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第1讲 导数的概念及运算

第4章 第1讲 导数的概念及运算

第1讲 导数的概念及运算

第1讲 导数的概念及运算

一、选择题

1.(2010·课标,4)曲线y =x 3-2x +1在点(1,0)处的切线方程为( ) A .y =x -1 B .y =-x +1 C .y =2x -2

D .y =-2x +2

2.若函数f (x )=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x )的图象是( )

第1讲 导数的概念及运算

3.曲线y =13x 3+x 在点(1,4

3)处的切线与坐标轴围成的三角形面积是( )

A.19

B.29

C.13

D.2

3

4.若曲线y =2x 2的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则切线l 的方程为( ) A .4x -y -2=0 B .x +4y -9=0 C .4x -y +3=0

D .x +4y +3=0

5.正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( )

A .[0, π4]∪[3π

4,π)

B .[0,π)

C .[π4,3π

4

]

D .[0,π4]∪[π2,3π

4

]

6.(2009·安徽)已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( )

A .y =2x -1

B .y =x

C .y =3x -2

D .y =-2x +3

二、填空题

7.已知函数f (x )=2ln3x +8x ,则lim Δx →

f (1-2Δx )-f (1)

Δx

的值为________.

8.在曲线y =x 3+3x 2+6x -10的切线中,斜率最小的切线方程为________.

9.(2008·江苏)直线y =1

2x +b 是曲线y =ln x (x >0)的一条切线,则实数b =________.

10.(2009·福建)若曲线f (x )=ax 3+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是________.

三、解答题

11.求下列函数的导数: (1)y =x ????x 2+1x +1

x 3; (2)y =(x +1)(

1

x

-1); (3)y =x -sin x 2·cos x

2;

(4)y =cos2x

sin x -cos x ;

(5)(理)y =sin 2????2x +π3.

12.(2008·海南、宁夏)设函数f (x )=ax -b

x ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x

-4y -12=0.

(1)求y =f (x )的解析式;

(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

第1讲 导数的概念及运算

亲爱的同学请写上你的学习心得

第4章 第1讲 导数的概念及运算

第1讲 导数的概念及运算

第1讲 导数的概念及运算

一、选择题

1.(2010·课标,4)曲线y =x 3-2x +1在点(1,0)处的切线方程为( ) A .y =x -1 B .y =-x +1 C .y =2x -2

D .y =-2x +2

[解析] k =f ′(1)=(3x 2-2)|x =1=1,由点斜式得直线方程为y =x -1,故选A. [答案] A

2.若函数f (x )=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x )的图象是( )

第1讲 导数的概念及运算

[解析] f ′(x )=2x +b .又f (x )=x 2+bx +c 图象顶点在第四象限,则-b

2>0,即b <0,故

选A.

[答案] A

3.曲线y =13x 3+x 在点(1,4

3)处的切线与坐标轴围成的三角形面积是( )

A.19

B.29

C.13

D.2

3

[解析] ∵y ′=x 2+1,∴y ′|x =1=2, ∴在点(1,43)处的切线为y -4

3=2(x -1).

从而在x 轴,y 轴上的截距分别是13与-23. 因此所求面积S =12×23×13=1

9.

[答案] A

4.若曲线y =2x 2的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则切线l 的方程为( ) A .4x -y -2=0 B .x +4y -9=0 C .4x -y +3=0

D .x +4y +3=0

[解析] 与直线x +4y -8=0垂直的直线l 为4x -y +m =0即y =2x 2在某一点的导数为4,而y ′=4x ,所以y =2x 2在(1,2)处导数为4,此点的切线为4x -y -2=0,故选A.

[答案] A

5.正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( )

A .[0, π4]∪[3π

4,π)

B .[0,π)

C .[π4,3π

4

]

D .[0,π4]∪[π2,3π

4

]

[解析] y ′=cos x ,其值域为以点P 为切点的切线的斜率的取值范围,为[-1,1],结合正切函数图象及直线倾斜角取值范围[0,π)可知本题答案为[0, π4]∪[3π

4

,π).

[答案] A

6.(2009·安徽)已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( )

A .y =2x -1

B .y =x

C .y =3x -2

D .y =-2x +3

[解析] 由f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8得f (2-x )=2f (x )-(2-x )2+8(2-x )-8, 即2f (x )-f (2-x )=x 2+4x -4,∴f (x )=x 2,∴f ′(x )=2x , ∴切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0选A. [答案] A 二、填空题

7.已知函数f (x )=2ln3x +8x ,则lim Δx →

f (1-2Δx )-f (1)

Δx

的值为________.

[解析] 由定义,知 li m Δx →

f (1-2Δx )-f (1)Δx =-2li m Δx →0

f (1-2Δx )-f (1)

2Δx =-2f ′(1)=-20.

[答案] -20

8.在曲线y =x 3+3x 2+6x -10的切线中,斜率最小的切线方程为________. [解析] y ′=3x 2+6x +6=3(x +1)2+3≥3,当x =-1时,y ′最小值为3,当x =-1时,y =-14,所以斜率最小的切线方程为y -(-14)=3(x +1),即3x -y -11=0.

[答案] 3x -y -11=0

9.(2008·江苏)直线y =1

2x +b 是曲线y =ln x (x >0)的一条切线,则实数b =________.

[解析] 本小题考查导数的几何意义、切线的求法.y ′=1x ,令1x =1

2得x =2,故切点(2,

ln2)代入直线方程,得,所以b =ln2-1.

[答案] ln2-1

10.(2009·福建)若曲线f (x )=ax 3+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是________.

[解析] 由题意可知f ′(x )=2ax 2+1

x ,又因为存在垂直于y 轴的切线,

所以2ax 2+1x =0?a =-1

2x 3(x >0)?a ∈(-∞,0).

[答案] (-∞,0) 三、解答题

11.求下列函数的导数: (1)y =x ????x 2+1x +1x 3; (2)y =(x +1)(

1

x

-1); (3)y =x -sin x 2·cos x

2;

(4)y =cos2x

sin x -cos x ;

(5)(理)y =sin 2?

???2x +π3. [解] (1)∵y =x ????x 2+1x +1x 3=x 3+1+1x 2, ∴y ′=3x 2-2x 3; (2)∵y =(x +1)

????1x -1=x ·1x -x +1x -1=-x 12+x -12, ∴y ′=-12x -12-12x -32=-12x ?

???

1+1x ; (3)∵y =x -sin x 2·cos x 2=x -12sin x , ∴y ′=1-1

2cos x ;

(4)化简函数y =cos2x

sin x -cos x =cos 2x -sin 2x sin x -cos x =-cos x -sin x ,

∴y ′=(-cos x )′-(sin x )′=sin x -cos x . (5)解法一:设y =u 2,u =sin v ,v =2x +π

3

,则

y ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2=4sin v ·cos v =2sin2v =2sin ????4x +2π3. 解法二:y ′=????sin 2????2x +π3′=2sin ?

???2x +π3·????sin ????2x +π3′ =2sin ????2x +π3·cos ????2x +π3·????2x +π3′=4sin ????2x +π3cos ????2x +π3=2sin ????4x +2π3. 12.(2008·海南、宁夏)设函数f (x )=ax -b

x ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x

-4y -12=0.

(1)求y =f (x )的解析式;

(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积

为定值,并求此定值.

[解] (1)方程7x -4y -12=0可化为y =7

4x -3.

当x =2时,y =12. 又f ′(x )=a +b

x

2,

于是???

2a -b 2=1

2,

a +

b 4=7

4.

解得?

????

a =1,

b =3. 故f (x )=x -3

x .

(2)设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3

x 2知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y

-y 0=(1+3

x 0

2)(x -x 0),

即y -(x 0-3x 0)=(1+3

x 0

2)(x -x 0).

令x =0得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为(0,-6

x 0).

令y =x 得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).

所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为12|-6

x ||2x 0|=6.

故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.

第1讲 导数的概念及运算

亲爱的同学请写上你的学习心得