枚举法联合普查法对江门市暗娼规模进行估计

枚举法联合普查法对江门市暗娼规模进行估计

邓伟军1 朱正君1 王晔2 卢和琨1 黄澍杰1 许玉兰1谭雪玲1

【摘要】目的掌握江门市城区暗娼规模，为客观分析艾滋病性病流行形势，科学开展艾滋病性病防控工作提供依据。方法采用枚举法对高档和中档暗娼进行人群规模估计,采用普查法对低档暗娼进行人群规模估计。结果江门市城区暗娼规模估计数为3668～4375人，其中低档暗娼规模估计数263人；中档暗娼规模估计数为1072人；高档暗娼规模95%CI估计数2333～3040人。结论江门市城区暗娼人群初具规模，多种艾滋病高危人群规模估计方法联合应用能准确地获取暗娼规模估计数。

【关键词】暗娼；普查法；枚举法；规模估计

Enumeration method & Census method to estimate the female sex workers population in Jiangmen

DENG Wei-jun , ZHU Zheng-jun , W ANG Ye , et al . Jiangmen Hospital for Skin Diseases and STDs,Jiangmen 529000 ,China. Center for Disease Control and Prevention of Guangdong Province,Guangzhou 510300 , China.

【Abstract】Objective To understand the total number of female sex workers (FSWs) in Jiangmen City in order to provide an objective analysis of the AIDS & STD epidemic situation and provide the scientific basis for carrying out AIDS & STD prevention and control work.

基金项目：世界卫生组织（WHO）“以筛查为重点的梅毒防治示范项目”、国家十一五科技重大专项“防治性病对预防艾滋病的作用研究”（2008ZX10001）基金资助

作者单位：1、江门市性病防治中心（江门市皮肤医院），广东，江门，529000；2、广东省疾病预防控制中

Methods This research used an enumeration method to estimate the FSW population among high-tier and mid-tier FSWs and a census method to estimate low-tier FSWs. Results The total number of estimated FSWs is 3668~4375 people, with the low-tiers FSWs estimated at 263 people, the mid-tier FSWs estimated at 1072 people, and the high-tier FSWs estimated at 2333~3040 people. Conclusion FSWs are an emerging HIV/AIDS risk group in Jiangmen, and using a variety of methods to estimate population size may be most successful for HIV/AIDS prevention efforts.

【Keywords】Female sexual workers ; Census methods ; Enumeration methods ; Size estimation

自从我国1985年报告第一例艾滋病病例以来，艾滋病病毒（HIV）感染与艾滋病（AIDS）的流行已经成为我国重要的公共卫生和社会问题。2007年数据显示新发艾滋病病毒感染者中性传播占56.9%（异性传播占44.7%，男男性传播12.2%），我国性传播已成为艾滋病传播的主要途径[1]。暗娼人群作为艾滋病性病高危人群之一，其处在艾滋病性病传播动力学链上的源头位置，针对暗娼人群的规模估计是科学开展该人群外展干预，切断艾滋病性病经性传播的基础工作，在整个艾滋病性病防控中具有重要意义。为了掌握我市城区暗娼规模，客观全面地分析艾滋病性病流行形势，我们应用枚举法联合普查法的方式对江门市城区暗娼规模进行了科学估计，现报告如下。

1、对象和方法

1.1调查地区：江门市位于珠三角西岸，毗邻广州、佛山、珠海、

中山四市，经济相对发达。全市常住人口412万，流动人口57万，其中城区常住人口76万。

1.2调查对象：在江门城区范围内从事商业性性服务的女性，其中

高档暗娼指工作场所在桑拿、大型宾馆、酒店、酒吧等，每次性交易价格在200元以上者；中档暗娼指工作场所在美容、美发、发廊、浴足、按摩店等，每次性交易价格50～200元之间者；低档暗娼指工作场所为（街头、河边、公园）的“站桩点”、（大排档、路边饭馆）的“陪吃点”、出租屋等，每次性交易价格在50元以下者【2】。

1.3调查方法：

1.3.1 普查法估计低档暗娼规模：利用江门市城区暗娼场所标图（MAPPING），外展人员对所有“站桩点”、“陪吃点”、出租屋等低档场所进行人数调查，调查次数不少于2次且每次调查在不同时间段进行，选取调查人数最高值为该点暗娼人数，各点暗娼人数相加即为江门市城区低档暗娼的规模估计数。

1.3.2 枚举法估计中档暗娼规模：利用江门市城区暗娼场所标图（MAPPING），根据暗娼场所密集度进行分层，其中场所数≤5个的街道为低流行街道；场所数6～10个的街道为中流行街道；场所数≥11个的街道为高流行街道。各类街道随机抽取2个街道进行人数调查并计算其均数、推算出各类街道的暗娼人数，汇总各类街道的暗娼

人数即为江门市城区中档暗娼的规模估计数。

1.3.3枚举法估计高档暗娼规模：利用江门市城区暗娼场所标图（MAPPING），根据暗娼场所从业人员规模进行分层，其中场所内暗娼≤30人为A层（约占高档场所的30%）；31～49人为B层（约占高档场所的52%）；≥50人为C层（约占高档场所的18%）。各层按20%的比例随机抽取样本场所进行人数调查，计算各层内样本场所的均数、标准差、95%的置信区间，推算出各层的暗娼人数，汇总各层暗娼人数即为江门市城区高档暗娼规模的估计数。

1.3.4 人数调查：与当地公安、工商、卫生等部门协调，约定时间保证调查期间无上述部门的干扰。外展人员依靠观察法、访谈关键人员、免费提供梅毒现场快速检测、现场健康知识培训等方式准确对场所暗娼清点计数。

2、结果

2.1普查法估计低档暗娼基数

根据场所标图，分别调查“站桩点”场所7片，暗娼估计数129人；“陪吃点”场所3片暗娼估计数101人；出租屋场所2片，暗娼估计数33人；低档暗娼规模总估计数263人。

2.2枚举法按场所密度分层估计中档暗娼基数

调查表明：江门市城区中档暗娼高流行街道规模点估计为720人，中流行街道规模点估计为286人，低流行街道规模点估计为66人，中档暗娼规模总估计数为1072人（见表1）。

表1、枚举法估计中档暗娼基数（按场所密度分层）

街道分层现有街道

数（n）

调查街

道数

场所调

查数

暗娼调

查数

x（人）

各层点估计

值（n×x）

高流行街道12 2 136360720

1557

中流行街道11 2 82826286

623

低流行街道6 2 381166

413

合计29 6 49192—1072

2.3枚举法按从业人员规模分层估计高档暗娼基数

调查表明：江门市城区高档场所A层暗娼平均规模23.00±1.22人，B层暗娼平均规模37.88±1.41人，C层暗娼平均规模57.00±2.52人。高档场所暗娼规模点估计为2686人，95%区间估计为2333～3040人（见表2）。

表2、枚举法估计高档暗娼基数（按从业人员规模分层）

场所类别现有场

所数(n)

调查场

所数

x±s

95% CI

n×x（人）

n×95%CI（人）

A层22 4 23.00±1.22 19.10～26.89 506 420～592 B层38 8 37.88±1.41 34.55～41.20 1439 1313～1566 C层13 3 57.00±2.52 46.17～67.83 741 600～882 合计73 15 ——2686 2333～3040

3、讨论

国内外艾滋病高危人群基数估计方法主要包括普查法、枚举法、乘数法、人群抽样调查法、捕获-再捕获法、提名法、德尔菲评价法、除数法等【3-8】。江门地区暗娼人群具有正规医疗机构就诊率低、个体

私人诊所众多、暗娼就诊人群混杂于综合性医院妇产、皮肤、性病等科室、场所间流动性大等特点，本调查排除使用乘数法、捕获-再捕获等方法。同时，暗娼场所标图显示高档场所多分布在市中心且呈零散分布，中、低档场所多分布在郊区或城中村且呈聚集分布；各档次场所规模相差较大，为此我们采用高档场所按场所从业人员规模分层枚举法，中档场所按街道密集度分层枚举法，低档场所按普查法进行规模估计。本文针对暗娼人群高、中、低档不同亚人群的人群聚集和空间分布特点采用不同方式进行规模估计与国内单纯应用枚举法或者普查法估计整个暗娼人群规模【9】更具科学性。

调查表明江门市暗娼初具规模，其中高档暗娼比例高达61.39%～73.23%（2686∕3668～4375），中、低档暗娼比例较低，这可能与当地经济水平和产业结构有关。近期广东、海南等地研究显示高档暗娼梅毒患病率仅 1.29%～1.64%，中、低档暗娼性病梅毒率却高达20.0%～38.2%【2】，另外有研究提示性病与HIV感染之间存在协同关系，可以增加HIV的传染性和易感性（相对危险性可高达300倍），是HIV经性传播的重要危险因素【10】。当前艾滋病主要经性传播的趋势下，中、低档暗娼自然成为暗娼群体中艾滋病性病的主要传染源，结合江门暗娼档次分布比例情况，提示我们下一步针对中、低档暗娼加强性病，尤其是梅毒防控工作，将能以最少的卫生资源花费达到控制江门市艾滋病性病疫情的目标，从而实现较好的成本效益。

暗娼规模资料与当地AIDS病例报告、哨点监测、行为监测、HIV 感染率，性病患病率等流行病学资料相结合，有助于评价当地艾滋病

性病的疾病负担，为现阶段合理有效分配卫生资源，实施通过防治性病达到预防艾滋病的公共卫生策略提供决策依据。

致谢：中国CDC性病控制中心提供经费支持和技术指导

广东省皮肤性病防治中心对暗娼人群外展工作的指导

广东省疾病预防控制中心提供技术协助

广东省江门市性病防治中心全体课题组工作人员

参考文献：

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[9] 曾亚丽,栾荣生,吕繁,等.应用枚举法估计乐山市暗娼基数的研究[J].中国艾滋病性

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第三讲 排序算法(7.28语言提高班)

第三讲排序算法（7.28）(语言提高班) 目录 训练1.明明的随机数（Noip2006普及组第1题） (1) 训练2.众数(masses.cpp) (2) 训练3.车厢重组（carry.cpp） (2) 训练4.军事机密(secret.cpp) (2) 训练5.排名 (3) 训练6.奖学金(Noip2007 普及组第1题) (3) 训练7.统计数字(Noip2007) (5) 训练8.输油管道问题 (5) 训练9.奇数单增序列 (6) 训练10.整数奇偶排序 (6) 训练11:合影效果 (7) 训练12:分数线划定 (7) 训练13:病人排队 (8) 训练14:单词排序 (9) 训练1.明明的随机数（Noip2006普及组第1题） 【问题描述】 明明想在学校中请一些同学一起做一项问卷调查，为了实验的客观性，他先用计算机生成了N个1到1000之间的随机整数（N≤100），对于其中重复的数字，只保留一个，把其余相同的数去掉，不同的数对应着不同的学生的学号。然后再把这些数从小到大排序，按照排好的顺序去找同学做调查。请你协助明明完成“去重”与“排序”的工作。 【输入文件】 输入文件random.in 有2行， 第1行为1个正整数，表示所生成的随机数的个数：N 第2行有N个用空格隔开的正整数，为所产生的随机数。 【输出文件】 输出文件random.out 也是2行，第1行为1个正整数M，表示不相同的随机数的个数。第2行为M个用空格隔开的正整数，为从小到大排好序的不相同的随机数。 【输入样例】 10 20 40 32 67 40 20 89 300 400 15 【输出样例】 8 15 20 32 40 67 89 300 400

【IT专家】实现全排列的两种算法：字典序列法以及递归算法(java)

本文由我司收集整编，推荐下载，如有疑问，请与我司联系实现全排列的两种算法：字典序列法以及递归算法（java）2014/10/19 0 一.全排列之字典序列法 /** * 这是一个实现全排列的字典序列算法，可适用于有数据重复以及无数据重复 的字符串----注意：字符要先从小到大排序* 算法描述：例如：645321 的下一个数: * 1.左边的数要大于右边：从最右- 最左,遍历查询是否有邻近左边的数小于右边的 数，有就停止遍历,本例：4 5. * 2.把找到的左边那个数，与其右边的所有数比较，从 右向左逐一比较，找到第一个比它大的，然后交换。本例：比4 大的右边第一个数 是5. * 3.将两个数对换，则字符可分为65，4321，把4321 从小到大排序：1234* 4. 下一个字符序列是：651234. span > * * @param ary //要排列的数组*/public static void dictorySerial(int[] ary1) {Arrays.sort(ary1);System.out.println( 1: + Arrays.toString(ary1));int i = 2;while (true) {int j;for (j = ary1.length - 1; j j--) {if (ary1[j - 1] ary1[j]) {for (int k = ary1.length - 1; k j - 1; k--) {if (ary1[k] ary1[j - 1]) {int temp = ary1[j - 1];ary1[j - 1] = ary1[k];ary1[k] = temp;break;}}int[] ary2 = new int[ary1.length - j];System.arraycopy(ary1, j, ary2, 0, ary2.length);Arrays.sort(ary2);System.arraycopy(ary2, 0, ary1, j, ary2.length);System.out.println((i++) + : + Arrays.toString(ary1));break;}}if (j == 0) {break;}}}二.全排列之递归算法 /** * 这是关于java 全排列的递归算法，本算法不适用于字符串中有重复数字。- --注意：交换两个数后，后面要在交换过来，不要影响要排列的字符序列（*）* 算法过程：如：123 的全排列：* 1.可以看成：以1 开头的全排列，以2 开头的全 排列，以3 开头的全排列/span 表示成1(23),2(13),3(12)的全排列，即23 全排列,13 全排列,12 全排列. span > span > span > span > span > span > span > span > span > span > span > span > span >public static void recurrence(int[] ary2, int start, int end) {if (start == end) {System.out.println((++i) + : + Arrays.toString(ary2));} else {for (int i = start; i = end; i++) {swap(ary2, start, i);recurrence(ary2, start + 1, end);swap(ary2, start, i);System.out.println(Arrays.toString(ary2));}}}public static void swap(int[] ary2, int start,

查字典技巧口诀及三种方法

小学生查字典口诀 学查字典并不难，偏旁部首看端详。 没有部首查起笔，形声字儿查形旁； 头底两层是部首，要让字头当偏旁； 左右两边是部首，取左去右有保障； 内心外壳是部首，舍去里边查外框； 整个字儿是部首，此字本身是偏旁； 一字头上生“二角”，取其下底把“角”砍； 下底如果不成部，左上角当此字旁； 有些生字较特殊，顶天立地当偏旁； 多查多想抓规律，相同部首不能忘。 查字典常用的三种方法是： 音序查字法、部首查字法和数笔画查字法。 ?如果很容易确定部首，但不确定读音就可以用部首查字法；?如果知道读音，但不会写这个字，就用音序查字法； ?如果是独体字就用数笔画查字法。

字、词典是无声的老师，这位老师随时会帮你解决疑难，扫除 学习中的“拦路虎”。你会只花少量的时间，非常方便地得到 较多、较全面、较准确的知识。熟练查字、词典，首先要学会 检字。下边以《新华字典》为例介绍这几种查字法。 一、音序查字法 音序检字法是按字音查字词的一种方法。很多字典或词典是按汉语拼音字母的顺序编排的。根据一个字的汉语拼音第一个字母，就可以在“汉语拼音音节表”中找到这个字的拼音音节在正文中的页码，再按照这个字的声调到那一页中去找。凡是要查只知道读音而不知道写法或意义的字，都可以用这种方法，但必须熟悉汉语拼音字母顺序和汉语拼音音节。 运用条件： ①字音要读得正确； ②准确无误地了解这个字的声母、韵母； ③掌握字母的写法。 知道了这个字的读音，不知道它的写法，或不知道它的意思， 就必须运用音序查字法查字。 查字步骤： ①确定音部。按要查字的读音确定音节的第一个字母——音部。

②查音节索引。在《汉语拼音音节索引》中所确定的音部栏里，找出要查字的音节，并看准该音节后面所标的正文页码。 ③翻阅正文。按页码翻阅正文，找出要查的字。 在学习中遇到不理解的字或不会写的字，只要能读准字音，就可以运用音序检字法去查检。 下面的歌诀，可以帮助同们掌握这种检字法： 音序检字须认真，读准字音很要紧。 打头字母定音部，再找音节看《索引》； 按照例字找同音，对照页码翻正文； 根据声调找汉字，字形字义记在心。 部首检字法：部首检字法属于按形查字中的一种方法。它是根据汉字的部首去查检的。凡字典正文中的单字是按部首归类进行排列的，都可以运用部首检字。 部首检字的基本步骤? ⑴确定出部首。先对所要查的字确定出查什么部。 ⑵查《部首目录》。在《部首目录》中查出该部首在《检字表》中的页码。 ⑶查《检字表》。按照页码在《检字表》中这个字的余画（即除去部首还余几画）里查出这个字在字典正文中的页码。

2枚举法中的字典排列

第2次课枚举法中的字典排列 小热身 体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？ (1)把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？ (2)把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？ 例题1:卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了4件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？(可能有人没有发现宝物) 练习1:老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问:老师有多少种不同的奖励方法？ 例题2:老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。试问:同学们最多能得出多少种不同的写法？ 练习2:三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10，共有多少组这样的三个数？

例题3:如下图所示，有7个按键，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问: (1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？ (2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？ 练习3:有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下面有一行小字，密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同，不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？ 例题4:如图，数一数图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 练习4:如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？

作业: 1、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？ 2、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于 3、如果从中任意取3张，那么能组成的钱数共有多少种？ 3、从1、2、3、 4、 5、6这六个数字中选出2个数字，使它们的数字的差等于2，一共有多少种选法？ 4、数一数，下图包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 5、在下图中，一共能找出多少个含“☆”的三角形。

谈谈用枚举算法解决问题的编程思路与步骤方法

谈谈用枚举算法解决问题的编程思路与步骤方法 一．问题 上海市普通高中在信息科技学科中开展《算法与程序设计》教学，教材中有一章名为“算法实例”的内容，其中有一节介绍“枚举算法”。教材中关于枚举算法的描述：有一类问题可以采用一种盲目的搜索方法，在搜索结果的过程中，把各种可能的情况都考虑到，并对所得的结果逐一进行判断，过滤掉那些不合要求的，保留那些符合要求的。这种方法叫做枚举算法（enumerative algorithm）。 枚举法就是按问题本身的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，检验每个可能解是否是问题的真正解，若是，我们采纳这个解，否则抛弃它。在列举的过程中，既不能遗漏也不应重复。 生活和工作中，人们经常会不经意间运用“枚举算法”的基本原理，进行问题的解决。比如，让你用一串钥匙，去开一把锁，但是不知道具体是用哪一把钥匙，你就会一把一把地挨个地逐个尝试，最终打开锁为止。又如，要对1000个零件，进行合格检验，等等。 二．用枚举算法的思想编写程序的思路与步骤 枚举算法，归纳为八个字：一一列举，逐个检验。在实际使用中，一一列举；采用循环来实现，逐个检验：采用选择来实现。 下面，通过一个问题的解决来说明这一类问题的解决过程的方法与步骤； 例1：在1—2013这些自然数中，找出所有是37倍数的自然数。 这个问题就可以采用枚举算法来解决： 1)．一一列举；采用循环来实现； 循环需要确定范围：本循环控制变量假设用i，起始值是1，终止值是2013。 2)．逐个检验：采用选择来实现； 选择需要列出判断的关系表达式：i Mod 37 = 0 这样，就可以写出整个求解的VB代码： Dim i As Integer For i = 1 To 2013 If i Mod 37 = 0 Then Print i End If Next i 说白了，用枚举算法解决问题，其实是利用计算机的高速度这一个优势，就好比上题完全可以使用一张纸和一支笔，采用人工的方法完成问题的解，从1开始，一一试除以37，这样计算2013次，也可以找到问题的答案。 在教学中，问题的求解往往是针对数学上的问题，下面举一些相关的例子，来巩固与提高采用枚举算法进行程序设计的技能。 三．枚举算法举例： 1：一张单据上有一个5位数的编号，万位数是1，千位数是4，百位数是7，个位数、十位数已经模糊不清。该5位数是57或67的倍数，输出所有满足这些条件的5位数的个数。（147□□） 1)．一一列举；采用循环来实现；

排列的字典序问题

算法分析与设计实验报告 第 2 次实验

这次的实验和上一次的字典序问题有一些相似，主要不同的地方在于要写出下 附录：完整代码 #include #include using namespace std; void rev(int *p,int begin,int end)//数组倒置 { int temp[end-begin]; for(int i=begin;i<=end;i++) temp[i-begin]=p[i];

for(int i=end;i>=begin;i--) p[i]=temp[end-i]; } int cal_a(int a,int b)//计算阶乘 { int answer=1; if(a==0&&b==0) return 1; for(int i=0;i=0;i--) { if(a[i-1]

高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲枚举法中的字典排列

枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是 先吃玉米，哎，还是先吃饼干 吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃 法？ 基础例题: 在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就 但如果问题较为复杂，直 如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个，还可以再吃3天呢？

主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是

个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出 3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒* 按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个 问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习： 1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有 多少种不同的奖励方法？ 例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法?试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？ 分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都 算同一种写法. 练习： 2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数? 用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时，审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举. 例题3 如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请 问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ ftp f 1ft 0

字典排序法

对于使用递归解决排列和组合的问题，俺看了很多篇参考资料，可惜的是有点难以理解别人的写法，跟MSDN一样，字都是中文，可是合起来就不知道是啥意思了，同样都是代码，每一句都能看明白，可就是不知道，他在这里为啥要写这一句，这一句在整个程序中的地位，还是脑子不好使，中学的时候数学没学好，这么些年又没好好的锻炼脑子，生锈了。 对于全排列来说，咱们还是从最简单的开始吧。 序列中只有一个元素：那么全排列就只有一种，{1}就是这个序列本身。 序列中有两个元素：那么全排列有两种方式，{1，2}，{2，1}。 序列中有三个元素：那么全排列有六种方式，{1，2，3}，{1，3，2}，{2，1，3}，{2，3，1}，{3，1，2}，{3，2，1}。 如果将排列的结果做成一个整数的话，那么对于三个元素的全排列结果应该是：{123}，{132}，{213}，{231}，{312}，{321}，这六个数有没有什么特点？ 当然有。 1.它们都是由1，2，3这几个字符组成的。 2.3>2>1。 3.123<132<213<231<312<321。 这个垃圾结论能替我们解决问题吗？ 当然能。 还记得我们怎么理解二进制的吗？ 还记得我们怎么理解八进制的吗？ 还记得我们怎么理解十六进制的吗？ 二进制中包含两个字符：0，1。 八进制中包含八个字符：0，1，2，3，4，5，6，7。 十六进制中包含十六个字符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。 俺的乖乖，数字么呢？字母都来咧，那些个A呀，B呀，C呀，只是一些符号而已，它们在十六进制中代表的是10，11，12，13，14，15而已。 为嘛非得用ABCDEF呢？能不能用其他的字符呢？ 当然可以。甚至于我们把ABCDEF可以改成“啊吧才的饿飞”，只有它依然代表的是10，11，12，13，14，15就行了。 为嘛会用的上ABCDEF呢？ 呵呵，简单了，因为咱们平常用的数字中没有一个单独的符号用来表达10，11，12，13，14，15而已，咱们为这些值找了个代表而已。 好了，扯的够远了，往回扯。 回到八进制中，为嘛八进制中没有ABCDEF呢？ 简单的回答是：咱们平常用的数字可以完全拿来表达八进制中的每个单独的数字，就是说，够用了，用不着折腾了 复杂的回答是：可以有ABCDEF这些字母，反正这些字母仅仅是个代表而已。 改成{1，2，3，4，5，6，7，8}行不？当然行。不就是个符号么。 二进制的改成{1，2}行不，也行；改成{2，3}行不，也行。 无论是{1，2}还是{2，3}仅仅是个符号，咱们要做的工作是保证符号中的大小关系，比如1<2，2<3就行了。 那么再次变态一点：{1，4}行不？当然行，对于二进制来说，只要1<4就行了。那么{3，8}也行喽？当然。 好了，我们已经够变态的了，不妨再变态一点。 既然都已经有了二进制，八进制，十六进制，为嘛不能整个三进制呢？

奥数解题方法：关于枚举法

奥数解题方法：关于枚举法 在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法． 1. 在研究问题时，把所有可能发生的情况一一列举加以研究的方法叫做枚举法(也叫穷举法)。 2. 用枚举法解题时，常常需要把讨论的对象进行恰当的分类，否则就无法枚举，或解答过程变得冗长、繁琐、当讨论的对象很多，甚至是无穷多个时，更是必须如此。 3. 枚举时不能有遗漏。当然分类也就不能有遗漏，也就是说，要使研究的每一个对象都在某一类中。分类时，一般最好不重复，但有时重复没有引起错误，没有使解法变复杂，就不必苛求。 4. 缩小枚举范围的方法叫做筛选法，筛选法遵循的原则是：确定范围，逐个试验，淘汰非解，寻求解答。 例题：已知甲、乙、丙三个数的乘积是10，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？ 分析：在寻找问题的答案时，应该严格遵循不重不漏的枚举原则，由于10的因子有1、2、5、10，因此甲、乙、丙仅可取这四个自然数，先令甲数=1、2、5、10，做到不重不漏，再考虑乙、丙的取法。 解： 因为10的因子有：1、2、5、10，故甲、乙、丙三数的取法可列下表： 甲=1 乙=1 丙=10 乙=2 丙=5 乙=5 丙=2 乙=10 丙=1 甲=2 乙=1 丙=5 乙=5 丙=2 甲=5 乙=1 丙=2

乙=2 丙=1 甲=10 乙=1 丙=1 总共得到问题的九组解答。 甲=1 、1、1、1 、2、2、5、5、10 乙=1 、2、5、10、1、5、1、2、1 丙=10、5、2、1 、5、1、2、1、1 说明 如果没有枚举的思想，只是盲目地猜试，既费时间，又有可能重复或漏掉解答。

小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)

小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案） 知识要点 我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。 解题指导1 1.枚举法在数字组合中的应用。 按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。 【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？ 【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。 第一类：百位上为1的有：123 132 第二类：百位上为2的有：213 231 第三类：百位上为3的有：312 321 答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。 【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？ 解题指导2 2.骰子中的点数 掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。 【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。 出现7的情况共有6种，它们是： 1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。 出现8的情况共有5种，它们是： 2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。 所以，小明获胜的可能性大。 注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。 答：小明获胜的可能性大。 【变式题2】用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当

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数据挖掘十大经典算法，你都知道哪些？ 当前时代大数据炙手可热，数据挖掘也是人人有所耳闻，但是关于数据挖掘更具体的算法，外行人了解的就少之甚少了。 数据挖掘主要分为分类算法，聚类算法和关联规则三大类，这三类基本上涵盖了目前商业市场对算法的所有需求。而这三类里又包含许多经典算法。而今天，小编就给大家介绍下数据挖掘中最经典的十大算法，希望它对你有所帮助。 一、分类决策树算法C4.5 C4.5，是机器学习算法中的一种分类决策树算法，它是决策树(决策树，就是做决策的节点间的组织方式像一棵倒栽树)核心算法ID3的改进算法，C4.5相比于ID3改进的地方有： 1、用信息增益率选择属性 ID3选择属性用的是子树的信息增益，这里可以用很多方法来定义信息，ID3使用的是熵（shang），一种不纯度度量准则，也就是熵的变化值，而 C4.5用的是信息增益率。区别就在于一个是信息增益，一个是信息增益率。 2、在树构造过程中进行剪枝，在构造决策树的时候，那些挂着几个元素的节点，不考虑最好，不然容易导致过拟。 3、能对非离散数据和不完整数据进行处理。 该算法适用于临床决策、生产制造、文档分析、生物信息学、空间数据建模等领域。 二、K平均算法

K平均算法（k-means algorithm）是一个聚类算法，把n个分类对象根据它们的属性分为k类（kn）。它与处理混合正态分布的最大期望算法相似，因为他们都试图找到数据中的自然聚类中心。它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。 从算法的表现上来说，它并不保证一定得到全局最优解，最终解的质量很大程度上取决于初始化的分组。由于该算法的速度很快，因此常用的一种方法是多次运行k平均算法，选择最优解。 k-Means 算法常用于图片分割、归类商品和分析客户。 三、支持向量机算法 支持向量机(Support Vector Machine)算法，简记为SVM，是一种监督式学习的方法，广泛用于统计分类以及回归分析中。 SVM的主要思想可以概括为两点： (1)它是针对线性可分情况进行分析，对于线性不可分的情况，通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分； (2)它基于结构风险最小化理论之上，在特征空间中建构最优分割超平面，使得学习器得到全局最优化，并且在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界。 四、The Apriori algorithm Apriori算法是一种最有影响的挖掘布尔关联规则频繁项集的算法，其核心是基于两阶段“频繁项集”思想的递推算法。其涉及到的关联规则在分类上属于单维、单层、布尔关联规则。在这里，所有支持度大于最小支

三年级下册数学试题-思维训练导引：第四讲 枚举法一(含答案)通用版

第四讲枚举法一 内容概述 掌握枚举的一般方法。学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题。学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。 兴趣篇 1.冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请 你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形的边框，不算在内） 分析：24条 2.要沿着如图所示的道路西欧那个A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有 多少种不同的走法？ 分析：4种 3.小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少 种不同的游览顺序？ 分析：6种 4.小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方种选2个去旅游，小王又多少种不同的 选择方式？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？ 分析：6种；4种 5.小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买 烧饼，一共有多少种不同的买法？ 分析：4种 6.在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的 题目。如果每道题1分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里：

分析：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1 7.两个海盗分20枚金币，请问： （1）如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？ （2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？ 分析：（1）11种；（2）13种 8.有15个玻璃杯，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相 差几个？ 分析：7种；可能相差13，11，9，7，5，3，1个 9.张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每 个袋子最多只能装10盒。张奶奶一共有几种不同的装法？ 分析：5种 10.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分 别有几本课外书？请写出全部可能的情况。 拓展篇 1.如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？ 分析：31笔 2.小悦把8块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬 一共有多少种不同的挑法？

全排列算法解析(完整版)

全排列以及相关算法 在程序设计过程中，我们往往要对一个序列进行全排列或者对每一个排列进行分析。全排列算法便是用于产生全排列或者逐个构造全排列的方法。当然，全排列算法不仅仅止于全排列，对于普通的排列，或者组合的问题，也可以解决。本文主要通过对全排列以及相关算法的介绍和讲解、分析，让读者更好地了解这一方面的知识，主要涉及到的语言是C和C++。本文的节数： 1.全排列的定义和公式： 2.时间复杂度： 3.列出全排列的初始思想： 4.从第m个元素到第n个元素的全排列的算法： 5.全排列算法： 6.全排列的字典序： 7.求下一个字典序排列算法： 8.C++ STL库中的next_permutation()函数：（#include） 9.字典序的中介数，由中介数求序号： 10.由中介数求排列： 11.递增进位制数法： 12.递减进位制数法： 13.邻位对换法： 14.邻位对换法全排列： 15.邻位对换法的下一个排列： 16.邻位对换法的中介数： 17.组合数的字典序与生成： 由于本文的，内容比较多，所以希望读者根据自己的要求阅读，不要一次性读完，有些章节可以分开读。第1节到第5节提供了全排列的概念和一个初始的算法。第6节到第8节主要讲述了字典序的全排列算法。第9到第10节讲了有关字典序中中介数的概念。第11到第12节主要介绍了不同的中介数方法，仅供扩展用。第13节到15节介绍了邻位对换法的全排的有关知识。16节讲了有关邻位对换法的中介数，仅供参考。第17节讲了组合数生成的算法。 1.全排列的定义和公式： 从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m 个元素的一个排列。由排列的定义，显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m 个元素的所有排列的个数，称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为n!，通过乘法原理可以得到。 2.时间复杂度： n个数（字符、对象）的全排列一共有n!种，所以全排列算法至少时O(n!)的。如果要对全排列进行输出，那么输出的时间要O(n*n!)，因为每一个排列都有n个数据。所以实际上，全排列算法对大型的数据是无法处理的，而一般情况下也不会要求我们去遍历一个大型数据的全排列。 3.列出全排列的初始思想： 解决一个算法问题，我比较习惯于从基本的想法做起，我们先回顾一下我们自己是如何写一组数的全排列的：1，3，5，9（为了方便，下面我都用数进行全排列而不是字符）。

枚举法中的字典排列

1．5个苹果分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：21 2．4个鸡蛋分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：15 3．6个相同的笔记本分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：28 4．7个金币分给三个海盗，每个海盗至少分到1个金币，共有__________种不同的分法。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等

类型：填空题 答案：15 5．6个金币分给三个海盗，每个海盗至少分到1个金币，共有__________种不同的分法。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：10 6．5个金币分给三个海盗，每个海盗至少分到1个金币，共有__________种不同的分法。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：6 7．三个整数之和等于5，共有__________组这样的三个数。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：5 8．三个整数之和等于6，共有__________组这样的三个数。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：7

9．三个整数之和等于7，共有__________组这样的三个数。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：8 10．7个苹果分成3堆，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：4 首页上一页1234下一页尾页 11．8个金币分成3堆，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：5 12．9个金币分成3堆，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：7

十 大 经 典 排 序 算 法 总 结 超 详 细

前端资源收集 前端资-源收集 收集的资-源 44个 Javascript 变态题解析 javascript 变态题解析 正则表达式收集 正则表达式收集 十大经典排序算法总结（JavaScript描述）排序算法的总结 前端工具库汇总 前端工具库总结 怎么学JavaScript？ 学习javascript 的学习指导 不定期更新 JavaScript技巧 javascript 编码技巧总结 H5项目常见问题汇总及解决方案 高质量的常见问题汇总 廖雪峰的 git 教-程 Git忽略规则.gitignore梳理 git 配置提交规则 全局环境，执行环境

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三年级下册数学试题-第十二讲 枚举法二(含答案)全国通用

第十二讲枚举法二 内容概述 巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法 兴趣篇 1.有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？分析：10个 2.汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有8颗蛀 牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？ 分析：共21中情况，详解略 3.老师让小明写出3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一 种写法，例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？ 分析：7种 4.生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这 12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？ 分析：共7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4） 5.一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同。 一共有多少个满足条件的三位数？ 分析：12个

6.如图，一只小蚂蚁药从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4 个顶点再回到顶点A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？ 分析：6种 7.5块六边形的地毯拼成了下图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号 地毯上，他想要走到5号地毯上。如果阿奇每次都只能走到河他相邻的地毯上（两个六边形如果又公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？ 分析：5种 8.在下图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？

几种常见的排序方法及算法实现

排序 所谓排序，就是要整理文件中的记录，使之按关键字递增(或递减)次序排列起来。当待排序记录的关键字都不相同时，排序结果是惟一的，否则排序结果不惟一。 在待排序的文件中，若存在多个关键字相同的记录，经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，该排序方法是稳定的；若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生改变，则称这种排序方法是不稳定的。 要注意的是，排序算法的稳定性是针对所有输入实例而言的。即在所有可能的输入实例中，只要有一个实例使得算法不满足稳定性要求，则该排序算法就是不稳定的。 一.插入排序 插入排序的基本思想是每步将一个待排序的记录按其排序码值的大小，插到前面已经排好的文件中的适当位置，直到全部插入完为止。插入排序方法主要有直接插入排序和希尔排序。 ①.直接插入排序(稳定) 接插入排序的过程为：在插入第i个记录时，R1,R2,..Ri-1已经排好序，将第i个记录的排序码Ki依次和R1,R2,..,Ri-1的排序码逐个进行比较，找到适当的位置。使用直接插入排序，对于具有n个记录的文件，要进行n-1趟排序。 代码如下: void Dir_Insert(int A[],int N) //直接插入排序 { int j,t; for(int i=1;it) { A[j+1]=A[j]; j--; } A[j+1]=t; } } ②.希尔排序(不稳定)： 希尔(Shell)排序的基本思想是：先取一个小于n的整数d1作为第一个增量把文件的全部记录分成d1个组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插入排序；然后，取得第二个增量d2

排列组合问题1：枚举法

排列组合问题(一) 枚举法 枚举法 导言： 当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法 使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举 例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里） 解析：按使用砝码的个数进行分类列举 （1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体

（2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量 （3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量 （4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体 所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体 思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？ 例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？ 解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来

从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法 例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？ 解析：可从小到大依次思考 ① 1+10 ② 2+9，2+10 ③ 3+8，3+9，3+10 ④ 4+7，4+8，4+9，4+10 ⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10 ⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10 ⑦ 7+8，7+9，7+10 ⑧ 8+9，8+10 ⑨ 9+10

第二讲 枚举法中的字典排列

第二讲 枚举法中的字典排列 例题1 卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人 找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 【分析】每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习1 老师准备了6本笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请 问：老师有多少种不同的奖励方法？ 例题2 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出 的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。试问：同学们最多能得出 多少种不同的写法？ 【分析】注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）（2、5、1）和（5、1、2） 都算同一种写法。 练习2 三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？

例题3 如图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？ （2）从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？ 【分析】第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几 种可能？ 练习 3 有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行 小字：密码之和大于11的两个数字，而且这两个数字不能相同。不用考虑数字的先 后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？ 例题4 数一数图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？ 【分析】含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类。 练习4 如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？