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小学数学《行程问题》练习题(含答案)

小学数学《行程问题》练习题（含答案）

行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现．行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等，思维灵活性大，辐射面广，但万变不离根本，就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度×时间 .在这三个量中，已知两个，可求出第三个未知量．这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.

解决行程问题时，画图分析是一个非常有效的方法，我们一定要养成画图解决问题的好习惯！

你还记得吗

【复习1】甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地间的距离是多少千米?

分析：画图分析.相遇时甲车比乙车多行：32×2=64(千米)，甲车每小时比乙车多行：56-48=8(千米)，甲、乙两车从同时出发到相遇要：64÷8=8(小时)，东、西两地间的距离是：(56+48)×8=832(千米).

【复习2】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反

向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D

离B有60米，求这个圆的周长.

分析：从A点出发到第一次相遇，两人共走了0.5圈；从A点出发到第二次相遇，两人共走了1.5圈。因为1.5÷0.5＝3，所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的3倍，即

弧ACD=AC×3=240（米），则弧AB=240—BD=180（米），圆周长为180×2=360（米）

【复习3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

分析：在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.

环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.

平均速度

【例1】汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？

分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）.

【前铺】汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后立即以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.

分析：注意平均速度=总路程÷总时间，我们可以把上山的路程看作“1”，那么就有：（1+1）

÷（11

3060

）=40（千米／时），在这里我们使用的是特殊值代入法，当然可以选择其他

方便计算的数值，比如上山路程可以看作60千米，总时间=（60÷30）+（60÷60）=3，总路程=60×2=120，平均速度=120÷3=40（千米/时）.

【例2】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？

分析：假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），

爬行一周的平均速度=200×3÷19=

（厘米/分钟）.

【例3】老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米／时；从

B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千

米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车

从A到D共需要多少时间？

分析：设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x ÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）.

沿途数车

【例4】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路

公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超

过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?

分析：假设小明在路上向前行走了63（7、9的最小公倍数）分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，所以发车的时间间

隔为：63×2÷（9+7）=

（分）.

公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的. 根据每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：间隔=9×（车速-步速）；每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔=7×（车速+步速），所以9×（车速-步速）=7×（车速+步速），化简可得：车速=8倍的步速.

【巩固】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米／时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车. 到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆. 如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少?

分析：我们可以假设小红放学走到家共用99分钟，那么条件就可以转化为：“每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来，每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他”.

根据汽车间隔一定，可得：间隔=11×（车速-步速）=9×（车速+步速），化简可得：车速=10倍的步速.

所以车速为40千米/时.

【例5】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟. 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站. 他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站. 在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出. 问他从乙站到甲站用了多少分钟？

分析：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出. 骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5×8=40（分钟）.

猎狗追兔

【例6】一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3

米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔

子跑出多远将被猎狗追上？

分析：在一个单位时间里，狗跑3×3＝9（米），兔子跑4×2.1＝8.4（米），

所以兔子跑的距离为：[20÷（9-8.4）]×8.4=280（米）.

【例7】猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?

分析：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……”和“兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.

兔跑72步的时间狗跑45步，兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时间里，狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程，这个13步是猎狗的13步. 由此推知，要追上26(狗)步，兔跑了

72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).

【巩固】野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔?

分析：“野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.”讲条件转化为：“野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步，野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步.”在猎狗跑15步的时间内，猎狗比野兔多跑35-27=8（兔步）. 猎狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步）.

【例8】猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?

分析：“猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.”将条件转化为：“猎狗跑12步的时间野兔跑20步，猎狗跑12步的距离野兔要跑21步.”我们也就可以这样认为：在一个单位时间内（猎狗跑12步的时间），猎狗跑了野兔的21步，野兔跑了20步，速度差为野兔的1步.追击时间=15÷野兔的1步，所以猎狗追击的距离=（15÷野兔的1步）×野兔的21步=315（米）.

【例9】狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬. 一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568步.如果狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步?狼跑了多少步?

分析：由题目条件知，狼跑45步的时间狗跑35步，狼跑45步的距离等于狗跑36步的距离，也就是说，在相同的时间里，狼跑狗的36部，狗跑35步.所以相遇时，狼跑了：365682883635

=+（步），狗跑了：288÷9×7=224（步）.

多人行程

【例10】东、西两城相距75千米．小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑．这样往返，直到三人在途中相遇为止．问小辉共走了多少米?

分析：在这一过程中，小辉始终在小强与小明之间往返．对于确定小辉与小强或小明的每一次相遇时间和地点，是十分繁琐并且不必要的．事实上，小辉一直在以每小时15千米的速度骑行．为求出他所骑的路程，只需要求出从开始到最终相遇的时间．而这个时间只要由小强和小明的速度就可以计算．从开始到相遇的时间为：75÷(6.5+6)=6小时．6小时内小辉一共骑了15×6=90千米．

【例11】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．这花圃的周长是多少米?

分析：由已知可知，甲先与乙相遇．在甲乙相遇这段时间里，乙丙所行的路程差正是甲丙在3分钟内相向而行的路程之和：(40+36)×3=228(米)．从出发到甲乙相遇所用时间为228÷(38-36)=114(分钟)．所以，花圃的周长为(40+38)×114=8892(米)．

【前铺】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米.甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？

分析：线段示意图如右：当乙和丙相遇时，乙和甲相距：

(70+50)×2=240(米)，从3人同时出发到乙、丙相遇经

过：240÷(60-50)=24(分)，A、B两地相距：

（60+70）×24=130×24=3120(米).

附加题目

【附1】某司机开车从A城到B城. 若按原定速度前进，则可准时到达. 当路程走了一半时，

司机发现前一半行程中，实际平均速度只达到原定速度的11

，如果司机想准时到达B城，

那么在后一半的行程中，实际平均速度是原定速度的多少倍？

分析：前一半路程用去原定时间的13

，后一半路程就用去原定时间的2-

，所以实

际平均速度是原定速度的11

倍.

【附2】甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？

分析：（法１）全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000÷80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟

（法2）设走一半路程时间是x分钟，则80x+70x=6×1000，解方程得：x=40分钟，因为80×40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000÷80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟

【附3】一只快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人.这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人. 现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？

分析：（法1）快车6分钟行24×1000×6÷60=2400（米），中车10分钟行20×1000×10

÷60=

3333

（米），骑车人速度每分钟行（

3333

-2400）÷（10-6）=

700

（米）

慢车12分钟行2400-700

×6+

700

×12=3800（米），每小时行3800÷12×60=19000（米）

=19（千米）

（法2）6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6×（24-20）÷60=0.4千米，10分

钟时，中车又开了4×20÷60=4

千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了

-0.4=

千

米，即骑车人速度=1460

154

=14（千米/小时），因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原

本三辆汽车落后骑车人6×（24-14）÷60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+14×12÷60=3.8千米，所以，慢车速度=（3.8÷12）×60=19千米/小时.

【附4】设有甲、乙、丙3人，他们步行的速度相同，

骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现

甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。

出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？

分析：（法1）: 如图，甲与丙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到.

（法2）：由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短. 将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，

步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行2×3

份，总步行4-

份；

乙步行1+（2-3

）=

，骑行4-

份，所以，丙最先到，甲最后到.

【附5】甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．

分析：现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是27+23+16=66米，甲目前比它们的距离之和要多78－66=12米．此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米，那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米．要使这个差为0，甲应向前游了12÷2=6米．

练习三

1．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度.

分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为24米，那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13

（秒），过桥的平均速度=24×3÷13=

（米/秒）.

2．小宇以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面而来．如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终点站隔多少分钟发一辆电车？

分析：（法1）：[12，4]=12，12×2÷（1+3）=6（分钟）.

（法2）：把电车的间隔距离看作1，那么有：车速+人速=1

，车速-人速=

，

所以车速=

111

()2

4126

+÷=，发车间隔时间=1÷

=6（分钟）.

3．猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

分析：猎狗跑12步的路程兔子要跑21步，猎狗跑12步的时间兔子要跑16步，在猎狗跑12步这个单位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所以猎狗追击距离为：30÷5×21=126（米）.

4．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇．那么东、西两村之间的距离是多少米?

分析：如右图，甲、乙两人在C地相遇，之后甲、丙在E地相遇，此时

乙已经走到D地．CD是乙6分钟的路程，为80×6=480米；EC是甲6

分钟的路程，为100×6=600米．所以ED=480+600=1080米．这个长度

就是从开始到甲、丙相遇时乙、丙的距离差．

从开始到甲、丙相遇所经历的时间为：1080÷(80-75)=216分钟．也就是经过216分钟，甲、丙从东、西两村出发相遇，所以东、西两村相距：(100+75)×216=37800米．