x 的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4 π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380， --≥?? +-≥??+-≤? x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM 的斜率的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12 - 7、给定两个命题,.p q 若?p 是q 的必要不充分条件，则p 是?q 的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为 (A) (B) (C) (D) 9、过点(3,1)作圆2 2 (1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为

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2019年数学高考试卷(附答案) 一、选择题 1．如图所示的圆锥的俯视图为（） A ． B ． C ． D ． 2．123{ 3 x x >>是12126{ 9 x x x x +>>成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 4．函数2 ||()x x f x e -=的图象是（） A ． B ． C ． D ． 5．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（） A 2B 3 C ．22 D ．326．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面

的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）. A ．6500元 B ．7000元 C ．7500元 D ．8000元 7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若 0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形. 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 10．若实数满足约束条件，则的最大值是（） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知抛物线2 2(0)y px p =>交双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（） A ．(2,0) B ．(4,0) C ．(6,0) D ．(8,0) 12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 二、填空题

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