(完整)东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10

一、填空题（本题20分，每小题4分）

1．已知==??

?

??-+∞→a a x a x x

x ，则9lim

2．设函数?????>+≤+=1

1

12)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017

=-+x x 共有 个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2

的曲率最大。

5．

?=20sin π

xdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）

（A ）若a x n n =∞

→2lim ，a x n n =+∞

→12lim ，则a x n n =∞

→lim ；

（B ）发散数列必然无界；

（C ）若a x n n =-∞

→13lim ，a x n n =+∞

→13lim ，则a x n n =∞

→lim ；

（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。 （A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；

（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3．函数?=

x

a dt t f x F )()(在][

b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）

（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。

4．设?-+=2242

cos 1sin π

πxdx x x M ，?-+=22

43)cos (sin π

πdx x x N ，?--=22432)cos sin (π

πdx x x x P ，则必有关系式（ ）

（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）。

（A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。

6．直线3

7423z

y x L =-+=-+：

与平面3224=--z y x ：

π的位置关系是（ ） （A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。

6．微分方程x

x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）

(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x

x e c x b ae y 32)(*++=；

（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) x

x cxe e b ax y 32)(*++=

三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算

?++4

.1

22dx x x

2．求

dx x x x

?

++5

42

3．设???-=+=t

t y t x arctan )1ln(2，求2

2dx y d 。 4．求??

???

?

+

-∞→)11ln(lim 2

x x x x 。 四、解答下列各题（每小题7分，共21分）

1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。

2．计算由椭圆122

22=+b

y a x 所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。

3*．在由平面0232=+-+z y x 和平面03455=+-+z y x 所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点)1,3,4(0-M 。

3．在曲线上每一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为2

2xy ，且曲线过点)2,1(0M 。求此曲线方程。

五、（7分）设函数)(x f 在[]30，

上连续，在（0，3）内可导，且有?=1

)3()(31f dx x xf 。试证：必有)3,0(-∈ξ使ξ

ξξ)

()(f f -

='。

答案 一、1.ln3；2.a =-1,b =2；3.1；4.a

b

2-

；5.1. 二、1.A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.C ；6.A.

三、1.322；2.C x x x ++-++)2arctan(2)54ln(212

；3.t t 412+；4.2

1.

四、1. R r R H 36

,3

1=

=

，R V 3

34max π=

；2.234ab π； 九、高等数学试题 2006/1/10

一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]

（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 2.设函数f (x )在U (x 0，δ)内有定义，对于下面三条性质：

① f (x )在x 0点连续；② f (x )在x 0点可导；③f (x )在x 0点可微. 若用“P ? Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ]

(A) ②?③?①；(B) ②?①?③；(C)③?①?②； (D) ①?②?③。 3.曲线x

x

y -=

3[ ] (A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。

4.设函数 f (x )在[a ,b ]上有定义，则

?b

a dx x f )(存在的必要条件是[ ]

(A) f (x )在[a ,b ]上可导；(B) f (x )在[a ,b ]上连续；(C) f (x )在[a ,b ]上有界；(D) f (x )在[a ,b ]上单调。 5. y = y (x )是微分方程y " + 3y '=e 2x 的解，且y '(x 0) = 0，则必有[ ] (A) y (x )在x 0某邻域内单调增加； (B) y (x )在x 0某邻域内单调减少； (C) y (x )在x 0取极大值；(D) y (x )在x 0取极小值.

6.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数是[ ]

(A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1-; (D) x cos 1+.

二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）

1.．

________)1

1(

lim =-+∞

→x

x x x 2.=+

=x x

x f 的可去间断点是111)(__________.

3.______________,1arctan ==dy x

y 则设　. 4.的值是dx xe x

?-10_________.

5.．________sin tan lim

20=-→x

x x x x 6.

.________,~sin 02=α→α

+则时，x x x x 7.

.____________)3)(2(0

=++?

+∞

x x dx

8..____________,32223

2=???-=-=dx

y

d t

t y t t x 则设

9.._________________1)1(41

==-=-y y y x

dx dy 的特解是满足条件微分方程

三、(8分)计算不定积分dx x

x

x ?+2

21arctan . 四、(8分)求曲线41262

3

++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程x

xe

y y y -=+'+''323的通解.

六、(10分)在[0，1]上给定函数2

x y =，问t 为何值时,如图所示 阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

七、(6分)设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数内可微在又),()(b a x f ,

)()(b f a f =且.试证:.0)(),(>ξ'∈ξ?f b a 使

一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)

二、1.2

e 2.0=x 3.dx x

dy 2

11+-

= 4.e 21- 5.31

6..25=α

7. 23

ln 8.

.)1(4322t dx y d -= 9.)ln 41(x x y -= 9*.k j i b a ρρρ

ρρ35--=?

三、2211

arctan ln(1)(arctan )22

x x x x C -

+-+

四、),(+∞-∞内为上升曲线. 所以凸区间为]2,( -∞ , 凹区间为),2[∞+ , 拐点为)12,2( .

五、)32

3

(2221x x e e C e C y x x x

-++=---.

六、1,()2t S t =

最小 所求体积为 =316

π

十、高等数学试题 2007/1/14

一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分） 1．设数列{x n }收敛，{y n }发散，则必有[ ]成立。 （A ）lim n n n x y →∞

存在； （B ）lim

n n n y x →∞

存在；（C ）lim()n n n x y →∞+不存在；（D ）lim n n n

x y →∞存在。

2.设1

1,0,()2,0,1

1sin ,0,

x e x f x x x x x ??+

==???+>?

则x = 0是f (x )的[ ]。

(A)可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点； (D) 连续点。

3.设x 在点x 0处有增量?x ，函数y = f (x )在x 0处有增量?y ，又f '(x 0) ≠ 0,则当?x →0时，?y 是该点微分d y 的[ ] (A)高阶无穷小；(B) 等价无穷小；(C) 低阶无穷小；(D) 同阶但不是等价无穷小。

4.设f (x )在(-∞, +∞)上二阶可导且为奇函数，又在(0, +∞)上f '(x 0) > 0，f ''(x 0) > 0，则在(-∞, 0)上必有[ ] (A) f '(x 0) < 0, f ''(x 0) < 0；(B) f '(x 0) > 0, f ''(x 0) > 0；(C) f '(x 0) < 0, f ''(x 0) > 0；(D) f '(x 0) > 0, f ''(x 0) < 0。

5.

设0

α=

?

，120

x dx β=?

，γ=?

，则有关系式[ ]成立。

(A)γ > α > β； (B) α > γ > β ；(C) γ > β > α；(D) β > α > γ.

二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）

1.120

lim(1sin 3)

________x

x x →+=． 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.

3.

7

222

(1)sin x

xdx π

π-+=?_________.

4.

________=．

5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________.

6.微分方程y '' + 2y ' - 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分?4 = 24分)

1.设23

21ln ,.t x t d y

y t

dx ==??=?求 2.求2011lim tan x x x x →??-

???

. 3.

求

2.

4．求微分方程(x – y )y d x – x 2d y = 0的通解.

四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.

五、(8分)在曲线上任一点M (x , y )处切线在y 轴上的截距为2xy 2, 且曲线经过点M 0(1, 2)，求此曲线的方程.

六、(8分)设2,01

(),

1,x x f x ax b x ?≤≤=?+>?适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0

()()x x f t dt ?=?，并求出

?(x )的表达式.

七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：?ξ∈(a , b )，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32

e 2.1 3.

2

π

4.2

C + 5. 0.32π 6.C 1e -3x + C 2e x . 三、1. 9. 2.13. 3.

1

2arcsin 22

x C -. 4.x

y x Ce =.

四、极大值1(1)y e =

, 拐点222,e ??

???

，面积223A e e =-，体积245134V e e π??=- ???。

五、2

221

x

y x =

-. 六、a = 2, b = -1, 3

2,1

3()1,1

3?≤??=?

?-+>??

x x x x x x ?.

十、高等数学试题 2008/1/14

一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1．数列???????+=为偶数为奇数n n

n n n

n n f 1 2)(，当∞→n 时，)(n f 是 [ ]．

(A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小． 2．设cos(2)4

y x π

=+，则()n y = [ ]．

(A) 2n 21cos[2]4n x π++

； (B) 2cos[2]4n n x π

+； (C) cos[2]2n x π+； (D) 21cos[2]4

n x π++． 3．设2sin ()sin d x t x

F x e t t π+=

?

，则()F x 为 [ ]．

(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数．

4．设y =()y x 是方程23x

y y e '''+=的解，且0()0y x '=，则()y x 在 [ ]． (A) 0x 的某个邻域内单调增加； (B) 0x 的某个邻域内单调减少； (C) 0x 处取极小值； (D) 0x 处取极大值． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 3

2sin()0x

y e

xy -+=在0x =处的切线方程是 ．

2. 一个圆锥形容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m ，则灌入水时水的体积V 对水面高度h 的变化率

为 ．

3．曲线3

2

6124y x x x =-++的拐点为 ．

4．满足微分方程初值问题20

d (1)d 1 x x y y e

x y =?=+???=? 的解为y ＝ ．

三、（7分）设 2

3, 01;2

()1, 1 2.x x f x x x

?-≤≤??=??<≤?? 试研究函数()f x 在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.

四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1.

x →.

2. 10

sin lim x

x x x →??

???

. 3.

设arctan

x y t ??=?=??， 计算22d d y x ．

4. 计算积分

ln(x x +?

． 5.

计算积分

12

d x x ． 6. 求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．

五、（7分）由曲线0y =，8x =，2

y x =围成曲边三角形OAB ，其中A 为0y =与8x =的交点，B 为2

y x =与

8x =的交点．在曲边OB 上求一点，过此点作2y x =的切线，使该切线与直线段OA ，AB 所围成的三角形面积

为最大．

六、（7分）求心形线(1cos )r a θ=+与圆3cos r a θ=所围图形公共部分. 七、（7分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足

1()()()d 01x

f x f x f t t x '+-=+?， (0)1f =.

1. 求()f x '；

2. 证明：当0x ≥时，()x

f x e -≥．

八、（4分）设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明()d ()(

)2

b a

a b

f x x b a f +≥-?

． 答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.

二、1. 113y x =

+. 2. 2425h π. 3. (2,12). 4.tan(1)4

x y e π=+-. 四、1.2. 2.1, 3. 22231d y t dx t +=-,

4. ln(x x C

5. 14

π-,

6. 1212

cos 2sin 2cos sin 39

y C x C x x x x =+++. 五. 16256

(

,)39. 六. 2

54

a π。

七。提示：两边求导解微分方程。

八．提示：()f x 在2

a b

x +=

处的一阶Taylor 公式为

十一、高等数学试题 2009/1/16

一．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）

1．f '(x 0) = 0, f ''(x 0) > 0是函数y = f (x )在x 0 = x 0处取得极小值的一个[ ]．

(A) 必要充分条件；(B) 充分条件非必要条件；(C) 必要条件非充分条件； (D) 既非必要条件也非充分条件． 2．设C 为任意常数，且F '(x ) = f (x ), 则[ ]． (A) ()()f x dx F x C =+?； (B) ()()F x dx f x C '=+?；

(C)

()()F x dx f x C '=+?； (D) ()()f x dx F x C '=+?．

3．设x →0时，(1 – cos x )ln(1 + x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比2

(1)x e -高阶的无穷小，则正整数n =[ ]． (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．

4．设函数f (x )在区间(a , b )内可导，x 1 , x 2是(a , b )内任意两点，且x 1 < x 2, 则至少存在一点ξ使的下列等式成立的是 [ ]．

(A) f (b ) – f (a ) = f '(ξ)(b – a ), ξ ∈ (a , b )； (B) f (b ) – f (x 1) = f '(ξ)(b – x 1), ξ ∈ (x 1, b )； (C) f (x 2) – f (x 1) = f '(ξ)(x 2 – x 1), ξ ∈ (x 1, x 2)； (D) f (x 2) – f (a ) = f '(ξ)(x 2 – a ), ξ ∈ (a , x 2)． 5．设函数()bx x

f x a e

=

+在(-∞, +∞)上连续，且lim ()0x f x →-∞=，则常数a , b 满足［ ］ (A)a < 0, b < 0； (B) a > 0, b > 0； (C) a ≤ 0, b > 0； (D) a ≥ 0, b < 0． 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共计1５分）

1. 已知2

1

(cos )0()0

x x x f x a

x ?

?≠=?

?=?在0x =处连续，则a = ． 2. 设函数f (x )可导，y = f (sin 2x )，则d y = ．

3．函数f (x ) = e x 的３阶麦克劳林公式为 ． 4．质点以速度t sin t 2(米/秒)

做直线运动，则从时刻1t =

(秒)

到2t =

秒)内质点所经过的路程等于＿＿＿(米)．

5．以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．

三、（８分）设函数 2

1sin 0()sin 0

x x f x x

x x

x ?>?

=??≤?，求f '(x ).

四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. lim (

arctan )2

x x x π

→+∞

-.

2.

2x ?

.

3. 设函数y = y (x )由y = 1 + xe y

确定，求22d d y

x

．

4. 设函数f (x )连续，且

310

()d x f x x x -=?

，求f (7)．

5. 4cos y y x x ''+=的通解．

五、(8分)求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0) 3

x y xy y y '''

?+=?'==?．

六、（８分）设函数,0

()1,0

x xe x f x x x -?≥=?+

(1)d f x x -?.

七、（８分）在抛物线y = – x 2 + 1(x > 0)上求一点P , 过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小．

八、(8分)设函数f (x )在[1, +∞)上连续，由曲线y = f (x ),直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为

2()[()(1)]3

V t t f t f π

=

-，

又已知2

(2)9

f =

，求f (x ). 九、（６分）设函数y =()f x 在(-1, 1)内具有二阶连续导数且()0f x ''≠， (1)证明对于(-1, 1)内任一x ≠ 0, 存在惟一的θ (x ) ∈ (0, 1),使

f (x ) = f (0) + xf '[θ (x )?x ]

成立；

(2)求0

lim ()x x θ→．

答案：一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D

二、1. 1

2

a e -

=. 2. 3

sin 2(sin )dy xf x dx '=. 3. 233()1()26x x f x x o x =++

++. 4.1

2

. 5.y ''+ 4y = 0.

三、112sin cos ,0()sin cos ,000

x x x x f x x x x x x ?->??'=+

四、1.１.

2. 2arcsin 2x C ,

3. 2223

(3)(2)y d y e y dx y -=-, 4. 1

(7)12

f = 五. y = x 3 + 3x + 1. 六.

13

22

e --。 七.

2)3P

八．3

1x

y x =

+

十二、高等数学试题 2010/01/16

一．单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）

1．x = 0是函数32sin ()||

1e

=

+

+x

x

f x x 的[ ]间断点． (A) 可去；(B) 跳跃；(C) 震荡； (D) 无穷．

2．设 f (x ) = 2x , 则2ln[(1)(2)()]

lim →∞???n f f f n n

= [ ]． (A) ln2； (B) ln 22 ； (C) 2； (D) e

2

．

3．函数sin ()e sin x t x f x tdt ππ

+-=?

，则f (x ) = [ ]．

(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 零； (D) 非常数．

4．设y 1 , y 2是二阶线性方程y " + P (x )y ' + Q (x )y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]．

(A) 12210''+=y y y y ； (B) 12210''+≠y y y y ； (C) 12210''-=y y y y ； (D) 12210''-≠y y y y ． 5．若f (x )在[a , b ]上有二阶导数，且f (x ) > 0, 能使不等式()()

()()()()

2

+-<

<-?

b

a

f b f a f b b a f x dx b a 成立的是

［ ］

(A)f '(x ) < 0, f "(x ) < 0； (B) f '(x ) > 0, f "(x ) > 0； (C) f '(x ) > 0, f "(x ) < 0； (D) f '(x ) < 0, f "(x ) > 0． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

1. 若函数1

(1)0()0

??+≠=?

?=?x

x x f x a

x 在0x =处连续，则a = ．

2. 函数

()sin 22=

-+x f x x 在(0,)2

π内的极小值为 ． 3．函数f (x )在(-∞, +∞)是可导的偶函数，且0

(3)(3)

lim 1,2→--=x f x f x

则y = f (x )在点(-3, f (-3))处的切线斜率

为 ． 4．若

4

1()2

=

?

x

f t dt x ，则f (1) =＿＿＿． 5．若f (x )在[,]22ππ

-

上连续，则222

[()()]sin π

π---=?f x f x xdx

6．若方程y ' + y tan x = -2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则0

()

lim →=x f x x

＿＿＿＿． 三、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．

1.

若2arcsin 2=a x y a (a > 0), 求dy dx

. 2. 求极限2

3

1

lim(sin )→∞

-x x x x

.

3. 计算不定积分2

(arcsin )?

x dx ．

4.

计算定积分

50

?

x ． 5

．若3

3,, x t y t ?=???=?，求224

π

=t d y dx

6．如果y = f (x )

满足()?=

+?y x o x ，且f (1) = 1, 求f (x )．

四、(8分)摆线(sin ),

(1cos ),=-??

=-?

x a t t y a t (a > 0)的第一拱(0 ≤ t ≤ 2π), 求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与x 轴围成的平面图

形绕x 轴旋转一周所得立体的体积．

五、（８分）若? (x )连续，且满足方程0

()e ()()???=+-?

?x x

x x t t dt x t dt ，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程

初值问题；(2)求? (x ).

六、（4分）若f (x )在[0, a ]上连续，且

()0=?

a

f x dx ，证明至少存在一点ξ∈(0, a )，使得0

()()0ξ

ξ+=?f f x dx .

答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.D. 5. D

二、1. e . 2.

6

π

. 3. 2. 4.2. 5.0 6. -2. 三、

1. 2. 16,

3. 2(arcsin )2+-+x x x x C ,

4.6,

5. 4

3

6.

十三、高等数学试题 2011/01/14 一．单项选择题 1．x = 0是函数(1)sin ()||

+=

x x

f x x 的[ ]间断点．

(A) 可去；(B) 跳跃；(C) 震荡； (D) 无穷． 2．下列结论中，正确的是[ ]

（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 3．设C 1, C 2是任意常数， 则函数y = C 1e x + C 2e -2x + x e x 满足的微分方程式[ ]．

(A) y " + y ' - 2y = 3e x ； (B) y " + y ' - 2y = 3x e x ； (C) y " - y ' - 2y

． 4．设函数设f (x )在(-∞, +∞)内连续，其导函数f '(x )(A) 一个极小值点和两个极大值点； (B) 两个极小值点和一个极大值点； (C) 三个极小值点和一个极大值点； (D) 两个极小值点和两个极大值点．

5．设f (x )连续，f (0) = 0, f '(0) ≠ 0, 220

()()()x

F x x t f t dt =-?

, 且当x → 0时，F '(x )与x k 是同阶无穷小， 则k = [ ］

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4． 二、填空题

1. 设y = ln x , y (n )(1) = ．

2.

x dx = ．

3．

121

(cos )x x xdx -+=?

．

4．位于y 轴右侧，x 轴上方，曲线2

1

1y x =

+下方的平面图形的面积为＿＿＿． 5．水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受到的

水压力为＿＿＿＿． 三、计算下列各题

1.

求极限0

x →. 2. 求函数. ln(1),0,

()sin ,

0,x x f x x x -

≥?的导数. 3. 2ln(1),()arctan ,x t f x y t t ?=+=?=-?求221

t d y

dx =．

4. 确定曲线20

()(1)(2)dt x f x t t =--?

的凹凸区间与拐点．

四、求下列积分 1．2cos dx x x ?

2

．

10

x ?

．

五、解微分方程

1.求解初值问题32,

(1)1,(1)2,

xy y x y y '''?-=?'==?

2．求32sin y y y x '''-+=的通解.

六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高 七、设f (x )在[0, 1]上可微，且2

1

120

(1)2

e ()x

f f x dx -=?

，证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得()2()f f ξξξ'=.

答案：一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C

二、1. 1

(1)

(1)!n n ---. 2. arcsine x + C . 3.

23. 4. 2

π

. 5. 24g(KN). 三、1. 34. 2. 1

,0,()1cos ,0,

x f x x x x ?

'=-??>?, 3. 12, 4.拐点41124(,),(2,)3813-

- 四、1. 2

sin 2cos 2sin x x x x x C +-+. 2.

32

π

五、1. 421424x x y =

++. 2. 21231

e e cos sin 1010

x x y C C x x =+++ 六、max 324,813

V h π==。

十四、高数2012/01/09 一、单项选择题

1．若f (x )在(-∞，+∞)内可微，当?x → 0时，在任意点x 处的?y - d y 是关于?x 的[ ] (A)高阶无穷小； (B)等价无穷小；(C)同阶无穷小；(D)低阶无穷小。

2．1

5|1|

11lim

1

x x x e x -→-- (A)等于5； (B)等于0；(C)为+∞；(D)不存在但不为∞。 3．0tan (1cos )

lim

2ln(12)(1)

x x a x b x c x d e -→+-=-+-，其中a 2 + c 2 ≠ 0, 则必有 (A)b = 4d ； (B) b = -4d ；(C) a = 4c ；(D) a = -4c 。

二、计算

1．求星形线33

cos ,sin ,

x a t y a t ?=?

?=??在6t π=时的切线方程。

2

．求

?

(a > 0)。

3．求2

2

4

0cos lim

x x x e x -

→-。

4．求解初值问题00|,

t dy

ky

dt y y =?=???=?。

5．设f (x ) ∈ C [-a , a ] (a > 0), 证明：

()[()()]a

a

a

f x dx f x f x dx -=+-?

?，并计算44

1sin dx

x π

π

-+?。

6．确定常数a 和b ，使得当x → 0时，f (x ) = x – (a + b cos x )sin x 是关于x 的5阶无穷小。 7

．求序列L

L 的最大项。

三、计算由椭圆22

221x y a b

+=所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的椭球体的体积。

四、函数210()0

x e

x f x x -??

≠=??=?，判断函数f (x )在x = 0处是否可导，如不可导请给出理由；如可导，请求出一阶和二阶导数，并对n (n ≥ 3)阶导数值给出猜测。

五、设物体A 从点(0，1)出发以常速度v 沿y 轴正向运动，物体B 以常速度2v 从点(-1，0)与A 同时出发，方向始终指向A ，建立物体B 运动轨迹所满足的微分方程。

六、证明：对于每个正整数n ，2121

222121()135(21)()n n n n n e e

-+-+

≥ 0。

八、对任意一个定义在[0, 1]上的连续函数f (x )，定义1

20

()()A f x f x dx =?

，1

20

()(())B f x f x dx =?，求f (x )取遍所

有连续函数时，A (f ) – B (f )的最大值。 答案

一、1.A; 2.C; 3.D. 二、

1. ()838a y x a -

=--；

2. ln(x C +；

3. 112

-；4. 0kt y y e =；5.2；6. 41,33a b =-=；

7.

三、2

43ab π。四、()(0)(0)(0)0n f f f '''====L

。五、20(1)0,(1)1

xy y y ?''+=??'-=-=??。

六、1

ln[135(21)]ln(21)n

i n i =????-=

-∑L

21

211

3

1

ln ln(21)ln n

n n i xdx i xdx -+=<-<∑?

?

七、因f (x )是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，则存在最小值，设为f (x 0)。 若f (x 0) < 0，因为f (x 0)为最小值，则f ''(x 0) ≥ 0，故f (x 0) - f ''(x 0) < 0, 矛盾 八、1

1

2

2

()()[()(())]()[()]A f B f x

f x x f x dx xf x x f x dx -=

-=-??

31

1200()()1

(

)2416

f x x f x x x dx dx +-≤==??。 十五、高数2013/01/08

一、单项选择题

1．当x → 0时，下列4个无穷小中比其它3个更高阶的无穷小是[ ] (A) ln(1)x +； (B) e 1x

-；(C) tan sin x x -；(D) 1cos x -。

2．设321()3

1

x x f x x x ?≤?

=??>?

，则f (x )在x = 1处[ ]

(A)左、右导数都存在； (B) 左导数存在，但右导数不存在； (C) 右导数存在，但左导数不存在； (D) 左、右导数都存在。 3．设C 为任意实数，F '(x ) = f (x ), 则下列各式中正确的是[ ] (A) ()()F x dx f x C '=+?； (B) ()()f x dx F x C =+?；

(C)

()()d

f x dx f x C dx =+?

；(D) ()()f x dx F x C '=+?。

4．方程e e 4cos x

x

x -+=+在(-∞, +∞)内[ ]

(A)无实根；(B)有且仅有一个实根；(C) 有且仅有两个实根；(D) 有无穷多个实根。 5．微分方程y " + y = sin x 的一个特解的形式为[ ]

(A) sin Ax x ；(B) cos sin A x B x +；(C) cos sin Ax x B x +；(D) cos sin Ax x Bx x +。 二、填空题

1．已知1

1sin sin 0()0

x x x f x x x

b x ?+≠?

=??=?

在0x =处连续，则b =

2．曲线y = ln x 在点 处的切线平行于y = 2x - 3. 3．已知F (x )是sin x 2的一个原函数，则2

(())d F x = 4．微分方程10250y y y '''-+=的通解是 。

5．设()lim x

x x t f x t x t →∞

+??

= ?-??

，则(0)f ''= 。

三、计算题 1．求2

2

ln sin lim

(2)

x x

x π

π→

-。 2．设33

cos sin x a t y a t ?=?=?

，求22d y dx 。 3．已知方程22

1

cos y x

x x

t x e dt tdt ++-=?

?

确定函数y = y (x )，求

x dy

dx

=。

四、计算积分 1．求2cos x xdx ?。

2

．求

1dx 。 五、求曲线2

1

y x x

=+

的凹凸区间、拐点及渐近线。 六、一密度为2.5?103（单位：kg/m 3），底半径为r (单位：m)，高为h(单位：m)的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。

七、设函数f (x )满足方程2

()3()6xf x f x x '-=-，且由曲线y = f (x )，直线x = 1与x 轴围成的平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D 的面积。 八、设函数f (x )在[0, 1]上非负连续，证明：

(1)存在0(0,1)x ∈，使在0[0,]x 上以f (x 0)为高的矩形面积S 1等于在0[,1]x 上以y = f (x )为曲边的曲边梯形面积S 2。 (2)若函数f (x )在(0, 1)内可导，且2()

()f x f x x

'>-，则(1)中的x 0是唯一的。 答案

十六、高数2014/01/13

一 单项选择题（每小题4分，共24分） 1 若函数)(x f 满足

)()('x f e x f =，且1)0(=f ，则 =)0()(n f （ ）.

A: n

e n ?-)!1(, B: n

e n ?!, C: 1

)!1(-?-n e

n , D: 1

!-?n e

n .

2 对于积分 2sin sin 0(2

2),x

x I dx π

-=-? 则 I （ ）.

A ：=2π B: 0= C ：0< D ：0> .

3 设 ??

?

??<-+≥=111)(,,2

3

x x x x x x f ，则)(x f 在]20[，上满足的Lagrange 中值定理的ξ =（ ）.

A ：

23, B ： 47, C ：23 或4

7, D ：23± 或4

7

. 4

极限=+?→)

1ln(1

)sin (lim x x x x x （ ）.

A ：61e

B ：6

1-e C ：3

1-e

D ：3

1e

5 若)(x f 连续，且

?

->0

1

0)(dx x xf , 1

()0xf x dx >?, 则（ ）.

A ：当)1,1(-∈x 时，0)(

B ：当)1,1(-∈x 时，0)(>x f ，

C ：)(x f 在)1,1(-至少有一个零点. D: )(x f 在)1,1(-必无零点.

6 若函数 dt t f x t x F x

)()2()(0

?-=

?

， 其中)(x f 在)1,1(-二阶可导，

并且0)('>x f ，当)1,1(-∈x 时, 则（ ）.

A: )(x F 在0=x 取极大值 ; B: )(x F 在0=x 取极小值 ;

C: )(x F 在0=x 不取极值 , 点)0,0(也不是曲线)(x F y =的拐点；

D: )(x F 在0=x 不取极值, 但是点)0,0(是曲线)(x F y =的拐点.

二 填空题（每小题4分，共24分） 7 函数

32()61f x x x =-+ 在(1,1)x ∈-的极大值是 （

）.

8 反常积分

=-?

∞

dx x x 2

1

1（ ）.

9 曲线2

2

)3(-=x k y 在拐点处的法线经过原点，则常数=2

k （ ）.

10 曲线

?=x

tdt y 0

tan 位于4

0π

≤≤x 的弧长是（ ）.

11 若(),()f x g x 在(,)-∞+∞连续，且 2

()()10,g x f x dx x ?

=?

则

1

2

()()g x dx f x dx ?=?

? （ ）.

12 若二阶常系数线性非齐次方程 )('"x f qy py y =++ 的三个解是：

)(21x x e e x y --+=，x x e xe y 22--+=，x x e x xe y 23)1(--++=，

则q p 42

-＝（ ）.

三 解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）

13 （8分）求)

sin(1

)(2x x x f ?-=π 的间断点，并指出其类型.

14 （8分）若()f x 非负连续，且40

()()sin ,x

f x f x t dt x ?

-=?

求()2

f π

的值.

15

（8分） 确定ξ,,b a 的值，使得x x b x a x x f 22

34)(2

34+++=

在2-=x 处 取极值，在ξ=x （2-≠ξ）处使0)('=ξf ，但)(ξf 不是极值.

16 （8分）求解二阶初值问题：??

?

?

???

==+=+0)0('0)0()2cos (214"y y x x y y .

17 （8分）设

2

11,0

()0,t x e dt x f x e x --?≥?=??

?,

计算

dx x f x )1()1(0

2

2++?

-.

18 （8分）求在上半平面由曲线

x =22y x =-和y x =-所围成

的平面图形，

（1）面积,（2）围绕

y 轴旋转一周的立体体积.

19 （4分）若x ∈[0，1]时，"()0f x >，证明：对任意正常数α，

1

1

()(

)1

f x dx f αα≥+?

.

参考答案

一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8:

2π, 9: 32

1, 10: )12ln(+, 11: 5, 12: 0. 三

13 间断点是 k x =, (k 是整数) ,……….. 2分

ππππ2

cos 2sin 1lim lim 121-=?=-→→x x x x x x ,…..x=1是第一类(可去)间断点…. 4分,

ππππ2

cos 2sin 1lim lim

121=?=--→-→x

x x x x x ,….. x= -1是第一类(可去)间断点…..6分, ∞=-±≠→x

x k k x πsin 1

2)1(lim ,….. k x = 1(±≠k )是第二类(无穷)间断点 ….. 8分. 14 解 0

()()x

x

f x t dt x t u

f u du F x --=?

?

Q

记为（）

, ……… 2 分 则'()()F x f x =, 于是

440

()()sin '()()sin x

f x f x t dt x F x F x x ?

-=???=?

，

24

()2sin ()dF x xdx F x ∴=??=4分

4()'()f x F x ∴= ……………………6分

取 ,2

x π

=

则4

sin ()2f π

π==

=

… 8分 15 解 显然 2)('2

3

+++=bx ax x x f …………… 1分 由题意知道 2

)()2()('ξ-?+=x x x f ……. 4分,

比较 22

3+++bx ax x 2

)()2(ξ-?+≡x x , 则

1,4,2222=-=+-=ξξξξb a ,

301-===?????b a ξ……. 6分 , 541==-=??

?

??b a ξ…………8分 .

16 解 特征方程 042

=+r , i r 22,1±=,

齐次方程 04"=+y y 的通解是x C x C y h 2sin 2cos 21+= ……… 2分 显然非齐次方程 x y y 214"=+ 的特解8

1x

y p =, ……. 3分 非齐次方程 x y y 2cos 2

1

4"=

+ 的特解)2cos 2sin (2x b x a x y p +=, 不难求出0,81==b a , 则 x x

y p 2sin 8

2= ……………. 4分

原方程通解为 x x

x x C x C y 2sin 8

82sin 2cos 21+++= …….6分

代入??

?

?? 0

'0,

0===y y x , 则 01=C , 1612-=C , 所求初值问题是

x x

x x y 2sin 8

82sin 161++-=,……………………… 8分 17

dx x f x )1()1(0

2

2++?

-

t x =+1令 dt t f t ）（?-1

12 ……………. 2分

=

）（）（3

3

1

1

1

2

t d t f dt e t

?

?+-- ………… 4分

= +e

31?---1031032313dt e t t f t t ）（）（ =

）

（21

026

1031t e d t e -?-+ = 10

10222616131t t e e t e ---- = 6

1

. ………. 8分

18 解

2

2y x

x =-??=?，交点 A (1, 1)，

22y x y x =-??=-?

交点B （-1，1） …………….2 分

(1) 1

2

1

1512(2)022A x dx x dx -=

--=-?? ………………..6分 (2) 1

1

2

30

2(2)2y

V x x dx x dx ππ=--?? = π ………8分.

（ 或 12

1

(2)y

V ydy y dy πππ

=+-=?? …….8分）

19 证明(法1) 利用Taylor 定理

211111()()'()()"()()1112!1f x f f x f x ξαααα=+-+-++++Q 111

()'()()111

f f x ααα≥+-+++ ………. 2分

()f x α

∴≥111()'()()111

f f x αααα+-+++ ……….. 3 分

1

1

10

01111

()(

)'()()().1111

f x dx f dx f x dx f αααααα≥+-=++++?

??……4分

证明 (法2) 左-右=

11110

1

11[()(

)][()()]11f x f dx f x f dx αααααα++-+-++?

? =11110

1

11'()()'()()11f x dx f x dx α

αααξηαα++?

-+?-++?

?， 01ξη<<<，

= 2

(1)1

['()'()](1)

f f αααηξα++-?-+ =

2

(1)1

''()()0(1)f αααδηξα++-?-≥+ .

东北大学历年期末高等数学试题

八、高等数学试题 2005/1/10 一、填空题（本题20分，每小题4分） 1．已知==?? ? ??-+∞→a a x a x x x ，则9lim 2．设函数?????>+≤+=1 1 12)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。 3．方程017 =-+x x 共有 个正根。 4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2 的曲率最大。 5． ?=20sin π xdx x 。 二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ） （A ）若a x n n =∞ →2lim ，a x n n =+∞ →12lim ，则a x n n =∞ →lim ； （B ）发散数列必然无界； （C ）若a x n n =-∞ →13lim ，a x n n =+∞ →13lim ，则a x n n =∞ →lim ； （D ）有界数列必然收敛。 2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。 （A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ； （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3．函数?= x a dt t f x F )()(在][ b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ） （A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。 4．设?-+=2242 cos 1sin π πxdx x x M ，?-+=2243)cos (sin π πdx x x N ，?--=22 432)cos sin (π πdx x x x P ，则必有关系式（ ） （A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。 5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）。 （A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。 6．直线3 7423z y x L =-+=-+： 与平面3224=--z y x ： π的位置关系是（ ） （A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。 6．微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ） (A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x x e c x b ae y 32)(*++=；

下册东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期 试题 一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0) 3dz dx dy =-； (B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-； (C)曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)； (D) 曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1) 2. 设1 0 (1,2,)n u n n ≤< =L ，则下列级数中必收敛的是[ ] (A)1 n n u ∞ =∑； (B) 1 (1)n n n u ∞ =-∑； (C) 1 n ∞ = (D) 21 (1)n n n u ∞ =-∑. 3. 如果81 lim 1=+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞ =03n n n x a [ ] (A) (B) (C) (D) . 4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω ++???= [ ] . (A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52 5 a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 . 2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 . 3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

东北大学高数试题上

一、高等数学试题 2007/1/14 二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分） 1.120 lim(1sin 3) ________x x x →+=． 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)共有______个根. 3. 7 222 (1)sin x xdx π π-+=?_________. 4. ________dx =． 5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________. 6. 幂级数0!n n n n x n ∞ =∑的收敛半径R = . 三、计算题(6分?4 = 24分) 1.设23 21ln ,.t x t d y y t dx ==??=? 求 2.求201 1lim tan x x x x →??- ?? ?. 3. 求 2. 4．已知 ,2) 1(1 1 =-∑∞ =-n n n u ,51 1 2=∑∞ =-n n u 求1 n n u ∞ =∑ 四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所 围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数3 41 )(2 ++= x x x f 展开成(x -1)的幂级数．并给出收敛域。 六、(8分)设2,01 (), 1,x x f x ax b x ?≤≤=?+>?适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0 ()()x x f t dt ?=?，并求 出?(x )的表达式. 七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：?ξ∈(a , b )，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32 e 2.1 3.2 π 4.2 (arctan C + 5. 0.32π 6.e. 三、1. 9. 2. 13. 3. 1 2arcsin 22 x C -. 4.8. 四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ?? ??? ，面积223A e e =-，体积245134V e e π??=- ???。 五、2 221 x y x = -.

大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

东北大学汇编期末试题

汇编语言程序设计试题 注意：本试卷的一、二大题的答案涂在答题卡上，三、四、五、六大题的答案答在答题纸上。并且要正确地书写站点、班级、学号及姓名。 一、单项选择题（从四个备选答案中选出一个正确的答案涂在答题卡上）（20分） 1. 指令MOV AL，100H[SI]的源操作数的寻址方式为（）。 A. 基址寻址 B. 寄存器间接寻址 C.变址寻址 D.基址变址寻址 2．确定下列哪些数据在汇编语言中的表示是合法的（）。 A. AL+3 B. 25D AND 36H C. 108Q D. 102B 3．若栈顶的物理地址为20100H，当执行完指令PUSH AX后，栈顶的物理地址为（）。 A. 20098H B. 20102H C. 200FEH D. 20100H 4. JMP WORD PTR[SI] 的目标地址偏移量为（）。 A. SI的内容 B. SI所指向的内存字单元的内容 C. IP+SI的内容 D. IP+[SI] 5. NEXT是程序中某指令语句标号，下述哪个程序段不能实现转移到NEXT语句执行（）。 A. JMP NEXT B. MOV BX，OFFSET NEXT JMP BX C. MOV BX，NEXT D. LEA AX，NEXT JMP BX JMP AX 6. 已知AX=8065H，BX=103AH，则指令ADD BL，AL执行后，OF和CF的值分别为（）。 A. 0，0 B. 0，1 C. 1，0 D. 1，1 7. 已知AL，BX中各存放一个带符号数，计算AL*BX的积,用下述程序段（）。 A. XOR AH，AH B. CBW MUL BX MUL BX C. XOR AH,AH D. CBW IMUL BX IMUL BX 8. 当CX=0时，REP MOVSB执行的次数为。 ( ) A. 1次 B. 0次 C. 25535次 D. 25536次 9. 已知CALL DWORD PTR[BX]执行前SP=100H, 执行后SP的内容为 ( ) A. 0FEH B. 0FCH C. 104H D. 96H 10. 下面各组语句在语法上正确的是（） A. X EQU 100 B. X EQU 100 X EQU X+X X = X+X C. X = 100 D. X = 100 X EQU X+X X = X+X

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

东北大学离散数学复习总结(满分版)

方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用

4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S

R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式

量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁ ”，则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)； 4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。 简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.

东北大学高数试卷及答案2006.1.10

东北大学高等数学(上)期末考试试卷 2006.1. 一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ） （A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛； （C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调. 2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠)(x f 在0x 点连续；≡)(x f 在0x 点可导；≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ?”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（ ）. （A ）≡?≈?≠； （B ）≡?≠?≈ ； （C ）≈?≠?≡ ； （D ）≠?≡?≈ . 3. 曲线3x y x = -（ ）. （A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B ）仅有水平渐近线； （C ）仅有垂直渐近线； （D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()b a f x f x dx = ? 存在的必要条件是（ ） （A ）)(x f 在[,]a b 上可导； （B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续； （C ）)(x f 在[,]a b 上有界； （D ）)(x f 在[,]a b 上单调. 5．()y y x =是微分方程23x y y e ''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（ ） （A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加； （B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少； （C ）()y x 在0x 取极大值； （D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（ ）. （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x -； （D ）1cos x +. 二、填空题（本题36分，每小题4分） 1．1lim 1x x x x →∞+?? = ?-?? . 2．1()11f x x = + 的可去间断点是x = .

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

高等数学期末考试题与答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定

可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

(完整word版)大一高数期末考试试题.docx

2011 学年第一学期 《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.

本页满分 36 分 本 页 得 一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2． 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（ （ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（ ） . ) 内零点的个数为（ 个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（ ）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）

东北大学网络教育入学测试机考模拟题高起点 数学

东北大学网络教育入学测试机考模拟题 高起点数学 1、题目B1-1:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 2、题目B1-2:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 3、题目B1-3:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 4、题目B1-4:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 5、题目B1-5:(3)( )

A.A B.B C.C D.D 标准答案:A 6、题目B1-6:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 7、题目B1-7:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 8、题目B1-8:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 9、题目B1-9:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 10、题目D1-1(3)( )

A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 11、题目B1-10:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 12、题目D1-2(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 13、题目B1-11:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 14、题目D1-3(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 15、题目D1-4(3)( )

A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 16、题目D1-5(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 17、题目D1-6(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 18、题目D1-7(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 19、题目D1-8(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 20、题目D1-9(3)( )

(精选)大一高数期末考试试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .