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2019上海高三数学虹口一模

(

上海市虹口区 2019 届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）

5n +1 - 3n

1. 计算： lim

n →∞ 5n + 4n

2. 不等式 > 2 的解集为

x - 1

3. 设全集U = R ，若 A = {-2, -1,0,1,2}， B = {x | y = log (1- x)} ，则 A I ( B) =

4. 设常数 a ∈ R ，若函数 f ( x ) = log ( x + a) 的反函数的图像经过点 (2,1) ，则 a =

5. 若一个球的表面积为 4π ，则它的体积为

6. 函数 f ( x ) = x + 8

， x ∈ [2,8) 的值域为

7. 二项式 ( x + 2

)6的展开式的常数项为

8. 双曲线 x 2 y

- = 1 的焦点到其渐近线的距离为

4 3

9. 若复数 z = sin θ cos θ i - 1 i

（ i 为虚数单位），则 | z | 的最大值为

10. 已知 7 个实数1 、 -2 、 4 、 a 、 b 、 c 、 d 依次构成等比数列，若成这 7 个数中任取 2

个，则它们的和为正数的概率为

11. 如图，已知半圆 O 的直径 AB = 4 ， V OAC 是等边

三角形，若点 P 是边 AC （包含端点 A 、C ）上的动点，

uuur uuur

点 Q 在弧 BC 上，且满足 O Q ⊥ OP ，则 OP ? BQ 的最

小值为

12. 若直线 y = kx 与曲线恰 y = 2|log 2 x +2)| - | x - 1| 有两个公共点，则实数 k 取值范围为

二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）

13. 已知 x ∈ R ，则“ | x - 1 2

| < ”是“ x < 1 ”的（）条件

3 3

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

14. 关于三个不同平面α 、 β 、 γ 与直线 l ，下来命题中的假命题是（

）

A. 若 α ⊥ β ，则 α 内一定存在直线平行于 β

15.已知函数f(x)=ax2-x+1，g(x)=?x,-1

?1,x≥1

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)U(0,1)

C.(-∞,-)U(1,+∞)

D.(-∞,0)U(0,2)

222

B.若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β

C.若α⊥γ，β⊥γ，αIβ=l，则l⊥γ

D.若α⊥β，则α内所有直线垂直于β

?-1,x≤-1

零点，则实数a的取值范围为（）

16.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线C上，在V E FP中，若sin∠EFP=μ?sin FEP，则μ的最大值为（）

A.23

B. C. D.3

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线P A的中点.

（1）求该圆锥的侧面积与体积；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小.

18.已知函数f(x)=1-

a x+1+a

(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.

（1）求实数a的值及函数f(x)的值域；

（2）若不等式t?f(x)≥3x-3在x∈[1,2]上恒成立，求实数t的取值范围.

20.设椭圆Γ:+y2=1，点F为其右焦点，过点F的直线与椭圆Γ相交于点P、Q.

19.某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB=AD=2(km)，BC=3(km)，CD=1(km).

（1）求的AC长度及原棚户区建筑用地ABCD的面积；

（2）因地理条件限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了增加

棚户区建筑用地面积，请在弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形APCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值.

（1）当点P在椭圆Γ上运动时，求线段FP的中点M的轨迹方程；

（2）如图1，点R的坐标为(2,0)，若点S是点P关于x轴的对称点，

求证：点Q、R、S共线；

（3）如图2，点T是直线l:x=2上任意一点，设直线PT、FT、QT的斜率分别为k

、k、k

FT QT

，求证：k

、k

成等差数列.

；

21. 对于 n (n ∈ N * ) 个实数构成的集合 E = {e , e ,L e } ，记 S = e + e + L + e . 已知由

2 n E 1 2 n

n (n ∈ N * ) 个正整数构成的集合 A = {a , a ,L , a } (a < a < L < a , n ≥ 3) 满足：对于任意

2 n 1 2 n

不大于 S 的正整数 m ，均存在集合 A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于 m .

（1）试求 a 、 a 的值；

（2）求证：“ a 、 a 、L 、 a 成等差数列”的充要条件是“ S =

1 2 n A

1 2

n (n + 1) ”

（3）若 S = 2018 ，求证： n 的最小值为 11；并求 n 取得最小值时， a 的最大值.

210.

5+1

3π；（2）

arccos 18.（1）a=3，值域(-1,1)；（2）t≥

19.（1）AC=7，面积为23；（2）93

参考答案

一.填空题

1.5

2.(1,2)

3.{1,2}

4.8

5.4π

6.[42,9)

7.608.3

711.2

二.选择题

13.A14.D15.B16.C

三.解答题

12.(-∞,0]U{1}

17.（1）8π，832

20.（1）(2x-1)2+8y2=2；（2）略；（3）略.

21.（1）a=1，a=2；（2）略；（3）略.