分裂四元数矩阵的实表示与特征值

第48卷第2期2019年3月内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)J o u r n a l o f I n n e rM o n g o l i aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )V o l .48N o .2M a r .2019

收稿日期:2018-03-09基金项目:山东省自然科学基金资助项目(Z R 2017MA 029);山东省高等教育科技计划项目(J 16L I 15)

;山东省教育科学 十二五”规划 高等教育数学教学专项”重点资助课题(Z B S 15004);菏泽学院科研基金科技计划项目(2017001)作者简介:孔祥强(1983-),男,山东菏泽人,菏泽学院讲师,主要从事计算数学研究.分裂四元数矩阵的实表示与特征值

孔祥强

(菏泽学院数学与统计学院,山东菏泽274015

)摘 要:在分裂四元数概念的基础上,首先给出了分裂四元数的实表示;其次,依托实矩阵研究分裂四元数

矩阵,得到分裂四元数矩阵实表示的重要性质;最后,给出了分裂四元数矩阵特征值存在的充分必要条件,并通

过数值算例说明了分裂四元数矩阵左特征值的求法.关键词:分裂四元数;分裂四元数矩阵;实表示;特征值

中图分类号:O246.1 文献标志码:A 文章编号:1001-8735(2019)02-0112-05d o i :10.3969/j

.i s s n .1001-8735.2019.02.0041843年,H a m i l t o n 提出了四元数的概念,其形式为H 0=a 0+a 1i +a 2j +a 3{}k ,且满足i 2=-1,j 2=-1,k 2=-1,i j =-j i =k ,j k =-k j =i ,k i =-i k =j ,i j

k =-1,a 0,a 1,a 2,a 3∈R .1849年,J a m e s C o c k l e 提出分裂四元数的概念,其形式为H =a 0+a 1i +a 2j +a 3{}k ,且满足i 2=-1,j 2=1,k 2=1,i j =-j i =k ,j k =-k j =-i ,k i =-i k =j ,i j

k =1,a 0,a 1,a 2,a 3∈R .H 0和H 是两个结合且非交换的四维克利福德代数,是两个非交换的代数环.四元数代数H 0为除环,分裂四元数代数H 不是除环,且含有零因子二幂等元和幂零

元等[1].

分裂四元数矩阵的特征值问题在四元数理论研究中占有非常重要的地位,对这部分的研究已取得丰硕成果[2-3].文献[4]利用矩阵的复表示研究了四元数矩阵的右特征值问题,得到系列结果.文献[5]利用矩阵的复表示研究了分裂四元数矩阵的左特征值和右特征值.本文研究实表示意义下分裂四元数矩阵的性质和特征值问题.

1 分裂四元数的实表示

设H =a =a 0+a 1i +a 2j +a 3k ;a 0,a 1,a 2,a 3∈{}R ,且满足i 2=-1,j 2=1,k 2=1,i j k =1,i j =-j i =k ,j k =-k j =-i ,k i =-i k =j ,称满足条件的a 为分裂四元数.称a =a 0-a 1i -a 2j -a 3k 为a 的共轭,a =|a a |=|a 20+a 21-a 22-a 23|为a 的范数

[5].定理1 任一个分裂四元数均和R 上的4阶矩阵同构.证明 令a =a 0+a 1i +a 2j +a 3k ∈H ,a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,定义映射φa :H →H ,σa (b )=a b ,?b ∈H ,则φa 为双射,

且 φa (1)=a 1=a 0+a 1i +a 2j +a 3k , φa (i )=a i =-a 1+a 0i +a 3j -a 2k , φa (j )=a j =a 2+a 3i +a 0j +a 1k , φ

a (k )=a k =a 3-a 2i -a 1j +a 0k .依此映射,可定义分裂四元数集合为4阶实矩阵集合

M 4×4(R )=a 0a 1a 2a 3-a 1a 0a 3-a 2a 2a 3a 0a 1a 3-a 2-a 1a ?è???????÷÷÷÷÷0T ,a 0,a 1,a 2,a 3∈ì?í??????üt

y??????R 的子集合,H 和M 4×4(R )本质是相同的.

故对分裂四元数的研究可转化为实数域上4阶矩阵的研究.实数域

四元数正规矩阵的几个定理

四元数正规矩阵的几个定理1 邹黎敏，陈香萍，伍俊良，李声杰 重庆大学数理学院，重庆（400044） E-mail ：zlmlohr@https://www.wendangku.net/doc/a58314737.html, 摘 要：利用四元数正规矩阵可对角划的性质，得到了四元数正规矩阵的一些性质及判定准则。同时获得了四元数正规矩阵弱直积，矩阵方程，特征值的几个定理。 关键词: 四元数体，正规矩阵，弱直积，特征值 中图分类号: O241.6 文献标识码: A 1．引言与符号约定 近年来，人们对于四元数体上代数问题的研究非常深入，不仅仅是由于四元数乘积的非交换特性这一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣(参考[1-3])，同时还因为四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，四元数在计算机图形图像处理和识别方面的应用，四元数在空间定位方面的应用等，也促使人们对四元数代数问题加以研究（参见[4-8]）。 四元数矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，特别在自共轭四元数矩阵的特征值、奇异值、合同、正定性以及自共轭四元数矩阵的子式等方面有着广泛的研究[文9-14]。但很少有文献对四元数正规矩阵进行研究。本文借助于四元数体上正规矩阵的概念以及相似分解，给出了四元数正规矩阵的一些性质和判定准则，得到了四元数正规矩阵弱直积，合同化简以及特征值不等式的几个定理。 文中用R 表示实数域，C 表示复数域，H 表示R 上的四元数体，R 和H 上n 阶矩阵的全体分别记为n n R ×和n n H ×，*'A A =表示A 的共轭转置，k a j a i a a a 3210+++=表示实四元数（3210,,,a a a a 为实数） ，用α和n I 分别表示H 上任意n 维四元数列向量和n 阶单位矩阵，)Re(a 表示a 和实部，* a 表示a 的共轭四元数，* α表示α的共轭转置向量, a a a N *)(=和N (α)=αα*分别表示a 和α的范数。 2．一些定义和引理 定义 1. 设n n H A ×∈，如果**AA A A =，则称A 是正规矩阵，则易知自共轭四元数矩阵，斜自共轭矩阵和下面定义的酉矩阵均为正规矩阵。 定义2. 设n n H A ×∈，如果n I AA A A ==* * ，则称A 是H 上的一个n 阶酉矩阵，其全体记为()u n H ,。 定义3[10] . 设() ij m n A a ×=与() ij p q B b ×=是H 上的矩阵，称H 上mp nq ×阵 1 本课题得到国家自然科学基金(60574073和10471142)和重庆市科委科学研究基金(CSTC,2005CF9057)的资 助。

特征值分解与奇异值分解

特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。 奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记 (A) 为σ i 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧：

旋转的矩阵与四元数的转换算法

绕指定方向的轴线的旋转 旋转的矩阵与四元数的转换算法 一、基本知识 四元数 q=w+xi+yj+zk, q=w+v, q ?1=|q|2q ?. 其中q ?= w ?xi ?yj ?zk 表示q 的共轭。 vv' =v×v' ?v?v' …… ① qq'= (ww'?v?v') + (wv' +vw' +v×v'), …… ② v ?v' = ?(vv' +v'v) /2 , …… ③ v×v' = (vv' ?v'v) /2 . …… ④ v 2=?|v|2. 内积v ?v =|v|2. 二、旋转表示为四元数 绕指定方向n 的旋转公式为 x'=(x ?n)n(1?cosθ ) + cosθ x +sinθ n×x …… ⑤ 其中的向量运算转化为四元数运算得到 x'= ?(x n+nx)n (1?cosθ)/2 +cosθx +sinθ (n x?x n)/2, 由于|n|=1, 故n ?1=?n. 因此有 x'= (1+cosθ)x/2 +sinθ (n x?x n )/2 ?nxn (1?cosθ)/2 . …… ⑥ x 的平行、垂直分量记为x p =(x?n)n , x v = x?x p , 则?nxn= x p ? x v , 与x 关于n 轴对称。 (nx?xn)/2= n×x, 是x v 旋转+90°的结果。 若 n ⊥x, x?n =0,即xn=?nx, 此时nxn=x, 故 x' =(cosθ+n sinθ)x . q=r(cosθ+nsinθ)称为四元数的三角式，其中n 为单位向量，它的几何意义是，qx 表示对向量x 绕方向n 旋转θ角，然后长度扩大为r 倍。任何四元数都有三角式q=w+v= |q|(w/|q|+n|v|/|q|)=r(cosθ+nsinθ). φ(x)=qxq ?1称为四元数域上的合同变换。若q=a+bn, |n|=1, 则 |q|2 =a 2+b 2 , |q|2φ(x) = qx q ? =( a+bn)x(a ?bn) =(ax+bnx)(a ?bn) =a 2x+ bnxa ? axbn ?bnxbn= a 2x+ ab(n x?xn)?b 2nxn. 即 |q|2(qxq ?1) = a 2x+ ab(n x?xn)?b 2nxn …… ⑦

四元数法VS旋转矩阵法的性能比较

探讨：物体绕任意向量的旋转-四元数法VS.旋转矩阵法的性能比较 3D空间中的旋转可用旋转矩阵、欧拉角或四元数等形式来表示，他们不过都是数学工具，其中在绕任意向量的旋转方面，旋转矩阵和四元数两种工具用的较多，欧拉角由于存在万向节死锁等问题，使用存在限制。 （本文假设坐标系为左手坐标系中，旋转方向为顺时针。） 所求问题： 给定任意单位轴q(q1,q2,q3)(向量),求向量p(x,y,z)(或点p)饶q旋转theta角度的变换后的新向量p'(或点p')： 1.用四元数工具： ------------------------------------------------------------------------- 结论：构造四元数变换p'= q*p*q-1，（p,q是由向量p,q扩展成的四元数）。那么，p'转换至对应的向量(或点)就是变换后的新向量p'(或点p')。 其中，p',q,p,q-1均为四元数。q由向量q扩展,为q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p扩展,为p=(0,x,y,z),q-1为q的逆，因为q为单位四元数，所以 q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。 ------------------------------------------------------------------------- （这个结论的证明过程可以在网上找到。这里略去。） 下面看其时间复杂度： 首先有个三角函数的计算时间，这个可以预先计算好，花费时间不计。考虑n个四元数相乘需进行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因为加法化费时间较少，这里仅考虑乘法。这里涉及到三个四元数的乘法，设一次乘法的时间为T,故花费16*2=32T 2.旋转矩阵工具： ------------------------------------------------------------------------- 结论：构造旋转矩阵变换Trot,则变换后的新向量p'(或点p')为p'= p*Trot 其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)为向量p'，p的4D齐次坐标表示，Trot = |t*q1*q1 + c, t*q1*q2 + s*q3, t*q1*q3 - s*q2, 0| |t*xq1*q2 - s*q3, t*q2*q2 + c, t*q2*q3 + s*q1, 0| |t*q1*q3 + s*q2, t*q2*q3 - s*q1, t*q3*q3 + c, 0| |0, 0, 0, 1| c=cos(theta), s=sin(theta),t=1-c. ------------------------------------------------------------------------- （这个结论的证明过程可以在网上找到。这里略去。） 下面看其时间复杂度： 三角函数的计算时间不计。矩阵本身的元素乘法主要是计算t*x和s*x之类，需进行12+3=15次乘法。两个矩阵相乘的需进行n*n*n次乘法,这里n=4，所以花费4*4*4=64次乘法时间,

旋转矩阵、欧拉角、四元数

旋转矩阵、欧拉角、四元数比较 旋转矩阵、欧拉角、四元数主要用于: 向量的旋转、坐标系之间的转换、角位移计算、方位的平滑插值计算 各方法比较 任务/性质旋转矩阵欧拉角四元数 在坐标系间(物体和惯性)旋转点能不能(必须转换到矩 阵) 不能(必须转换到矩 阵) 连接或增量旋转能,但经常比四元数 慢,小心矩阵蠕变的情 况 不能能,比矩阵快 插值基本上不能能,但可能遭遇万向锁 或其他问题Slerp提供了平滑插值 易用程度难易难 在内存或文件中存储9个数3个数4个数 对给定方位的表达方式是否唯一是不是,对同一方位有无 数多种方法 不是,有两种方法,它 们互相为互 可能导致非法矩阵蠕变任意三个数都能构成 合法的欧拉角可能会出现误差积累,从而产生非法的四元数 不同的方位表示方法适用于不同的情况。下面是我们对合理选择格式的一些建议: l 欧拉角最容易使用。当需要为世界中的物体指定方位时,欧拉角能大大的简化人机交互, 包括直接的键盘输入方位、在代码中指定方位(如为渲染设定摄像机)、在调试中测试。这个优点不应该被忽视,不要以”优化”为名义而牺牲易用性,除非你去顶这种优化的确有效果。 2如果需要在坐标系之间转换响亮,那么就选择矩阵形式。当然,这并不意味着你就不能用其他格式来保存方位,并在需要的时候转换到矩阵格式。另一种方法是用欧拉角作为方位的”主拷贝”但同时维护一个旋转矩阵,当欧拉角发生改变时矩阵也要同时进行更新。

3 当需要大量保存方位数据(如:动画)时,就使用欧拉角或四元数。欧 拉角将少占用25%的内存,但它在转换到矩阵时要稍微慢一些。如果动画数据需要嵌套坐标系之间的连接,四元数可能是最好的选择。 4 平滑的插值只能用四元数完成。如果你用其他形式,也可以先转换 到四元数然后再插值,插值完毕后再转换回原来的形式。

雅克比法求矩阵特征值特征向量

C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。

限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献

1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include #include #include int main() { FILE *fp; int tezheng(double *a,int n,double *s,double *u,double eps,int itmax); //函数调用声明 int i,j,p,itmax=1000; //itmax为最大循环次数 double eps=1e-7,s[3][3],u[3][3]; //eps为元素精度，s为对角矩阵S，u为矩阵U double a[9];//a为待分解矩阵A i=tezheng(a,3,s,u,eps,1000);

基于四元数方法的姿态解算

基于四元数方法的姿态解算方法分析 摘要:载体的姿态解算算法是实现捷联式惯性导航系统精确导航的核心技术之一。分析了欧拉法、方向余弦法、四元数法求解姿态矩阵的优缺点，采用四元数法与方向余弦法两种解算方法分别计算载体姿态，两种方法的计算结果之差与理论真值比较以得到解算的相对误差，从而验证了四元数法的正确性和有效性。最后，指出提高采样频率和采用高阶计算算法能进一步减小姿态解算误差。数字化仿真与转台试验结果表明，本文提出的载体姿态解算法具有良好的实时性。 1引言 捷联惯导是一种自主式的导航方法。该方法将陀螺仪和加速度计直接安装在载体上，省掉机电式导航平台，利用计算机软件建立一个“数学平台”来代替机电平台实体[1]。由于其结构简单且抗干扰能力强，目前已成为航空航天、航海、机器人、智能交通等领域的研究热点之一。 姿态解算是捷联式惯性导航系统的关键技术，通过姿态矩阵可以得到载体的姿态和导航参数计算需要的数据，是捷联式惯导算法中的重要工作。载体的姿态和航向体现了载体坐标系与导航坐标系之间的方位关系，确定两个坐标系之间的方位关系需要借助矩阵法和力学中的刚体定点运动的位移定理。通过矩阵法推导方向余弦表，而刚体定点运动的位移定理表明，定点运动刚体的任何有限位移都可以绕过定点的某一轴经过一次转动来实现。目前描述动坐标相对参考坐标系方位关系的方法有多种，可简单地将其分为3类，即三参数法、四参数法和九参数法「1-2]。三参数法也叫欧拉角法，四参数法通常指四元数法，九参数法称作方向余弦法。欧拉角法由于不能用于全姿态飞行运载体上而难以广泛用于工程实践，且实时计算困难。方向余弦法避免了欧拉法的“奇点”现象，但方程的计算量大，工作效率低。随着飞行运载体导航控制系统的迅速发展和数字计算机在运动控制中的应用，控制系统要求导航计算环节能更加合理地描述载体的刚体空间运动，四元数法的研究得到了广泛重视。本文全面分析了3种解算方法的特点，通过对比四参法与九参法的计算结果以验证四元数法的正确性和有效性，基于数值仿真和转台实验相结合的分析方法得到进一步减少姿态解算误差的有效途径，为捷联式惯性导航技术的工程实践提供参考。（就是这部分内容需要程序解算，不会搞） 2姿态矩阵的计算方法 由于载体的姿态方位角速率较大，所以针对姿态矩阵的实时计算提出了更高的要求。通常假定捷联系统“数学平台”模拟地理坐标系，即导航坐标系;而确定载体的姿态矩阵即为研究载体坐标系(6)和导航坐标系(E)的空间转动关系，一般用载体坐标系相对导航坐标系的三次转动角确定，习惯上俯仰角和偏航角用B和必表示，滚转角用Y表示。目前主要的研究方法为:欧拉法、方向余弦法与四元数法。图1为捷联式惯性导航原理图。

分裂四元数矩阵的实表示与特征值

第48卷第2期2019年3月内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)J o u r n a l o f I n n e rM o n g o l i aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )V o l .48N o .2M a r .2019 收稿日期:2018-03-09基金项目:山东省自然科学基金资助项目(Z R 2017MA 029);山东省高等教育科技计划项目(J 16L I 15) ;山东省教育科学 十二五”规划 高等教育数学教学专项”重点资助课题(Z B S 15004);菏泽学院科研基金科技计划项目(2017001)作者简介:孔祥强(1983-),男,山东菏泽人,菏泽学院讲师,主要从事计算数学研究.分裂四元数矩阵的实表示与特征值 孔祥强 (菏泽学院数学与统计学院,山东菏泽274015 )摘 要:在分裂四元数概念的基础上,首先给出了分裂四元数的实表示;其次,依托实矩阵研究分裂四元数 矩阵,得到分裂四元数矩阵实表示的重要性质;最后,给出了分裂四元数矩阵特征值存在的充分必要条件,并通 过数值算例说明了分裂四元数矩阵左特征值的求法.关键词:分裂四元数;分裂四元数矩阵;实表示;特征值 中图分类号:O246.1 文献标志码:A 文章编号:1001-8735(2019)02-0112-05d o i :10.3969/j .i s s n .1001-8735.2019.02.0041843年,H a m i l t o n 提出了四元数的概念,其形式为H 0=a 0+a 1i +a 2j +a 3{}k ,且满足i 2=-1,j 2=-1,k 2=-1,i j =-j i =k ,j k =-k j =i ,k i =-i k =j ,i j k =-1,a 0,a 1,a 2,a 3∈R .1849年,J a m e s C o c k l e 提出分裂四元数的概念,其形式为H =a 0+a 1i +a 2j +a 3{}k ,且满足i 2=-1,j 2=1,k 2=1,i j =-j i =k ,j k =-k j =-i ,k i =-i k =j ,i j k =1,a 0,a 1,a 2,a 3∈R .H 0和H 是两个结合且非交换的四维克利福德代数,是两个非交换的代数环.四元数代数H 0为除环,分裂四元数代数H 不是除环,且含有零因子二幂等元和幂零 元等[1]. 分裂四元数矩阵的特征值问题在四元数理论研究中占有非常重要的地位,对这部分的研究已取得丰硕成果[2-3].文献[4]利用矩阵的复表示研究了四元数矩阵的右特征值问题,得到系列结果.文献[5]利用矩阵的复表示研究了分裂四元数矩阵的左特征值和右特征值.本文研究实表示意义下分裂四元数矩阵的性质和特征值问题. 1 分裂四元数的实表示 设H =a =a 0+a 1i +a 2j +a 3k ;a 0,a 1,a 2,a 3∈{}R ,且满足i 2=-1,j 2=1,k 2=1,i j k =1,i j =-j i =k ,j k =-k j =-i ,k i =-i k =j ,称满足条件的a 为分裂四元数.称a =a 0-a 1i -a 2j -a 3k 为a 的共轭,a =|a a |=|a 20+a 21-a 22-a 23|为a 的范数 [5].定理1 任一个分裂四元数均和R 上的4阶矩阵同构.证明 令a =a 0+a 1i +a 2j +a 3k ∈H ,a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,定义映射φa :H →H ,σa (b )=a b ,?b ∈H ,则φa 为双射, 且 φa (1)=a 1=a 0+a 1i +a 2j +a 3k , φa (i )=a i =-a 1+a 0i +a 3j -a 2k , φa (j )=a j =a 2+a 3i +a 0j +a 1k , φ a (k )=a k =a 3-a 2i -a 1j +a 0k .依此映射,可定义分裂四元数集合为4阶实矩阵集合 M 4×4(R )=a 0a 1a 2a 3-a 1a 0a 3-a 2a 2a 3a 0a 1a 3-a 2-a 1a ?è???????÷÷÷÷÷0T ,a 0,a 1,a 2,a 3∈ì?í??????üt y??????R 的子集合,H 和M 4×4(R )本质是相同的. 故对分裂四元数的研究可转化为实数域上4阶矩阵的研究.实数域

四元数矩阵转化

//公式都是网上搜罗的，下面这些经过简单的测试，确认可用。 //ps: x,y,z,w 分别是四元素的四个值。稍微修改下就可以用。 // 由旋转矩阵创建四元数 inline CQuaternion(const_Matrix4& m) { float tr, s, q[4]; int i, j, k; int nxt[3] = {1, 2, 0 }; // 计算矩阵轨迹 tr = m._11 + m._22 + m._33; // 检查矩阵轨迹是正还是负 if(tr>0.0f) { s = sqrt(tr + 1.0f); this->w = s / 2.0f; s = 0.5f / s; this->x = (m._23 - m._32) * s; this->y = (m._31 - m._13) * s; this->z = (m._12 - m._21) * s; } else { // 轨迹是负 // 寻找m11 m22 m33中的最大分量 i = 0; if(m.m[1][1]>m.m[0][0]) i = 1; if(m.m[2][2]>m.m[i][i]) i = 2; j = nxt[i]; k = nxt[j]; s = sqrt((m.m[i][i] - (m.m[j][j] + m.m[k][k])) + 1.0f); q[i] = s * 0.5f; if( s!= 0.0f) s = 0.5f / s; q[3] = (m.m[j][k] - m.m[k][j]) * s; q[j] = (m.m[i][j] - m.m[j][i]) * s; q[k] = (m.m[i][k] - m.m[k][i]) * s; this->x = q[0]; this->y = q[1]; this->z = q[2]; this->w = q[3]; }

矩阵运算、分解和特征值

实验报告（五） 院（系）课程名称：数学模型日期：年月日 班级学号实验室506 专业数学教育姓名计算机号F08 实验 名称 矩阵运算、分解和特征值成绩评定 所用 软件 MATLAB 7.0 指导教师 实验目的1．矩阵的基本运算。 2．矩阵的LU、QR和Cholesky分解。3．矩阵的特征向量和特征值。 实验内容问题1：求线性方程组 1234 124 234 1234 258 369 225 4760 x x x x x x x x x x x x x x +-+= ? ?--= ? ? -+=- ? ?+-+= ? 的解。问题2： （1）求矩阵 123 456 780 A ?? ? = ? ? ?? 的LU分解。 （2）求矩阵 123 456 789 101112 A ?? ? ? = ? ? ?? 的QR分解。 （3）求5阶pascal矩阵的Cholesky分解。 问题3： （1）求矩阵 31 13 A - ?? = ? - ?? 的特征值和特征向量。 （2）求矩阵 23 45 84 A ?? ? = ? ? ?? 的奇异值分解。

实验过程问题1：A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; >> inv(A) ans = 1.3333 -0.6667 0.3333 -1.0000 -0.0741 0.2593 1.1481 -0.1111 0.3704 -0.2963 0.2593 -0.4444 0.2593 -0.4074 -0.5185 -0.1111 ans=[1.3333,-0.6667,0.3333,-1.0000;-0.0741,0.2593,1.1481,-0.1111;0.3704,-0. 2963,0.2593,-0.4444;0.2593,-0.4074,-0.5185,-0.1111]; >> B=[8;9;-5;0]; >> ans*B ans = 2.9996 -3.9996 -1.0000 1.0003 所以线性方程的解x=[ 2.9996,-3.9996,-1.0000,1.0003] 问题2：1、A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]; >> [L,U]=lu(A) L = 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U = 7.0000 8.0000 0 0 0.8571 3.0000 0 0 4.5000 2、A=[1,2,3;4,5,6,;7,8,9;10,11,12]; >> [Q,R]=qr(A) Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748 R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0

第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法

第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得

特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用

特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用 摘要：目前，随着科学技术的高速发展，现实生活中有大量的信息用数字进行存储、处理和传送。而传输带宽、速度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显得十分必要。数据压缩技术已经是多媒体发展的关键和核心技术。图像文件的容量一般都比较大，所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像压缩就显得极其重要。当前对图像压缩的算法有很多，特点各异，类似JPEG 等许多标准都已经得到了广泛的应用。本文在简单阐述了矩阵特征值的数值求解理论之后，介绍了几种常用的求解矩阵特征值的方法，并最终将特征值计算应用到图像压缩中。以及奇异值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩[2]，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。 关键词：特征值数值算法；奇异值分解；矩阵压缩；图像处理 引言 矩阵的特征值计算虽然有比较可靠的理论方法，但是，理论方法只适合于矩阵规模很小或者只是在理论证明中起作用，而实际问题的数据规模都比较大，不太可能采用常规的理论解法。计算机擅长处理大量的数值计算，所以通过适当的数值计算理论，写成程序，让计算机处理，是一种处理大规模矩阵的方法，而且是一种好的方法。常用的特征值数值方法包括幂法、反幂法、雅克比方法、QR 分解法等。其中，幂法适用于求解矩阵绝对值最大的特征值，反幂法适合求解矩阵的逆矩阵的特征值，雅克比方法适合求解对称矩阵的特征值，QR分解法主要使用于求中小型矩阵以及对称矩阵的全部特征值。矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果当然与方阵的构造有密切关系。图像压缩处理就是通过矩阵理论减少表示数字图像时需要的数据量，从而达到有效压缩。数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化的取样数和灰度级。取样和量化的结果是一个实际的矩阵。图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗

中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用

中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用 摘要 本文针对偶数阶中心对称矩阵，引入偶数阶置换矩阵，探索了矩阵特征分解的新方法。该方法是通过对矩阵的分块，将复杂大型矩阵特征值问题，转化为几个小矩阵特征值求解，使得问题计算的复杂度大大缩减。 关键词：中心对称矩阵 置换矩阵 特征分解 定义1：如果n m ?矩阵P=（ij p ）满足 1,1+-+-=j n i m ij p p 其中n j m i ≤≤≤≤1,1 则P 是中心对称矩阵[1] 形如???? ??a b b a ，???? ? ??a b c d e d c b a 都是中心对称矩阵。 定义2：如果?????? ? ??==?111)( n n ij n J J ，则n J 为n 阶置换矩阵 设n J 为n 阶置换矩阵，则用n J 左乘（或右乘）矩阵P ，可以将其行（或列）按反序重新排列。 定理1：n m ?矩阵P 是中心对称矩阵当且仅当 n m PJ P J = 证明：若n m PJ P J =，因为E J n =2，则n m PJ J P =，且 [][]1,1,1+-+-+-===j n i m j i m n ij n m ij p PJ PJ J p 其中n j m i ≤≤≤≤1,1 因此P 是中心对称矩阵。 反之，若P 是中心对称矩阵，则显然有n m PJ P J =. 定理2：设P 和Q 都是n 阶中心对称矩阵，则P+Q ，PQ 和cP （c 为任意实数）仍是中心对称矩阵

证明：设P 和Q 都是n 阶中心对称矩阵，则由定理1， Q P QJ J PJ J J Q P J n n n n n n +=+=+)(， PQ QJ J PJ J J PQ J n n n n n n ==))(()(， cP PJ J c J cP J n n n n ==)()(. 因此，P+Q ，PQ 和cP 仍是中心对称矩阵。 引理1：对于偶数阶（n=2s ）置换矩阵J ，存在变换矩阵Q ，使得Q T J n Q 为E s 0-E s ?è ????÷÷ 证明：设T u )0,,0,1(1 =，则T n u J )1,,0,0(1 =，T n u J )0,,0,1(12 =，故0112=-u u J n 即0))(()(112=-+=-u E J E J u E J n n n ，所以 T n u E J )1,,0,1()(1 =+,T n u E J )1,,0,1()(1 -=-分别是n J 的属于特征值1，-1的 特征向量。同样，设T u )0,,1,0(2 =，有0222=-u u J n ，所以T )0,1,0,,0,1,0( 和 T )0,1,0,,0,1,0( -分别是属于特征值1，-1的特征向量。当P 为偶数阶（n=2s ）时，继续做下去，可得n=2s 个相互正交的特征向量，将它们排列为变换矩阵Q 的列向量，得 ??? ? ??-=????????????? ??---=s s s s E J J E Q 2111111111111121 ，

PCA(协方差矩阵和奇异值分解两种方法求特征值特征向量)

PCA(协方差矩阵和奇异值分解两种方法求特征值特征向量) 2015-12-30 10:43 1157人阅读评论(0) 收藏举报 分类： 模式识别（1） 1.问题描述 在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。 2.过程 主成分分析法是一种数据转换的技术，当我们对一个物体进行衡量时，我们将其特征用向量 （a1,a2,a3,...an）进行表示，每一维都有其对应的variance（表示在其均值附近离散的程度）；其所有维的variance之和，我们叫做总的variance；我们

对物体进行衡量时，往往其特征值之间是correlated 的，比如我们测量飞行员时，有两个指标一个是飞行技术（x1）,另一个是对飞行的喜好程度（x2），这两者之间是有关联的，即correlated的。我们进行PCA （主成分分析时），我们并没有改变维数，但是我们却做了如下变换，设新的特征为（x1,x2,x3...,xn）; 其中 1)x1的variance占总的variance比重最大； 2)除去x1,x2的variance占剩下的variance比重最大； .... 依次类推； 最后，我们转换之后得到的(x1,x2,...xn)之间都是incorrelated，我们做PCA时，仅取（x1，x2,....xk）,来表示我们测量的物体，其中，k要小于n。主成分的贡献率就是某主成分的方差在全部方差中的比值。这个值越大，表明该主成分综合X1，X2，…，XP信息的能力越强。如果前k个主成分的贡献率达到85%，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的