(完整版)高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
对数与对数函数
1.对数
（1）对数的定义：
如果 a b=N（a>0，a≠1），那么 b叫做以 a为底 N的对数，记作log a N=b. （2）指数式与对数式的关系： a b=N log a N=b （ a>0，a≠1，N>0）. 两个式子表示的 a、b、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（ 3）对数运算性质 :
①log a（MN）=log a M+log a N.
②log a M =log a M －log a N.
N
③log a M n=nlog a M.（M>0，N>0，a>0，a≠1）
④对数换底公式： log b N= log a N（a>0，
a≠1，b>0，b≠1，N>0）. log a b
2.对数函数
（1）对数函数的定义
函数 y=log a x（a>0，a≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+∞） .
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零 ,如果有根
号 ,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于 0 且不为 1 在一个普通对数式里 a<0, 或=1 的时候是会有相应 b 的值的。但是，根据对数定义 : log a a=1 ；如果 a=1 或=0 那么 log a a 就可以等于一切实数（比如 log1 1
也可以等于 2，3，4，5，等等）第二，根据定义
运算公式：log a M^n = nlog a M 如果 a<0, 那么这个等式两边就不会成立（比如， log（-2）4^（-2）就不等于（-2）
*log （-2）4 ；一个等于 1/16，另一个等于 -1/16 ）
（2）对数函数的图象
y=l og a x(a>1)
y=l og a x(0 （ 3）对数函数的性质 : ①定义域：（0，+∞）. ②值域： R. ③过点（ 1，0），即当 x=1 时， y=0. ④当 a>1时，在（0，+∞）上是增函数；当 0 基础例题 1.函数 f（x）=|log2x|的图象是 ? 2.若 f 1（ x）为函数 f（x）=lg（x+1）的反函数，则 f 1（x）的值域为_____ . 3.已知 f（ x）的定义域为［ 0，1］，则函数 y=f［log 1 （3－x）］的定义 域是 4.若 log x7y =z，则 x、y、z之间满足 A.y7=x z B.y=x7z C.y=7x z D.y=z x 5.已知 1 （ log n m），则 A.a B.a< c C.b< a D.c 6.若函数 f（x）=log a x（0< a<1）在区间［ a， 2a］上的最大值是最 小值的 3 则 a 等 A. 2 B. 2 C.1 D.1 4 2 4 2 7.函数 y＝log 2｜ax－ 1｜ （a≠0 ） 的对称轴方程 是 x＝－ 2，那么 a 等 于（x=-2 非 解） A. 1 B.－1 C. 2 D.－2 2 2 8.函数 f （ x）=log2|x| ，g （x）= － x2+2，则 f （ x）· g（x）的图象只 可 能是 O x O x A B C D 9.设 f －1（x）是 f（x）=log 2（ x+1）的反函数，若［ 1+ f － 1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则 f （ a+b）的值为 A.1 B.2 C.3 D.log23 10.方程 lgx+lg（x+3） =1 的解 x= __________ . 典型例题 （1 ） x , x 4, 【例 1】已知函数 f（x）= （2） ,x 4,则 f（2+log23）的值为 f （x 1）,x 4, A.1 B.1 C.1 D. 1 3 6 12 24 【例 2】求函数 y＝ log2｜ x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间 . 【例 3】已知 f（x）=log1［3－（x－1）2］，求 f（x）的值域及单调 3 区间. 【例 4】已知 y=log a（ 3－ax）在［0，2］上是 x 的减函数，求 a 的取值范围. 【例 5】设函数 f（x）=lg（1－x），g（x）=lg （1+x），在 f（x）和 g（x）的公共定义域内比较 |f（x）|与|g（x）|的大小 . 例 6】求函数 y=2lg（x－2）－ lg（x－3）的最小值 . 1 【例 7】在 f1（x）=x2，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log1 x 四 2 个函数中，x1>x2>1 时，能使1［f（x1）+f （x2）］ 22 立的函数是 1 A.f1（x）=x 2（平方作差比较） B.f2（x）2 =x C.f3（x）=2x D.f4（x）=log 1 x 探究创新 1.若 f（x）=x2－x+b，且 f（ log2a）=b，log2[ f（a）]=2（ a≠1） （1）求 f（log2x）的最小值及对应的 x 值； （2）x取何值时， f（log2x）>f（1）且 log2[f（x）] （1）？ 2.已知函数 f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f －1（x） 图象上的点 . （1）求实数 k的值及函数 f －1（x）的解析式； （2）将 y= f －1（ x）的图象按向量 a=（3，0）平移，得到 函数 y=g（x）的图象，若 2 f 1（x+ m －3）－g（x）≥1 恒 成立，试求实数 m 的取值范围 . 2