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利用数形结合思想解数学题

利用数形结合思想解数学题
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2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)

专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合. (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种: ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围; ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围; ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系; ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; ⑤构建立体几何模型研究代数问题; ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; ⑦构建方程模型,求根的个数; ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等. (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: ①准确画出函数图像,注意函数的定义域; ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图像,由图求解. (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解. 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

数形结合思想在小学数学中的应用完整版

数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部:数学系 姓名:李宏 班级:2013级初等教育理科1班 目录

数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想,数形结合在数学中应用广泛,新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题:一是数学结合思想的简要概述;二是数形结合在小学数学中的意义和价值;三是数形结合在小学数学中的应用;四是在运用数形结合教学中,应注意的问题。 【关键词】数形结合;小学数学;教学应用 引言:小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的是思维素质,而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入,小学数学的教学模式更加多样化,传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下,小学数学中的抽象概念变得形象,生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法,可以直现感知抽象的理论及概念,避免机械记忆,使枯燥的名词真正地活起来,看得见,更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”,即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1],说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然,而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法:对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过:“抽象思维如果脱离直观,一般是很有限度的。同样,在抽象中如果看不出直观,一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念,我以学生发展为立足点,以自主探索为主线,以求异创新为宗旨,采用多媒体辅助教学,运用设疑激趣直观演示,实际操作等教学方法,引导学生动手操作、观察辨析、自主探究,让学生全面、全程地参与到每个教学环节中,充分调动学生学习的积极性,培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与

数形结合思想在高中数学解题中的应用

第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间,求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析:0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0f >, ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立,解得,故, 例2. 解不等式x x +>2 解:法一、常规解法: 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202

数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用 摘要 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科,数和形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,一方面,许多数量关系的抽象概念和解析式,若赋予几何意义,往往变得非常的直观形象,另一方面,一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更丰富、更精确、更深刻,这种“数”与“形”的信息转换,相互渗透,不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可以大大开拓我们的解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。 数形结合包含“以形助数”和“以数助形”两个方面,在高中阶段用的较多的是以形助数。数量关系如果能有效地结合图形,往往会使抽象问题直观化,复杂问题简单化,巧妙地应用数形结合的思想方法来处理一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,达到优化解题途径的目的,在选择题,填空题中,数形结合更能显示出其简捷的优越性。 关键词:数形结合思想方法应用解题

第一章 绪论 数学是研究现实世界中空间形式与数量关系的一门学科,故数学的研究是围绕数和形展开的,而数形结合的实质在于数量关系决定着几何图形属性,几何图形的属性反映着数量关系[1]。在现代数学研究中,数形结合既是一种常用的数学方法又是一种数学思想。由此可见,在高中阶段,掌握并熟练运用这一思想是十分必要的。本文针对数形结合思想的形成和演进,数形结合思想解题能力的培养,以及在高中数学解题中的应用范围和数形结合思想在解题中的实际应用做了浅显成述。

第二章数形结合思想的概述和历史演进 2.1数形结合思想的概述 数学的两个最古老、最普遍的研究对象是数、形,在某些条件的作用下,两者可以相互转化。中学数学研究的对象可以分为数和形两大部分,数与形的联系则称作数形结合,它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面[1]。以形助数,即借助形的直观性来阐明数之间的关系;以数助形,即借助数的精确性来阐明形的某些属性。 2.2数形结合思想的历史演进 随着时间的推移,数学得到了不断的拓展和充实,数学中最原始的研究对象数与形也在不断地变化,从最初因需要而产生数到欧几里德撰写的《几何原本》,再到从笛卡尔创立平面直角坐标系到近、现代数学研究,数形结合一直伴随其行。在古希腊数学时期,毕达哥斯拉学派在研究数学时,就借助形来归纳数的性质,这便是早期的“数”与“形”结合的体现。 数轴的建立使人类对数与形的统一有了初步的认识,把实数与数轴上的点一一对应起来,数可视为点,点可当作数,点在直线上的位置关系可以数量化,而数的运算可以几何化。1637年,笛卡尔在其《几何学》中,首次提出了点的坐标和变数的思想,并借助坐标系用含有数的代数方程来表示和研究曲线[2]。笛卡尔把数轴(一维)扩展到平面直角坐标系,把有序数对) P与平面上的点 x , (y 一一对应起来,从而使得平面曲线的点集与二元方程组的解集一一对应起来。于是就可以用代数方法来研究几何图形的性质,把几何研究转换成对应的代数的研究。

高三数学教案 数形结合思想

第十三专题 数形结合思想 考情动态分析: 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维结合,通过“以形助数”或“以数解形”,可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化,从而起到优化解题途径的目的. 一般地说,“形”具有形象、直观的特点,易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨、准确的特点,能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题,可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”,但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强,其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛,如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域和最值问题中,在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题,不仅直观易于寻找解题途径,而且能避免繁杂的计算和推理,简化解题过程,这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况,讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲: 例1 方程的实根的个数有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=,构造函数)(x F ,定义如下:当)()(x g x f ≥时,)()(x g x F =;当)()(x g x f <时,)()(x f x F =.那么)(x F ( ) A 、有最大值3,最小值1- B 、有最大值727-,无最小值 C 、有最大值,无最小值 D 、无最大值,也无最小值 例3 已知0>x ,设:P 函数x c y =在R 上单调递减;:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ,且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根,求b a +的最小值. 三、提高训练: (一)选择题: 1.函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点,则实数a 的取值范围是( ) A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2.已知],0(π∈x ,关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解,则实数a 的 取值范围为( )

初中数学中的数形结合思想

浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中,运用数形结合的思想,根据问题的具体情形,把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究,以便以“数”助“形”或以“形”助“数”,使问题简单化、具体化,促进“数”与“形”的相互渗透,这种转换不但能提高教学质量,同时也能有效地培养学生思维素质,所以“数形结合”是初中数学的重要思想,也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的,而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼,是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想,它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数(量)与形(图)的对应关系,把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来;使复杂的问题简单化抽象的问题具体化;通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合,用形来解决数的问题和解决一些运算公式;把代数关系(数量关系)与几何图形的直观形象有机的结合起来,使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数(量)结构特征构造出相应的几何图形,将概念形象化,复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性;将图形信息转化为代数信息,利用数(量)特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多,如: 1.用数(量)表示角的大小和线段的大小,用数(量)的大小比较角的大小

数形结合思想在高中数学教学中的应用

数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间:2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想,在高中数学教学中,必须要注重对这种思想的应用,培养学生的数形结合意识,从而提高学生的知识能力。针对这种情况,文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想;高中数学教学;应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用,有利于提高学生的数学知识能力,培养学生的思维能力和解题能力,提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中,对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足,因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用,采取有效的应用措施,从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 (一)数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中,数形结合的教学思想还没有得到充分应用,对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进,传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃,在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中,大部分教师还停留在传统的教学模式上,只重视对学生数学基础和应试能力的培养,忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下,

学生的综合素质发展受到了一定的限制,教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养,使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中,由于教师过于注重学生的成绩,导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象,不利于学生未来的发展。 (二)传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素,同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中,传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式,由教师主导整个课堂教学活动,向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下,学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中,没有形成一定的教学规模,导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异,导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降,甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中,可以通过观察图形,建立“数”与“形”的对应关系,找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来,在图形上分析数量之间的关系,进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的,数量可以在图形上展示出来,也可以用数量关系来表达图形联系。例如:在例1的教学中,直接将数量关系转化成式子不容易,但是教师

高中数学数形结合

数形结合 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析:判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象,易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。 例2. 解不等式x x +>2 令,,则不等式的解,就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标, y x 2=如下图,不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习:设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ,则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是( ) 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>>c ,设P :函数x c y =在R 上单调递减,Q :不等式12>++c x x 的解集为R ,如 果P 与Q 有且仅有一个正确,试求c 的范围。 因为不等式12>++c x x 的几何意义为:在数轴上求一点)(x P ,使P 到)2(),0(c B A 的距离之和的最小值大于1,而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ,即2 1> c 而P :函数x c y =在R 上单调递减,即1

2021新高考数学二轮总复习专题突破练2函数与方程思想数形结合思想含解析

专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想 一、单项选择题 1. (2020河南开封三模,理3)如图,在平行四边形OABC 中,顶点O ,A ,C 在复平面内分别表示复数0,3+2i,-2+4i,则点B 在复平面内对应的复数为( ) A.1+6i B.5-2i C.1+5i D.-5+6i 2.(2020山东聊城二模,2)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a 1+i =( ) A.1-i B.-1+i C.2i D.2+i 3.(2020河北武邑中学三模,5)已知f (x )是定义在区间[2b ,1-b ]上的偶函数,且在区间[2b ,0]上为增函数,f (x-1)≤f (2x )的解集为( ) A.[-1,2 3] B.[-1,1 3] C.[-1,1] D.[1 3,1] 4.(2020广东江门4月模拟,理6)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为8 5.5尺,则小满日影长为( ) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 5.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD 中,若DE ????? =EC ????? ,AE 交BD 于点F ,则AF ????? =( ) A.23AB ????? +13AD ????? B.23 AB ????? ?13AD ????? C.1 3 AB ????? ?2 3 AD ????? D.13 AB ????? +2 3 AD ????? 6.(2020安徽合肥二模,文7)若函数F (x )=f (x )-2x 4 是奇函数,G (x )=f (x )+(12) x 为偶函数,则 f (-1)= ( ) A.-5 2 B.-5 4 C.5 4 D.5 2 7.(2020河北衡水中学月考,文12)已知关于x 的方程[f (x )]2-kf (x )+1=0恰有四个不同的实数根,则当函数f (x )=x 2e x 时,实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(4 e 2+ e 24 ,+∞) C.(8 e 2,2) D.(2,4 e 2+e 2 4)

数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老

数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数,现在表示数量的概念;“形”早期是古代的形状,现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著,这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过,只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性,任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上,才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说:“画一个图,并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 2.数形结合思想的发展

初中数学中的数形结合思想

初中数学中的数形结合思想 “数缺形欠直观,形缺数难入微”,数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形,以形解数”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它是数学的规律性和灵活性的有机结合. 一、以数助形 例1如图1,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(5,1),C(1,4)是三角形ABC的三个顶点,求BC的长. 这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形,所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5. 这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式:平面上点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2=(x1-x2)2+(y1-y2)2. 例2在直角坐标系中,已知直线l经过点(4,0),与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8,若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点,以x=3为对称轴,且开口向下,求这个二次函数的解析式,并求最大值. 分析如果不画出图象,本题很难理解.由三角形的面积来

确定点B的坐标时,就需要把几何问题化为代数问题,确定OB的长度后,由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标. 设直线l与x轴交点A(4,0),与y轴交点坐标B(0,m), 则OA=4,OB=|m|. 如由图,S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8, 所以|m|=4.因此,B(0,4)或B′(0,-4). 由二次函数图象的对称轴为x=3,可知点A的对称点A′(2,0),则图象经过A、A′、B,或A、A′、B′. 设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-4). 把点B或B′坐标代入,得a=12或a=-12. 因为开口向下,所以,a=12不符合题意. 故y=-12(x-2)(x-4),即y=-12(x-3)2+12, 所以当x=3时,y最大=12. 二、以形助数 例3已知a、b均为正数,且a+b=2,求W=a2+4+b2+1的最小值. 在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角 形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED,在ED上截取EP,DP,过点E作AC⊥ED,且使得AE=2,过点D作DB⊥ED,且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形,所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4,BP=(2-a)2+1,所以本题中

高中数学的数形结合思想方法-全(讲解+例题+巩固+测试)

数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法,简言之,就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法,称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1.转换数与形的三条途径: ①通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。 ②转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。 2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法: ①“由形化数”:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的数量关系,反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式 的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知:有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(-1,1),Q(2,2).若直线l∶x+my+m=0

高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1.已知函数f (x )=???? ?3x ,x≤0,log 2 x ,x>0,下列结论正确的是( ) A .函数f (x )为奇函数 B .f (f (14))=1 9 C .函数f (x )的图象关于直线y =x 对称 D .函数f (x )在R 上是增函数 2.已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1(a ∈Z ),且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f (x )>1的解集为( ) A .(-∞,-1)∪(0,+∞) B .(-∞,0)∪(1,+∞) C .(-1,0) D .(0,1) 3.函数f (x )=ln|x +cos x |的图象为( )

4.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,则不等式f (x )-f (-x ) x <0的解集为( ) A .(-2,0)∩(2,+∞) B .(-∞,-2)∪(0,2) C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D .(-2,0)∪(0,2) 5.实数x ,y 满足不等式组???? ?x -y +2≥0,2x -y -5≤0,x +y -4≥0,则z =|x +2y -4|的最大值为( ) A.215 5 B .21 C .20 D .25 6.已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx .若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根, 则实数k 的取值范围是( ) A .(0,1 2) B .(1 2,1) C .(1,2) D .(2,+∞) 7.若实数x ,y 满足|x -3|≤y ≤1,则z =2x +y x +y 的最小值为( ) A.53 B .2 C.35 D.12 8.设方程10x =|lg(-x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A .x 1x 2<0 B .x 1x 2=1 C .x 1x 2>1 D .0

数学中数形结合思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想

初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有:数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等。 1. 数形结合的思想和方法 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一,应用数形结合的思想,可以解决以下问题: (1)、解决集合问题:在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。 (2)、解决函数问题:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。 (3)、解决方程与不等式的问题:处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题;处理不等式时,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。 (4)、解决三角函数问题:有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题,一般借助于单位圆或三角函数图象来处理,数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 (5)、解决线性规划问题:线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 (6)、解决数列问题:数列是一种特殊的函数,数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析,从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。(7)、解决解析几何问题:解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。(8)、解决立体几何问题:立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说:“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。 ①由数思形,数形结合,用形解决数的问题。 例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形,巩固“具有相反意义的量”的概念,了解相反数,绝对值的概念,掌握有理数大小的道理,理解有理数加法、乘法的意义,掌握运算法则等。实际上,对学生来说,也只有通过数形结合,才能较好地完成本章的学习任务。另外,《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图,常常会给解决问题带来思路。第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”,利用图形来展示数据,很直观明了。 ②由形思数,数形结合,用形解决数的问题。例如第四章的《平面图形及其位置关系》中,用数量表示线段的长度,用数量表示角的度数,利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何

高中数学数形结合思想在解题中的应用

高中数学数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间,求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析:0)(32)(2 =++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0f >, ()()02b f f k a - =-<10(10)k k -<<∈-同时成立,解得,故, 例2. 解不等式x x +>2 解:法一、常规解法: 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202 解,得;解,得()()I x II x 0220≤<-≤<

初中数学中的数形结合思想修订稿

初中数学中的数形结合 思想 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

浅谈初中数学中的数形结合思想在解决初中数学问题过程中,运用数形结合的思想,根据问题的具体情形,把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究,以便以“数”助“形”或以“形”助“数”,使问题简单化、具体化,促进“数”与“形”的相互渗透,这种转换不但能提高教学质量,同时也能有效地培养学生思维素质,所以“数形结合”是初中数学的重要思想,也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的,而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼,是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想,它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数(量)与形(图)的对应关系,把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来;使复杂的问题简单化抽象的问题具体化;通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合,用形来解决数的问题和解决一些运算公式;把代数关系(数量关系)与几何图形的直观形象有机的结合起来,使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。

如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数(量)结构特征构造出相应的几何图形,将概念形象化,复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性;将图形信息转化为代数信息,利用数(量)特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多,如: 1.用数(量)表示角的大小和线段的大小,用数(量)的大小比较角的大小和线段的大小。 2.用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置。 3.用方程、不等式或者函数解决几何量的问题。 4.用数来描述点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,直线与直线的位置关系。 其实在解有关的数形结合问题并不是单纯的由数思形或者有形思数的问题,一般都是综合运用题。利用数形结合解有关的问题时要注意一下几个问题: 1. 注意数与形转化前后的一致性;

初高中数学衔接之数学思想方法

初高中数学衔接之数学思想方法

初高中数学衔接 ——数学思想方法目录 一、方程与函数思想 1.1方程思想 1.2函数思想 二、数形结合思想 2.1数形结合思想 三、分类讨论思想

1.1 方程思想 方程知识是初中数学的核心内容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程(组)模型,从而使问题得到解决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面:一是列方程(组)解应用题;二是列方程(组)解决代数或几何问题。 (1)高中体现 函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单,即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决 举例: 例1已知函数f (x )=log m 3 3+-x x (1)若f (x )的定义域为[α,β],(β>α>0),判断f (x )在定义域上的增减性,并加以说明; (2)当0<m <1时,使f (x )的值域为[log m [m (β–1)],log m [m (α–1)]]的定义域区间为[α,β](β>α>0)是否存在?请说明理由 解 (1)?>+-03 3x x x <–3或x >3 ∵f (x )定义域为[α,β],∴α>3 设β≥x 1>x 2≥α,有0) 3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0<m <1时,f (x )为减函数,当m >1时,f (x )为增函数 (2)若f (x )在[α,β]上的值域为[log m m (β–1),log m m (α–1)] ∵0<m <1, f (x )为减函数 ∴??? ????-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m

浅谈数形结合思想在解题中的应用

浅谈数形结合思想在解题中的应用 摘 要:本文主要探讨了数形结合思想在中学学生思维中的形成过程以及在中学数学的几方面的应用,如集合、函数、解方程与不等式、解析几何以及三角函数. 关健词:数形结合;数学思想 所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,来解决一类数学问题的一种思想方法.数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,也就是代数与图形之间的相互转化,使代数问题几何化,几何问题代数化.同时把握好数形结合思想,有助于中学生空间思维的形成. 数形结合是数学解题中常用的思想方法,无论是在平时的数学应用中,还是在高考都起到了重要的指导作用.因此中学生掌握好数形结合思想是有重要意义的. 既然如此,那中学生要如何掌握这种思想方法呢?在哪些地方可以用数形结合呢?本文就围绕这两个方面展开,进行谈讨. 一、如何在中学生的思维中建立数形结合思想 这部分内容是在我们老师在平时的授课过程中完成的.首先,就是在我们平时老师的授课时,对于一些概念的几何意义要让学生彻底理解,要让学生达到能要自己的大脑中根据几何意义把图形画出来的效果,同时也能在不同的条件下准确地将图形画出.其次,是在平时练习中,凡是能用数形结合思想来解决的问题,老师都应提出并引导学生用这种思维方法去解决,从而加深学生对相应知识的掌握,进一步步在学生的思维中建立数形结合的思想模型.最后,就是在学生平时自己做练习时,若出现了此类问题的,则要求学生试着用数形结合思想方法来解决问题,从而更进一步地在学生思维中树立数形结合思想. 二、下面就分析数形结合思想在几个知识面上的应用. 1. 数形结合思想解决集合问题上的应用 此类问题在平时的练习中都会出现,而数形结合思想却是解题中所使用的重要思想,往往能够提高我们做题的速度和正确率.对于选择题中的集合问题往往我们都用数轴和维恩图结合”数”来解决;而对于后面的解答题,常常都会出现较为复杂的图形,但都会借助坐标轴、图形以及题意,即数形结合来解决问题.如: 例1:(2005年天津高考)设集合S={}8|{},3|2||+<<=>-a x a x T x x R T S = ,则a 的取值范围是( ) A -3-1 解析: 因为 32>-x

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