对数方程[下学期]--华师大版

指数函数对数函数计算题集及答案

精心整理 指数函数对数函数计算题1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1 lg )2 (lg 2 3++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、求函数1 21log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.

11、已知f(x)=1322 +-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=3 21121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13 14 1516 17 18 19 20、解指数方程：014 332 14 1 1 1=+?---- --x x 21、解指数方程：042342 2 22=-?--+ -+ x x x x

22、解对数方程：log2(x－1)=log2(2x+1) 23、解对数方程：log2(x2－5x－2)=2 24、解对数方程：log16x+log4x+log2x=7 25 26 27 28 29 30 指数函数对数函数计算题1〈答案〉1、 1 2、

解：原方程为lg2(x＋10)－3lg(x＋10)－4=0, ∴[lg(x＋10)－4][lg(x＋10)＋1]=0. 由lg(x＋10)=4,得x＋10=10000,∴x=9990. 由lg(x＋10)=－1,得x＋10=0.1,∴x=－9.9. 检验知：x=9990和－9.9都是原方程的解. 3、 4、 ∵3-x 5、 6、 解：方程两边取常用对数,得：(x＋1)lg5=(x2－1)lg3,(x＋1)[lg5－(x－1)lg3]=0. . ∴x＋1=0或lg5－(x－1)lg3=0.故原方程的解为x1=－1或x2=1＋5 log 3 7、 1

解析外标两点对数方程计算

解析外标两点对数方程计算黄芪药材含量 方法：照高效液相色谱法，ODS柱，以乙腈-水（32：68）为流动相，流速1ml/min，经蒸发光检测器检测，用外标两点对数方程计算黄芪药材中黄芪甲苷的含量。 仪器：安捷伦1100型液相色谱仪、蒸发光检测器（ELSD）、ODS 柱（4.6um*5mm*200mm）供试品：黄芪药材（检测成分：黄芪甲苷） 关键词：高效液相法、蒸发光检测器、黄芪甲苷、粉碎、提取物、外标两点对数方程 正文： 前处理：取约20g的黄芪药材放置于小型粉碎机内，粉碎后，盛装在密闭的容器中待用。供试品制备：取黄芪药材粉末两份，Ⅰ.4.0037g；Ⅱ.4.0022g。分别置索氏提取器中，加甲醇40ml，浸泡过夜（大于8小时）。第二天，加甲醇适量，加热回流4小时，提取液浓缩至干，残渣加水10ml，微热使溶解，用水饱和的正丁醇（制法：把水加入正丁醇中至饱和）振摇提取4次，每次40ml，合并正丁醇液；用氨试液充分洗涤2次，每次40ml，弃去氨液，正丁醇液蒸干，残渣加水5ml使溶解，放冷；通过D101型大孔吸附树脂柱(备注：自己装填)，并以水50ml洗脱，弃去水液；再用40%乙醇30ml 洗脱，弃去洗脱液；继用70%乙醇80ml洗脱，收集洗脱液，蒸干；用甲醇溶解并转移至5ml量瓶中，加甲醇至刻度，摇匀，即得供试品溶液。简单讲，即把黄芪药材最后提取物（黄芪甲苷）溶解到5ml

甲醇中。 对照品制备：称取黄芪甲苷对照品（中检所购入）0.0512g至100ml 容量瓶中，用甲醇溶解至刻度，摇匀，即得。测定：系统平衡后，精密吸取对照品溶液10ul进样，得色谱峰面积Ⅰ.259457；进样20ul，得色谱峰面积Ⅱ.523039。供试品溶液进样20ul，两针，色谱峰面积为：Ⅰ.909836，Ⅱ.902925。根据对照品峰面积和进样量，以外标两点对数方程计算供试品含量。 两点对数方程定义：是利用两点的对数值呈线性关系求解二元一次方程y=ax+b。本题是利用对照品溶液两针进样量的对数值和所得峰面积的对数值呈线性的关系，把两组数据带入方程y=ax+b中，求得a 和b，即求解了该方程式。然后带入供试品峰面积的对数值，求得供试品进样量的对数值，对其求反对数得供试品进样量（黄芪甲苷的量）。方程中x、y值均为进样量和峰面积取对数（lg）后的数值。简单讲，就是通过对照品溶液两针的进样量和峰面积（均取对数lg）求解方程式后，把供试品峰面积（取对数lg）带入方程式求得供试品的进样量。 数据处理：根据外标两点对数方程，应先计算得到方程式中的x、y值，才能求解此方程式。即取对照品进样量的对数值为x，取对照品峰面积对数值为y，计算结果如下： 对照品ⅠⅡ 进样量0.0512g×10ul0.0512g×20ul

关于超越方程的解法

定义1：不是代数函数的函数称为超越函数。 定义2：指数函数、对数函数、无理数的幂函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等超越函数。 定义3：最简超越方程是指形如的方程，其中是基本初等超越函数，是常数。解最简超越方程是求一切使基本初等函数的值等于已知常数的变数值。 下面介绍基本初等超越方程的解法 一、指数方程 定义4：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程，特殊地，形如的方程叫做最简指数方程。 1.1 最简指数方程的解法 当时，方程有唯一解；当时，方程无解。 1.2 指数方程的解法 解指数方程的主要工具下面的几种同解变形： (1)方程与方程同解； (2)方程与方程同解； (3)方程且与方程同解。（因为） (4)方程与方程同解； (5)方程（其中）与方程组同解。（即换元法） 例1：解方程（类型或） 解： 例2：解方程（类型） 解：原方程可变形为 于是有 由此解得 例3：解方程（类型） 解： 或 例4：解方程（类型） 解：以除原方程的两边，得 令代入上式，得 解得，其中不满足的条件，舍去。 所以 二、对数方程 定义5：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。特殊地，形如的方程叫做最简对数方程。 2.1 最简对数方程的解法 对于任何，方程总有唯一解。

2.2 对数方程的初等解法 解对数方程时不仅要用到同解变形，而且要运用非同解变形，所以在求出根后，一般应验根，以发现有无增根，失根，常用变形有以下几种： (1)根据对数定义。方程可同解变形为 (2)方程可以变形为，（定义域扩大，应验根）。 (3)运用对数基本恒等式，对数运算法则和换底公式进行变形，（应注意，验根）。 (4)对一个等式的两边取对数。（等式两边必须都取正值） (5)方程与方程组 同解.（即换元法） 注：解对数方程时哪些类型符合同解变形，哪些类型不符合同解变形。 例5：解方程（类型） 解： 4 =4 =1 =3 例6：解方程 解：运用换底公式将原方程化为（类型） 令，则有，即 由，得 由，得 经检验，和都是原方程的根。 例7：解方程 解：方程的定义域是对方程两边取常用对数，得 类型 令则可化为解得 由 由 经检验，两根都是原方程的根。 三、三角方程 定义6：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，特殊地，形如：，的方程叫做最简三角方程。 3.1 最简三角方程的通解公式 的解集是 当时无解。 的解集是 当时无解。 的解集是 的解集是 3.2 三角方程的解法

3.2.3指数函数与对数函数的关系教案

3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1).

方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式

方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式 1.根式运算法则： (1) ， ， ； (2) ， ， (m a =≥0) a =≥0,P ≠0) (5) , 0),,a m n N =≥∈其中 2.指数运算法则： ， ， ， ， ， ， （7）1 (0)m m a a a -=≠， （8）1 n a = （9）m n a =（10） d b d b a c a c =?= 3.对数运算法则： i 性质：若a ＞0且a≠1，则 ， ， （3）零与负数没有对数， （4）log log 1a b b a ?= ⑥, （7）log log log 1a b c b c a ??= ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则 ， ，

， log log (,01)m n a a n b b a b m =>≠且 （4） , log log n n a a m m =， 1log log n a a m m n = （5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0, （6）倒数公式 1 log ,0,1log a b b a a a = >≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10x N x N =?= （8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =?= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n →∞ =+≈ 4.指数与对数式的恒等变形： ； 。 5、指数方程和对数方程解题： ()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =?==?=定义法） ()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =?==?=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =?=（取对数法） ()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =?=（换底法） 6、理解对数 ①两种log a b 理解方法 1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。 2、表示a 的多少次方等于b 。 ② log log (...)n a a m M M M =??? n 个 log log ...log a a a M M M =+++ n 个 log a n M =

指数对数方程(附答案)

二、指数对数方程 定义：在指数里含有未知数的方程叫指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程 指数方程的解法： （1） 定义法：()()log f x a a b f x b =?=形如 （2） 化同底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=形如 （3） 取对数法：()()lg ()lg ()g x f x a b a f x b g x =??=?形如 （4） 换元法：()()0,,0,x x f a t a f t t ===设解方程求再进一步求解 对数方程的解法： （1） 定义法：()()log f x a f x b a b =?=形如 （2） 化同底法：()log ()()()a f x g x f x g x =?=a 形如log （3） 换元法： ()()log 0,log ,0,a a f x t x f t t ===设解方程求再进一步求解 型如A(log a x)2+Blog a x+C=0常用换元法； （4）数形结合法． 注意：解对数方程验根是必不可少的． 指数不等式的解法： ()()1()()f x g x a a a f x g x >>?>若则 ()()01()()f x g x a a a f x g x <<>?<若则 对数不等式的解法 若()()1,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x >?? >>?>??>? 若()()01,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x ?>??>? 练习： 一、解下列方程 1). ()()lg 4lg lg 21x x x +-=+。 2) 248log 2log log 7x x x ++= 3) 252log 253log 1x x -= （4） 1 22log (44)log (23)x x x ++=+- （x=2） 5) 239(log )log 32x x -= 6) lg 2 1000x x += （ 1 101000 x orx == ） 7) 14272 ()()9 83 x x -?= 8)25235500x x -?-= 9)．222 215x x +--= 10).31636281x x x ?+=?， 11). 2 11 53x x +-= （31log 15or -） 12、677 1x x -?-= （7log 5x =）

对数函数、对数方程

函数的应用举例 利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现，主要是在学习完函数这部分内容以后，重点运用二次函数，对数函数解决问题.二次函数主要涉及到求最大值和最小值的问题，解决这方面的问题主要依靠二次函数的定义域和函数图象的特点解决. 典型例题： 1．设某工厂的经济效益经过5年增长了65%，则每年比上一年平均增长的百分数是_________. 解:设原来的效益是1，每年比上一年平均增长的百分数是x，那么经过第一年的效益是1+x，经过第二年的效益是(1+x)+(1+x)·x=(1+x)2,……经过五年的效益是(1+x)5，列方程为(1+x)5=1+65%，两边取对数： 5lg(1+x)=lg1.65=0.2175.∴lg(1+x)=×0.2175=0.0435, 查反对数表，∴1+x=1.105, x=0.105=10.5%. 2．某种商品，进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50≤x≤80时，每天售出的件数 P=，当销售价格定为_________元时所获利润最多. 解:设销售价每件x元，获利润y元，则有y=(x-50)·=100000[]. 将此式视为关于的二次函数，则当=即x=60元时，利润y有最大值. 3．按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为r，存期为x，写出本利和y随存期x 变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率8%，试计算5期后的本利和是多少？ 精析：本题考查增长率的概念，指数幂数的应用.在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用下面的公式y=N(1+P)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式. 解：已知本金为a元.1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r); 3期后的本利和为y3=a(1+r)3; ……x期后的本利和为y=a(1+r)x.将a=1000（元），r=8%, x=5代入上式得y=1000×(1+8%)5=1000×1.085,由计算器算得y=1469.32(元). 4．某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费 x（万元）之间的函数关系为：Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. （1）试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数. （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大利润为多少？ 解．（1）年生产成本为32Q+3万元，年收入为150%(32Q+3)+50%x万元. 年利润W=年收入-年生产成本-年广告费， ∴W=(32Q+3-x)=(32·+3-x)=(x≥0). （2）W==50-()≤42（万元）.(*)

指数方程与对数方程

指数方程与对数方程 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．对数方程的定义． 2．简单对数方程的解法． (二)能力训练点 1．掌握简单对数方程的解法． 2．培养学生应用化归及数形结合等数学思想的意识，提高数学思维能力．二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：对数方程的解法． 2．教学难点：对数方程的增根与失根． 3．教学疑点：造成增根与失根的原因． 三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教与学过程设计 (一)复习引入新课 求下列函数的定义域(请两位学生板演)． 1．y=log2(x2-x-2) 2．y=log(x-2)4 (学生板演后教师评讲) 师：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？ 生：可以得到两个等式：

log2(x2-x-2)=2及log(x-2)4=2． 师：这是方程吗？ 生：是． 师：对，这就是我们今天要学习的对数方程．它是如何定义的？ 师生共同得出：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程． (二)对数方程的解法 师：一些简单的对数方程我们是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎么解呢？我们首先需考虑的问题是能否将其转化为已学过的普通方程去解？(这里体现了化归思想．) 生：能，因为对数式与指数式可互相转化，只需将其改为指数式，就可脱去对数符号，转化为普通方程了． 师：很好，由原方程得 (x-2)2=4． 解得x1=4，x2=0． 它们是原方程的解吗？ 生：是． 师：不要急着回答，再好好想一想． 生：x=0不是，当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解． 师：对了，那为什么会出现这种情形呢？实际上当我们将原方程 log(x-2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且x≠3}，扩大为{x|x∈R且x≠2}，这样就容易产生增根，因此当得出新方程的解后，必须将其代入原方程中的真数或底数的式子中加以检验，舍去使对数无意义的值，这个过程叫验根． 小结：形如logg(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)a再求解，注意需验根． 例1 解方程lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1．

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值

（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： （1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=； （2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： （1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=； （2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=； （3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： （1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.

指数函数 和 对数函数公式 (全)

指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数，

指数式与对数式的运算

指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?.

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法 注:以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： １、指数方程的解法： （1）同底去底法:()()()()f x g x a a f x g x =?=; （２)化成对数式:log () ()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=; （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： (１）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=; (2)化成指数式:log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=; （３)取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： (1)同底去底法: 1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时, log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式: 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法学习资料

指数方程与指数不等式、对数方程与对数 不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： (1) 同底去底法：a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2)化成对数式：a f(x) b a f (x) log a b a f(x ：)log a b ； (3)取同底对数：a f(x) b g(x) f(x) lg a lg b g(x) f (x)l g a g(x)lg b 2、对数方程的解法： (1)同底去底法：log a f (x) log a g(x) f (x) g(x )； (2)化成指数式：log a f (x) b lo g a f (x) log b a a f(x) a b ； (3)取同底指数:log a f (x) b a log a f(x) b a f(x) b a . 3、 指数不等式的解法： (1) 同底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f(x) g(x)； 0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2) 化成对数式： a 1 时，a f (x) b a f(x) a logab f (x) log a b ； 0 a 1 时，a f (x) b a f (x) a logab f (x) log a b ； (3) 取同底对数：a f (x) b g(x) Ig a f(x) Ig b g(x) f (x)lg a g(x)lg b . 4、 对数不等式的解法： (1)同底去底法： a 1 时，log a f(x) log a g(x) 0 f(x) g(x)；

4.8.1 简单的对数方程(含答案)

【课堂例题】 例1.解下列对数方程： (1)22log 4x =; (2)2 lg()lg x x x -=; (3)233(log )log 20x x +-=. 课堂自测： 1.利用同底型log ()log ()a a f x g x =解方程： (1)2 lg(118)lg(1)1x x x ++-+=; (2)222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++; (3)0.011000lg log log 1x x x ++=. 2.解下列对数方程： (1) 2111lg lg 1234 x x =-； (2)5log log 253x x +=. 3.解方程：lg 2 1000x x +=. (选用)例2.利用计算器并结合图像，求方程lg 3x x +=的近似解(精确到0.01)

【知识再现】 下列常见对数方程的等解变形为： log ()a f x b =? ；log ()log ()a a f x g x =? ； 2(log )log 0a a x p x q +?+=? . 【基础训练】 1.解下列方程： (1)3log (2)1x -=; (2)2 2log (3)2x x -=; (3)2lg 4x =; (4)25log (log )1x =. 2.解下列方程： (1)22lg(2)lg(6)x x x x --=--; (2)lg(2)lg(3)lg12x x -+-=; (3)15 5log (1)log (3)1x x +--=； (4)11(lg lg5)lg 2lg(9)22x x -=--. 3.解下列方程： (1)2 22log 3log 20x x ++=; (2)22lg lg 3x x -=； (3)1122 1 1log (95)log (32)2x x ---=--; (4)3log 2log 33x x +=

指数方程和对数方程的解法

幂函数、指数函数和对数函数 【知识结构】 指数方程和对数方程的解法（一） 【教学目标】 1. 理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学 知识解决简单的实际问题。 2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法， 从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式. 3．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法. 【教学重点】 指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法. 【教学难点】 感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法. 【知识整理】 1．简单的指对数方程 指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。 2．常见的四种指数方程的一般解法

（1） 方程() (0,1,0)f x a b a a b =>≠>的解法： b log )x (f a = （2） 方程() ()(0,1,)f x g x a a a a =>≠的解法： )x (g )x (f = （3） 方程() ()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠的解法： b lg )x (g a lg )x (f ?=? （4）方程20(0,1)x x a ba c a a ++=>≠的解法： 换元，令t a x =，注意新变量范围， 将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 3．常见的三种对数方程的一般解法 （1）方程log ()(0,1,)a f x b a a =>≠的解法：“化指法”，即将其化为指数式b a )x (f =再求解，注意需验根． （2）方程log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠的解法：“同底法”脱去对数符号，得 ()()f x g x =，解出x 后，要满足()0 ()0 f x g x >?? >?. （3）方程)1a ,0a (0C x log B x log A a 2 a ≠>=++的解法：用换元法，令y x log a =， 将原方程化简为Ay 2 +By+C=0，然后解之． 4．方程与函数之间的转化。 【例题解析】 【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算 【题目】 解方程：9x -4·3x +3=0. 【解答】 解：由(3x )2-4(3x )+3=0? (3x -1)(3x -3)=0?3x =1或3?x =0或1. 【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算 【题目】 方程log 2［log 3(log 5x )］=0的根是 ( ) A.1 B.9 C.25 D.125 【解答】 答案：D ．解： log 3(log 5x )=1?log 5x =3.故选D ． 【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑

指数、对数方程练习与解析

指数、对数方程练习与解析 【知识要点】 1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。 2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。 3.指数方程的基本类型： （1）(0,0,0),x a c a a c =>≠>其解为log a x c =； （2）()()(0,1)f x g x a a a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解； （3）() ()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解； （4）()0(0,0)x F a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程x a y =。 4. 对数方程的基本类型： （1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为b x a =； （2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =?? >??>? 求解； （3）(log )0(0,0)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程 log a x y =。 典型例题 【例1】 解下列方程： (1)9x +6x =22x +1； (2)log 4(3-x )+log 4 1(3+x )=log 4(1-x )+log 4 1(2x +1)； (3)log 2(9x -1-5)-log 2(3x -1-2)=2. 【解前点津】 (1)可化为关于（ 3 2）x 的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关于3x -1的一元二次方程. 【规范解答】 (1)由原方程得：32x +3x ·2x =2·22x ，两边同除以22x 得：(23)2x +（2 3）x -2=0. 因式分解得： [（ 23）x -1]·[(23 )x +2]=0. ∵(23)x +2>0，∴ (2 3 )x -1=0，x =0. (2)由原方程得：log 4(3-x )-log 4(3+x )=log 4(1-x )-log 4(2x +1)?(3-x )·(2x +1)=(1-x )·(3+x )解之:x =0或7，经检验知：x =0为原方程解.