精 品 教 学 设 计2.1生活中的变量关系

高一数学必修一第二章第一节

生活中的变量关系

设计理念：这节课是新教材新增内容，目的是加强数学的应用意识，强调理论来源于实际，在教学过程中应充分发挥学生的主观能动性，让学生多从周围的实际生活中举些例子，引导他们进行分析，正确理解这节课的内容。

教学目标：

知识目标：学会分析什么是常量？什么是变量？会判断变量之间的依赖关系是否是函数关系

能力目标：提高学生分析问题解决问题的能力

情感目标：学会用辩证的观点看待生活中的现象，加强数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣。

教学重点，难点：判断变量间的依赖关系是否为函数关系

教学准备：制作ppt，几何画板制作例题片段

教学过程：

一、生活中的常量与变量

世界上万事万物都是相互联系,运动和发展的.常量,是相对于某一过程或另一变量而言的 ,绝对的常量是没有的。变量与变量的依赖关系在生活中随处可见与我们息息相关。

例如向平静的湖面投一石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆,在这一变化过程中圆的面积,半径,周长都是变量.随着半径增大,面积和周长也都会增大,因此他们之间存在着依赖关系。

引导学生举出生活中具体实例并分析什么是常量？什么是变量？比如某同学在每天上学，放学回家的路上骑自行车的过程中，什么是常量？什么是变量？；汽车在高速公路上行驶的过程中，什么是常量？什么是变量？

老师提问：

初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？

它描述了因变量随自变量变化而变化的依赖关系.

二、怎样判断两个变量间的依赖关系是否为函数关系

问：一辆长途汽车在高速公路上行驶的过程中,有哪些常量?哪些变量?他们之间有函数关系吗?

答：本题中的汽车在行驶过程中常量有汽车的大小，颜

色，车牌号等，变量有汽车的速度，时间，路程，耗油量等 路程与速度，路程与时间，路程与耗油量，速度与耗油量之间都有依赖关系，当速度一定时路程与时间之间是函数关系，速

度与耗油量之间，速度过快或过慢有相同的耗油量，即对于一

个耗油量存在两个不同速度与之对应，速度不是耗油量的函

数。

例题：.图2-2是某高速公路加油站的图片,加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面半径r是常量;油面高度h、油面宽度w、储油量v是变量.。观察他们之间的依赖关系，有函数关系吗？（几何画板演示）

答：对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的v与v是h的函数；

油面宽度ω的一个值，可以有两种高度与之对应，即有两种储由量v， v不是ω的函数。

思考交流：

上述储油灌问题中，还有哪些常量？哪些变量？

哪些变量之间存在着依赖关系？哪些依赖关系

是函数关系？

三．小结

2.1生活中的变量关系

§2.1 生活中的变量关系 【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注 意这两种关系之间的区别和联系； 2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系； 3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。 【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系 【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分 预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。 知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。 知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？ 问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？ 问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论： 还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导 学 案 装 订 线

生活中的变量关系教案

生活中的变量关系教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课前预习学案 一、预习目标：了解函数的概念，并会计算一些简单函数的定义域。 二、预习内容： ⒈在一个变化的过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定了一个ｘ值，相应地_____________________________，那么我们称__________的函数，其中ｘ是_________，y是________． ⒉记集合A是一个______________，对A内_________x，按照确定的法则ｆ，都有_________________与它对应，则这种对应关系叫做 ____________________，记作_________________，其中ｘ叫做_______，数集Ａ叫做______________________________． ⒊如果自变量取值a，则由法则ｆ确定的值ｙ称为 _________________________，记作________或______，所有函数值构成的集合_____________________，叫做_________________． 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中 课内探究学案 （一）学习目标： 1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域。 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

学习重难点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确 理解函数的概念 （二）合作探究： 1.用集合语言刻画函数关键词语有哪些？ 2.明确函数的三要素：定义域、值域、解析式 （三）精讲精练 例1：求函数ｙ＝x x x 1 21 32+--+的定义域。 解： 变式训练一：求函数ｙ＝42 2--x x 的定义域； 解： 例⒉求函数ｆ(ｘ)＝11 2+x ，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值 域． 解：

生活中的变量关系

生活中的变量关系；★教学目标；1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极；到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初；的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是；2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过；观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．；3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联 `北师大版高一数学必修1 第二章函数 §1 生活中的变量关系 ★教学目标 1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识 到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数 的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系． 2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的 观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力． 3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度. ★教学重难点： 1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系. 2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系. ★授课类型：新授课 ★教具：多媒体、实物投影仪 ★教学方法:启发式、交互式教学 ★教学过程：

一、创设情景，引入课题 多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的 过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关 系.(板书课题生活中的变量关系) 二、新课讲解 1、温故知新：◇ 初中学习的函数定义是什么? ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系? ◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系? 2、知识探究：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题 （1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。 （2）对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖 关系都有函数关系吗？ （3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后 是否为函数关系。 （4）归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。 探究结论：依赖关系与函数关系 (1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。 (2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的

2021-2022年高中数学《生活中的变量关系》说课稿 北师大版必修1

2021-2022年高中数学《生活中的变量关系》说课稿 北师大版必修1 本节通过创设问题情境引出生活中的变量关系。利用由特殊到一般的方法，以小组合作探究的形式展开研究过程，引导学生归纳分析生活中的变量关系,区分依赖关系与函数关系,为进一步学习函数打下良好的基础.本节说课包括:教材分析、教法分析、教学设计和构思说明四个部分展开。 一、教材分析 本节综述：《生活中的变量关系》一节是北师大版必修一第二章第一节的教学内容，函数是中学数学的核心内容,生活中的变量关系是函数一章的开篇课,为函数的学习提供必要的知识铺垫.通过本节的学习,学生将明析依赖关系与函数关系的区别和联系,体会生活与数学的密切联系,掌握研究方法激发学生学习数学的兴趣。 教学目标：通过生活实例研究变量关系，明析依赖关系与函数关系的区别和联系，合作 交流，归纳探知生活中的变量关系。 教学重点：依赖关系与函数关系的区别和联系，生活实例的变量关系研究。 教学难点：合作交流，归纳探知生活中的变量关系，函数关系中的自变量与因变量。 二、教法分析 创设问题情境,引出问题,激发学生探知欲 实践操作，类比研究生活中的数学问题 小组合作交流，师生共同归纳 三、教学设计 （1） 在某案发现场,测得犯罪份子脚印一个,并以此推断: 姓别:男 身高:175~180体重:65~75 依此缩小侦察范围,并最终破案 设计说明：创设生活情境，激发求知欲 （2） 合作探知识归创设情复习导实践操小结作创设情复习导

◇ 初中学习的函数定义是什么? ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h 与时间t 是否存在函数关系? ◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v 与时间t 是否存在函数关系? 设计说明：明析相关知识，明确研究方法 （3） 请同学们用3钟的时间阅读课本P21~P22倒数第二段的内容? 请同学们分学习小组思考交流下面几个问题? 1、课本中高速公路环境下研究哪函数关系？请指出它们的自变量与因变量？ 2、请你以高速公路为背景，再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否还是 函数关系？ 3、试归纳依赖关系与函数关系的区别和联系？ 设计说明：自主学习，合作探究 （4） 依赖关系与函数关系： 若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。 注意问题： 1、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。 2、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关 系。 设计说明：归纳总结，突出重点 （5） 请同学们利用课前准备的圆柱形水杯进行下面操作，记圆柱形水杯高s ，底面圆半径r 水面距离桌面高度记为h ，下面情况下h 与水面宽度w 间是否存在函数关系？ r s h w w h s 合作探知识归实践操

数学高一-(优化课堂)必修1试题 2.1 生活中的变量关系

2.1生活中的变量关系 [A基础达标] 1．下列说法不正确的是() A．依赖关系不一定是函数关系 B．函数关系是依赖关系 C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数 D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数 解析：选C.由依赖关系及函数关系的定义知A、B正确；对于C、D，如m＝n2，则n ＝±m，不是函数关系，故C错误，D正确． 2．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是() A．明明B．电话费 C．时间D．爷爷 解析：选B.拨通时间为自变量，电话费为因变量． 3．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是() A．y＝x－1 B．y＝－2 x＋1 C．y＝3x2＋x D．y2＝x2 解析：选D.选项D中，当x＝1时，y＝±1；当y＝2时，x＝±2，不符合函数的定义．故选D. 4．某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了再走余下的路程，如图所示，纵轴表示该生离学校的距离(用d表示)，横轴表示出发后的时间(用t表示)，则四个图中符合题意的是()

解析：选D.因为该生离学校越来越近，所以只有B，D符合，又先跑再走，故选D. 5．变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示： x 123156 y －1－2－3－4－1－6 w201248 z 000000 A．y是x的函数 B．w不是x的函数 C．z是x的函数 D．z不是x的函数 解析：选C.观察表格可以看出，当x＝1时，y＝－1，－4，则y不是x的函数；很明显w是x的函数，z是x的函数． 6．某公司生产某种产品的成本为1 000元，并以1 100元的价格批发出去，公司收入随生产产品数量的增加而________(填“增加”或“减少”)，它们之间________(填“是”或“不是”)函数关系． 答案：增加是 7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道： (1)甲、乙两人中先到达终点的是________． (2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s. 解析：(1)由图像可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s，12.5 s，故甲先到达终点． (2)v乙＝100 12.5＝8(m/s)． 答案：(1)甲(2)8 8．如图所示是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图像，根据图像回答下列问题：

生活中的变量关系教案完整版

生活中的变量关系教案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

`北师大版高一数学必修1 §1生活中的变量关系 【教学目标】 1．通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解 依赖关系与函数关系的联系与区别。 2.培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析 归纳和比较来提高学生的实践能力． 【教学重难点】 1．重点：变量间依赖关系和函数关系的区分 2．难点：依赖关系和函数关系的差别。. 【教学过程】 一、创设情景，引入课题 世界是变化的，生活中处处有变量，变量之间充满了依赖关系，并与学生分享我的故事，从而引出课题：《生活中的变量关系》 二、新课探究 故事场景一：高速公路入口（我国高速公路的变化情况） 问题1：从给定的数据中，让你感受最深的是什么？ 问题2：你能否从数学的角度来分析一下这个问题 高速公路的总里程随着时间的变化而变化 故事场景二：行驶在高速公路上

探究：你能发现哪些变量间的依赖关系呢？ 我的发现： 1、行驶的路程s和时间之间t 2、汽车的速度v和时间t 3、耗油量l和时间t 故事场景三：高速公路的服务区（油罐车） （用几何画板展示油量的变化情况） 探究：你能发现哪些变量间的依赖关系呢？ 我的发现： 1、储油量v与油面宽度w存在关依赖关系 2、储油量v与油面高度h存在着依赖关系 问题：我们已经在我们身边找到如此多的变量间的依赖关系，那在初中我们有没有学习过两个变量间的某种关系呢（引出函数的概念） 问题：你能说出初中学过的函数的概念吗？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数.x 叫自变量,y叫因变量 围绕初中函数的概念，来逐个分析前面的每一个依赖关系是 不是函数关系，（注：着重强调自变量和因变量，并指出不 是所有依赖关系都是函数关系）

2013-2014学年高中数学北师大版必修一示范教案_2.1生活中的变量关系

第二章函数 通过本章的学习，使学生关注现实，了解函数、映射等知识产生的背景．发展对变量的认识，了解现实世界充满变量间的相互依赖关系．通过操作和思考，感受抽象出函数概念的过程和方法．理解函数和映射等概念的本质，并掌握函数的单调性等性质．在初中学习的基础上，能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(小)值等性质．对幂函数和函数的奇偶性有所了解．使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质，也能用解析式的特点抽象地得出函数的性质，能熟练地对二次函数配方，会用解析式证明函数的单调性和奇偶性，能根据需要对各种函数的解析式作变形，会对一些有关函数的应用题求解，会对有关数据作相应的处理．培养学生提出、分析、解决问题的能力，表达交流的能力，独立获取数学知识的能力，同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识．引导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯，体会数学美，树立辩证唯物主义的世界观．引导学生热爱数学，帮助他们建立学好数学的信心，并具有一定的数学视野；使其树立坚韧不拔的态度和崇尚科学的理性精神，强化对真善美的追求． 在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在章头语里，把函数的地位和意义作了简单说明．有作为背景的意图，也是想让学生在无形中想到曲线、图像和函数．本书从高速公路的里程和加油站的思考引入，一方面，让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系，另一方面，希望学生能由此及彼想到邮局、机场等实例．函数概念从实际引入，让学生在现实情境中体验和理解数学．函数是核心概念，初中讲了，高中还要深化．它将贯穿整个高中阶段，希望使学生遇到问题的时候，马上会有一种想到函数的潜意识产生．这种意识和函数观点是至关重要的．教材对函数概念，努力改变过去把因变量叫作自变量的函数的做法，而明确提出把对应关系f叫作函数．只是为了与学生过去的认识接轨，才又补充说：习惯上我们称y是x的函数．教材中，提到函数的时候，必须要说明函数的定义域．但是，教材有意弱化了求定义域和值域的技巧，不在这里浪费学生过多时间．本教材力图突出本质，而不在技巧上下更多工夫．考虑到分段函数在实际中会经常出现，明确给出了“分段函数”的概念．一般到特殊、特殊到一般，都是人类创造的重要思维方法，都很重要，只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种．考虑到与初中知识的衔接，同时又考虑到学生的认知次序，在函数概念和映射概念的处理上，特意先给出函数的概念再引出映射概念，从特殊到一般地安排了这段教材．在函数性质中，教材突出了更具本质的单调性，而弱化了函数的奇偶性．如前所说，我们没有把奇偶性专门列出一节，而是把它和幂函数放在了一起．有意把幂函数留了个尾巴到下一章，意在顺理成章．因为，此前学生只有整数幂，而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现，所以，到下一章再重复一下幂函数，也十分自然． 整体设计

数学高一-第二章 2 2.1 生活中的变量关系 函数的概念 应用创新演练

1．下列两变量间的关系具有依赖关系但不具有函数关系的是() A．人的体重与身高的关系 B．圆的面积与半径的关系 C．某十字路口，通过行人的数量与时间的关系 D．乘出租车时，车费与行驶里程的关系 答案：A 2．设f(x)＝x2－1x2＋1，则)2(f12等于 () A．1B．－1 C.35 D．－35 解析：)2(f12＝22－122＋1(∴φ(1212＋1)2)＝35－\f(3454)＝35×(－53)＝－1. 答案：B 3．已知函数y＝f(x)与函数y＝x＋3＋1－x是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是 () A．[－3,1] B．(－3,1) C．(－3，＋∞) D．(－∞，1] 解析：由于y＝f(x)与y＝x＋3＋1－x是相等函数，故二者定义域相同．所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．故写成区间形式为[－3,1]． 答案：A 4．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有() A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析： 图号正误原因

g(x)＝14(x2＋3)， ∴g(f(x))＝g(2x＋a) ＝14[(2x＋a)2＋3] ＝x2＋ax＋14(a2＋3)． 又g(f(x))＝x2＋x＋1， ∴x2＋ax＋14(a2＋3)＝x2＋x＋1， 解得a＝1. 8．已知函数y＝|x|－x)x－1的定义域为A，函数y＝x＋1＋1的值域为B，求A∩B. 解：要使函数y＝|x|－x)x－1有意义， 则|x|－x≥0，x≠1，)| 即x≠1. ∴A＝(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵x＋1≥0，∴y＝x＋1＋1≥1. ∴B＝[1，＋∞)．∴A∩B＝(1，＋∞)．

黄遵学 生活中的变量关系 教案

`北师大版高一数学必修1 §1 生活中的变量关系 【教学目标】 1. 通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别。 2. 培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力． 【教学重难点】 1．重点：变量间依赖关系和函数关系的区分 2．难点：依赖关系和函数关系的差别。. 【教学过程】 一、创设情景，引入课题 世界是变化的，生活中处处有变量，变量之间充满了依赖关系，并与学生分享我的故事，从而引出课题：《生活中的变量关系》 二、新课探究 故事场景一：高速公路入口（我国高速公路的变化情况） 问题1：从给定的数据中，让你感受最深的是什么？ 问题2：你能否从数学的角度来分析一下这个问题

故事场景二：行驶在高速公路上 探究：你能发现哪些变量间的依赖关系呢？ 我的发现： 1、行驶的路程s和时间之间 t 2、汽车的速度v和时间 t 3、耗油量l和时间t 故事场景三：高速公路的服务区（油罐车） （用几何画板展示油量的变化情况） 探究：你能发现哪些变量间的依赖关系呢？ 我的发现： 1、储油量v与油面宽度w存在关依赖关系 2、储油量v与油面高度h存在着依赖关系 问题：我们已经在我们身边找到如此多的变量间的依赖关系，那在初中我们有没有学习过两个变量间的某种关系呢？（引出函数的概念） 问题：你能说出初中学过的函数的概念吗？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x的函数. x叫自变量 ,y叫因变量 围绕初中函数的概念，来逐个分析前面的每一个依赖关系是不是函数关系，（注：着重强调自变量和因变量，并指出不是所有依赖关系都是函数关系） 故事场景四：阜阳三中

精 品 教 学 设 计2.1生活中的变量关系

高一数学必修一第二章第一节 生活中的变量关系 设计理念：这节课是新教材新增内容，目的是加强数学的应用意识，强调理论来源于实际，在教学过程中应充分发挥学生的主观能动性，让学生多从周围的实际生活中举些例子，引导他们进行分析，正确理解这节课的内容。 教学目标： 知识目标：学会分析什么是常量？什么是变量？会判断变量之间的依赖关系是否是函数关系 能力目标：提高学生分析问题解决问题的能力 情感目标：学会用辩证的观点看待生活中的现象，加强数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣。 教学重点，难点：判断变量间的依赖关系是否为函数关系 教学准备：制作ppt，几何画板制作例题片段 教学过程： 一、生活中的常量与变量 世界上万事万物都是相互联系,运动和发展的.常量,是相对于某一过程或另一变量而言的 ,绝对的常量是没有的。变量与变量的依赖关系在生活中随处可见与我们息息相关。 例如向平静的湖面投一石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆,在这一变化过程中圆的面积,半径,周长都是变量.随着半径增大,面积和周长也都会增大,因此他们之间存在着依赖关系。 引导学生举出生活中具体实例并分析什么是常量？什么是变量？比如某同学在每天上学，放学回家的路上骑自行车的过程中，什么是常量？什么是变量？；汽车在高速公路上行驶的过程中，什么是常量？什么是变量？ 老师提问： 初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？ 它描述了因变量随自变量变化而变化的依赖关系.

二、怎样判断两个变量间的依赖关系是否为函数关系 问：一辆长途汽车在高速公路上行驶的过程中,有哪些常量?哪些变量?他们之间有函数关系吗? 答：本题中的汽车在行驶过程中常量有汽车的大小，颜 色，车牌号等，变量有汽车的速度，时间，路程，耗油量等 路程与速度，路程与时间，路程与耗油量，速度与耗油量之间都有依赖关系，当速度一定时路程与时间之间是函数关系，速 度与耗油量之间，速度过快或过慢有相同的耗油量，即对于一 个耗油量存在两个不同速度与之对应，速度不是耗油量的函 数。 例题：.图2-2是某高速公路加油站的图片,加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面半径r是常量;油面高度h、油面宽度w、储油量v是变量.。观察他们之间的依赖关系，有函数关系吗？（几何画板演示） 答：对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的v与v是h的函数； 油面宽度ω的一个值，可以有两种高度与之对应，即有两种储由量v， v不是ω的函数。 思考交流： 上述储油灌问题中，还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在着依赖关系？哪些依赖关系 是函数关系？ 三．小结

北师大版数学第一册§1 生活中的变量关系练习题附答案

第二章函数 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》 一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字 和比例的语言表达函数的关系. 1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示 “幂”. 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.” 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.” 1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总 有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一 个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元. 19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数. [读图探新]——发现现象背后的知识 函数的概念(图一) 例：新中国成立后共进行了六次人口普查

各次普查得到的人口数据如下表： 年份195319641982199020002010 总人口数(亿) 5.9 6.910.111.312.713.4 函数的最值(图三)函数的奇偶性(图四) 问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？ 问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？ 链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.

生活中的变量关系

生活中的变量关系 【学习目标】 通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系。能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系。培养广泛联想的能力和热爱数学的态度。让学生领悟生活中处处有变量，变量间充满了联系。 【学习重点】 生活中变量间依赖关系和函数关系的区分。 【学习难点】 依赖关系和函数关系的差别。 【课前预习案】 一、温故知新： ◇初中学习的函数定义是什么? 答：_________________________________________________ _______________________________________________________ ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系? ◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系? 二、课本导读：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题 1.课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。 2.对实例分析3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？ 3.请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。 4.请同学们尝试归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。 区别：_______________________________

联系：________________________________ 三、预习自测 1.给出下列关系： ①（她）拥有的财富之间的关系； ②橘子的产量与气候之间的关系； ③某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试次数之间的关系； 其中不是函数关系的有____________ 2.小明从北京给榆林的爷爷打电话，电话费和时间这两个变量间存在依赖关系吗？这种关系是函数关系吗？ 3.一年之中有许多节日，如春节、元宵节、清明节等，试问：今年的各个节日和日期（公历）之间是否存在依赖关系？这是一种函数关系吗？ 4.某校建立学生电子档案，主要信息有：档案序号、姓名、学号、照片、家庭住址等。试问： （1）档案序号和姓名（假设无重名）之间的关系是否是函数关系？ （2）档案序号和学号之间的关系是否是函数关系？ （3）姓名和照片之间的关系是否是函数关系？ 【课堂探究案】 一、探究问题 1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.如图.请问：骆驼的体温与时间之间存在依赖关系吗？若存在，这种依赖关系是函数关系吗？ 2.我们在物理中学习过的 R U I ，当R 为定值时，电流强度I 与电压U 能否形成一对函数关系？ 30 32 34 3638404204812162024283236404448 时间/时温度/摄氏度

生活中的变量关系教学教案

生活中的变量关系教学教案 生活中的变量关系教学教案 第二章函数 2.1生活中的变量关系（学案） [学习目标] 1、知识与技能 （1）通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系； （2）知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系； （3）了解两变量之间有函数关系具备的条件； 2、过程与方法 （1）从实践生活中发现变量之间存在关系的过程，感知函数的意义. （2）注意收集归纳生活中变量之间的关系. 3、情感.态度与价值观 培养善于观察发现的责任心，增强学习的积极性. [学习重点]:现实生活中的实例中的变量关系. [学习难点]：对于两变量之间的函数关系的理解. [学习教具]：实例图片 [学习方法]：提供信息材料，自主学习、思考、交流、讨论和概括.

[学习过程] 世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关系，变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们息息相关.函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系. [互动过程1]： 回顾复习：初中我们学习过哪些函数？ 你能说出函数描述了几个变量之间的关系它们分别是什么变量 因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系什么是函数吗 由于函数的概念比较抽象，不好理解，教师可以提示： 因变量y随自变量x的变化而变化：即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应则称y是x的函数. 函数的概念： 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数.x叫做自变量. 注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系. [互动过程2]： 1．由挂图提供下面有关的数据,请同学们根据下列数据思考表中有几个变量?这些变量之 间有没有函数关系? 你能利用表中的数据画出图形，并观察它们之间的关系吗. 这样就更清楚的表现出变量之间的依赖关系和变化关系了.

生活中变量关系与函数的概念(教案)

生活中变量关系与函数的概念（教案） 教学目标： （1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的三要素； （3）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示。 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、探究新知：学生阅读教材2725p p --内容和30p 区间的概念及写法（表2—3），完成以下填空和问题（15分钟） 1．在初中学习过的函数实际上描述了两个变量之间的某种依赖关系：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有 与之对应，此时y 是x 的函数，这两个变量x 、y 分别称为 和 。 2．通过课本中实例1、2、3我们可以看到并非所有的依赖关系都有函数关系 。只有两个变量满足什么样的依赖关系时，才具有函数关系？ 3. ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. t 与h 是否有函数关系？ 二、抽象概括 函数的概念： 归纳：从实例1、2、3我们可以看到有函数关系的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作： :f A B → 函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域。显然，值域是集合B 的子集。

用图像表示变量关系的教学设计

第三章变量之间的关系 3 用图象表示的变量间关系（第2课时） 一、学情分析 学生的知识技能基础：在本章前面几节课中，学生学习了自变量和因变量的概念，并学习了变量之间关系的三种表示方法，初步理解了自变量和因变量的概念，具备了变量之间关系的三种表示方法的基本技能。 学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生对三种变量表示方法的认识，提出了本课的具体学习任务：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。因此本课时的教学目标如下： 1．能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解； 2．能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示； 3．进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：回顾思考、讲授新课、合作学习、练习提高、课堂小结、教学反馈、布置作业。 第一环节回顾思考 活动内容：

学生自己总结已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。 1.列表法 下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化： 在这个表中反映了个变量之间的关系，是自变量，是因变量。 2.关系式法 某出租车每小时耗油5千克，若ｔ小时耗油ｑ千克，则自变量是，因变量是，ｑ与t的关系式是。 3.图象法 下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。 （1）大约什么时刻港口的水最深？约是多少？ （2）A点表示什么？ （3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？ 时间/ 活动目的：通过这一活动，希望学生能总结学习过的三种表示变量之间关系的方法,体会学习过的三种表示变量之间关系的方法之间的联系，培养学生善于总结规律,善于观察生活，乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。 实际教学效果：学生搜集的图表和数据内容丰富多彩，形式多样，来源方式也是多种多样，有的查阅报纸杂志，有的上网调查。这些都充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情和小组团结合作的精神。 附学生调查收集的数据： 如图是沈阳地区一天的气温随时间变化的图像，根据图像回答，在这一天中，

生活中的变量关系教案

生活中的变量关系教案 Final revision on November 26, 2020

`北师大版高一数学必修1 §1生活中的变量关系 【教学目标】 1．通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解 依赖关系与函数关系的联系与区别。 2.培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析 归纳和比较来提高学生的实践能力． 【教学重难点】 1．重点：变量间依赖关系和函数关系的区分 2．难点：依赖关系和函数关系的差别。. 【教学过程】 一、创设情景，引入课题 世界是变化的，生活中处处有变量，变量之间充满了依赖关系，并与学生分享我的故事，从而引出课题：《生活中的变量关系》 二、新课探究 故事场景一：高速公路入口（我国高速公路的变化情况） 问题1：从给定的数据中，让你感受最深的是什么？ 问题2：你能否从数学的角度来分析一下这个问题 高速公路的总里程随着时间的变化而变化 故事场景二：行驶在高速公路上

探究：你能发现哪些变量间的依赖关系呢？ 我的发现： 1、行驶的路程s和时间之间t 2、汽车的速度v和时间t 3、耗油量l和时间t 故事场景三：高速公路的服务区（油罐车） （用几何画板展示油量的变化情况） 探究：你能发现哪些变量间的依赖关系呢？ 我的发现： 1、储油量v与油面宽度w存在关依赖关系 2、储油量v与油面高度h存在着依赖关系 问题：我们已经在我们身边找到如此多的变量间的依赖关系，那在初中我们有没有学习过两个变量间的某种关系呢（引出函数的概念） 问题：你能说出初中学过的函数的概念吗？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数.x 叫自变量,y叫因变量 围绕初中函数的概念，来逐个分析前面的每一个依赖关系是 不是函数关系，（注：着重强调自变量和因变量，并指出不 是所有依赖关系都是函数关系）

《生活中的变量关系》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《生活中的变量关系》 《生活中的变量关系》一节是北师大版必修一第二章第一节的教学内容，函数是中学数学的核心内容,生活中的变量关系是函数一章的开篇课,为函数的学习提供必要的知识铺垫.通过本节的学习,学生将明析依赖关系与函数关系的区别和联系,体会生活与数学的密切联系,掌握研究方法激发学生学习数学的兴趣。 辨析依赖关系和函数关系，根据具体情况，能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 【过程与方法目标】 经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。 【情感态度价值观目标】 通过研究，学习培养抽象思维能力和概括能力，通过对自变量和因变量关系的表达，培养数学建模能力，增强应用意识。 【教学重点】 依赖关系与函数关系的区别和联系。 【教学难点】 根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分 1.说出初中所学函数的概念？ 设在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量。 2.如何确定两个变量之间是函数关系？ ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教材分析 ◆教学过程 ◆教学目标

定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且，y是x的函数。 二、研探新知，建构概念 例1.我国自1988年开始建设高速公路,全国高速公路通车总里程,于1998年底,位居世界第八；1999年底,位居世界第四；2000年底,位居世界第三；2001年底,超过了加拿大,跃居世界第二位。 在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？ 设计意图:通过问题情境，引出数学与生活的联系，感受生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。同时简要介绍本章知识，使学生对本章知识有一个初步认识例 2.下图是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、储油量v是变量.这些变量中,请指出哪两个具有依赖关系,哪两个变量具有函数关系.

《用关系式表示的变量间关系》公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

《用关系式表示的变量间关系》 教学设计 教材分析 用关系式表示的变量间关系是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》七年级下册第三章第二节内容，本章主要研究变量之间关系的表示方法；本节要求理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量；能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式所以本节的重点是能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式。 教学目标 1．理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量； 2．能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式； 3．经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感； 教学重难点 【教学重点】 能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式； 【教学难点】 能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系； 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备； 练习本； 教学过程 一、新课导入 太阳钟计时方法 日晷和土圭是最古老的计时仪器，是一种构造简单，直立于地上的杆子，用以观察太阳光投射的杆影，通过杆影移动规律、影的长短，以定时刻、冬至、夏至日．

二、新课学习 如图3-1，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为．（3）当底边长从12cm 变化到3cm 时，三角形的面积从cm2变化到cm2．三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？ ①操作多媒体，演示“三角形面积的变化” ②问题探究： (1) 问题：决定一个三角形面积的因素有哪些？ (2) 课件演示：（高一定）变化中的三角形 效果：学生都能说出三角形的面积和三角形的底边长和高有关系，在多媒体的演示下，学生都能感受三角形（高一定）面积随着边长的改变而改变。 y=3x表示了图3-2中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式．

高中数学2.1生活中的变量关系教案北师大版必修

2.1生活中的变量关系 一、教学目标: 1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系． 2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度． 二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系 教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度 三、教学方法：探究交流法 四、教学过程 （一）、知识探索： 阅读课文P25页。实例分析：书上在高速公路情境下的问题。 在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？ 2．对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？ 问题小结： 1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。 2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。 3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。 （二）、新课探究——函数概念 1．关于函数的定义： 2．从集合的观点出发，函数定义：

给定两个非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作或 f：A→B，或y=f(x),x∈A. ； 此时x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合 {f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。习惯上我们称y是x的函数。 3．函数的三要素： 定义域，值域，对应法则； 4．函数值 当x=a时，我们用f（a）表示函数y=f（x）的函数值。 （三）、知识体验（课堂练习及课外作业） 1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是 ,它们之间是______关系. 【函数 y=100x,x∈D 】 2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________ .(三个以上) 【路程与时间；炮弹的射高与时间的变化关系问题；用电量与时间的关系。】 3.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在______________关系. 【函数】 4.在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系?如果是函数关系,指出自变量和因变量. 【是函数关系；自变量是所加蔗糖的质量；因变量是糖水的质量浓度。】 5.日期与星期之间存在怎样的依赖关系?这种依赖关系是函数关系吗?如果是,指出自变量和因变量. 【是函数关系；自变量是日期；因变量是星期。】 6.下列过程中变量之间是否存在依赖关系,其中哪些是函数关系: (1)地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的关系 (2)在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时间的关系 (3)某水文观测点记录的水位与时间的关系 (4)某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系