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用微积分证明不等式的技巧和方法

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罗世尧

(乐山师范学院数学与信息科学学院.四川乐lh614000)

摘要:不等式的证明方法很多,其证明蕴涵了丰富的数学知识、逻辑推理和非常高的技巧,本文讨论了利用微积分知识证明不等式的技,5和方法。

关键词:微积分不等式证明方法

不等式的证明是微积分应用的一个常见问题,通过解决这类问题,可以加深学生对微积分知识的理解,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.本文通过各种题型分析解答.总结出用微积分证明小等式的一些常见基本方法.

1.利用函数的单调性证明不等式

例l:证明:Nx>O时,x>sinx>x一≥.

证明:先证x>sinx,设f(x)=x—sinx,则f’(X)=1一COSXl>0,即f(x)是增函数.

而f(0)=O,故有当x>O时,x>sinx.

32

设g(x)=sinx—x+≥,则g7(x)=COSX--1+÷,g,,(x)=x—sinx而

OZ

当x>0有g『,(x)----X—sinx>O,故有g’(x)>0,即g(x)在(0,十*)上单凋上51.又g(o)=o,所以x>sinx>x一≥.

例2:证明不等式x一三<ln(1十x)(x>0).

证明:设f(x)=x一矣一ln(1+x)

?.?f,(x):l—x一1:--X<0

J+xl+x

.?.f(x)在(0,+*)上单调下降

义+.’f(O)=O

.?.当x>o时,有f(x)=x一{_一ln(1+x)<o,

即x一:<In(1+x)

2.利用微分中值定理证明不等式

例3:i_【I三明当x>oR寸,』L<ln(1+x)<x.

1+x

证明:设f(t)=Int,当x>0时,f(t)在[1,l+x]上满足拉格朗13中值定理条f,I:.

.?.j∈∈[1,1+x],使土等=i},1<《<l+x

【l+x)一lt

?.?In(1+x)一1nl:ln(1+x),.1<!<1

.?.L<ln(1+x)<x

1+x

例4:设a>e,0<x<v<丌,求让ay_ff>(cosx-cosy)a。Jna

证明:设f(t)=a‘,g(t)=COst.

由条件可知,f(t)’g(t)在[x,Y],(0<x<y)上满足柯西中值定理条件,所以j£∈x,y)使

fix)一f(y)f’(《)

g(x)-g(y)g’(∈)

yL

即a-a:!坐竺.0<x<∈<v<三

COSX—cosy—sin∈2

.?.a’一a‘=a‘(cosx-cosy)lna/sin∈

>(cosx-cosy)a。lna>(cosx-cosy)alna

3.利用函数的最值证明不等式

例5:没0≤x≤l,p>l,证明不等式』≤x9+(1一x)9≤1.9p-I

证明:设F(x)=x”+(1一x)”,贝0

F,(x)=pxP-'+p(I-x)”1(一1):p[xP-I(1-x)”。]

F”(x):p(p一1)x9-2+p(p一1)(1一x)9。

令F’(x)=0,得x=i1;Np>l,所以有

F『,(÷)+p(p-1)[({)“+(÷)P.2]>o.

故F(x)红[o,1]上最大值是l,最小值是土,lilJ,ff

2”‘

1≤Xp+(1+x)”≤1.

21’’

4.利用函数的凹凸性证明不等式

例6:证明xlnx+ylny>(x+y)ln掣,(x>o,y>o).

证明:设f(x)=xlnx,则对Tx>O图形足凹的,于是对任意两点x_币lly。得

xlnx+ylny>(x+y)ln半.

5.利用函数极限证明不等式

例7:证明:当x充分大时,x10ex<e2x.

io

一‘

证明:因为lim三三:0,所以。充分大后,

I"‘‘

<en.

N8:设f(x)=alsinx+a2sin2x+…+a。sinnx,J{:J3.1f(x)l≤Isinxl,a1,a2,…,a。为实常数,求证:lal+2a2+…+na。I≤1.

证明:‘.。If(x)I≤IsinxI

.‘_|竿H半忙咄u

alsinx一+a2sin2x+'-+asinnx

=Ia.半鹄_sin2x…a。_sinnxH塑X

2Ial——+a2——+…+a。——l≤l——l

Xxx

上式两边令x—o,由重要极限Ii。8堕:1

万方数据

用微积分证明不等式的技巧和方法

万方数据

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作者:罗世尧

作者单位:乐山师范学院,数学与信息科学学院,四川,乐山,614000刊名:

考试周刊

英文刊名:KAOSHI ZHOUKAN

年,卷(期):2011(31)

参考文献(3条)

1.刘玉琏;傅沛仁数学分析讲义 1997

2.赵振威中学数学教材教法 2000

3.费定晖;周学圣吉米多维奇数学分析习题集题解 2001

本文链接:http://www.wendangku.net/doc/a508c448e518964bcf847cf5.html/Periodical_kszk201131055.aspx