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①
二次函数
考点一
一般地,如果y =ax 2+bx +c(a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的二次函数.
1.结构特征:①等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式;②x 的最高次数是2;③二次项系数a ≠0. 2.二次函数的三种基本形式
一般形式:y =ax 2+bx +c(a 、b 、c 是常数,且a ≠0);
顶点式:y =a(x -h)2+k(a ≠0),它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ,k); 交点式:y =a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),其中x
1、x 2
是图象与x 轴交点的横坐标. 考 点二 二次函数的图象和性质
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② 考点三
二次函数y =ax2+bx +c 的图象特征与
a 、
b 、
c 及b2-4ac 的符号之间的关系
考点四
任意抛物线y =a(x -h)2+k 可以由抛物线y =ax 2经过平移得到,具体平移方法如下:
考点五
1.设一般式:y =ax 2+bx +c(a ≠0).
若已知条件是图象上三个点的坐标.则设一般式y =ax 2+bx +c(a ≠0),将已知条件代入,求出a 、b 、c 的值. 2.设交点式:y =a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0).
若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y =a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般式.
3.设顶点式:y =a(x -h)2+k(a ≠0).
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y =a(x -h)2+k(a ≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式
考点六
二次函数的应用包括两个方法
①用二次函数表示实际问题变量之间关系.
②用二次函数解决最大化问题(即最值问题),用二次函数的性质求解,同时注意自变量的取值范围.
(1)二次函数y =-3x 2-6x +5的图象的顶点坐标是( )
A .(-1,8)
B .(1,8)
C .(-1,2)
D .(1,-4) (2)将二次函数y =x 2-2x +3化为y =(x -h)2+k 的形式,结果为( )
A .y =(x +1)2+4
B .y =(x -1)2+4
C .y =(x +1)2+2
D .y =(x -1)2+2
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③ (3)函数y =x 2-2x -2的图象如下图所示,根据其中提供的信息,可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是(
)
A .-1≤x ≤3
B .-1 C .x<-1或x>3 D .x ≤-1或x ≥3 (4)已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b 2-4ac>0;②abc>0;③8a +c>0;④9a +3b +c<0. 其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D . 4 为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实 行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额x 的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系. (1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元? (2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式; (3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大,政府应将每台补贴款额x 定为多少元?并求出总收益w 的最大值. 【举一反三】 1.二次函数y =(x -1)2+2的最小值是( ) A .2 B .1 C .-1 D .-2 2.抛物线y =(x -2)2+3的顶点坐标是( ) A .(2,3) B .(-2,3) C .(2,-3) D .(-2,-3) 深圳市星光教育怡乐分校:布吉怡乐花园社区活动中心 ④ 3.抛物线y =a(x +1)(x -3)(a ≠0)的对称轴是直线( ) A .x =1 B .x =-1 C .x =-3 D .x =3 4.二次函数y =-2x 2+4x +1的图象如何平移就得到y =-2x 2的图象( ) A .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 B .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 C .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 D .向右平移1个单位,再向下平移3个单位 5.把二次函数y =-1 4 x 2-x +3用配方法化成y =a(x -h)2+k 的形式( ) A .y =-14(x -2)2+2 B .y =1 4 (x -2)2+4 C .y =-1 4 (x +2)2+4 D .y =????12x -122+3 6.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列关系式不正确... 的是( ) A .a <0 B .abc >0 C .a +b +c >0 D .b 2 -4ac >0 7.若A(-134,y 1)、B(-54,y 2)、C(1 4 ,y 3)为二次函数y =x 2+4x -5的图象上的三个点,则y 1、y 2、y 3的大小 关系是( ) A .y 1 B .y 2 C .y 3 D .y 1 8.已知二次函数y =x 2 -2x -3的图象与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C ,顶点为D. (1)求点A 、B 、C 、D 的坐标,并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象. (2)说出抛物线y =x 2-2x -3可由抛物线y =x 2如何平移得到? (3)求四边形OCDB 的面积. 【课堂训练】 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛物线有( ) A .最小值-3 B .最大值-3 C .最小值2 D .最大值2 2.在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2-1与x 轴的交点的个数是( ) 深圳市星光教育怡乐分校:布吉怡乐花园社区活动中心 ⑤ A .3 B .2 C .1 D .0 3.若二次函数y =x 2+bx +5配方后为y =(x -2)2+k ,则b 、k 的值分别为( ) A .0,5 B .0,1 C .-4,5 D .-4,1 4.抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的解析式为y =x 2-2x -3,则b 、c 的值为( ) A .b =2,c =2 B .b =2,c =0 C .b =-2,c =-1 D .b =-3,c =2 5.如图,已知抛物线y =x 2 +bx +c 的对称轴为x =2,点A 、B 均在抛物线上,且AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为(0,3),则点B 的坐标为( ) A .(2,3) B .(3,2) C .(3,3) D .(4,3) 6.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,反比例函数y =a x 与正比例函数y =(b +c)x 在同一坐标系中的大 致图象可能是( ) 7.在抛物线y =x 2-4上的一个点是( ) A .(4,4) B .(1,-4) C .(2,0) D .(0,4) 8.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a>0 B .c<0 C .b 2-4ac<0 D .a +b +c>0 9.对于反比例函数y =k x ,当x>0时,y 随x 的增大而增大,则二次函数y =kx 2+kx 的大致图象是( ) 10.二次函数y =-1 2 (x -4)2+5的图象的开口方向、顶点坐标分别是( ) A .向上、(4,5) B .向上、(-4,5) C .向下、(4,5) D .向下、(-4,5) 11.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是( ) 深圳市星光教育怡乐分校:布吉怡乐花园社区活动中心 ⑥ A .y =x 2-x -2 B .y =-12x 2+12x +1 C .y =-12x 2-1 2 x +1 D .y =-x 2+x +2 12.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4 cm ,BC =6 cm ,动点P 从点C 沿CA 以1 cm/s 的速度向点A 运动,同时动点Q 从点C 沿CB 以2 cm/s 的速度向点B 运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动.则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y(cm 2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( ) 二、填空题(每小题4分,共20分) 13.若二次函数y =-x 2 +2x +k 的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+2x +k =0的一个解x 1=3,另一个解x 2=________. 14.函数y =(x -2)(3-x)取得最大值时,x =________. 15.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0),其中a 、b 、c 满足a +b +c =0和9a -3b +c =0,则该二次函数图象的对称轴是直线________. 16.如图,是二次函数y =ax 2 +bx +c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c<0的解集是________. 17.如右上图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为________米. 三、解答题(共44分) 18.(15分)已知抛物线y =-x 2+2x +2. 深圳市星光教育怡乐分校:布吉怡乐花园社区活动中心 ⑦ (1)该抛物线的对称轴是________,顶点坐标________. (2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象; (3)若该抛物线上两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的横坐标满足x 1>x 2>1,试比较y 1与y 2的大小. 19.(14分)如图,已知二次函数y =-1 2 x 2+bx +c 的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ,连结BA 、BC ,求△ABC 的面积. 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数单元测试卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-(x-m )2 + m 2 +1有最大值4,则实数m 值为( ) A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-(m 是常数)の图像与x 轴の交点个数为( ) A. 0个 B .1个 C .2个 D .1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题:①当0c =时,函数の图像经过原点;②当0c >,且函数の图像开口向下时,方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根;③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -;④当0b =时,函数の图像关于y 轴对称.其中正确命题の个数是( ) A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点,则m の范围是( ) A . 1 16m <- B . 116m - ≥且0m ≠ C . 1 16m =- D . 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点,这个函数是( ) A .2 y x = B .24y x =+ C .2325y x x =-+ D .2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+,当x 取1x 、2x (12x x ≠)时,函数值相等,则当x 取12x x +时,函数值为( ) A .a c + B .a c - C .c - D .c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点,这个函数是( ) A .1x y 2 —= B .24y x =+ C .1x 2x y 2+=— D .2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是( ) A .没有交点 B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示,那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是( ) A .有两个不相等の实数根 B .有两个异号の实数根 二次函数基础训练题 一、仔细填一填:(每小题2分,共40分) 1、在下列函数关系式中,哪些是二次函数(是二次函数的在括号内打上“√”,不是的打“x ”). (l )y=-2x 2 ( ) (2)y=2(x-1)2+3 ( ) (3)y=-3x 2-3 ( ) (4) s=a(8-a) ( ) 2、说出下列二次函数的二次项系数a ,一次项系数b 和常数项c . (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ; 3、 已知函数y=(m-1)x 2+2x+m,当m= 时,图象是一条直线;当m 时,图象是抛 物线;当m 时,抛物线过坐标原点. 4、函数212y x =-的对称轴是 ,顶点坐标是 ,对称轴的右侧y 随x 的增大而 ,当x= 时,函数y 有最 值,是 . 5、函数y=3(x-2)2的对称轴是 ,顶点坐标是 ,图像开口向 ,当x 时,y 随x 的增大而减小,当x 时,函数y 有最 值,是 . 6、.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象开口向 ,当x 时, y 随x 的增大而减小,当 时,函数y 有最 值,是 . 7、 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,在对称轴的 左侧,y 随x 的增大而 ,当x 时,函数y 有最 值,是 . 8、.函数y=-3(x-1)2+1是由y=3x 2向 平移 单位,再向 平移 单位 得到的. 9、已知抛物线y=x 2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ,这条抛物线的顶点坐标是 . 10、 已知二次函数y=ax 2-4x-13a 有最小值-17,则a= . 11、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则a 的符号是 ,b 的符号 是 ,c 的符号是 .当x 时, y >0,当x 时,y=0, 当x 时,y < 0 . 12. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ). 13. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的对称轴为直线X= 94,则m= . 14、已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时,y=0;当x=3时,y=0,则b= ;c= . 15、抛物线y=ax 2+bx ,当a>0,b<0时,它的图象经过第 象限. 16、把40表示成两个正数的和,使这两个正数的乘积最大,则这两个数分别是 . 17、已知正方形边长为3,若边长增加x ,那么面积增加y ,则y 与x 的函数关系式是 18、若一抛物线y=ax 2与四条直线x=1,x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点,则a 的取值 范围是 ( ) 19、写出一个二次函数的解析式,使它的顶点恰好在直线y=x+2上,且开口向下,则这个二次函数解析式可写为 . 20、抛物线y=(1-k)x 2-2x-1与x 轴有两个交点,则k 的取值范围是 . 二、认真选一选:(每题2分,共26分) 1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是( ) A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) 2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=- 12 D.x=12 3. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是( ) 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数的应用 一 二次函数的实际应用 (教材P51探究3) 图1中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m 时,水面宽4 m .水面下降1 m 时,水面宽度增加多少? 图1 解:以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图), 可设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2. 由抛物线经过点(2,-2),可得 -2=a ×22,a =-12 . 这条抛物线表示的二次函数为y =-12 x 2. 当水面下降1 m 时,水面的纵坐标为y =-3. 由y =-3解得x 1=6,x 2=-6, 所以此时水面宽度为2 6 m , 所以水面宽度增加(26-4)m. 【思想方法】 建模:把问题中各个量用两个变量x ,y 来表示,并建立两种量的二次函数关系,再求二次函数的最大(小)值,从而解决实际问题.应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润,最节省方案等问题.注意:建立平面直角坐标系时,遵从就简避繁的原则,这样求解析式就比较方便. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图2所示. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y 轴,建立直角坐标系,求该抛物线对应的函数解析式; (2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱,集装箱宽3 m ,车与集装箱共高4.5 m ,此车能否通过隧道?并说明理由. 图2 解:(1)设抛物线对应的函数解析式为y =ax 2 抛物线的顶点为原点,隧道宽6 m ,高5 m ,矩形的高为2 m , 所以抛物线过点A (-3,-3), 代入得-3=9a , 解得a =-13 所以函数关系式为y =-x 2 3 . (2)如果此车能通过隧道,集装箱处于对称位置, 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一:二次函数的定义 1.二次函数的定义: 一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数.2y ax bx c =++a b c ,,0a ≠其中是二次项系数,是一次项系数,是常数项. a b c 知识点二:二次函数的图象与性质抛物线的三要素:开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+(1)二次函数基本形式的图象与性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 2y ax = (2)的图象与性质:上加下减 2y ax c =+ (3)的图象与性质:左加右减 ()2 y a x h =- (4)二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 (1)当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为. 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 .y 2 44ac b a - (2)当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为. 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 .y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 (1)二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线) 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与y 轴的交点,顶点.(2)二次函数图象的平移平移步骤: ①将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2 y a x h k =-+()h k ,② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下: 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减”.(3)用待定系数法求二次函数的解析式①一般式:.已知图象上三点或三对、 的值,通常选择一般式. ②顶点式:.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ③交点式: .已知图象与轴的交点坐标 、 ,通常选择交点式. (4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法:,∴顶点是,对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=),(a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h ),对称轴是直线. k h x = 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初三.二次函数知识点总结
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