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【步步高】2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题6 第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积 理

【步步高】2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题6 第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积 理

第25练空间几何体的三视图及表面积与体积

[题型分析·高考展望] 三视图作为新课标新增加的内容,是高考的热点和重点:其考查形式多种多样,选择题、填空题和综合解答题都有出现,而这些题目以选择题居多;立体几何中的计算问题考查的知识,涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明.

专题6 立体几何与空间向量常考题型精析

题型一三视图识图

例1 (1)(2014·湖北)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

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A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

(2)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为( )

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点评画法规则:(1)由几何体的轮廓线定形状,看到的画成实线,看不到的画成虚线. (2)正(主)俯一样长,俯侧(左)一样宽,正(主)侧(左)一样高.

变式训练 1 (2014·江西)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )

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题型二空间几何体的表面积和体积

例2 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

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A.1+ 3

B.2+ 3

C.1+2 2

D.2 2

(2)(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.

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点评利用三视图求几何体的表面积、体积,需先由三视图还原几何体,三个图形结合得出几何体的大体形状,由实虚线得出局部位置的形状,再由几何体的面积体积公式求解.

变式训练2 (2014·陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别

交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

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(2)证明:四边形EFGH是矩形.

高考题型精练

1.(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r 等于( )

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A.1

B.2

C.4

D.8

2.(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

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A.1

3+π B.2

3+π C.1

3

+2π D.2

3

+2π 3.(2014·浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

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A.90 cm 2

B.129 cm 2

C.132 cm 2

D.138 cm 2

4.如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为( )

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A.363(π+2)

B.363(π+2)

C.1083π

D.108(3π+2)

5.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

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A.54

B.60

C.66

D.72

6.两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和球O 2的表面积之和的最小值为( ) A.(6-33)π B.(8-43)π C.(6+33)π

D.(8+43)π

7.已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =3,∠ASC =∠BSC =30°,则棱锥

S —ABC 的体积为( )

A.3 3

B.2 3

C. 3

D.1

8.(2015·山东)在梯形ABCD 中,∠ABC =π

2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD

所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )

A.2π

3

B.

3

C.5π

3

D.2π

9.(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.

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10.一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是等边三角形,俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________.

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11.(2015·西安模拟)如图所示是一几何体的直观图及正(主)视图、侧(左)视图、俯视图.

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(1)若F为PD的中点,证明:AF⊥平面PCD;

(2)证明:BD∥平面PEC.

12.如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC 折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D—ABC,如图2所示.

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(1)求证:BC⊥平面ACD;

(2)求几何体D—ABC的体积.

答案精析

专题6 立体几何与空间向量

第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积 常考题型精析 例1 (1)D (2)B

解析 (1)由三视图可知,该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图即在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.

(2)还原正方体后,将D 1,D ,A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D 1A 的射影为C 1B ,且为实线,

B 1

C 被遮挡应为虚线.

变式训练1 B [该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选B.] 例2 (1)B (2)83

π

解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图,如图,∴该四面体的表面积为

S 表=2×1

2×2×1+2×

34

×(2)2

=2+3,故选B.

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(2)由三视图可知,该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成,底面半径为1 m ,圆锥的高为1 m ,圆柱的高为2 m ,所以该几何体的体积V =2×13π×12×1+π×12

×2=83πm 3.

变式训练2 解 由该四面体的三视图可知,BD ⊥DC ,BD ⊥AD ,AD ⊥DC ,BD =DC =2,AD =1,∴AD ⊥平面BDC ,

∴四面体ABCD 的体积V =13×12×2×2×1=2

3

.

(2)证明 ∵BC ∥平面EFGH ,平面EFGH ∩平面BDC =FG ,平面EFGH ∩平面ABC =EH , ∴BC ∥FG ,BC ∥EH ,∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ,HG ∥AD ,∴EF ∥HG , ∴四边形EFGH 是平行四边形,

又∵AD ⊥平面BDC ,∴AD ⊥BC ,∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形. 高考题型精练

1.B [由正(主)视图与俯视图想象出其直观图,然后进行运算求

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解.如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r ,圆柱的底面半径为r ,高为2r ,则表面积S =12

×4πr 2+πr

2

+4r 2

+πr ·2r =(5π+4)r 2

.又S =16+20π,∴(5π+4)r 2

=16+20π, ∴r 2=4,r =2,故选B.]

2.A [这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,V =12π×12

×2+13×? ????12×1×2×1=π+13,选

A.]

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3.D [该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm ,3 cm ,直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为3 cm,4 cm ,5 cm ,所以表面

S =[2×(4×6+4×3)+3×6+3×3]+

? ??

??5×3+4×3+2×12×4×3=99+39=138(cm 2).]

4.B [由俯视图可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成,结合正(主)视图和侧(左)视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的,并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合,两个锥体的高相等.

由三视图中的数据,可得该圆锥的底面半径r =6,三棱锥的底面是一个底边长为12,高为6的等腰三角形,两个锥体的高h =122

-62

=63, 故半圆锥的体积V 1=12×13π×62

×63=363π.

三棱锥的底面积S =1

2×12×6=36,

三棱锥的体积V 2=13Sh =1

3×36×63=72 3.

故该几何体的体积V =V 1+V 2=363π+72 3 =363(π+2).故选B.]

5.B [由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正(主)视图和侧(左)视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如图(1)所示,故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中,直角梯形ABPA 1的面积为1

2×(2+5)×4

=14,计算可得A 1P =5.直角梯形BCC 1P 的面积为12×(2+5)×5=35

2.因为A 1C 1⊥平面A 1ABP ,

A 1P ?平面A 1ABP ,所以A 1C 1⊥A 1P ,故Rt△A 1PC 1的面积为1

2×5×3=152

.

又Rt△ABC 的面积为1

2×4×3=6,矩形ACC 1A 1的面积为5×3=15,故几何体ABC -A 1PC 1的表

面积为14+352+15

2

+6+15=60.]

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6.A [设球O 1,O 2的半径分别为r 1,r 2, 由题意知O 1A +O 1O 2+O 2C 1=3,

而O 1A =3r 1,O 1O 2=r 1+r 2,O 2C 1=3r 2, ∵3r 1+r 1+r 2+3r 2=3.∴r 1+r 2=3-3

2,

从而S 1+S 2=4πr 2

1+4πr 2

2=4π(r 2

1+r 2

2) ≥4π· r 1+r 2

22

=(6-33)π.]

7.C [如图,过A 作AD 垂直SC 于D ,连接BD .

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由于SC 是球的直径,所以∠SAC =∠SBC =90°,又∠ASC =∠BSC =30°,又SC 为公共边, 所以△SAC ≌△SBC . 由于AD ⊥SC ,所以BD ⊥SC . 由此得SC ⊥平面ABD .

所以V S —ABC =V S —ABD +V C —ABD =1

3S △ABD ·SC .

由于在Rt△SAC 中,∠ASC =30°,SC =4, 所以AC =2,SA =23,由于AD =SA ·CA

SC

= 3. 同理在Rt△BSC 中也有BD =

SB ·CB

SC

= 3. 又AB =3,所以△ABD 为正三角形,

所以V S —ABC =13S △ABD ·SC =13×12

×(3)2

·sin 60°×4=3,所以选C.]

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8.C [过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ,梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径,线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为V =V

圆柱

-V

圆锥

=π·AB 2·BC -13

·π·CE 2

·DE

=π·12·2-13π·12

·1=5π3,故选C.]

9.2 2

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解析 根据三视图还原几何体,得如图所示的三棱锥P -ABC . 由三视图的形状特征及数据,可推知PA ⊥平面ABC ,且PA =2. 底面为等腰三角形,AB =BC ,

设D 为AC 的中点,AC =2,则AD =DC =1,且BD =1, 易得AB =BC =2,所以最长的棱为PC ,

PC =PA 2+AC 2=2 2.

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10.2+ 6

解析 如图所示,侧面展开图为一个四分之一圆与一个等边三角形,从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A 点,蚂蚁所经过路程的最小值为|AA 1|=22

+22

-2×2×2cos 150°=8+43=2+ 6.

11.证明 (1)由几何体的三视图,可知底面ABCD 是边长为4的正方形,PA ⊥平面ABCD ,

PA ∥EB ,PA =2EB =4.

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因为PA =AD ,F 为PD 的中点, 所以PD ⊥AF .

又CD ⊥DA ,CD ⊥PA ,PA ∩DA =A , 所以CD ⊥平面ADP .所以CD ⊥AF . 又CD ∩DP =D ,所以AF ⊥平面PCD .

(2)取PC 的中点M ,连接AC ,EM ,AC 与BD 的交点为N ,连接MN ,所以MN =1

2PA ,MN ∥PA .

所以MN =EB ,MN ∥EB . 故四边形BEMN 为平行四边形. 所以EM ∥BN .

又EM ?平面PEC ,BN ?平面PEC , 所以BD ∥平面PEC .

12.(1)证明 在图中,可得AC =BC =22, 从而AC 2

+BC 2

=AB 2

,故AC ⊥BC .

又平面ADC ⊥平面ABC ,

平面ADC ∩平面ABC =AC ,BC ?平面ABC , ∴BC ⊥平面ACD .

(2)解 由(1)可知BC 为三棱锥B —ACD 的高,

BC =22,S △ACD =2,

∴V B —ACD =1

3S △ACD ·BC

=13×2×22=423

, 由等体积性可知,几何体D —ABC 的体积为423

.