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二维形式的柯西不等式教案1 人教课标版(精汇教案)

课 题:§二维形式的柯西不等式

教学目标: 、认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, 并会证明二维柯西

不等式及向量形式.

、通过对二维的柯西不等式的探究、思考和讨论,使学生从数形两方面认识定理和定理的等价关系,体会数形结合的数学思考方法.

、通过观察、思考引出二维形式的三角不等式,并能用代数方法证明.

、会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系,经过适当变形,依据经典不等式得到不等关系.

教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式,利用二维柯西不等式解决问题 教学难点:如何变形,套用已知不等式的形式.

教学过程:

一、创设情境:

、有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值,人们称它们为经典不等式.

如均值不等式:

12,1,2,,)n i a a a a R i n n

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++++∈=. 本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.

、练习:已知、、、为实数,求证:22222()()()a b c d ac bd ++≥+

证明:(比较法)22222()()()a b c d ac bd ++-+…2()0ad bc -≥

二、讲授新课:

. 柯西不等式:

① 提出定理:若、、、为实数,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号?

定理:(二维形式的柯西不等式)若d c b a ,,,都是实数,则22222)())((bd ac d c b a +≥++,当且仅当bc ad =时,等号成立。

② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法?

证法二:(综合法)222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. (要点:展开→配方)

证法三:(向量法)设向量(,)m a b =,(,)n c d =,则22||m a b =+,2||n c d =+∵m n ac bd ?=+,且||||cos ,m n m n m n ?=<>,则||||||m n m n ?≤. ∴…..

证法四:(函数法)设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++,则22()()()f x ax c bx d =-+-≥恒成立. ∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤,即…..

③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式?等号成立的条件是什么?

⑴若,,,a b c d 都是实数,ac bd +.当且仅当ad bc =时,等号成立.

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⑵若,,,a b c d 都是实数,ac bd +.当且仅当ad bc =时,等号成立.

ac bd +.

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④ 提出定理:设,αβ是两个向量,则||||||αβαβ?≤.即柯西不等式的向量形式 → 讨论:上面时候等号成立?(β是零向量,或者,αβ共线) 定理:(柯西不等式的向量形式)若,αβ是两个向量,则αβαβ?≥.当且仅当β是零向量或存在实数k ,使k αβ=时,等号成立.

探究:试从不等式①22222)())((bd ac d c b a +≥++推导不等式②αβαβ?≥,再进行反方向的推导,从数形结合的角度体会两者的等价关系。(课后思考)

. 三角不等式:

探究:阅读课本第页观察内容.进而发现:

定理(二维形式的三角不等式):设1122,,,x y x y R ∈,那么

当且仅当1221x y x y =时,等号成立.

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讨论:其几何意义?(构造三角形) →如何从代数的角度证明这个不等式?如何利用柯西不等式证明:(分析法)平方

→ 变式:若112233,,,,,x y x y x y R ∈,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式? 进而得出:设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数,则:

231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-

探究:请结合平面直角坐标系,解释上述不等式的几何意义?

、不等式的证明:

①例、已知,a b R ∈,证明:4422332

()()()a b a b a b ++≥+

分析:要利用柯西不等式,例中哪个数分别对应柯西不等式中的,,,a b c d ? ②例:若,x y R +∈,2x y +=,求证:

112x y

+≥. 分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 → 构造)

要点:2222111111()()]

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22x y x y x y +=++=++≥… 讨论:其它证法(利用基本不等式)

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③练习:已知a 、b R +∈,求证:11()()4a b a b

++≥. 可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到位,简洁明了!解答漂亮!

、求最大(小)值:

例:求函数y =x 的值。

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要点:利用变式||ac bd +≤

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分析:如何变形?→ 构造柯西不等式的形式 → 板演y =

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→变式:y =,,,,,)y a b c d e f R +=∈ 三、课堂练习:

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、已知326x y +=,求22x y +的最小值.

解答要点:(凑配法)22222(32)(32)()x y x y +≤++.

讨论:其它方法 (数形结合法)

变式.已知326x y +=,求22

2x y +的最小值.

分析:22222(32)(3)(2)x y x y +≤++ 变式.已知22

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4936x y +=,求2x y +的最大值. 分析:222222121225(2)(23)[(2)(3)][()()]23236

x y x y x y +=?+?≤++= 变式.已知224936x y +=,求2x y -的最大值 分析:222222121225(2)(23)[(2)(3)][()()]23236

x y x y x y -=?-?≤+-+=

、已知1,=求证:221a b +=.

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证明:由柯西不等式,得()()

2222111a a b b ????+-+-=????

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时,上式取等号,ab ∴=()()222211,a b a b =--于是 221a b +=

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四、课堂小结:

、二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、三点) 、比较柯西不等式的形式,将目标式进行变形,注意凑配、构造等技巧.

五、课后作业:

课本习题 ——