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考研线性代数中的常见套路

考研线性代数中的常见套路
考研线性代数中的常见套路

考研线性代数中的常见套路(csy)

1.230

-=则说明矩阵A的特征值只能由3和0构成。以此类推。

A A

2.对称矩阵的秩就是它的非零特征值的个数。

3.A X=0的基础解系就是特征值0对应的特征向量。

4.A为方阵,线性非齐次方程组A X=b无解则0

A=。

5.线性非齐次方程组A X=b有3个线性无关解,则()2

r A n

≤-。

6.实对称阵不同特征值对应的特征向量是正交的。

7.两个同型实对称阵若有相同的正特征值的个数和相同的负特征值的个数,则它们合同。

8.行列式为零的矩阵必有零特征值。

9.二次型经过正交变换所得的标准形中,各项系数都是特征值。

最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)

精品文档 线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案,2020 考研数学基础训练) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设3阶方阵A =(α1,α2,α3),其中αi (i =1,2,3)为A 的列向量,若| B |=|(α1+2α2, α2,α3)|=6,则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知,行列式的任意一列(行)的(0)k k ≠倍加至另一列(行),行列式的值不变。本题中,B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的,故其行列式不变,因此选C 。 【提醒】行列式的性质中,主要掌握这几条:(1)互换行列式的两行或两列行列式要变号;(2)行列式的任意一行(列)的(0)k k ≠倍加至另一行(列),行列式的值不变;(2)行列式行(列)的公因子(公因式)可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的,需重点掌握。热度:☆☆☆☆☆;可出现在各种题型中,选择、填空居多。 【历年考题链接】 (2008,4)1.设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3,D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++,则D 1的值为( ) A .-15 B .-6 C .6 D .15 答案:C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120

精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行(列)展开。一般来说,按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题,按第三列展开,有: 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算,如对角矩阵,上(下)三角矩阵,还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的,常出现在选择、填空和计算中,选择、填空居多。近几年,填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度:☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 (2008,1)11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案:1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2,则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算,和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2,从而12A = ,所以3 122842 A A ==?=。

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

收集自网络,不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学,下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1.线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

线性代数公式大全最全最完美

线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;

06-10年数学一考研线性代数真题部分

(5)设均为3维列向量,记矩阵 ,, 如果,那么 .. (11)设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] (12)设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵,则 (A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. 已知二次型的秩为2. (I)求a的值; (II)求正交变换,把化成标准形; (III)求方程=0的解. (21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零,矩阵(k为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.. (5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= . (11)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是 (A)若线性相关,则线性相关. (B)若线性相关,则线性无关. (C)若线性无关,则线性相关. (D)若线性无关,则线性无关. 【 】 (12)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则 (A)(B) (C)(D) 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. (7)设向量组,,线形无关,则下列向量组线形相关的是: ( )(A)(B) (C)(D)

(8)设矩阵A=,B=,则A于B ( ) (A) 合同,且相似 (B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (15)设矩阵A=,则的秩为________. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量; 求矩阵. (5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则( ) 不可逆,不可逆. 不可逆,可逆. 可逆,可逆. 可逆,不可逆. (6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为( ) 0. 1. 2. 3. (13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,则的非零特征值为. (20)(本题满分11分) ,为的转置,为的转置. (1)证;(2)若线性相关,则. (21)(本题满分11分) 设矩阵,现矩阵满足方程,其中,, (1)求证 (2)为何值,方程组有唯一解,求 (3)为何值,方程组有无穷多解,求通解 5)设是3维向量空间的一组基,则由基到基 的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). (6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . (13)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为.

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按 行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关,先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0,则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲:尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容:线性方程组矩阵向量行列式等一.线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解;如果两条直线是重合的则有无穷多个解;如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1.行列式的定义:用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n ≥3)行列式的计算:降阶法 定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; ?行列式值为0的几种情况: Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义:n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D )(,t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质: 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行(列)相等或成比例,则为行列式0。 3、行列式某行(列)乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。 4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。 6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。(按行、列展开法则) 7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则: :若线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ,,。

2020年考研线性代数重点内容和典型题型总结

XX年考研线性代数重点内容和典型题型总结线性代数在考研数学中占有重要地位,必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出,以计算题为主,证明题为辅,因此,专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,学好线代也是必要的。下面,就将线代中重点内容和典型题型做了总结,希望对xx年考研的同学 们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题 为主,它是必考内容,不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少,例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题,必 然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算 行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶法,用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进 行恒等变形,化简之后再展开.另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有:数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数 的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴

随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。xx年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有:数

2020考研数学复习指导

2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数,1-5章:行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间,线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括:1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计,其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考,考试内容包括高等数学,线性代数和概率论与数理统计,考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考,考试内容只有高等数学和线性代数,但是高等数学中删去的较多,是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考,考试内容是高等数学,线性代数和概率统计。高数部分中,主要重视微积分的考察,概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大,数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多,给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少,试题的灵活性也

相对较大。但总的来说,数一数二和数三区别不大,在都考的部分,要求是差不多的,考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点,一般的情况下,这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限,是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义,像中值定理来进行极限的计算,这样的内容虽然它未必是高频的考题,但也要重视。 (3)一元函数的微分学,求导运算它是微积分的基础,也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中,数一、数二由参数方程所确定的函数的导数,分段函数的可导性,都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导,它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用,每年是必考的内容,研究函数的性态,函数单调性、极值、最值和凹凸性,极值和最值的问题,就是绝对高频的考点,几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题,也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式,要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学,高频内容就是积分上限函数。要重点掌握

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看,历年大纲要求了解行列式的概念,掌握行列式的性质,会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念,以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组),另外,行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具,不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科,这就导致了它不仅计算方法灵活,而且出题方式也比较多变,这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变,但是从本质 上来讲可以分为两类:一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有: (1)利用行列式的定义来求,这一方法适用任何数值型行列式的 计算,但是它计算量大,而且容易出错;

(2)利用公式,主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理,主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式,主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想,主要适用于高阶行列式的计算,其主要思想是找1,化0,展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有: (1)利用行列式的性质,主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算,主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值,主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式,主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形,主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候,不要去做真题,因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后,也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一:练习重质不重量

最新线性代数冲刺讲义-邓泽华汇总

2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华

2011导航领航考研冲刺班数学讲义 线性代数 邓泽华编

第二篇线性代数 一、填空题分析 填空题主要考查基础知识和运算能力,特别是运算的准确性。 1.(06-1-2-3)设矩阵?Skip Record If...?,矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式,2】 2.(06-4)设矩阵?Skip Record If...?,矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【矩阵方程,?Skip Record If...?】 3.(04-1-2)设矩阵?Skip Record If...?,矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式,?Skip Record If...?】 4.(03-4)设?Skip Record If...?,?Skip Record If...?均为三阶矩阵,已知?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,则 ?Skip Record If...? .【矩阵方程,?Skip Record If...?】 5.(04-4)设?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?为 三阶可逆矩阵,则 ?Skip Record If...? .【矩阵运算,?Skip Record If...?】 6.(06-4)已知?Skip Record If...?为二维列向量,矩阵?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? .【矩阵行列式,?Skip Record If...?】 7.(03-2)设?Skip Record If...?为三维列向量,若?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...? . 【向量乘积,?Skip Record If...?】 8.(05-1-2-4)设?Skip Record If...?均为三维列向量,记矩阵 ?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? .【矩阵行列式,?Skip Record If...?】 9.(03-3-4)设?Skip Record If...?维向量?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?的逆矩阵为 ?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? .【矩阵运算,?Skip Record If...?】

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲:汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数,若j i >,则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列,该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数,记为)(21n i i i τ,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式,规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。 定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元 素和j 列元素去掉,剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式,称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式,n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上(下)三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上(下)三角行列式, nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=, nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。

考研数学线代定理公式汇总

考研数学线代定理公式汇总

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3 概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 , 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注:全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

4 ? ? ????? →???? :;具有 向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???: ①称为n ? 的标准基,n ? 中的自然基,单位坐标向量87p 教材; ②12,,,n e e e ???线性无关; ③12,,,1n e e e ???=; ④tr =E n ; ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 行列式的定义 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2121,n c c b b =2121,则=++2 21 12 1 c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121. 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(. 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B . 4.????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333. 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%,因此,学好线代很关键。一般,线性代数常考计算题和证明题,因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点,大家注意复习。 一、行列式部分,强化概念性质,熟练行列式的求法 在这里我们需要明确下面几条:行列式对应的是一个数值,是一个实数,明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法,比较重要的是加边法,数学归纳法,降阶法,利用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分,重视矩阵运算,掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布,矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程,其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩,在课堂辅导的时候会重点强调.此外,伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用,包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析,备考需要在理解概念的基础上,系统地进行归纳总结,并做习题加以巩固。 三、向量部分,理解相关无关概念,灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解,然后就是分析判定的重点,即:看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四、线性方程组部分,判断解的个数,明确通解的求解思路 线性方程组解的情况,主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题,博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理,希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种,若为齐次线性方程组,首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值,在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论,为零说明有解,带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组,则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分,理解概念方法,掌握矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分,熟悉正定矩阵的判别,了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础,且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示,二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分,二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连,要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

考研数学线性代数知识点梳理

从近几年的真题来看,数学线性代数出题没有过多的变化,2014年的考研[微博]学子们,如何做到在千军万马中胜出,需要我们提前准备,更要做到心中有数,下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式,包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算,其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值,考点不在求行列式,而在于相关性质,矩阵部分出题很灵活,频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式:(1)矩阵形式,(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解,因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况:①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系:齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。

考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc

考研数学三(线性代数)历年真题汇编1 (总分:50.00,做题时间:90分钟) 一、选择题(总题数:14,分数:28.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数: 2.00) __________________________________________________________________________________________ 2.设n阶方阵A的秩r(A)=r<n,那么在A的n个行向量中【】(分数:2.00) A.必有,一个行向量线性无关. B.任意r个行向量都线性无关. C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组. D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出. 3.设A为n阶方阵且∣A∣=0,则【】(分数:2.00) A.A中必有两行(列)的元素对应成比例. B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合. C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合. D.A中至少有一行(列)的元素全为0. 4.向量组α1,α2,…,αs线性无关的充分条件是【】(分数:2.00) A.α1,α2,…,αs均不为零向量. B.α1,α2,…,αs中任意两个向量的分量不成比例. C.α1,α2,…,αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示. D.α1,α2,…,αs中有一部分向量线性无关. 5.设有任意两个n维向量组α1,…,αm和β1,…,βm,若存在两组不全为零的数λ1,…,λm和k 1,…,k m,使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0,则【】(分数:2.00) A.α1,…,αm和β1,…,βm都线性相关. B.α1,…,αm和β1,…,βm都线性无关. C.α1 +β1,…,αm +βm,α1一β1,…,αm一βm线性无关. D.α1 +β1,…,αm +βm,α1—β1,…,αm一βm线性相关. 6.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是【】(分数:2.00) A.α1 +α2,α2 +α3,α3一α1 B.α1 +α2,α2 +α3,α1 +2α2 +α3 C.α1 +2α2,2α2 +3α3,3α3 +α1 D.α1 +α2 +α3,2α1一3α2 +22α3,3α1 +5α2一5α3 7.设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1。线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则【】(分数:2.00) A.αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示. B.αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示. C.αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示. D.αm可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示. 8.设α1,α2,…,αs均为n维向量,下列结论不正确的是【】(分数:2.00) A.若对于任意一组不全为零的数k 1,k 2,…,k s,都有k 1α1 +k 1α2 +…+k sαs≠0,则α1,α2,…,αs线性无关. B.若α1,α2,…,αs线性相关,则对于任意一组不全为零的数k 1,k 2,…,k s,有k 1α 1 +k 2α 2 +…+k sαs =0 C.α1,α2,…,αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. D.α1,α2,…,αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. 9.设α1,α2,…,α3均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是【】(分数:2.00) A.若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs,线性相关.

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习 来源:智阅网 高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广,并且出题的角度和方向也比较琐屑,但是也并非无迹可寻。只要我们认真的剖析和剖析考研真题,还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。下面具体为大家剖析高等数学中极限这个大的内容,有哪些考点。 极限在数一中还是占着很大的比重,考试的只要考查方式就是求极限,还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法,比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等,另外两个重要的极限也是重点内容;其次就是极限的应用,主要表现为连续,导数等等,对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点,这要求我们直接从定义切入,充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 而线性代数的复习,首先要做到基础过关。 线代概念很多,重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。 而运算法则也有很多必须掌握:行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 其次,加强抽象及推理能力。

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