多面体外接球半径常见的求法整理

多面体外接球半径常见求法

知识回顾：

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、公式法

例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

8

，底面周长为３，则这个球的体积为 .

小结 本题是运用公式2

2

2

R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、多面体几何性质法

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

三、补形法

例3 ，则其外接球的表面积是 .

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为

R ，则有2R =

变式1：

变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）

A ．26a π

B ．29a π

C ．212a π

D ．224a π

四、寻求轴截面圆半径法

例4 正四棱锥S ABCD -2S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积

变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为26。求棱锥的内切球的表面积。

C

D

A B S

O 1

图3

变式1：底面边长为3

的正三棱柱外接球的体积为3

32π

，则该三棱柱的体积为

五、确定球心位置法

例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.

12512π B.1259π C.1256π D.125

3

π

变式1：三棱锥P ABC -中，底面ABC ?是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）

A ．2

B ．5

C ．2

D ．

3

21

1.如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD.，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.

（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，

（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的余弦值.

C

A O

D

B 图4

简单多面体外接球问题总结

简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心 O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连 1 线垂直于弦的性质，确定球心. 二：常见几何体的外接球小结

1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3 ）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得 2 a R=； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中 点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得a R 2 2 =。（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角 面 1 AA作截面图得，圆O为矩形C C AA 1 1 的外接圆，易得a O A R 2 3 1 = =。 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a，O也是球心）内切球半径为：6 r a = 外接球半径为：a R 4 6 = 三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 图1 图2 图3

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

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多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =.∴外接球的 半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补 .

外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5

二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．2 24a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思 想方 法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 多面体几何性质法 例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例2 ，则其外接球的表面积是 . 解 正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 2 2 2 2 29R =++=.∴294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 寻求轴截面圆半径法 例3 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴ 由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ?的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球 的半径. 在ASC ? 中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ??是以为斜边的Rt . ∴ 12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43 V π =球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， C D A B S O 1图3

专题 多面体的外接球问题

专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型： (一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2，BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； A A 1 C 1B B C 1 A

2021年多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的 5种求法 欧阳光明（2021.03.07） 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为. 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球

的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 ，则其外接球的表面积是. 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()222 229R =++=.∴294 R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长

(完整版)立体几何多面体与外接球问题

1 立体几何多面体与外接球问题 1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 2、一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____. 3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2,3，则此球的表面积为_____ 4、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( ) A .16π B .20π C.24π D .32π 5、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9 答案 C 7、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______. 9、 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π D.6π 10、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 11、 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?, 可得BC =由正弦定理,可得ABC ? 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '? 中，易得球半径R = 为2 420R ππ=. 12、正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 答案 8 13、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．

多面体外接球半径内切球半径常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， ，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =

多面体外接球半径常见的几种求法

多面体外接球半径常见的几种求法

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多面体外接球半径常见的几种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为３,则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ,则有 263,1,2936,38 4x x x h h =?? =?? ∴?? =???=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =,球心到底面的距离3 2 d =．∴外接球的半径221R r d =+=.43 V π ∴= 球． 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B.20π C.24π Ｄ.32π

解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ,则有 2416x =,解得2x =. ∴222222426,6R R =++=∴= .∴这个球的表面积是 2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ，则有()()()()2 2 2 2 23339R =++=.∴ 294 R = . 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2222R a b c =++.

多面体外接球半径常见的5种求法(汇编)

精品文档 多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 4x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ，球心到底面的距离2d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就

多面体的外接球半径的几种求法

多面体外接球半径常见的几种求法 白维亮 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径.. 小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得. ∴.∴这个球的表面积是.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为，则有.∴. 故其外接球的表面积. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有. 练习1 （2003 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） 3π B. 4π C. D. 6π 2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ?与BEC ?分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. 27 B. 2 C. 8 D. 24 3 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ， DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥ ，O 的体积等于 . 4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上， B BCD A ⊥平面，B C DC ⊥，

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为 8 T 6x=3,T 1 I ' I x =— 解设正六棱柱的底面边长为x，咼为h，则有丿9 V3 2 2’ _=6汉——xh, 石 8 4 小一x/3 ???正六棱柱的底面圆的半径r =-，球心到底面的距离d二上3.二外接球的半径 2 2 R=、r2d2「=1. . V球二—. 3 小结本题是运用公式R2-r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表 面积是 A. 16二 B. 20 二 C. 24 二 D. 32 二 解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R，则有4x2 = 16，解得x = 2. 二2R = J22+22+42=2屈,二R = T6. ???这个球的表面积是4兀R2=24兀.选C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是. 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，I把这个三棱锥可以补成一个棱长 为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 设其外接球的半径为R，则有（2R f =（応行（亦丫+（73$ =9.二R2=9. 4 故其外接球的表面积S =4二R2=9二. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c，则就

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直

简单多面体外接球球心的确定.docx

简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点 . ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点 . ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 . ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心 . 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥 . ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥 . ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体 . ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体 . 3.由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性 质，确定球心 . 二、典型例题 1、已知点 P 、 A 、B 、C 、D 是球 O 表面上的点， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边 长为 2 3 的正方形 .若 PA 2 6 ，则 OAB 的面积为多少 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面 积为多少 3 、已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上 .若 PA, PB , PC 两两互 相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为多少 4、三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， SA 2 ， ABC 是边长为 1 的正三角形，则其 外接球的表面积为多少 5、点 A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上， AB BC 2，AC 2 ，若四面体 ABCD 体 积的最大值为 2 ，则这个球的表面积为多少 3 6 、四面体的三组对棱分别相等，棱长为 5, 34, 41 ，求该四面体外接球的体积 . 7 、正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3 ，求该四面体的体积 . 8、若底面边长为 2 的正四棱锥 P ABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积 . 9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 8

简单多面体的外接球问题优秀教案

1 简单多面体的外接球问题 【学习目标】 能求简单多面体的外接球半径。 【问题】 1.什么是多面体的外接球？ 2.外接球的球心有什么特点？ 一、棱柱的外接球问题 【思考1】正方体的外接球球心在哪里？外接球半径是多少？长方体呢？ 答案： 2223122 a a b c ++例1．直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，求该三棱柱的外接球半径。 答案：132 【思考2】如果底面是“边长为6的等边三角形”呢？ 答案：43 例2．右图是某空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图是矩形，俯视图是等腰三角形，求该几何体的外接球半径。 13 例3．正六棱柱所有棱长均为1，求它的外接球的体积。 答案：555,26 R V = = 【思考3】是不是所有的棱柱都有外接球？ 二、棱锥的外接球问题 班级 姓名 C 1 A 1 B 1 C B A 4 4 22 22 正视图 侧视图 俯视图

2 例4．已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA 垂直于底面ABC ，若2,3,3AB AC PA ===，且AB AC ⊥，求该三棱柱的外接圆半径。 答案：2 【变式】右图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是直角三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 若该几何体外接球的表面积为6π，则正视图中三角形的高x =（ ） A.1 B.2 C.3 D.2 答案：D 【思考4】如果底面是“边长为2的等边三角形”呢？ 答案：63 例5．正四棱锥V ABCD -的底面是边长为22的正方形，侧棱长为4， 求该四棱锥的外接球半径。 答案： 43 3 【思考5】 （1）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为22”呢？ （2）若例5的题目中的“侧棱长为4”改为“侧棱长为6”呢？ 答案：（1）2；（2） 32 【变式】右图是某多面体的三视图，其中正视图和侧视图是棱形， C A B P 正视图 3 3 侧视图 1 x 正视图 侧视图 俯视图

多面体与外接球的三种题型

多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥 S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。 2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。 题型二（作轴截面构造Rt △） 1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。 2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。 题型三（补形法） 1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为 2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。 3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。 23⊥3233⊥⊥2

4、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为 5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。 题型四（割补法） 1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若 在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。 2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。 3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。 2219⊥2⊥⊥

专题 多面体的外接球问题讲课教案

专题多面体的外接 球问题

专题 多面体的外接球问题 一、考点分析： 有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。 二、教学目标 1、了解多面体与其外接球的关系 2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。 三、教学重点、难点 不同类型的多面体与其外接球半径的求法 四、教学过程 （一）球的性质 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 下面的关系:22d R r -= （二）球体的体积与表面积： 3 4 13球、V R π= 224球面、S R π= （三）球与多面体的接、切 1.外接球球心到各顶点的距离相等(R ) 2. 内切球球心到各面的距离相等(r ) 五、经典模型：

(一)汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题） 例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4，体积为16.其外接球的表面积是 111120ABC A B C -∠o 1例2：直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2， BAC=，则此球的表面积等于（ ） (二)对棱相等模型 题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题 画出一个长方体(补形)，标出三组互为异面直线第一步：的对棱； ()22222222 222222 22 228 a b x x y z x y z b c y R a b c R a c z ?+=?+++++=?=++= =??+=? 222第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程， 例3：三棱锥A-BCD 中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为（ ） （三）墙角模型（三条两两垂直的棱） 解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可： A 1 C 1 B B C 1 A C B D A

简单几何体外接球半径的求法及答案

简单几何体外接球半径的求法 一、补成正方体或长方体型 有三维垂直的条件或者正四面体或者三对相对棱分别相等的三棱锥。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，长度 2，则其外接球半径为。 分别为3，5，2 2，则其外接球表面积为。 2、正四面体棱长为2 3、已知三棱锥A-BCD的三对相对棱分别长为5 , 13， 10 , 则其外接球表面积为。 二、补成圆柱型 底面有外接圆的直棱柱都可以补成圆柱求外接球半径。 练习：1、三棱锥P-ABC中，PA垂直于底面ABC， 120，PA=3， AB=BC=2，∠B=0 其外接球表面积为。 2、三棱锥P-ABC中，PC垂直于底面ABC，

AB=3，BC=23，∠B=060， 其外接球表面积为π28，则PC=。 三、正棱锥型 外接球球心在正棱锥高所在直线上，在直角三角形中求解。 练习：1、如图，正三棱锥A-BCD 底面边长BC=6，高AH=8，则其 外接球表面积为。 2、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为112 ，则其外接球表面积为。 四、面面垂直型 找出互相垂直的这两个面的外心21,O O ，分别过21,O O 作所在平面的垂线21,l l ，21,l l 的交点即为外接球的球心。在直角三角形中求外接球的半径。 练习：1、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ和PBC Δ都是边长为6的正三角形， 则其外接球半径为。

2、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为BC 的直角三角形，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 3、三棱锥P-ABC 中，面PBC 垂直于面ABC ， ABC Δ是斜边为AB 的直角三角形，AC=4，PBC Δ是边长为6的正三角形，则其外接球半径为。 4、四棱锥P-ABCD 中，面PBC 垂直于面ABCD ，其中PBC Δ都是边长为6的正三角形，底面ABCD 是矩形， AB=8，则其外接球半径为。

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立体几何多面体与外接球问题 1、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 2、一个正方体的各顶点均在同一球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 ____. 3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2,3 ，则此球的表面积为 _____ 4、一个四棱柱的底面是正方形, 侧棱与底面垂直 , 其长度为 4, 棱柱的体积为16, 棱柱的各顶点在一个球面上 , 则这个球的表面积是( ) A .16 π B.20 π C.24π D.32 π 5、正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1 ∶ 3 B. 1∶ 3 C. 1∶ 3 3 D. 1∶ 9 答案 C 7、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱 的表面积为cm2. 答案 2 4 2 8、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是______. 9、一个正四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一个球面上, 则此球的表面积为 ( ) A. 3π B.4 π C.3 3 π D.6 π 10、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正 三棱锥的体积是（） A．3 3 B ． 3 C ． 3 D ． 3 4 3 4 12 11、直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ，则此球 的表面积等于。 解 :在ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得BC 2 3 ,由正弦定理,可得ABC 外接圆半径r=2, 设此圆圆心为O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径R 5 ，故此球的表面积为4 R2 20 . 12 、正三棱柱ABC A1 B1C1内接于半径为2 的球，若A, B 两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为． 答案8 13、如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________． 1