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《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题

1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是 1.2 eV ，而钠的红限波长是 5400 ?，那么入射光的波长是

(A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［］

2．4244：在均匀磁场 B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为 m ，电荷的绝对值为 e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是：

hc (A) 0

(B)

hc +

(eRB )2 0

(C)

hc +

eRB 0

(D)

+ 2eRB

［

］

3．4383：用频率为的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为 E K ；若改用频率为 2 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为：

(A) 2 E K (B) 2h - E K (C) h - E K (D) h + E K ［］

4．4737：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 1.2 倍，则散射光光子能量与反冲电子动能 E K 之比 / E K 为

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［］

5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是

(A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］

6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于 n =3 的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱［］

7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为 10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为

(A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］

8．4750：在气体放电管中，用能量为 12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是

(A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ， 10.2 eV 和 3.4 eV ［］

9．4241：若粒子(电荷为 2e )在磁感应强度为 B 均匀磁场中沿半径为 R 的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意波长是

(A) ［

］

h /(2eRB )

(B)

h /(eRB )

(C)

1/(2eRBh )

(D)

1/(eRBh )

10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同［］

11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在 x = 5a /6 处出现的概率密度为

(x ) =

1 ? cos

3πx 2a (A)

1/(2a ) (B) 1/a (C) 1/ ［］

(D)

1/ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？

2a a

(A)

(B) x

(C)

(D)

13．5619：波长 =5000 ? 的光沿 x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10-3 ?，则利用不确定关系式 ?p x ?x ≥ h 可得光子的 x 坐标的不确定量至少为：

(A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm ［］

14．8020：将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A ) 增大 D 2 倍 (B) 增大 2D 倍 (C) 增大 D 倍 (D) 不变［］

15．4965：下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？

m s (A) n = 2，l = 2，m l = 0， = 1 2 m = 1 m s

(B) n = 3，l = 1，m l =-1， = - 1 2 m

= - 1 (C ) n = 1 ， l = 2 ， m l ［

］

= 1 ， 2 (D ) n = 1 ， l = 0 ， m l = 1 ，

2 16．8022：氢原子中处于 3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s ) 可能取的值为

(A) (3，0，1， 2 )

(B) (1，1，1， 2 )

(D)

(3 ， 2 ， 0 ， 2 )

［

］

17．4785：在氢原子的 K 壳层中，电子可能具有的量子数(n ，l ，m l ，m s )是

1 1

(A) (1，0，0，

2 ) (B) (1，0，-1，

2 ) - 1 -

(2 ， 1 ， 0 ，

2 )

［

］

18．4222：与绝缘体相比较，半导体能带结构的特点是

(A) 导带也是空带 (B) 满带与导带重合 (C) 满带中总是有空穴，导带中总是有电子 (D)

禁

带

宽

度

较

窄

［

］

19．4789：p 型半导体中杂质原子所形成的局部能级(也称受主能级)，在能带结构中应处于

(A) 满带中 (B) 导带中 (C) 禁带中，但接近满带顶 (D) 禁带中，但接近导带底［］

20．8032：按照原子的量子理论，原子可以通过自发辐射和受激辐射的方式发光，它们

所产生的光的特点是：

(A ) 两个原子自发辐射的同频率的光是相干的，原子受激辐射的光与入射光是不相干的 (B ) 两个原子自发辐射的同频率的光是不相干的，原子受激辐射的光与入射光是相干的 (C ) 两个原子自发辐射的同频率的光是不相干的，原子受激辐射的光与入射光是不相干的

(D ) 两个原子自发辐射的同频率的光是相干的，原子受激辐射的光与入射光是相干的

21．9900： x ? 与 P ? 的互易关系[ x ?, P ? ]等于 x （Ａ） i ［］

（Ｂ） x

- i

（Ｃ） ih （Ｄ） - ih 22．9901：厄米算符 A

? 满足以下哪一等式（ u 、 v 是任意的态函数）

（Ａ） ?u *

A ? vdx = ? (A ?u *

)

vdx ? v * A ?udx = ? (?

（Ｂ） )

? v * A ? udx = ? v (A ?u )

dx ?u * A ? vdx = ? (A ?u )

v *dx （Ｃ）

［］

Av udx

（Ｄ）

二、填空题

1．4179：光子波长为，则其能量= ；动量的大小 = ；质量= 。 2．4180：当波长为 3000 ? 的光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从 0 到 4.0× 10-19 J 。在作上述光电效应实验时遏止电压为 |U a | = V ；此金属的红限频率0 = Hz 。

3．4388：以波长为= 0.207 μm 的紫外光照射金属钯表面产生光电效应，已知钯的红限频率 0=1.21×1015 赫兹，则其遏止电压|U a | = V 。

4．4546：若一无线电接收机接收到频率为 108 Hz 的电磁波的功率为 1 微瓦，则每秒接收到的光子数为。

5．4608：钨的红限波长是 230 nm ，用波长为 180 nm 的紫外光照射时，从表面逸出的电子的最大动能为 eV 。

6 ． 4611 ：某一波长的 X 光经物质散射后，其散射光中包含波长和波长的两种成分，其中的散射成分称为康普顿散射。

7．4191：在氢原子发射光谱的巴耳末线系中有一频率为 6.15×1014 Hz 的谱线，它是氢原子从能级 E n = eV 跃迁到能级 E k = eV 而发出的。

8．4192：在氢原子光谱中，赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系)的最短波长的谱线所对应的光子能量为所对应的光子的能量为 eV 。

eV ；巴耳末系的最短波长的谱线 9．4200：在氢原子光谱中，赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系)的最短波长的谱线所对应的光子能量为所对应的光子的能量为 eV 。

eV ；巴耳末系的最短波长的谱线 10．4424：欲使氢原子发射赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的谱线构成）中波长

为 1216 ? 的谱线，应传给基态氢原子的最小能量是 11．4754：氢原子的部分能级跃迁示意如图。在这些能级跃迁中，(1) 从 n = 的能级跃迁到 n = 的能级时所发射的光子的波长最短；(2) 从 n = 的能级跃迁到 n = 的能级时所发射的光子的频率最小。 12．4755：被激发到 n =3 的状态的氢原子气体发出的辐射中，有条可见光谱线和条非可见光谱线。 eV 。

4754 图

n = 4 n = 3 n = 2 n = 1 13．4760：当一个质子俘获一个动能 E K =13.6 eV 的自由电子组成一个基态氢原子时，所发出的单色光频率是。 14．4207：令c = h /(m e c ) (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为真空中光速，h 为普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是

c 。

15．4429：在戴维孙——革末电子衍射实验装置中，自热阴极 K 发射出的电子束经 U = 500 V 的电势差加速后投射到晶体上。这电子束的德布罗意波长 =???????????nm 。

16．4629：氢原子的运动速率等于它在 300 K 时的方均根速率时，它的德布罗意波长是。质量为 M =1 g ，以速度

v =

1 cm ·s -1 运动的小球的德布罗意波长是

。

17．4630：在 B =1.25×10-2 T 的匀强磁场中沿半径为 R =1.66 cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是。

4429 图

18 ． 4203 ：设描述微观粒子运动的波函数为 (r , t ) ，则

表示

；(r , t ) 须满足的条件是；其归一化条件是。

19．4632：如果电子被限制在边界 x 与 x +?x 之间，?x =0.5 ?，则电子动量 x 分量的不确定量近似地为 kg ·m ／s 。

20．4221：原子内电子的量子态由 n 、l 、m l 及 m s 四个量子数表征。当 n 、l 、m l 一定时，不同的量子态数目为；当n 、l 一定时，不同的量子态数目为；当 n 一定时，不同的量子态数目为。

21．4782：电子的自旋磁量子数 m s 只能取和两个值。

n =3

22．4784：根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为 L = ，当主量子数时，电子动量矩的可能取值为。

23．4963：原子中电子的主量子数 n =2，它可能具有的状态数最多为个。 24．4219：多电子原子中，电子的排列遵循原理和原理。 25．4635：泡利不相容原理的内容是。 m s 26．4787：在主量子数 n =2，自旋磁量子数数是。

2 的量子态中，能够填充的最大电子

27．4967：锂(Z =3)原子中含有 3 个电子，电子的量子态可用(n ，l ，m l ，m s )四个量子数

来描述，若已知基态锂原子中一个电子的量子态为(1，0，0， 2 )，则其余两个电子的量子

态分别为( )和( )。

28．4969：钴(Z = 27 )有两个电子在 4s 态，没有其它 n ≥4 的电子，则在 3d 态的电子可有个。

29．8025：根据量子力学理论，原子内电子的量子态由(n ，l ，m l ，m s )四个量子数表征。那么，处于基态的氦原子内两个电子的量子态可由和子数表征。

两组量 30．4637：右方两图(a)与(b)中，(a)图是型半导体的能带结构图，(b)图是型半导体的能带结构图。 E 31．4792：若在四价元素半导体中掺入五价元素原子，则可构成的多数载流子是。

型半导体，参与导电

32．4793：若在四价元素半导体中掺入三价禁带

元素原子，则可构成型半导体，参与导电

的多数载流子是。

施主能级

33．4971：在下列给出的各种条件中，哪些是

(a) 产生激光的条件，将其标号列下：。(1)自发辐射；(2)受激辐4射63；7(图3)粒子数反转； (4)三能极系统；(5)谐振腔。

34．5244：激光器中光学谐振腔的作用是：(1) ；

l (l + 1) K

导带

禁带受主能级

满带带满导带

3 10 3 10 ； (2) ；

(3)

。

35．8034：按照原子的量子理论，原子可以通过两种辐射方式发光，而激光是由方式产生的。

36．8035：光和物质相互作用产生受激辐射时，辐射光和照射光具有完全相同的特性，这些特性是指。

37 ． 8036 ：激光器的基本结构包括三部分，即、和。

38. 写出以下算符表达式： p

? x = ； H ? = ； L ?y = ；

9. 微观低速的（非相对论性）体系的波函数 ψ 满足薛定谔方程，其数学表达式为

。 40. 自旋量子数为的粒子称为费米子，自旋量子数为的粒子称为玻色子；

体系遵循泡利不相容原理。

41．

，p

? ＝

；

，

；

x ，

；

, L ? x

, p ?

u + 2

u + u 42．线性谐振子的能量可取为

；若

0 5 2 3 ，

u n 是谐振子的第 n 个能量本征函数，则体系的能量平均值为

。

三、计算题

1．4502：功率为 P 的点光源，发出波长为的单色光，在距光源为 d 处，每秒钟落在垂直于光线的单位面积上的光子数为多少？若 =6630 ?，则光子的质量为多少？

2．4431：α粒子在磁感应强度为 B = 0.025 T 的均匀磁场中沿半径为 R =0.83 cm 的圆形轨道运动。(1) 试计算其德布罗意波长；(2) 若使质量 m = 0.1 g 的小球以与α粒子相同的速率运动。则其波长为多少？(α粒子的质量 m α =6.64×10-27 kg ，普朗克常量 h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷 e =1.60×10-19 C)

3．4506：当电子的德布罗意波长与可见光波长( =5500 ?)相同时，求它的动能是多少电子伏特？(电子质量 m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量 h =6.63×10-34 J ·s, 1 eV =1.60×10-19 J)

4．4535：若不考虑相对论效应，则波长为 5500 ? 的电子的动能是多少 eV ？(普朗克常量 h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量 m e =9.11×10-31 kg)

5．4631：假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的 2 倍时，其德布罗意波长为多少？(普朗克常量 h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量 m e =9.11× 10-31 kg)

6．5248：如图所示，一电子以初速度 v 0 = 6.0×106 m/s 逆着场强方向飞入电场强度为 E = 500 V/m 的均匀电场中，问该电子在电场中要飞行多长距离 d ，可使得电子的德布罗意波长达到 = 1 ?。(飞行过程中，电子的质量认为不变， E

即为静止质量 m e =9.11×10-31 kg ；基本电荷 e =1.60×10-19 C ；普朗克常量 h =6.63×10-34 J ·s)。

7．4430：已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为(x ) = a )，求发现粒子的概率为最大的位置。

2 / a sin(πx / a ) (0≤x ≤

8．4526：粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：n (x ) =

sin 2

x d x = 1 x - (1/ 4) sin 2x + C 2 / a sin(n πx / a ) 提示：

2 e v 0

。

100

a a

9. 氢原子波函数为

(2 +

210

+ 2

211

+ 3310

)

，其中

nlm 是氢原子

的能量本征态，求 E 的可能值、相应的概率及平均值。 ?

A sin

0 < x < a

10. 体系在无限深方势阱中的波函数为

一化常数 A 。

(x ) = ? a

??0

x ≤ 0

x ≥ a ，求归

U ( x ) = ?0 0 < x < a

?∞ x ≤ 0, x ≥ a

11.

质量为 m 的粒子沿 x 轴运动，其势能函数可表示为： ? ，

求解粒子的归一化波函数和粒子的能量。

(x ) =

sin

x ?cos 2 ?x ?

12. 设质量为粒子处在（ 0 ， a ）内的无限方势阱中，

? ? ? ? ? ? ，

对它的能量进行测量，可能得到的值有哪几个？概率各多少？平均能量是多少？

13. 谐振子的归一化的波函数：

(x ) = 1

u (x ) + 3 0 1

u (x ) + cu (x ) 2 2 3 。其中， u n (x ) 是归一化的谐振子的定态波函数。求： c 和能量的可能取值，以及平均能量 E 。

一、选择题

1．4185：D 2．4244：B 3．4383：D 4．4737：D 5．4190：C 6．4197：C 7．4748：A 8．4750：C 9．4241：A 10．4770：A 11．4428：A 12．4778： 13．5619：C 14．8020：D 15．4965：B 16．8022：D 17．4785：A 18．4222： D

19．4789：C 20．8032：B 21．9900：A 22．9901：C 二、填空题 1．4179： hc /--------- 1 分；

h / -------- 2 分； h /(c ) ---------------- 2 分

2．4180：

2.5---------------------2 分； 4.0×1014 ---------------- 2 分 3．4388： 0.99 -------------------- 3 分 4．4546： 1.5×1019 ------------------ 3 分 5．4608： 1.5 -------------------- 3 分

6．4611：不变-----------------1 分；变长----------------1 分；波长变长 --------- 1

分

7．4191：－0.85---------------2 分；－3.4 --------------- 2 分 8．4192： 13.6----------------- 2 分； 3.4 ----------------- 2 分 9．4200： 6----------------------2 分； 973 --------------- 2 分 10．4424： 10.2 ------------------- 3 分 11．4754： 4 1------------2 分； 4 3---------------- 2 分 12．4755： 1-----------------------2 分； 2 ---------------- 2 分 13．4760： 6.56×1015 Hz------- 3 分 14．4207： 1/ ----------------3 分

15．4429： 0.0549 ---------------- 3 分

16．4629： 1.45 ?-----------------2 分；6.63×10-19 ? ------------------- 2 分 17．4630： 0.1 ? ------------------- 3 分 18．4203：

粒子在 t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度 ------- 2 分

? ? ?

? 单值、有限、连续 ----------------------------- 1 分

???

d x d y d z = 1 ------------------------------------- 2 分

19．4632： 1.33×10-23 ----------------------------------- 3 分

20．4221： 2-------------------1 分；2×(2l +1)-------------2 分；2n 2 ---------------------- 2 分

21．4782： 1 -

2 -------------------2 分；

2 ------------------------- 2 分 22．4784： 0， 2 ， 6

---------------------- 各 1 分 23．4963： 8 -------------------------------------------------- 3 分

24．4219：泡利不相容---------------2 分；能量最小 ---------- 2 分

25．4635：一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子数 (n 、l 、m l 、m s ) -------------------------- 3 分 26．4787： 4 --------------------- 3 分

27．4967： -

1，0，0， 2 ------------ 2 分；

2，0，0， 2 -

1 或 2，0，0， 2

------------------- 2 分 28．4969： 7 ---------------------------- 3 分

1 -

29．8025： (1，0，0，

2 )----------2 分； (1，0，0， 2 )----------------- 2 分 30．4637：

n-----------------------2 分； p ------------- 2 分 31．4792： n-----------------------2 分；电子 ---- 2 分 32．4793： p-----------------------2 分；空穴 ---- 2 分 33．4971： (2)、(3)、(4)、(5)-------3 分答对 2 个 1 分 34．5244：

产生与维持光的振荡，使光得到加强 ----------------- 2 分使激光有极好的方向性 ----------------------------- 1 分使激光的单色性好 --------------------------------- 2 分

35．8034：自发辐射和受激辐射-----------2 分；受激辐射 ------- 2 分 36．8035：相位、频率、偏振态、传播方向 --------------------- 3 分 37．8036：工作物质、激励能源、光学谐振腔 ----------------- 各 1 分 ?

? 2

2 ?

? ?

p ? x = -i H = - 2 ? + U L y = -i (z - x )

38． ?x ；；

?x ?z ? 2 - ? ? 2 + U ?ψ = i ? 2 -

2 ? ?ψ + U ψ = i

39． ? 2 ? ?t 或 2?x 2 ? ?t 40．半奇数；整数；费米子

41．

i ；0；0；0； i p ? z E = (n + 1

)

42． 2 ， n = 0，1，2，3……； 5 三、计算题

1 ． 450

2 ：解：设光源每秒钟发射的光子数为 n ，每个光子的能量为 h ，则由：

P = nh = nhc /得：

n = P /(hc )

令每秒钟落在垂直于光线的单位面积的光子数为 n 0，则：

n 0 = n / S = n /(4πd 2 ) = P

/(4πd 2 hc ) --------------------------------------- 3 分

光子的质量：

m = h / c 2

= hc /(c 2

) = h /(c ) =3.33×10-36 kg ------------------------ 2 分 ?ψ ?

1 -v

2 / c 2 = p /(2m ) = (h /) /(2m ) mc - m c

= 2m c 0 2

2．4431：解：(1) 德布罗意公式：

= h /(m v )

由题可知α 粒子受磁场力作用作圆周运动： q v

B = m v 2 / R ， m v = qRB 又 q = 2e 则：

m v = 2eRB --------------- 4 分

故：

= h /(2eRB ) = 1.00 ?10-11 m = 1.00 ?10-2 nm ------------ 3 分

(2) 由上一问可得

v = 2eRB / m

对于质量为 m 的小球：

= h = h ? m = m

m v 2eRB m m

=6.64×10-34 m ----------- 3 分

3．4506：解： 2

K e e--------------------------

3 分

=5.0×10-6 eV -------------------------------------- 2 分

E = 1

m v 2 K e

4．4535：解：非相对论动能：

p 2

p = m v

E K = 2m

而

e ，故有：

e ---------------------------------------------- 2 分

又根据德布罗意关系有 p = h /

代入上式 ------------ 1 分

E = 1

h 2 /(m 2 ) =

则： K

2 e 4.98×10-6 eV ---------------------- 2 分

2 2

5．4631：解：若电子的动能是它的静止能量的两倍，则： e e ------------------- 1 分故：

m = 3m e ---------------------------------------- 1 分

由相对论公式：有： m = m e / 3m e = m e / 解得：

v = 8c / 3 --------------------------------------- 1 分

德布罗意波长为：

= h /(m v) = h /( 8m e c ) ≈ 8.58 ?10-13 m ---------------- 2 分

光电子的德布罗意波长为：

= h p = h = m e v 1.04×10-9 m =10.4 ? ----------------- 3 分 6．5248：解：

= h /(m e v )

v 2 -v 2 = 2ad

eE = m e a

① -------------2 分 ②

③ ------------- 2 分

由①式： v = h /(m e ) =

7.28×106 m/s

由③式：

a = eE / m e = 8.78×1013 m/s 2 d = (v 2 -v 2 ) /(2a )

由②式： 0 = 0.0968 m = 9.68 cm ----------------------- 4 分

7．4430：解：先求粒子的位置概率密度：

(x ) 2

= (2 / a ) sin 2 (πx / a ) = (2 / 2a )[1 - cos(2πx / a )] 当： cos(2πx / a ) = -1时，

有最大值．在 0≤x ≤a 范围内可得 2πx / a = π

1 -v

2 / c 2

--------------------2 分

(x ) E

2 10

3 10 2

10 2 a xdx E

x = 1 a ∴

--------------------------------3 分 d P = 2 d x = 2 sin 2 πx

d x

8．4526：解：

粒子位于 0 – a /4 内的概率为：

a a ------------------- 3 分 a / 4

2 πx a / 4 2 a πx πx P = ? sin 2 d x = ? sin 2

d( )

0 a a 2 1x 1 2x 0 a π a a a / 4 1 = [ 2 - sin

] = 2 [ 2 π a - 1 sin( 2 a )] a 4 a 0 π a 4 4 a 4 =0.091 --------- 2 分

9. 解：根据给出的氢原子波函数的表达式，可知能量 E 的可能值为： E 1 、 E 2 、 E 3 ，其中：

E 1 = 13.6eV 、 E 2 = -3.4eV 、 E 3 = -1.51eV ---------------- 3 分 2

由于： 2

2 +

= 1

-----------------------1 分

所以，能量为 E 1 的概率为

P 1 = =

5 ------------------ 1 分

能量为 E 2 的概率为

P 2 =

P 3 =

= 3 10 2

= 3

---------------------1 分能量为 3 的概率为

---------------------1 分

能量的平均值为： E = P 1 E 1 + P 2 E 2 + P 3 E 3 ------------------------------------ 2 分

= -6.913eV ------------------ 1 分

A 2 sin 2

= 1 10. 解：由归一化条件，应有 0

a A =

-----------------------3 分

得： ------------------------------- 2 分

11.

解：当 x ≤ 0 或 x ≥ a 时，粒子势能无限大，物理上考虑这是不可能的，所以粒子

在该区域出现纪律为零，即：

(x ) = 0

当0 < x < a 时， U (x )

= 0 ，定态薛定谔方程为： - 2 2m d 2 =

dx 2

d 2 2 k 2= 0 设

k =2E / ，则方程为： dx 2 通解为：(x ) = A sin kx + B cos kx

由波函数的连续性可知，在 x = 0 、 x = a 处(x ) = 0 ，即：

(x ) = A sin 0 + B cos 0 = 0

(x ) = A sin (ka )+ B cos (ka ) = 0 得： B = 0 ； k =

a ， n = 1、2、3……

1 10

10 1 10 3 10

2 a a 1 2 2 a 1 2 2 a

2 1 2

2 a 2

2 ( x ) = A sin ? n ?

n a ? 所以有： ? ? ， n = 1、2、3…… ? (x ) 2 dx = ? (x ) 2 dx = ?

A 2 sin 2 ? n ?dx = 1 +∞ a a

归一化条件： -∞

A = 0

( x ) = ? 0

? ?

sin ? n ?

a ?

所以：，即： ? ? ， n = 1、2、3……

2h 2

粒子能量为：

E = E n = 2a 2 n

， n = 1、2、3……

(x ) =

sin ?x ?cos 2 ?x ? = 2 ? ?x ? + sin ?x ?

? 2x ??

a ? a ? ?sin a ? a ?cos a ?? 12. 解：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = sin ?x ?

sin ? 3x ?

a ? a ? ? ? ? ? 即

(x )是第一和第三个能量本征态的叠加，所以测得能量值可为：

= 1 （1）

2a 2 ，相应概率为： 2 92 2 1

（2） 2a 2 = ，相应概率为： 2 1 2

2 1 92 2 52 2

E = 所以，能量平均值为：

2 2a 2 + 2 2a 2

a 2

+ 13.

+ c 2 = 1 c 解得：

根据谐振子波函数的表达式，可知能量 E 的可能值为： E 0 、 E 2 、 E 3

E = ? n + 1

因为：

? ? ?

所以：

E = 1 h 0 2 ； E = 5 h 2

2 ； 2

E = 7

h 3

2 2

则：

E = P 0 E 0 + P 2 E 2 + P 3 E 3 =

? 1

h + 2

? 5

h + 2 ? 7

= 2h

2 2

a a 1 3 1

1 3 1

2 1 6

量子力学思考题及解答

1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

曾量子力学题库(网用).

曾谨言量子力学题库一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉核对：项朋）证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海）（1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明：（1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

量子力学习题集及解答

目录第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)

第一章量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏）当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★）其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下：因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。答：QM 原理一描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而物理量 A 在中出现的几率与 C i 成正比。原理三一个微观粒子在直角坐标下的位置算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证： 2 2

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密算符。 7、已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任何一个本征态，2 =???p x 。 12、某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式

周世勋量子力学习题及解答

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5：x=0，取：x=4.97， xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = e p E μ22 = E=pc p h =λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ=

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曾谨言量子力学题库一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

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2.1 如图所示左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解分别为（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以为零由波函数的连续性得得解得由概率流密度公式入射反射系数透射系数（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得两个方程解反射系数透射系数（二）的情形令,不变此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零（1）粒子从左向右运动得得解得入射反射系数透射系数 (2)粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得方程由于全部透射过去，所以反射系数透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示（1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得所以波函数（2） ∞∞ 左中右 0 x 显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得当，为任意整数，则当，为任意整数，则综合得 ∴ 当时，，波函数归一化后当时，，波函数归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集一、填空题 1．设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2．索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ηωn ）。 3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4．三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5．动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8．设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（粒子的几率密度），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ）。 9．波函数ψ和ψc 是描写（同一）状态，δψi e 中的δi e 称为（相因子）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10．定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是（ 21E E = ），这时几率密度和（几率密度）都与时间无关。 12．（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。 13．（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15．粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

量子力学课后习题答案

第一章绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ，及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ，令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为

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高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符

()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。解：矢量函数在旋转变换下后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h

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量子力学习题及解答第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

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第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。（22 x e dx /∞-α-∞ = α?）解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω

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