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信阳师院08-09第一学期高等数学试卷B

2. 设()f x 为偶函数,且(0)f '存在,则(0)f '= 0

3. 函数()ln 2x

信阳师院08-09第一学期高等数学试卷B

f x x e

=--在(0,)+∞内零点的个数为 0

4. ()x f x e =的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式为

2

2!1()n

n

x x x n e x o x =+++++

5. 若对[,]()()x a b F x f x '?∈=有,则()f x dx =? ()F x C +

三、计算题(每小题5分,共40分)

信阳师院08-09第一学期高等数学试卷B

1. 求01

lim x a x

→-, (0,1)a a >≠且 解(一): (洛必达法则) 01

lim x x a x

→-0ln ln lim x x a a a →== . 解(二): 令1x a t -=, 则log (1)a x t =+,当0x →时0t →,于是

1000111lim lim lim ln log (1)log log (1)t x x t t a a a a t a x t e

t →→→-====++ 2. 求ln lim

,(0)n

x x

n x →∞

> 解: (洛必达法则)1

1ln 1lim

lim lim 0x

n n n

x x x x x nx nx -→∞→∞→∞=== 3. 求由参数方程32t t

x e y e -?=?=?

所确定的函数的二阶导数22d y

dx . 解: 22233

dy t t dt

t

dx dt dy e e dx e -===-- , 222322414()()3339t t t t d y d dy d dt e e e dx dx dx dt dx e -∴==-?=-?=-

4. 设2sin 2y x x =,求(50)y 解: 设2

sin 2,u x v x ==, 则()2sin(2),(1,2,,50)2

k k u x k k π=+= , 2,v x '= 2,v ''= 而()0,(3,4,)k v k == ,由莱布尼茨公式得: 20

(50)

(20)()

200

k k k k y

C u v -==∑ 502494850492sin(250)202sin(249)22sin(248)222

22

x x x x x ππ

π

?=+?+?+?+

?+?

50250482sin 2502cos 24502sin 2x x x x x =-+?+? 5021225

2(sin 250cos sin 2)2

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x x x x x =-++ 5. 求sin x e xdx ?

解: sin sin ()sin (sin )sin cos x x x x x x e xdx xd e x e e d x x e e xdx ==?-=?+???? sin cos ()sin cos (cos )x x x x x x e xd e x e x e e d x =?+=?+?-?? (sin cos )sin x x e x x e xdx =--?

所以, 1

sin (sin cos )2

x

x e xdx e x x C =-+?, 其中C 为任意常数.

6. 求2

3

(1)(1)x dx x x ---? 解: 2233

(1)(1)

信阳师院08-09第一学期高等数学试卷B

(1)(1)x x dx dx x x x x --=---+?? 设223(1)(1)(1)1

x Ax B C

x x x x -+=+-+-+,

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则223()(1)(1)()(2)x Ax B x C x A C x A B C x B C -=+++-=+++-++

即0213A C A B C B C +=??+-=??+=-?, 解得1

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21A B C =??

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=-??=-?

. 所以原式2221111

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[](1)1(1)1x x dx dx dx x x x x ---=-=--+-+??? 1

ln 1ln 11

x x C x =-+

-++-, 其中C 为任意常数. 7. 求520cos sin x xdx π

?

解: 设cos t x =, 则sin dt xdx =-. 且当0x =时1t =,当2

x π

=时0t =.

则原式1

60

1

55

100166

t t dt t dt ??=-===??????

8.

求40

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? 解:

t =, 则21

,2

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t x dx tdt -==, 且当0x =时1t =,当4x =时3t =. 原式=

23

31

3322

1

11

21122

(3)32233t t tdt t dt t t -??+=+=+=?????

?. 四、综合题(每小题10分,共30分)

1. 讨论函数2

1sin ,0

()0,0x x f x x

x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性. 解: 2001

lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x

→→=== ()0f x x ∴=在处连续.

又20001

sin

(0)(0)

1lim

lim

lim sin 0x x x x f x f x x x

x x

?→→→?+?-?==?=??? ,

()0f x x ∴=在处可导且(0)0f '=.

2. 证明:当1x >时,

1

3x

>-.

解:

设11

()(3)3f x x x

=-=-,

则2211

()(1)f x x

x '=

-= .

当1x >时()0f x '>, 即()f x 在[1,)+∞上单调增加.

因此()(1)0f x f >=,

即1

3x

>-.

3. 设函数()f x [0,]a 在上连续, (0,)a f a 在内可导且()=0,证明:在开区间

(0,)a 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξξ'+=.

解: 令()()F x xf x =,

则函数()F x [0,]a 在上连续, (0,)a 在内可导,并且(0)()0F F a ==. 由罗尔定理可知, (0,)a 在内至少存在一点ξ, 使得()0F ξ'=. 而()()()F x f x xf x ''=+, 故有()()0f f ξξξ'+=