全国各地文科数学(统计、概率)高考试题汇总(近5年)
知识点归纳
1 事件的定义:随机事件;必然事件;不可能事件
2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率m
n
总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()P A .
3、等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果
出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是1
n
,这种事件叫等可能性事
件,其事件A 的概率()m
P A n
=
4、互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A 、B 互斥,即事件A 、B 不可能同时发生,这时P(A ?B)=0)P(A+B)=P (A )+ P(B)。
若事件A 与B 不是互斥,运用P (A+B )=1-P (A B ?)进行计算
5、对立事件的概念:事件A和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立,
即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一个发生,()
()A P A p -=1 6、事件的和的意义:事件A 、B 的和记作A +B ,表示事件A 、B 至少有一个发生 当A 、B 为互斥事件时,事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的, 因此当A 和B 互斥时,事件A +B 的概率满足加法公式:
P (A +B )=P (A )+P (B )(A 、B 互斥),且有P (A +A )=P (A )+P (A )=1
7、相互独立事件:事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
若A 与B 是相互独立事件,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立
相互独立事件同时发生的概率:()()()P A B P A P B ?=?
8、独立重复试验的定义:在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验
独立重复试验的概率公式:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率n k k n n P P C k P --=)1()( 表示事件A
在n 次独立重复试验中恰好发生了.....k .次.
的概率 9、解答概率问题的三个步骤:
(1)确定事件的性质:事件是等可能,互斥,独立还是重复独立事件; (2)判断事件的运算:所求事件是由哪些基本事件通过怎样运算而得;
(3)运用公式计算其事件的概率:等可能事件:()m
P A n
=,独立事件:
()()()P A B P A P B ?=?
互斥事件: P (A +B )=P (A )+P (B ),对立事件:P (A )=1-P (A )
2011山东18.
甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女。
(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名
教师性别相同的概率。
(2) 若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自
同一学校的概率。
2011天津15.
编号分别为1A ,2A ,L ,16A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格。
(2) 从得分在区间【20,30﹚内的运动员中随机抽取2人, ① 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ② 求这2人得分之和大于50的概率。
2011辽宁.19
某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验。选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙。
(1) 假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率;
(2) 试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地
2
分别求品种甲和品种乙的每公倾产量的样本平均数和样本方差,根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
2011北京.16
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示。
甲组 乙组 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 第16题图
(1) 如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;
(2) 如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为
19的概率。 (注:方差2
222121
()()()n S x x x x x x n
??=
-+-++-??L ,其中12,,,n x x x x L 为的平均数)
2011湖南.18
某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y (单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位:毫米)有关。据统计,当X=70时,Y=460;X 每增加10,Y 增加5。已知近20年X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1) 完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率。
2011江西.16
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。
(1)求此人被评为优秀的概率。
(2)求此人被评为良好及以上的概率。
2011广东.17
x表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分,用
n
x,及这6位同学成绩的标准差s;
(1)求第6位同学的成绩
6
(2)从前5位同学中,随机地选出2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率。
2010.山东.
19一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n ,求n 2010.广东.17 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 (1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。 2010.天津.18有编号为1210,,,A A A L 的10个零件,测量其直径(单位:cm ),得到下面数 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品。 (1) 从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率; (2) 从一等品零件中,随机抽取2个: ① 有零件的编号列出所有可能的抽取结果; ② 求这2个零件直径相等的概率。 2010.湖南.17为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中, (1)求x,y; (2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率。 2010.陕西.19为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下: (1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率; (3)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。 2010.安徽.18某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1) 完成频率分布表; (2) 作出频率分布直方图; (3) 根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,为 良;在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价。 2010.课标.19为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下: (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由。 附: 22 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2009.山东.19汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. (1) 求z 的值; (2) 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成 一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一 个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 2009.广东.18随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量它们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示。 甲班乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 (1)根据茎叶图判断哪两个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 2009.天津.18为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂。 (1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。 2009.辽宁.20某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm )的值落在【29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表: 甲厂: (1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的 附: 22 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2009.安徽.17某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A ,将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产量数据(单位:千克)如下: 品种A :357,359,367,368,375,388,392,399, 400,405,412,414,415,421,423,423, 451,454 品种B :363,371,374,383,385,386,391,392, 394,394,395,397,397,400,401,401, 422,430 (1) 绘出茎叶图; (2) 用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (3) 通过观察茎叶图,对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计 结论。 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1) 求x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少 名? (3) 已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。 2008.山东.18现有8名奥运会志愿者,其中志愿者1A 、2A 、3A 通晓日语,1B 、 2B 、3B 通晓俄语,1C 、2C 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者 各1名,组成一个小组. (1)求1A 被选中的概率; (2)求1B 和1C 不全被选中的概率。 2008.海南.19为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10. 把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本. 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。 2007.海南.20设有关于x的一元二次方程22 ++=. x ax b 20 (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率。 2007.广东.17下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产 . (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ?? =+; y bx a (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:3 2.543546 4.566.5 ?+?+?+?=)