北京市高中高考数学试卷习题理科.doc
2018 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5 分）已知集合 A={ x|| x| ＜ 2} ，B={ ﹣ 2， 0， 1，2} ，则 A∩ B=（）A．{ 0，1} B．{ ﹣1，0，1} C． { ﹣ 2， 0， 1， 2} D．{ ﹣1，0，1，2} 2．（5 分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）
A．B．C．D．
4．（5 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前
一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（）
A． f B．f C． f D． f
5．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个
数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5 分）设，均为单位向量，则“| ﹣ 3 | =| 3 + | ”是“⊥ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos θ，sin θ）到直线 x﹣ my﹣ 2=0 的距离．当θ、m 变化时， d 的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
8．（5 分）设集合 A={ （x，y）| x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2} ，则（）A．对任意实数 a，（2， 1）∈ A B．对任意实数a，（2，1）?A
C．当且仅当 a＜ 0 时，（2，1）?A D．当且仅当 a≤时，（2，1）?A
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
．（分）设n} 是等差数列，且 a1，2+a5 ，则n } 的通项公式为．9 5 { a =3 a =36 { a
10．（5 分）在极坐标系中，直线ρ cos+θρ sin θ（=a＞ 0）与圆ρ =2cos相θ切，则
a= ．
11．（5 分）设函数 f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞ 0），若 f （x）≤ f（）对任意的实数 x 都成立，则ω的最小值为．
12．（5 分）若 x， y 满足 x+1≤ y≤ 2x，则 2y﹣x 的最小值是．
[ 0，2] 上是增函数”为假命题的一个函数是．
14．（ 5 分）已知椭圆M：+ =1（a＞b＞0），双曲线 N：﹣=1．若双
曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边
形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N的离心率为．
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（ 13 分）在△ ABC中， a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠ A；
（Ⅱ）求 AC边上的高．
16．（ 14 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， CC1⊥平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1， AC，A1C1，BB1的中点， AB=BC=，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证： AC⊥平面 BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣ C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面 BCD相交．
17．（ 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类
电影部数140 50 300 200 800 510
好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类
电影的概率；
（Ⅱ）从第四影和第五影中各随机取 1 部，估恰有 1 部得好的
概率；
（Ⅲ）假每影得到人喜的概率与表格中影的好率相等．用
“ξk=1”表示第k 影得到人喜．“ξk=0”表示第 k 影没有得到人喜（ k=1，2， 3， 4， 5，6）．写出方差 Dξ，Dξ，Dξ，Dξ，Dξ，Dξ的大小关系．
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18．（ 13 分）函数 f （x） =[ ax2（ 4a+1）x+4a+3] e x．
（Ⅰ）若曲 y=f（x）在点（ 1，f（1））的切与 x 平行，求 a；
（Ⅱ）若 f（ x）在 x=2 取得极小，求 a 的取范．
19．（ 14 分）已知抛物 C：y2=2px 点 P（1，2），点 Q（0，1）的直 l 与抛物 C 有两个不同的交点 A，B，且直 PA交 y 于 M ，直 PB交 y 于
N．
（Ⅰ）求直 l 的斜率的取范；
（Ⅱ） O 原点，=λ，=μ，求：+定．
20．（14 分） n 正整数，集合 A={ α| α=（t 1，t 2，?t n），t k∈ { 0，1} ，k=1，2，?， n} ，于集合 A 中的任意元素α=（x1，x2，?，x n）和β=（y1，y2，?y n），M（α，β）= [ （x1+y1 | x1 y1| ）+（x2+y2 | x2 y2| ）+?（x n+y n | x n y n| ）]
（Ⅰ）当 n=3 ，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求 M（α，α）和 M（α，β）
的；
（Ⅱ）当 n=4 ， B 是 A 的子集，且足：于 B 中的任意元素α，β，当α，β相同， M（α，β）是奇数；当α，β不同，M（α，β）是偶数．求集合 B 中元素个数的最大；
（Ⅲ）定不小于 2 的 n， B 是 A 的子集，且足：于 B 中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并明理由．
2018 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5 分）已知集合 A={ x|| x| ＜ 2} ，B={ ﹣ 2， 0， 1，2} ，则 A∩ B=（）A．{ 0，1} B．{ ﹣1，0，1}C． { ﹣ 2， 0， 1， 2} D．{ ﹣1，0，1，2} 【解答】解： A={ x|| x| ＜ 2} ={ x| ﹣ 2＜ x＜ 2} ，B={ ﹣ 2， 0， 1， 2} ，
则A∩B={ 0，1} ，
故选： A．
2．（5 分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：复数==，
共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．
故选： D．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：在执行第一次循环时，k=1，S=1．
在执行第一次循环时， S=1﹣=．
由于 k=2≤3，
所以执行下一次循环． S=，
k=3，直接输出 S= ，
故选： B．
4．（5 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（）
A． f B．f C． f D． f
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：=．
故选： D．
5．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个
数为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面 ABCD，
AC= ，CD=，
PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有 3 个直角三角形，分别为：△PAB，△ PBC，
△PAD．
故选： C．
6．（5 分）设，均为单位向量，则“|﹣3 | =| 3 + |”是“⊥ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵“| ﹣ 3 | =| 3 + | ”
∴平方得 || 2+9|| 2﹣6 ? =|| 2+9|| 2+6 ?
则? =0，即⊥，
则“| ﹣3 | =| 3 + | ”是“⊥ ”的充要条件，
故选： C．
7．（5 分）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos θ，sin θ）到直线 x﹣ my﹣ 2=0 的距离．当θ、m 变化时， d 的最大值为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意 d==，tanα=﹣，∴当 sin（θ+α） =﹣1 时，
d max=1+≤3．
∴d 的最大值为
3．故选： C．
8．（5 分）设集合 A={ （x，y）| x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2} ，则（）A．对任意实数 a，（2， 1）∈ A B．对任意实数a，（2，1）?A
C．当且仅当 a＜ 0 时，（2，1）?A D．当且仅当 a≤时，（2，1）?A
【解答】解：当 a=﹣1 时，集合 A={（x，y）| x﹣y≥1，ax+y＞ 4，x﹣ay≤ 2}
={（x，y）| x﹣ y≥ 1，﹣ x+y＞4，x+y≤2} ，显然（ 2，1）不满足，﹣ x+y＞ 4，x+y≤ 2，所以 A，C 不正确；
当a=4，集合 A={ （ x，y）| x﹣ y≥ 1， ax+y＞4，x﹣ay≤ 2} ={ （ x， y） | x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤ 2} ，显然（ 2，1）在可行域内，满足不等式，所以 B 不正确；故选： D．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9．（5 分）设 { a n} 是等差数列，且a1=3， a2+a5=36，则 { a n} 的通项公式为a n=6n ﹣3 ．
【解答】解：∵ { a n} 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，
∴，
解得 a1=3，d=6，
∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）× 6=6n﹣ 3．
∴{ a n} 的通项公式为 a n=6n﹣ 3．
故答案为： a n=6n﹣3．
10．（ 5 分）在极坐标系中，直线ρ cos+θρ sinθ（=a＞0）与圆ρ =2cosθ切，则相
a= 1+．
【解答】解：圆ρ=2cos，θ
2
转化成：ρ=2ρ cos，θ
进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2 +y2=1，
把直线ρ（ cosθ+sin θ）=a 的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
则：=1，
解得： a=1±．a＞0
则负值舍去．
故： a=1+．
故答案为： 1+．
11．（ 5 分）设函数 f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤ f（）对任意的实数 x 都成立，则ω的最小值为．
【解答】解：函数 f（ x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤ f（）对任意的
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实数 x 都成立，
可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为：．
故答案为：．
12．（ 5 分）若 x， y 满足 x+1≤ y≤ 2x，则 2y﹣x 的最小值是 3．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣ x，则 y= x+ z，
平移 y= x+ z，
由图象知当直线y= x+ z 经过点 A 时，
直线的截距最小，此时z 最小，
由得，即A（1，2），
此时 z=2×2﹣1=3，
故答案为： 3
13．（ 5 分）能说明“若 f （x）＞ f（0）对任意的 x∈（ 0， 2] 都成立，则 f（x）在[ 0，2] 上是增函数”为假命题的一个函数是f（x）=sinx．
【解答】解：例如 f （x） =sinx，
尽管 f （x）＞ f （0）对任意的 x∈（ 0， 2] 都成立，
当 x∈[ 0，）上为增函数，在（，2]为减函数，
故答案为： f（ x）=sinx．
14．（ 5 分）已知椭圆M：+ =1（a＞b＞0），双曲线 N：﹣=1．若双
曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边
形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N的离心率为2．
【解答】解：椭圆 M：+ =1（a＞b＞0），双曲线 N：﹣=1．若双曲线
N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的
顶点，
可得椭圆的焦点坐标（ c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，
可得，可得 e4﹣8e2+4=0， e∈（ 0，1），
解得 e=．
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为 e= =2．
故答案为：；2．
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（ 13 分）在△ ABC中， a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠ A；
（Ⅱ）求 AC边上的高．
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∵ cosB=﹣，∴ sinB===，
由正弦定理得=得sinA===，
则A= ．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2× 7× c×，
即c2+2c﹣15=0，
得（ c﹣ 3）（c+5） =0，
得c=3 或 c=﹣5（舍），
则AC边上的高 h=csinA=3× =．
16．（ 14 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， CC1⊥平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1， AC，A1C1，BB1的中点， AB=BC=，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证： AC⊥平面 BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣ C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面 BCD相交．
【解答】（I）证明：∵ E，F 分别是 AC，A1C1的中点，∴ EF∥ CC1，
∵ CC⊥平面 ABC，∴ EF⊥平面 ABC，
1
又AC? 平面 ABC，∴
EF⊥AC，∵ AB=BC，E 是 AC
的中点，∴ BE⊥AC，
又BE∩ EF=E，BE? 平面 BEF，EF? 平面 BEF，
∴AC⊥平面 BEF．
（II）解：以 E 为原点，以 EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则 B（2，0，0）， C（ 0， 1，0），D（0，﹣ 1， 1），
∴ =（﹣ 2，1，0）， =（0，﹣ 2， 1），
设平面 BCD的法向量为=（x，y，z），则，即，
令y=2 可得 =（ 1， 2， 4），又 EB⊥平面 ACC1A1，
∴ =（2，0，0）为平面 CD﹣C1的一个法向量，
∴ cos＜，＞ = = =．
由图形可知二面角 B﹣CD﹣C1为钝二面角，
∴二面角 B﹣CD﹣ C1的余弦值为﹣．
（ III）证明： F（ 0， 0， 2），（2，0，1），∴=（2， 0，﹣ 1），
∴? =2+0﹣ 4=﹣2≠0，
∴与不垂直，
∴FG与平面 BCD不平行，又 FG?平面 BCD，
∴FG与平面 BCD相交．
17．（ 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类
电影部数140 50 300 200 800 510 好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用
“ξk=1”表示第 k 类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2， 3， 4， 5，6）．写出方差 Dξ，Dξ，Dξ，Dξ，Dξ，Dξ的大小关系．
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【解答】解：（Ⅰ）设事件 A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000 部，
第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50 部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
P（A）==0.025．
（Ⅱ）设事件 B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，恰有 1 部获得好评”，
第四类获得好评的有： 200× 0.25=50 部，
第五类获得好评的有： 800× 0.2=160 部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率：P（B）= =0.35．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
ξk=，
则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
ξ1 1 0
P 0.4 0.6 E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，
D（ξ1） =（1﹣ 0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．
第二类电影：
ξ2 1 0
P 0.2 0.8 E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ2） =（1﹣ 0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第三类电影：
ξ3 1 0
P 0.15 0.85 E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，
D（ξ3） =（1﹣ 0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2× 0.85=0.1275．
第四类电影：
ξ4 1 0
P 0.25 0.75 E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，
D（ξ4） =（1﹣ 0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2× 0.75=0.1875．
第五类电影：
ξ5 1 0
P 0.2 0.8 E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ5） =（1﹣ 0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第六类电影：
ξ6 1 0
P 0.1 0.9 E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，
D（ξ5） =（1﹣ 0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．
∴方差 Dξ1， Dξ2， Dξ3， Dξ4， Dξ5，Dξ6的大小关系为：
Dξ＜Dξ＜Dξ=Dξ＜Dξ＜Dξ．
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18．（ 13 分）设函数 f （x） =[ ax2﹣（ 4a+1）x+4a+3] e x．
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线与 x 轴平行，求 a；
（Ⅱ）若 f（ x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f （x）=[ ax2﹣（ 4a+1）x+4a+3] e x的导
数为 f （′x）=[ ax2﹣（ 2a+1） x+2] e x．
由题意可得曲线y=f（ x）在点（ 1， f（1））处的切线斜率为0，
可得（ a﹣2a﹣ 1+2）e=0，
解得 a=1；
（Ⅱ） f（x）的导数为 f ′（x）=[ ax2﹣（ 2a+1） x+2] e x=（x﹣2）（ ax﹣1）e x，
若 a=0 则 x＜ 2 时， f ′（x）＞ 0， f（x）递增； x＞2，f ′（x）＜ 0，f（ x）递减．
x=2 处 f （x）取得极大值，不符题意；
若 a＞0，且 a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；
若 a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得 f （x）在 x=2 处取得极小值；
若 0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得 f （x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；
若 a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得 f （x）在 x=2 处取得极大值，不符题意．
综上可得， a 的范围是（，+∞）．
19．（ 14 分）已知抛物线 C：y2=2px 经过点 P（1，2），过点 Q（0，1）的直线 l
与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA交 y 轴于 M ，直线 PB交 y 轴于
N．
（Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 O 为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线 C：y2=2px 经过点
设过点（ 0， 1）的直线方程为y=kx+1，
设 A（x1，y1），B（x2， y2）
联立方程组可得，
消y 可得 k2x2+（ 2k﹣ 4）x+1=0，
∴△ =（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且 k≠ 0 解得 k＜ 1，
且 k≠0， x1+x2﹣， 1 2 ，
= x x =
故直线 l 的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（ 0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M （ 0， y M），N（0，y N），
则=（0，y M﹣ 1）， =（ 0，﹣ 1）
因为=λ，所以 y M﹣1=﹣ y M﹣1，故λ=1﹣y M，同理μ=1﹣y N，
直线 PA的方程为 y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），
令 x=0，得 y M
= ，同理可得 N ，
y =
因为+ =+=+===
===2，
∴+ =2，∴+为定值．
20．（14 分） n 正整数，集合 A={ α| α=（t 1，t 2，?t n），t k∈ { 0，1} ，k=1，2，?，
n} ，于集合 A 中的任意元素α=（x1，x2，?，x n）和β=（y1，y2，?y n），
M（α，β）= [ （x1+y1| x1y1| ）+（x2+y2| x2y2| ）+?（x n+y n | x n y n| ）]
（Ⅰ）当 n=3 ，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求 M（α，α）和 M（α，β）的；
（Ⅱ）当 n=4 ， B 是 A 的子集，且足：于 B 中的任意元素α，β，当α，β相同， M （α，β）是奇数；当α，β不同， M（α，β）是偶数．求集合 B
中元素个数的最大；
（Ⅲ）定不小于 2 的 n， B 是 A 的子集，且足：于 B 中的任意两个不同的元素α，
β，M（α，β）=0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并明理由．【解答】解：（I ）
M （a，a）=2， M（a，β）=1．
（ II）考数（ x k，y k）只有四种情况：（0，0）、（ 0，1）、（ 1，0）、（1，1），相的分 0、0、0、1，
所以 B 中的每个元素有奇数个1，
所以 B 中的元素只可能（上下的两个元素称之互元素）：
（1， 0， 0， 0 ）、（0，1，0，0）、（ 0， 0， 1， 0）、（0，0，0，1），
（0， 1， 1， 1）、（1， 0， 1， 1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），于任意两
个只有 1 个 1 的元素α，β都足 M （α，β）是偶数，
高考理科数学试题及答案2180
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)
2018年高考全国二卷理科数学真题（解析 版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A
全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
高考真题理科数学解析版
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2017年全国高考理科数学试卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
(完整版)2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2017年高考数学试题分项版解析几何解析版
2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3.
2018高考理科数学全国一卷试题及答案
2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后 农村的经济收入构成比例。得到如下 饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图 上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8
9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值
2018高考理科数学模拟试题
2018学年高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 1983年全国高考数学试题及其解析 理工农医类试题 一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 1．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点 3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零 4．设,34π = α则)arccos(cos α的值是 （ ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3 π 5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log << 1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -= y x -=的图形，并写出它们交点的坐标 2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形 三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy 2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 五．（本题满分15分） 1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合 ≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合 4 0π ≤ θ≤？ 六．（本题满分15分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB ???β?-ββα ?+ααcos 2cos sin sin ) sin(cos cos )cos(sin 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 全国卷 3） 理科数学 2． 1 i 2 i B ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右 可以是 1 4 ．若 sin ，则 cos 2 3 、选择题本： 题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ， B 0 ，1，2 ，则 A B B ． C ． 1，2 D ． 0 ，1 ，2 方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯 视 图 D ． 边的小长 A． 7 B． 9 7 C． 9 8 D． 9 5． 的展开式中 4 x 的系数 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线x y 2 0 分别与x 轴，y轴交于A ， B 两点， 点 P 在圆 上，则△ABP 面积的取值范围 A ． B ． 4，8 C ． 2 ，3 2 D ． 2 2 ， 3 2 7．函数 4 2 2 y x x 的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员 中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P X 4 P X 6 ，则 p A ． 0.7 B ． 0.6 C ． 0.4 D ． 0.3 9． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 2 2 2 的面积为 a b c ，则 C π π π 4 π A ． B ． C ． D ． 2 3 4 6 10．设 A ，B ，C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A ． 12 3 B ． 18 3 C ． 24 3 2 2 11．设 F 1 ，F 2 是双曲线 x y D ． 54 3 O 是坐标原点．过 F 2 作 C 的一条渐近线 垂线，垂足为 a b P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心 率为 A ． 5 B ．2 C ． 3 C ： 2 2 1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点， 的 log 2 0.3 ，则 A ． a b ab 0 C ． a b 0 ab 12 ．设 a log 0.2 0.3 ， b B ． ab a b 0 D ab 0 a b 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ） 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其 1. 2020课标Ⅲ卷, 16题 评价：只要知道对称性的定义、奇偶性性质、三角函数诱导公式即可. 难度：★★（满分5星） 复杂度：★★★（满分5星） 计算量：★（满分5星） 2. 2020课标Ⅱ卷, 文12题(理11题) 评价：只要知道函数单调性的性质、对数函数性质即可. 难度：★★（满分5星） 复杂度：★★（满分5星） 计算量：★（满分5星） 3 2020课标Ⅰ卷，3题 评价：高考的时候如果是我见到这题，如果是我的话我心态也会崩，只能慢慢算了……很像解析几何里面求离心率的题. 难度：★（满分5星） 复杂度：★★（满分5星） 计算量：★★★★（满分5星） 4 2020课标Ⅰ卷，12题 评价：与【2020课标Ⅱ，文12】题是同样的做法，构造一个函数然后用单调性来研究不等式. 难度：★★★（满分5星） 复杂度：★★（满分5星） 计算量：★（满分5星） 5 2020课标Ⅰ卷，16题 评价：解三角形题目，比较难的地方在于三棱锥的展开图的条件转化. 复杂度可以给三星，但难度其实不算大. 难度：★★（满分5星） 复杂度：★★★（满分5星） 计算量：★★（满分5星） 6 2020课标Ⅱ卷，4题 评价：考察同学们能否把大段文字转化为数学模型（数列模型）。这题还是需要冷静思考的。 难度：★（满分5星） 复杂度：★★★（满分5星） 计算量：★★★（满分5星） 7 2020课标Ⅰ, 11 评价：取最小值这个条件如何转化？这个在高中同学们可能练得比较少，导致这题很难。 难度：★★★（满分5星） 复杂度：★★★（满分5星） 计算量：★（满分5星） 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2 ，p 3 ， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2 +p 3 11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+= C. 22(1)1x y +-= D. 22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ． 【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22 (1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】 22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21, <<=则 01,c a c b <<<<．故选B ． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 12 2018年福建高考数学试题（理） 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ） .23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i + 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ） .A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10 B .12 C .14 D 4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ） 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ） .18A .20 B .21 C .40D 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ?的面积为12 ”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件 7.已知函数()???≤>+=0 ,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ） A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,1 8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 9.设Q P ,分别为()262 2=-+y x 和椭圆11022 =+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =1983年全国高考数学试题及其解析
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