2001-2012年温州市中考试题分类解析(6)函数的图像与性质
2001-2012年浙江温州中考数学试题分类解析汇编（12专题）
专题6：函数的图像与性质
一、选择题
1. （2005年浙江温州4分）已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是
【 】
A 、(－2,1)
B 、(2，1)
C 、(2，－1)
D 、(1，2) 【答案】B 。
【考点】二次函数的性质。
【分析】直接根据顶点式y ＝(x －2)2＋1写出抛物线的顶点坐标(2，1)。故选B 。
2. （2006年浙江温州4分）反比例函数k y x =
的图象经过点(－1,2)，k 的值是【 】 A. 12- B.
12 C.-2 D.2 【答案】C 。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(－1，2)代入k y=
x ，得k 2=1-，解得k=-2。故选C 。
3. （2007年浙江温州4分）已知点P （－1，a ）在反比例函数2y x =
的图象上，则a 的值为【 】
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
【答案】C 。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，a ）代入2y=
x
，得2a ==21--。故选C 。
4. （2007年浙江温州4分）抛物线2y x 4=+与y 轴的交点坐标是【 】
A.（4，0）
B.（－4，0）
C.（0，－4）
D. （0，4）
【答案】D 。
【考点】抛物线与y 轴的交点问题。
【分析】令x=0，得2y 04=4=+，∴抛物线2y x 4=+与y 轴的交点坐标是（0，4）。故选D 。
5. （2008年浙江温州4分）抛物线y ＝(x －1)2＋3的对称轴是【 】
（A ）直线x ＝1
（B ）直线x ＝3 （C ）直线x ＝－1 （D ）直线x ＝－3 【答案】A 。
【考点】二次函数的性质。
【分析】直接根据项点式得到对称轴是直线x ＝1。故选A 。
6. （2008年浙江温州4分）已知反比例函数k y=
x 的图象经过点（3，－2），则k 的值是【 】 （A ）－6
（B ）6 （C ）23 （D ）23- 【答案】A 。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（3，－2）代入k y=
x ，得k 2=3-。∴k=－6。故选A 。
7. （2009年浙江温州4分）抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是【 】
A ．(0，2)
B ．(1，0)
C ．(0，一3)
D ．(0，0)
【答案】A 。
【考点】抛物线与y 轴交点问题。
【分析】令x=0得y=2，∴抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是(0，2) 。故选A 。
8. （2010年浙江温州4分）直线y=x+3与y 轴的交点坐标是【 】
A ．(0，3)
B ．(0，1)
C ．(3，0)
D ．(1，0)
【答案】A 。
【考点】直线与y 轴交点问题。
【分析】令x=0得y=3，∴直线y=x+3与y 轴交点的坐标是(0，3) 。故选A 。
9. （2011年浙江温州4分）已知点P （－1，4）在反比例函数()k y k 0x =
≠的图象上，则k 的值是【 】
A 、－14
B 、14
C 、4
D 、－4
【答案】D 。
【考点】曲线上的点与坐标的关系。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把点P 的坐标代入k y x
=，即可求出k 4=-。故选D 。
10. （2011年浙江温州4分）已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是【 】
A 、有最小值0，有最大值3
B 、有最小值﹣1，有最大值0
C 、有最小值﹣1，有最大值3
D 、有最小值﹣1，无最大值 【答案】C 。
【考点】二次函数的最值。
【分析】由函数图象自变量取值范围得出对应y 的值，即可求得函数的最值：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3。故选C 。
11. （2012年浙江温州4分）一次函数y=－2x+4图象与y 轴的交点坐标是【 】
A. (0, 4)
B. (4, 0)
C. (2, 0)
D. (0, 2 )
【答案】A 。
【考点】一次函数图象上点的坐标特征。
【分析】在解析式中令x=0，即可求得与y 轴的交点的纵坐标：y=-2×0+4=4，则函数与y 轴的交点坐标是（0，4）。故选A 。
二、填空题
1. （2001年浙江温州3分）抛物线2y x 4x 9=++的对称轴是直线 ▲ ．
【答案】x=－2。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵()2
2y x 4x 9=x 25=++++，∴抛物线2y x 4x 9=++的对称轴是直线x=－2。
2. （2001年浙江温州3分）已知抛物线()2y x 2k 1x k =++-与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k 的取值范围是 ▲ ．
【答案】k ＜－3。
【考点】抛线与x 轴的物交点问题，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质。
【分析】∵抛物线()2y x 2k 1x k =++-与x 轴有两个交点，
∴当()2y x 2k 1x k 0=++-=时
，()()()222b 4a c [2k 1
?=-=+-?＞0， 解得：k ＞352-+或k ＜352
--。 ∵两个交点分别在直线x=1的两侧，且a=10>，∴当x=1时，
()2y 12k 1k 0
<=++-， 解得k ＜－3。
∴k 的取值范围是k ＜－3。
5. （2003年浙江温州5分）如图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，3)，则二次函数的图象的顶点坐标是 ▲ ．
【答案】（2，－1）。
【考点】待煊系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。
【分析】∵二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，
∴可设二次函数的解析式为()()y a x 1x 3=--。
∵函数的图象与y 轴交于点C(0，3)，∴()()3a 0103=--，即a=1。
∴二次函数的解析式为()()()22y x 1x 3x 4x+3=x 21=--=---。
∴二次函数的图象的顶点坐标是（2，－1）。
6. （2005年浙江温州5分）已知反比例函数k y=
x 的图象经过点(1，2)，则k 的值是 ▲ 。 【答案】2。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(1，2)代入k y=
x ，得k 2=1
，解得k=2。
9. （2010年浙江温州5分）若一个反比例函数的图象位于二、四象限，则它的解析式可能是 ▲ ．(写出一个即可) 【答案】1y=x
-（答案不唯一）。 【考点】开放型，反比例函数的性质。 【分析】根据反比例函数()k y=
k 0x ≠的性质：当k 0＞时，图象分别位于第一、三象限；当
k 0＜时，图象分别位于第二、四象限。因此，
∵反比例函数的图象位于二、四象限，∴反比例函数的系数k 0＜。
∴只要写一个k 0＜的反比例函数即，如1y=x
-
（答案不唯一）。 10. （201年2浙江温州5分）如图，已知动点A 在函数4y=x (x>o)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点Ｅ，使AE=AC.直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P,Q.当QE ：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.
【答案】133
。 【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F 。
∵A 在函数4y=
x (x>o)的图象上，∴设A （t ，4t
）， 则AD=AB=DG=4t ，AE=AC=EF=t 。 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得
422
224t +16DE AD AE t t t ??=+=+= ???。 ∵△EFQ ∽△DAE ，∴QE ：DE=EF ：AD 。∴QE=4t t +164
。 ∵△ADE ∽△GPD ，∴DE ：PD=AE ：DG 。∴DP=43
4t +16t 。 又∵QE ：DP=4：9，∴ 443t t +164t +16494t =：：。解得28t 3
=。 ∴图中阴影部分的面积=2222111116413AC AB t 32222t 33
+=
+?=+=。 三、解答题
1. （2001年浙江温州9分）已知：抛物线()2y x k 1x k =-++
（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令()2y x k 1x k 0=-++=，
∵抛物线与x 轴只有一个公共点，∴()()22k 14k k 10?=+-=-=。 ∴k=1。
（2）存在。∵()()()2y x k 1x k x 1x k =-++=--，∴分两种情况：
①若k 1<，则A （k ，0），B （1，0），C （0，k ），
∴k 0<，OA=k -，OB=1，OC=k -。
若△AOC ∽△COB ，则OA OC OC OB =，即k k k 1
--=-，∴k=－1。 ②若k 1>，则由C （0，k ）的k 0<，矛盾。
综上所述，当k=－1时，△AOC ∽△COB 。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定，分类思想的应用。
【分析】（1）抛物线与x 轴只有一个交点，也就是说当y=0时，得出的关于x 的二元一次方程只有一个解，即△=0，可据此求出k 的值。
（2）因为()()()2y x k 1x k x 1x k =-++=--，所以分k 1<和k 1>两种情况进行
讨论。
2. （2002年浙江温州12分）二次函数y=ax 2+bx+c （其中a ＞0)它的图象与x 轴交于A （m,0),B （n,0)两点，其中m ＜n ，与y 轴交于点C(0，t)
(1）若它的图象的顶点为P ，点P 的坐标为(2,－1)，点C 在x 轴上方，且点C 到x 轴的距离为3，求A ，B,C 三点的坐标;(要求写出过程）
（2）若m ，n, t 都是整数，且 0＜m ＜6，0＜n ＜6，0＜t≤6，△ABC 的面积为6，试写出一个满足条件的二次函数的解析式 （只要求写出结果，不要求写出过程），并在直角坐标系中（下图），画出你所填二次函数的图象，且标出相应A ，B ，C 三点的位置．
【答案】解：（1）∵顶点为P 的坐标为（2，－1）∴可设抛物线的解析式为()2
y a x 21=--。
又∵点C 在x 轴上方，且点C 到x 轴的距离为3，∴C （0，3）。
将（0，3）代入()2y a x 21=--，得a=1。
∴抛物线的解析式为()2y x 21=--。
∴A （1，0），B （3，0），点C （0，3）。
（2）2y 2x 8x 6=-+。作图如下：
【考点】抛物线与x 轴的交点问题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据题意可得出t=3，再将顶点为P 的坐标为（2，-1）和点C 的坐标代二次函数y=ax2+bx+c ，即可得出答案。
（2）根据面积得出ABC 的坐标，再画出图形即可。答案不唯一。
取A （1，0），B （3，0），C （0，6），
则0＜m ＜6，0＜n ＜6，0＜t≤6，△ABC 的面积为6。
设抛物线的解析式为()()y a x 1x 3=--，将代入得a 2=，
∴所求抛物线的解析式可以为()()2y 2x 1x 32x 8x 6=--=-+。
3. （2002年浙江温州12分）欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把，如果零售单价每降价0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部份每把按原批发单价
九五折(即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？ （销售利润＝销售款额－进货款额）
【答案】解：设降价x 元时利润最大，利润为y 元，根据题意得：
()()y 14x 10050x 8100895%50x =-+-?-?? （其中0≤x≤4），
化简，得 2y 50x 220x 600=-++。
∵()2
2y 50x 220x 60050x 2.2842=-++=--+且50<0-，0＜2.2＜4，
∴当x=2.2 时，y 有最大值，最大值为842。
∴14－x=14-－2.2=11.8。
答：欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把11.8元出售时，
才能使这种雨伞
的月销售利润最大，最大月销售利润是842元。
【考点】二次函数的应用，二次函数的的最值。
【分析】先设出降价x 元时利润最大，利润为y 元，再找出等量关系列出式子，解出x 与y 的值即可求出结果。
4. （2003年浙江温州12分）为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化．中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个Rt △)上铺设草坪，并要求AE=AH=CF=CG ．那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：存在。设AE=AH=CG=CF=xm，则BE=DG=（10－x）m，BF=DH=（20－x）m。 ∴四边形EFGH的面积()()11S 10202x x 210x 20x 22
=?-??-?
--， 即2S 2x 30x =-+（0＜x＜10）。
(完整word版)初中中三类函数的图像及其性质
初中三类函数的图像及其性质 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y 叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： 1．图象的位置: 2．增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 3．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 一是由已知函数推导或推证 二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 三是用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： （1）利用一次函数的定义构造方程组。
（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 （3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程 （4）利用题目已知条件直接构造方程 反比例函数图像及其性质 1.反比例函数：形如y＝ x k （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。 其他形式xy=k 1- =kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点 3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大 而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 二次函数图像及其性质知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 a>向上() 00 ，y轴 x>时，y随x的增大而增大；0 x<时，y随 x的增大而减小；0 x=时，y有最小值0．0 a<向下() 00 ，y轴 x>时，y随x的增大而减小；0 x<时，y随 x的增大而增大；0 x=时，y有最大值0．
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
正弦函数、余弦函数的图象和性质 一、学情分析: 1、学习过指数函数和对数函数； 2、学习过周期函数的定义； 3、学习过正弦函数、余弦函数[]π2,0上的图象。 二、教学目标： 知识目标： 1、正弦函数的性质； 2、余弦函数的性质； 能力目标： 1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质； 2、会求简单函数的单调区间； 德育目标： 渗透数形结合思想和类比学习的方法。 三、教学重点 正弦函数、余弦函数的性质 四、教学难点 正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用 五、教学方法 通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）
六、教具准备 多媒体课件 七、教学过程 1、复习导入 (1) 我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？ (2) 正弦、余弦函数的图象在[]π2,0上是什么样的？ 2、讲授新课 （1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解） 通过多媒体课件展示出正弦函数在[]ππ2,2-内的图象，利用函数 图象探究函数的性质： ⅰ 定义域 正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域 从图象上可以看到正弦曲线在[]1,1-这个范围内，所以正弦函数的值域是[]1,1- ⅲ 单调性 结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即： ⅳ 最值 观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论： 上是增函数；在)(22,22Z k k k ∈??????+-ππππ上是减函数；在)(232,22Z k k k ∈????? ?++ππππ1,22max =∈+=y Z k k x 时，当ππ1,2 2min -=∈-=y Z k k x 时，当ππ
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
4.4.1正弦函数图像与性质练习题.doc
正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是 A ．[]π,0 B ．???? ??23,2ππ C ． ?? ?? ??ππ,2 D ．?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1- B ．0 C ．2- D ．1 3、若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2 π +2k π（k ∈Z ） D ．－ 2 π +2k π（k ∈Z ） 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ，则等于 ． A ． B ． C ．2 D ．4 7．函数y=3cos （ 52x －6 π ）的最小正周期是( ) A ． 5 π2 B ． 2 π 5 C ．2π D ．5π 8．下列函数中，同时满足①在（0， 2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2 x D ．y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12
基本初等函数图像及性质大全(初中-高中)Word版
一、一次函数与二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3
①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =- 时，2 min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,) 2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2 max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
（1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂 的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂 等于0． ②正数的负分数指数幂 的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
正弦函数的图像和性质
1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h
正弦函数的图像和性质(一)
正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法
观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）
初中函数图像及性质
函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。 一次函数的图像及性质 一、一次例函数定义 形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数 当一次函数()()叫正比例函数。时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。 2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限， 的增大而增大。随x y 3、当0
六、用函数的观点看不等式 设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。 反比例函数图像及性质 一、反比例函数定义 形如()0≠= k x k y 这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数()为常数k 。 二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质 2、当0>k 时，反比例函数x k y =的图像分布在一、三象限。 3、当0 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 = 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0二次函数的图像及性质
正弦函数的图像和性质(一)
二次函数图像与性质总结
正弦函数和余弦函数图像与性质
二次函数的图像和性质总结
二次函数图像与性质