第一章_抽象群基础
第一章抽象群基础
§1.1 群
【定义1.1】G是一个非空集合，G =｛…，g，…｝，“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G及其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：?f,g ∈G, f·g=h, 则h∈G;
（2）结合律：?f, g, h∈G，（f·g）·h＝f·(g·h);
（3）有单位元：?e ∈G, ?f ∈G, f·e＝e·f＝f;
（4）有逆元素：?f ∈G，?f -1∈G, 使f·f -1= f -1·f = e;
则称G为一个群，e为群G的单位元，f--1为f的逆元。
·系1. e是唯一的。
若e、e′皆为G的单位元，则e·e′= e′，e·e′= e，故e′= e。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f的两个逆元f′=f"，则
f''
f''
e
f''
f)
(f'
f'')
(f
f'
e
f'
f'=
?
=
?
?
=
?
?
=
?
=, 即''f
f'=
·系3 e –1 = e
e –1 = e -1·e = e, 即：e –1 = e。
·系4 若群G的运算还满足交换律，?f，g∈G,有f·g=g·f, 则称G为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z}及其上的加法+
单位元为0, 逆元z-1= -z,构成整数加法群。
例1.2 实数集R，运算为加法：
单位元e = 0, 逆元：?a∈R，a –1 = -a，构成加群。
若运算为数乘，R不构成群，0 -1不存在。
不过不包含0的所有实数R/0，构成乘法群，单位元e =1，
逆元：?a∈R/0, a-1=
a
1
例1.3 空间反演群{E ，I }，元素为对向量的变换:
r r , I r r E -==
运算定义为群元对向量由右到左的相继作用：
r r E r EE
==， E EE = r I r r E r EI
=-=-=)(， I
EI =
r
E r r I r II ==-=)( E I =2。 乘法表如右：
例1.4 R 3 中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，两个转动操作的二元运算为两操作的相继转动。
群元：)(αn C , n
为转轴，α为转角，乘法：)()()(βαβα+=?n
n n C C C 单位元：e =n
C (０) 逆元：)()(1
αα-=-n n
C C
例１.5 平面正三角形对称群 D 3 （六阶二面体群）
o 为重心，固定不动，保持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以相继操作为二元运算构成一个群。
保持正三角形不变的对称操作：
e : 不转动；
d : 绕Z 轴转120度；
f : 绕Z 轴转240度； a : 绕y 轴转180度；
b : 绕2轴转180度；
c : 绕3轴转180度； D 3＝{e, d, f, a, b, c }
例1.6 置换群S n , 又称n 阶对称群
群元：将（1，2…，n ）映为自身的置换P ：
???
? ??=n m m m
n p ...
(212)
1
，
2
121m m →→…
置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如
???
? ?
?3
1
2
44321
= ???
?
??1
4
2
3
3124
y x
1
E
I
I
I
I E E
E
单位元： ???
? ?
?=n n e ...
2
1
...21 P 的逆元：???
?
?
?=-3...
2
1
...211n m m m p
n 个数码所有可能的置换数为n ！，其乘法：
???
? ?
?14
2
33124
???
? ?
?24
1
34321
=???
?
??23
4
1
4321
则所有置换及其乘法结构成一个群，记为S n 群。
可见，群的元素可以是非常广泛的东西，可以是数、操作、变换等等，二元
运算也可以有多种类型。群可以简单分类为：
有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为|G |
无限群：群元个数无限??
?不可数
可数
◆定理1.1◆ (重排定理)
设G u g G ∈?=},{α，有G G g ug uG =∈≡}|{αα u 的作用只是将G 元素重排。
证明：
（一）u 的作用是单射，（1对1），γug 当γg 不同时给出G 中不同群元：
设
βαg g ≠， 若β
αug
ug =，（即多对一）
两边左乘u -1,有βαg g =，与假设矛盾 故 β
αug
ug ≠
（二）u 的作用是一个满射，即G 中任意群元都可写成ug 的形式：
G g ∈?α， )()(1
1
αααg u
u g uu
g --==，记βαg g u
≡-1
即G g ∈?β，使 β
αug
g =。
故u 的作用是双射（一一映射），即G uG =。类似有：?u ∈G, Gu=G 在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。
§1.2 子群和陪集
【定义1.2】 设H 是群G 的一个子集，若对于与群G 同样的乘法运算，H 也构成一个群，则称H 为G 的子群，记为G H <。 ·系1. G H <的充要条件为: （1）βαh h ,?∈H ,有h βαh ∈H （2）αh ?∈H ，其逆1
-α
h ∈H
例1.7 任何群G ，都有子群{e }和G < G 。
{e }，G 称为显然子群或平庸子群，非平庸的子群称为真子群。 例1.8 整数全体构成的加法群是全体实数构成的加法群的子群。 例1.9 D 3群的子群{e ，d ，f }。
【定义1.3】 循环子群的形式为：Z n = {e a a a n
= 2
,}
n 为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。
例1.10 从n 阶有限群G 的任一元素出发，总可以生成一个G 的循环子群。
},,,{ αg e G =，αg ?∈G
作32 , ,αααg g g ,…, 存在k ≤ n, e g k
=α
，
则} ..., , ,{2
1
e g g g k
=ααα构成循环群k Z ,且G Z k <。 若e g k
=α
，则称αg 的阶为k 。
D 3群的循环子群:
D 3=｛e, d, f, a, b, c ｝ 2阶循环子群：｛a, a 2=e ｝,｛b, b 2 =e ｝,｛c, c 2=e ｝
3阶循环子群：｛d , d 2(＝f), d 3=e ｝,｛f, f 2(=d), f 3=e ｝
【定义1.4】 (左陪集和右陪集)
设H 是群G 的子群，H < G ，g ∈G .
子群H 的左陪集：}|{H h gh gH ∈≡ 右陪集：}|{H h hg Hg ∈≡
当取不同的g ∈G 时，可以得到不同的陪集。
◆定理1.2◆ (陪集定理)
设群H 为群G 的子群H < G ，则H 的两个左（右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素,即：?g 1,g 2∈G ,则g 1H ?g 2H = Ф，或g 1H = g 2H .
证明：设左陪集g 1H ，g 2H 有一公共元素βαh g h g 21= 则有 H h h g g ∈=--1
11
2α
β
故 H H h h H g g ==--)()(1
112α
β （重排定理）
故 H g H g g g 211
22))((=-，而H g H g g g H g g g 111
2211
22)())((==-- 故H g H g 21= 证毕
◆定理1.3◆（拉格朗日定理）
有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。 证：
G 为n 阶群，H 为G 的m 阶子群， 取g 1∈G ，g 1?H ，作陪集g 1H
取g 1∈G ，g 2?H ，g 2?g 1H ，作g 2H
取g i ∈G ，g i ?H ，g 1H ，g 2H ，…，g i-1H 等，作g i H 得陪集系列：
H =｛h 1，h 2，…，h m ｝＝eH g 1H =｛g 1h 1，g 1h 2，…，g 1h m ｝，g 1∈H ，因H 有单位元e 。
g 2H =｛g 2h 1，g 1h 2，…，g 1h m ｝
由陪集定理知，这样得到的陪集序列互不相同，没有任何公共元素。而这些陪
集序列最终将穷尽群G中的所有元素（或者说G的任何群元均属于某一陪集串）。设共有l个陪集，则群G的群元个数n为：
=
n?
l
m
即子群的阶m为G群阶的因子。
·系1 有限群G可以分割为其子群的互不相交的陪集串（G可以其子群的陪集串展开）。
例1.11 D3={e, d, f, a, b, c}的子群陪集分割。
D3的子群：
H1=｛e, a｝，H2=｛e, b｝
H3=｛e, c｝，H4=｛e, d, f｝
H1左陪集分割：
H1 =｛e, a｝, bH1 =｛b, f｝,cH1 =｛c, d｝
H4左陪集串：
H4=｛e, d, f｝,aH4=｛a, b, c｝
§1.3 类与不变子群
【定义1.5】设f, h是群G的两个元素，若有元素g∈G,使gfg-1 = h，则称元素h与f共轭。记为h ～f。
·系1 共轭是相互的，即若h ～f，则f ～h.
·系2 共轭的传递性，若f1 ～h，h ～f2，则f1 ～f2.
证：f1 ～h, 故?g1, 使f1 = g1hg1-1 ，故有h=g1-1f1g1
f2 ～h, 故?g2, 使f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1
故f1～f2
【定义1.6】群G的所有相互共轭的元素集合，称为群G的一个类。
·系1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素f，则f所属类的所有元素均可求出：
f类=}
f
f∈
gfg
=-
,
'
g
|'
{1G
·系2 一个群的单位无e自成一类，?g x∈G，g x eg x-1=e，
·系3 阿贝尔群的每个元素自成一类，?f，g x∈G，g x fg x-1 = f
·系4 若元素f的阶为m，即f m=e，则f类所有元素的阶都是m，因
,
G g∈
?
α
e
g
f
g
fg
g
fg
g
fg
g m
m=
=
=-
-
-
-1
1
1
1...
)
(
α
α
α
α
α
α
α
α
·系5 两个不同的类没有公共元素，一个群可以按共轭类进行分割（名类中元素个数可能不同）。
例1.12 D3=｛e, d, f, a, b, c｝的类分割。
D3的元素可分为3类：
e类：｛e｝
d类：｛d, f｝
a类：｛a, b, c｝
◆定理1.4◆有限群每类元素的个数等于群阶的因子。
证明：设G为n阶有限群，g是G的一个元素，
看g类元素的个数:
作G的子群H g：H g=｛h∈G∣hgh-1=g｝（即内自同构群I(G)在g点的迷向子群）
即H g由所有与g对易的元素组成。
下面证明：g1gg1-1= g2gg2-1?g1,g2∈g2H g
（一）若g1gg1-1 = g2gg2-1，g1,g2∈G，g1,g2?H g
由g1gg1-1 = g2gg2-1可得g2-1g1gg1-1g2= g
即（g2-1g1）g (g2-1 g1)-1= g
故g2-1g1∈H g由重排定理：g2-1g1 H g＝H g
有g1∈g2H g,而g2∈g2H g
所以g1, g2∈g2H g(g1H g = g2H g)
(二)若g1, g2∈g2H g, 则存在h∈H g,使g1=g2h
故g1gg1-1 = g2hgh-1g2-1= g2gg2-1
即g1gg1-1 = g2gg2-1?g1, g2∈g2H g
综上所述：用H g的一个左陪集仅能得到g类的一个元素，g类中元素的个数等于
H g的左陪集个数。即：g类元素个数= H g左（右）陪集串个数
由拉格朗日定理，H g的阶为G的阶的因子，故g类元素个数亦为群G阶的因子。
【定义1.7】（共轭子群）
设H和K是G的两个子群，H < G，K < G，若有g∈G，使
K = gHg–1 =｛k = ghg–1| h∈H｝
则称H是K的共轭子群。
·系1 共轭子群具有对称性（即相互性）和传递性； ·系2 群G 的全部子群可以分割为共轭子群类。
【定义1.8】 （不变子群）
设H 是G 的子群，若?g ∈G ，h x ∈H ,有gh x g –1∈H ，则称H 为G 的不变子
群,
记为H G 。
·系1 如果H 包含元素h x ，则它将包含h x 的类。
◆定理1.5◆ 设H 为G 的不变子群H G , 则?g ∈G , 有gH = Hg 或gHg –1 = H .
证明：?h ∈H
gh = gh (g –1g )=（ghg –1）g ∈Hg 故 gH ?Hg
又 hg = (gg -1)hg = g (g –1hg )∈gH 故 Hg ?gH 所以 Hg = gH ，即gHg –1 = H 不变子群的左陪和右陪集相等。
例11.13 整数加法群是实数加法群的不变子群，Z + R +
?a ∈R , ?z ∈Z ， a + z + (-a ) = z ∈Z
实际上阿贝尔群的所有子群都是不变子群。
◆定理1.6◆ 设H 为G 的不变子群H G ，
则G 的陪集串分割H,g 1H,g 2H …g i H …中，两个陪集g i H 和g j H 中元素的
乘积必属于陪集（g i g j ）H ，即g i Hg j H =（g i g j ）H 。
证明：H g h g H g h g j j i i ∈?∈?βα ,
有
)
( )( )()
( )()(111βγδδαγβγβ
αβ
αβαh h h H g g h g g g h g
h h h g g h g h g
g g h g h g
g g h g h g j i j i j j
j i j j
j i j j
j i j i ≡∈=≡===---令令
即 g i Hg j H =（g i g j ）H
由定理1.6可定义不变子群的商群。
【定义1.9】 （不变子群的商群）
设H G ，以分割G 群的陪集串为元素，做成一个新的集合，｛H ， g 1H, g 2H ，…，g i H ，…｝并定义集合中元素的乘法规则：g i Hg j H =（g i g j ）H ，则G 的不变子群H 生成的陪集串构成一个群，称为不变子群H 的商群，记为G /H 。 例1.14 D 3群{e, d, f, a, b, c }的子群H 4=｛e, d, f ｝是不变子群，子群H 4的陪集分割为： H 4=｛e, d, f ｝, a H 4=｛a, b, c ｝
则商群D 3/H 4=｛H 4，aH 4｝,可以验证（a H 4）2
= H 4 ,即D 3/H 4为二阶循环群Z 2。
§1.4 群的同构与同态
【定义1.10】 两个群G ，F ，若存在一个从G 到F 上的满映射φ：G → F ，且满
足:
① 映射φ为双射,即G 与F 中的元素一一对应，φ为一一映射： ?g 1,g 2∈G , g 1≠g 2 ? φ(g 1) ≠φ(g 2)
② 映射φ保持群的运算结构不变： φ(g 1g 2)=φ(g 1) 。φ(g 2)，其中“。”为群F 的乘法运算，
则称G ，F 群同构，记为G ?F ，φ称为同构映射。
（满映射即F 中任何元素在G
）
群F 、G 同构示意图：
·系1 φ(g 0) = f 0 , 其中g 0 , f 0 为群G ，F 单位元
证：?g ∈G , φ(g )=φ(gg 0)= φ(g ) 。φ(g 0)=φ(g 0) 。φ(g )
F
G
即φ(g0)为F的单位元，由f0的唯一性，必有φ(g0)= f0 。
·系2 φ（g－1）=［φ(g)］－1
证：f0= φ(g0)= φ(gg-1) = φ(g-1g) = φ(g) 。φ(g-1)= φ(g-1) 。φ(g) 即φ(g-1)为φ(g)的逆元
由逆元的唯一性，有φ（g－1）=［φ(g)］－1
·系3 若G?F，则F?G，同构映射为φ-1，同构具有相互性。
例1.14 空间反演群｛E，I｝与Z2 、D3/H4同构：｛E，I｝?Z2 ?D3/H4
【定义1.11】两个群G，F，若存在一个从G到F上的满映射φ：G→F，且该映射保持群的运算结构不变，φ(g1g2)=φ(g1) 。φ(g2),则称群G与F同态，记为
G ～F，映射φ称为G到F上的同态映射。（同态不具有相互性）
·系1 φ(g0) = f0 ，φ（g－1）=［φ(g)］－1 , 与同构情形完全类似。
·系2 同构是一种特殊的同态，当同态映射为一一映射时即为同构。
同态示意图：
例1.15 则任何群G
证明：G
,
?
g
g∈
1
2
则 )()()(2100021g g f f f g g φφφ?=?==, 故φ为同态映射。
例1.15? 群G 的两个相互共轭的子群H 、K, G
g gKg H ∈=-,1
, 它们同构。
【定义1.12】 （同态核）
设群G 与F 同态，:φG ～ F ，则G 中与F 的单位元0f 对应的元素αh 的集合
} ,)(|{0G h f h h H ∈==αααφ,称为同态核。
◆ 定理1.7◆ （同态核定理，又称同态基本定理）
设G 群与F 群同态，同态核为H ，则有 ① H 是G 的不变子群, H G ② 商群G/H 与F 同构, G/H ?F . 证明：设同态映为φ中：G →F ，f 0为F 的单位元。 （1）H G
?g ∈G ，h ∈H ,φ为G 到F 的同态映射，
有φ(ghg -1)= φ(g) f 0 φ(g -1)= φ(g) ［φ(g)］-1 = f 0
即 ghg -1∈H
故 H G ，为不变子群。
（2）定义映射ψ：G/H →F ，ψ(gH ) = φ(g )
若能证明ψ为同构映射，则G/H 与F 同构。
1．首先证明映射ψ(gH )的值φ(g)与陪集gH 代表元g 的选取无关：
设h ∈H,gh ∈gH , 则 (gh )H = gH ，gh 为代表元，
故有ψ(gH ) = ψ(ghH ) = φ(gh ) = φ(g) φ(h ) = φ(g ) f 0 = φ(g ) 故映射ψ与gH 中代表元的选取无关，唯一确定。
2．ψ为一一映射，且保持乘法结构不变 a. ψ为单射（1对1的映射）
设g 1H ≠g 2H ，要证ψ(g 1H ) ≠ψ(g 2H )
反证，若ψ(g 1H ) = ψ(g 2H )， 则 φ(g 1)=φ(g 2)
故［φ(g 2)］－1
φ(g 1) = f 0 , 即φ(g 2－1
) φ(g 1) = f 0 亦即φ( g 2-1g 1) = f 0 , 故g 2-1g 1∈H
由重排定理有：g 2-1g 1H = H, 即g 1H = g 2H ,与假设矛盾。 故必有ψ(g 1H ) ≠ ψ(g 2H ), ψ为单射。
b. ψ是满射（F 中的任一元素都有在G/H 中的原象.） 由于同态映射φ为满映射，故
F f ∈?α,
G g ∈?γ，使αγφf g =)(
故 )()(H g g f γγαψφ==
即αf 有原象H G H g /∈γ, 故ψ为满射
c ．ψ保持群的乘法结构不变。
ψ(g 1Hg 2H ) =ψ(g 1(Hg 2)H )
=ψ(g 1(g 2H )H ) (利用了不变子群性质g 2H=Hg 2)
=ψ((g 1g 2)(HH )) =ψ(g 1g 2H ) =φ(g 1g 2) =φ(g 1) φ(g 2) =ψ(g 1H ) ψ(g 2H )
综合以上a 、b 、c 三点，知ψ为同构映射，故G/H ?F
·系1 若群G 与群F 同态，则阶|F|为|G|的因子。
例 1.16 D 3群与=阶循环群Z 2 ＝(1, -1) 同态。
同态核为H = {e ，d ，f }，为D 3的不变子群； 商群D 3/H = {H ，aH }， aH ＝ {a, b, c } 同构映射ψ：D 3/H → Z 2
1)( ,1)(-==aH H ψψ
【定义1.13】 （自同构映射）
群G 到自身的同构映射φ：G →G ，称为群G 的自同构映射，
即 G g g G g ∈=∈?βααφ)( ,, 且)()()(,,j i j i j i g g g g G g g φφφ=∈?。
【定义1.14】 （自同构群）
定义两个自同构映射φ1和φ2的乘积φ1φ2为先实行映射φ2再实行φ1，由于每个自同构映射φ都有逆射φ-1，且有恒等映射φ0存在，故群G 的所有自
同构映射构成一个群，称为群G 的自同构群，记为A (G ) 或 Aut(G )。
【定义1.15】 （内自同构映射和内自同构群）
自同构映射φg : G →G ，G g g g
gg g g ∈=-11
11, ,)(φ。 映射集合
}|{G g g ∈φ构成一个群，群的乘法定义为两个内自同构映射的相继作用，该
群称为G 的内自同构群，记为I (G ) 或 In (G )。
·系1 内自同构群I (G )是自同构群A (G )的不变子群。
证明：?)(G A a ∈φ，G g ∈α，设βαφg g a =-)(1
(即αβφg g a =)() )(G I g ∈?φ， 做共轭运算，有
)()()()()()(1
1
1
---===g
g g g
gg g g a a a a g a a
g a φφφφφφφφφβββα
= ))(g ( a 1
g g g g φγγ
αγ≡-令
)(g αγ
φg =
显然 )(G I g ∈γφ，根据不变子群的定义，有I (G ) A (G )
·系2 若H 为G 的子群，则 H 的内自同构群I (H ) =｛φh | h ∈H ｝亦为内自同构
群，且I (H ) < I (G )。
例1.17 三阶对称群S 3的内自同构群
S 3=｛e , (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)｝
(1 2) = ???
?
??31
2
321, (1 2 3) = ???
? ??13
2
321
其余类推,数码1、2、3的置换构成S 3群，其内自同构映射有：
φ0(g =）αg α, φ1(g α) = (1 2) g α(2 1) φ2(g α) = (1 3) g α(3 1), φ3(g α) = (2 3) g α(3 2) φ4(g α) = (1 2 3) g α(1 3 2), φ5(g α) = (1 3 2) g α (1 2 3)
S 3的内自同构群I (S 3)为：I (S 3) = {543210 , , , , ,φφφφφφ}
§1.5 变换群
变换群即是以变换为群元构成的群。变换群的讨论涉及变换和变换的对象两个方面。
【定义 1.16】 （变换，完全对称群，变换群）
设X 为非空集合，X ={x ，y ，z ，…}，则将X 映入自身的一一映射f: X →X , f (x )＝y , 称为X 上的变换或置换；定义X 上的两个变换f ，g 的乘积fg 为它们先后对X 的作用：fg (X ) = f (g (X )), 则X 上所有可能的变换在此乘法下构成一个群，称为X 上的完全对称群，记为S X ，完全对称群的子群称为X 上的变换群或对称群。若集合X 为n 个元素的集合，则其上的完全对称群称为X 上的n 阶置换群，记为S n 。
◆ 定理1.8◆ 凯莱定理
任何群G 同构于G 上的完全对称群S G 的一个子群。 证明：
将G本身作为变换对象，构造S G的一个子群F G≡{f g g∈G, f g(g)=gg′,
g′∈G}
由重排定理，f g(G)=gG=G, 为将X映入X的一一映射，F G为一变换群。
可以证明，G?F G:
构造映射φ：G→F G，φ(g）= f g
φ显然为一一映射，且
?g1、g2∈G, X∈G 有
φ(g1g2)(X) = f g1g2(X) = g1g2(X) = g1(g2(X)) = f g1f g2(X) = φ(g1)φ(g2)(X)
故映射保持了群的运算结构
所以G?F G，得证
【定义1.17】(等价)
设G为X上的一个变换群，若x，y∈X，有g∈G, 使g(x) = y
则称x与y等价，记为x ~ y。
·系1 等价具有对称性，x ~ y, 则y ~ x
g(x) = y, 有g-1(y) = x
·系2 等价具有传递性，x ~ y, y ~ z,则x ~ z。
g(x) = y, f(y) = z, f(g(x)) = z
【定义1.18】(变换群的轨道)
设G为X上的变换群，对x∈X，由X中全部与x等价的点组成的集合称为含x的G轨道。即{g(x)g∈G}, 记为C x。
【定义1.19】(群不变子集)
设G为X上的变换群，若有子集Y?X，对?g∈G, y∈Y,有g(y)∈Y
则称Y为群G在X上的不变子集。
·系1 X中的G轨道及其并集是G不变的。
·系2 若Y为G在X上的不变子集，则G也是Y上的变换群。
·系3 G 为X 上的对称群，对于任意子集Y ?X , 总可以找到G 的子群H ，使得Y
是H 不变的（Y 对单位变换群{e }总是不变的，但是平庸的）。
例1.18 设X 是x-y 二维平面，G 是绕Z 轴转动的二维转动群，G = {C z (θ) 0≤θ<2π},
X ={j y i x r
+=}。平面上任意一点r = (x, y ) r 经群元C Z (θ)作用，变换到r '
r ' = C z (θ)r = ???
?
??+-)cos()sin()sin()cos(θθθθy x y x , 即：r' ~ r (1) 以原点O 为原心，过r 点的圆周上的所有点，构成含r 的G 轨道。
(2) 所有以O 为原心的同心圆及其任意和集是X 上的G 不变子集，故G 也是
这些不变子集上的对称群。
例1.19 G 是三维转动群{C n (θ) 0≤θ<2π}, 固定点为O 。X 为二维平面，求其子集
正四边形Y =□ABCD 的变换群H 。(H 为G 的子群)。 容易找出保持□ABCD 不变的对称操作：
e ：恒等转动， r ：)2(πz C ， r 2：)(πz C ， r 3：)2
3
(πz
C ， a ：)(1πn C ， b : )(2πn C
u : )(πx C ， v : )(πy
C 以上元素构成G 的子群H = {e , r , r 2, r 3, a , b , u, v }, H 是□ABC
D 上的变换群(D 4
群)。
【定义1.20】 （迷向子群）
设G 为X 上的变换群，对x ∈X ，保持x 不变的所有G 的群元，构成G 对x 的
y x
迷向子群，记为G x ={}x x h G h =∈)(| 证明：G x 构成群
①存在单位元：e (x ) = x , e ;x
G ∈
②逆元：若x x g G g x
=∈)(,，则),(1
x g x -=故;1
x
G g
∈-
③封闭性：若g 1, g 2,x G ∈则x x g x x g ==)(,)(21,
故x G g g x x g x g g x g g ∈===2112121,)())(()(故。
◆定理1.9◆ G 对x 的迷向子群G x , 其每一个左陪集把点x 映为X 中的一个特定
点y , 即含x 的G 轨道C x 上的点和G x 的左陪集间有一一对应关系。
证明：设{}G h x x h h G x ∈==ααα,)(|为x 点的迷向子群，
左陪集: {
}x
x
G
h gh gG
∈=αα|
则若g 1(x)=g 2(x), 有g 1∈g 2G x , 反之亦然：
① 若g 1(x)=g 2(x)，则：
g 2-1g 1(x)=x, 有g 2-1g 1∈G x ，即 g 2-1g 1G x ＝G x 故g 1∈g 2G x
② 若g 1∈g 2G x , 则存在h ，使得g 1=g 2h 有g 1(x)=g 2h(x)=g 2(x)
综上所述，x 的G 轨道C x 与G x 的左陪集一一对应。
·系1 若G 为X 上的n 阶变换群，的的迷向子群
在为x x G G X x x
,,∈G 轨道为
C x ，则C x 上轨道点的数目等于G x 左陪集的个数, 即n /|G x |。
例1.20 D 3={e, d, f, a, b, c }
D 3为ABC ?上的变换群 A 点的迷向子群: {e, a }= G A
左陪集串: G A = {e, a } bG A = {b, f } cG A = {d, c }
A 有D 3轨道C A = A, B, C
A
G D
3
=
2
6=3
关于迷向子群的定理把代数的陪集概念与几何上的轨道概念联系了起来。
§1.6 群的直积和半直积
【定义1.21】 （群的直积）
给定两个群G 1，G 2，作有序对（g 1, g 2）的集合G ，G ≡{(g 1, g 2)| g 1∈G 1, g 2∈G 2}，若定义G 上的乘法为：(g 1, g 2)*(g 1′, g 2′)=(g 1 g 1′，g 2 g 2′)，则G 构成群，称为G 1，G 2的直积，记为G=G 1?G 2。（“·” ，“ ”分别为G 1, G 2的乘法） ·系1 G 构成群。
证明： 结合律：
()[]()'',''*)''(*,212121g g g g g g =()()'',''*','.212211g g g g g g
=()()()''',''.'.222111g g g g g g =())'''(),'''..(222111g g g g g g
=()()''','''.*,221121g g g g g g =()()''','''.*,221121g g g g g g =())]'',''(*)'','[(*,212121g g g g g g
单位元：（e 1, e 2）, 其中e 1, e 2分别为G 1，G 2单位元
()()()()2122112121,,.,*,g g e g e g e e g g ==
=()()()21212211,*,,.g g e e g e g e = 逆元：()
(
)1
2
1
1
1
21,,---=g g g g
()()()()2
1
1
2
21
1
1
121121,,,*,e
e g g g g
g g g g =?=
----
=()(
)()211
2
1
1
21
2
11
1
,
*,,g g
g g g g g g ----=?
封闭性显然
故G 在乘法“*”下构成群。
·系2 定义G ~1≡{(g 1, e 2) | g 1∈G 1 }, G ~
2≡{(e 1, g 2)|g 2∈G 2}, G = G 1?G 2,
则显然：G G G G G G G
,~ ,~ ,~
·系3 显然还有：
1. )
,(~
~
2121e e G G =?;
2．G =21~
*~
G G , 且此分解唯一； 3. 21~
*~
G G =12~
*~
G G 4. ,~
1G G ,~
2G G
以上用群G1，G2可以直积方式构成群G ，那么反过来一个群在什么条件下
可以做这种分解，即直积分解？
◆定理1.10◆ （群的直积分解）
群G ，有子群G 1，G 2，定义序对(),.,2121g g g g ≡“.”为G 的乘法，则G =21G G ?的充要条件为：
1．g G g ,∈?可唯一表示为221121,,G g G g g g g ∈∈?=； 2．,1221g g g g ?=? 对2211,G g G g ∈?∈?成立。
证明：
可以检验G 中元素的乘法构成直积： ,',G g g ∈?根据条件有：
'
''2121g g g g g g ?=?=
'''2121g g g g gg ==''2211g g g g ,
显然''2121g g g g 可以看成是)','(*),(2121g g g g 的具体化形式，而''2211g g g g 可以看成)','(2211g g g g 的具体化形式，故G 中元素的乘法满足直积定义。
以上两个条件的必要性很显然，前面已经做了证明。
·系1 若1G ＜G , 2G ＜G ,且21G G G ?=
则G G G G e G G 2121,,=? 例 1.21 6阶循环群Z 6=｛e a a a a a a =65432,,,,,｝
Z 6有不变子群: G 1=｛e a a =63,｝，G 2=｛e a a a =642,,｝ 显然：21621 ,G G Z e G G ==?, 且21,G G 乘法可交换 故12216G G G G Z ?=?=
【定义1.22】 (群的半直积)
给定两个群G 1和G 2，G 1有自同构群}{F f =，存在同态映射,F :2→G φ(),2
2g f g =φF 为G 1的自同构群，则作序对集合
G ≡｛()21,g g |2211,G g G g ∈∈｝，并定义序对的乘法*：()()G g g g g ∈?',',,2121，有：
()()()())
'),'((','','*,22112212121212
g g g f g g g g g g g g g g g ?=?=φ
则G 在乘法“*”下构成群，称G 为G 1，G 2的半直积，记为G = G 1 2G s ?, 。
小学数学教学中的抽象性
小学数学教学中的抽象性 抽象性可以归纳为以下三点: （1）不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的,并且大量使用抽象的符号。 （2）数学的抽象是逐级抽象的,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。 （3）高度的抽象必然有高度的概括。 一抽象的意义与特征 1、抽象的意义 抽象是从复杂的事物中抽取一些事物的本质属性而舍弃非本质属性的思维方法。数学中的概念、性质、法则、符号都是抽象的结果。数学的抽象是具有其他学科所没有的特定的抽象特征，利用它能充分反应事物的本质属性。 2、抽象的特点 （1）概括性。概括是在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。概括通常可分为经验概括和理论概括两种。在数学的学习中，我们会经常遇到要将某一属性推广到同类对象中去的思维过程。例如，从长方形面积公式的推导推广到平行四边形面积的推导，再扩展到三角形、梯形、圆的面积公式的推导中去。
数学可以说是具有高度概括性的学科，数学尽管是抽象的，但它的抽象与概括是相互联系，密不可分的。 （2）层次性。数学是揭示事物的空间形式和数量关系的科学，这样的特点决定了数学的抽象是不同于其它学科的。在对数学问题的抽象中我们会遇到很多的数量关系和空间 形式，它们无论从内容、形式、还是表达方式，都不是完全一致的过程，有些过程相对复杂，有些相对简单，有些抽象很简洁，有些却很复杂，甚至会出现在一而再，再而三抽象的特性。有些具体一些，有些则更一般、更抽象一些。从幼儿开始接触到具体的数，感受数的基本特点，再到低年级对数的认识、理解数的概念，再到高年级数的分类、自然数、奇数、偶数、素数、合数，逐渐抽象，概念的形成过程中层次性、阶段性非常明显。针对不同年龄阶段的心理特点，抽象思维需要解决的问题、所要达到的能力也有所不同。 二抽象与具体的关系 1、具体以抽象为过程 作为与生活紧密联系的具体的知识是人们在社会存在 中应当掌握的必备的知识。而现实世界是丰富多彩、千变万化的。人们不可能在短时间内掌握大量的科学知识，只能通过把现实的生活知识抽象转化为可在短时间内学会的文化、技能知识，才能很快地掌握，抽象在这一转化中起到桥梁的
数学中的抽象美
数学中的抽象美 在绘画与教学中，美有客观标准。画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、…… —哈尔莫斯 数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。 —R．D．Carmicheal 自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。 —C．N．杨 “数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)。 数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。 我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，而数学正是书写宇宙的文字(伽利略语)。 物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。万有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。 在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。 当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。 数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。 如前所述，微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、
架空送电线路造价基础知识
第一部分 电力造价概念 电力系统构成 1、概念：发电厂、变电所、输配电线路和用电负荷（如工业用电、民用电等），组 成电力生产与消费平衡的最简单的电力系统。 2、系统构成： 生产：电源系统，由各类发电厂构成——发电 输送：电压变换，升降压——变电 输电、配电——送电线路、配网等 此外还有控制系统；包括电力调度自动化、继电保护、安装稳定控制、监控系统等。 简介各个电力子系统 1、发电厂：主要指火力发电厂，通过高温燃煤将将化学能转为热能，从而将水加热成为高温高压的蒸汽，利用蒸汽驱动汽轮机，热能转变为机械能，汽轮机带动发电机发电，机械能转变为电能。由八大系统组成：热力系统、燃料供应系统、化学水处理系统、供水系统、电气系统、热工控制系统、附属生产系统、脱硫系统；是标准电厂项目划分。 2、变电站：联系发电厂和用户的中间环节，起变换和分配电能的作用。 3、送电线路：10千伏以下的应执行地方定额，10千伏以上的应执行电力行业定额。同时注意采用什么定额就使用相应的取费标准。 4、电力负荷：分为有功负荷和无功负荷两类；有功负荷指用户实际耗能，无功负荷指线损。由于电能不能储存，实际上发电、送电、用电是同时进行的，发出的电与消耗的电应尽量平衡。 电力造价基础知识 1、工程造价定义：简单来说就是完成建设项目所需要付出的金额。 2、工程造价两种含义：是从不同角度把握同一事物的本质。 从建设工程的投资者来说，面对市场经济条件下的工程造价就是项目投资，是“购买”项目要付出的价格；同时也是投资者在作为市场供给主体时“出售”项目时订价的基础。对于承包商来说，对于供应商和规划、设计等机构来说，工程造价是他们作为市场供给出主体出售商品和劳务的价格总和，或是特指范围的工程造价，如建筑安装工程造价。 3、工程项目分解与组合： 就拿发电工程来说：包括的单位工程有：热力系统、燃料供应系统、化学水处理系统、供水系统、电气系统、热工控制系统、附属生产系统。单位工程再细分为扩大单位工程，如热力系统又是由：主厂房本体、除尘排烟系统、热力网系统。单项工程可以将主厂房本体细分为：主厂房、集中控制楼、锅炉、汽机、风机房等。 4、工程计价的计价特征：单件性、多次性、组合性、多样性 其中：多次性为； （1）项目建议书阶段、可行性研究阶段——投资估算 指项目建议书、可行性研究阶段对拟建项目所需投资额，编制估算金额或称估算造价，是决策、筹资和控制造价的主要依据。判断项目是否可行，可行性研究批准则项目正式启动，也就是我们常说的立项。 *判断方法：根据一定的方法——经济评价，判断项目是否可以得到预期的收益。（2）初步设计阶段——概算 项目立项报批，由设计单位出初步设计图，计算工程概算造价，建设单位根据概算造价筹
近世代数第二章答案分解
近世代数第二章群论答案 §1.群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如 () 321110 --=-= --=-=() 321312 ()() --≠-- 321321 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G=,e a {},G的乘法由下表给出 首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为，由于ea ae a ==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有 ()aa a ea a == a aa ae a ==() 而(1)仍成立。 其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。 读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的
定义： IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 =ae a 对于G 的任何元a 都成立； V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 1=aa e - 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。 解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 ()()()2 ==ab ab ab e 另一方面 ()()22====ab ba ab a aea a e 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得 =ab ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。 考察1a -。我们有 ()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数 数学抽象的内涵、特征及对中小学数学教育的启示。 一、内涵：数学抽象是指从研究的对象或问题中，把大量的关于其空间形式和数量关系的直观背景材料，通过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作、提炼数学概念、构造数学模型、建立数学理论。即就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。 二、特征：1.数学抽象有着明显的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式和数量关系；2.数学抽象适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象；3.数学抽象有着丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象。 三、对中小学数学教育的启示 数学教育的是如何处理好“数学”和“教育”的关系。从“数学”方面来看，因为数学的高度抽象性是数学的最本质的特点，因此数学教学是无法回避抽象性的。并且，以抽象为突出特征的现代数学定位为主干课程是历史的必然趋势，学习数学最重要的就是学习抽象、学会抽象。而从“教育”方面来看，就是通过恰当的教学组织，使学生在自己亲身体验的具体现实中去寻找与数学的联系，学会抽象。从某种程度来说，中学生学习数学的过程就是逐步领会、掌握数学抽象的过程，它要经历一个由具体到抽象，又从抽象回到具体，由直观现实化抽象到概括形式化的发展过程。因此，具体-抽象结合为一体，是数学教学中应遵循的基本规律。 《数学抽象在数学教学中的应用》潘建军 (一)抽象概念形象化、具体化 在理解、运用抽象概念时，基于具体问题引入概念，然后再通过典型的例子对概念做进一步的理解，将以往己形成的认识、记忆所带来的干扰予以排除，然后对抽象概念的内涵、外延做进一步、全新的、充分的理解，抽取概念的实质，分析不同例证。此外，老师还要结合数学理论的抽象层次、结构，引导学生进一步构造抽象思维，形成抽象思维系统，最终实现抽象思维与具象层次的转化。例如在学习苏教版必修四《弧度制》时， (一)抽象概括问题本质 从某种程度而言，抽象概括数学问题的木质就是认识数学、解决数学问题的、普通思维方式的理性概括，与其它的数学知识、数学方法相比，抽象概括的层次相对更高，而新课标也要求学生具备由表及里、抽象概括数学问题本质的基本能力。下面通过实例阐述其具体应用:如果实数 总之，数学教学中数学抽象性非但不能减弱，反而应当增加，采取可行的教学方法和手段，使学生在学习中真正感受到数学抽象性的巨大作用。 纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。它大体上分为三大类，即 研究空间形式的几何类，研究离散系统的代数类，研究连续现象的分析类 研究空间形式的几何类 属于第一类的如微分几何、拓扑学。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分几何为研究工具。在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。 研究离散系统的代数类 属于第二类的如数论、近世代数。数论是研究整数性质的一门学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等。近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等，它研究更为一般的代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支。它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。 研究连续现象的分析类 属于第三类的如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。 抽象代数就是近世代数，法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。 简介 抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。 “抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。 在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。 定义 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 第二章 群论 近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52 题，最后提交时间为11月25日 1、设G 是整数集，则G 对运算 4++=b a b a 是否构成群？ 2、设G 是正整数集，则G 对运算 b a b a = 是否构成群？ 3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群. 4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元. 5、G 是整数集，则G 对运算 1=b a 是否构成群？ 6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =. 7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a = 也作成群. 8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限. 9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限. 10、设群G 中元素a 阶数是n ，则 m n e a m |?=. 11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ) ,(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l. 12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数. 13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数. 14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2 ，则G 是交换群. 对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx. 或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba 15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n . 16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数. 17、设群G 中元素a 阶数是n ，则 )(|t s n a a t s -?=. 18、群G 的任意子群交仍是子群. 基础形式选择 1 基础方案选择原则 在基础方案选择时，遵循下面的原则： （1）基础设计必须在安全、可靠的前提下，坚持保护环境和节约资源的原则； （2）根据线路的地形、施工条件、岩土工程勘查资料，综合考虑基础型式和设计方案，使基础设计达到安全、经济合理的目的。 （3）充分发挥每种基础型式的特点，针对不同的地形、地质，选择不同的基础型式；（4）对不良地基，提出特殊的基础型式和处理措施。 2 基础方案选择要求 根据我国目前特高压输电线路杆塔基础工程的设计和施工现状，并结合本工程地基及杆塔基础的工程特性，在基础方案选择应考虑以下几方面： （1）采取合理的结构型式，减小基础所受的水平力和弯矩，改善基础受力状态。 （2）充分利用原状土地基承载力高、变形小的良好力学性能，因地制宜采用原状土基础。（3）注重环境保护和可持续发展战略。 （4）注重施工的可操作性和质量的可控制性。 2.1 基础方案的选择 根据沿线地质和水文状况，按照安全可靠、技术先进、经济适用、因地制宜的原则选定常采用的基础型式如下：掏挖式基础、斜柱柔性基础、扩展底柔板斜柱基础、直柱刚性基础、斜柱刚性基础、岩石基础、装配式金属基础，灌注桩等。 下文将结合本工程基础作用力大及复杂的地形地质条件，通过对基础型式的优化比较以及对以往工程的经验分析，初步确定适合本工程的基础形式。 目前，架空输电线路杆塔常用的基础型式大体可分为两大类：大开挖基础和原状土基础。（1）大开挖基础 主要包括现浇钢筋混凝土斜柱基础、阶梯式刚性基础、大板基础、装配式基础等，该类基础适用于线路一般地质情况较差的塔位，施工难度较小。对于斜柱基础，其混凝土方量较小，施工容易；而对于阶梯式刚性基础、大板基础其混凝土方量较大，但埋深浅，施工相对简单。对于平丘地区的塔基以及地下水水位较高地区，可采用大开挖基础。 （2）原状土基础 主要包括掏挖基础（直掏挖、斜掏挖）、人工挖孔桩、岩石基础。掏挖基础及岩石基础适用于地质情况较好(能成型开挖)、对环境要求高、基础负荷不太大的塔位，当基础埋深较深时，施工时往往需要护壁。另外，掏挖桩基础也是近年来在工程中应用比较多的基础型式，掏挖桩基础适用于地质情况较好、边坡比较紧张的山地、陡坡或陡坎边，由于掏挖桩基础埋深较深，施工时需要护壁。 （3）其它类型基础 根据工程特性和地基特点，输电线路杆塔基础还有一些其它的型式，如在大荷载、地基承载能力差的条件下采用的联合基础以及在施工难度大的流砂和软弱地层中采用的灌注桩基础、复合式沉井基础等。 基础型式选择，当有条件时应优先采用原状土（不含桩；根据沿线地质和水文状况，按照安全可靠、技术先进、；2.3.1掏挖基础；掏挖式基础施工时以土代模，直接将基础的钢筋骨架和；掏挖式基础又分为全掏挖基础和半掏挖基础；图2.3-1；全掏挖基础、半掏挖基础示意图；全掏挖基础、半掏挖基础优点：；（1）全掏挖基础、半掏挖基础可减小基础变形；（2）山区回填土（粘性土）来源 基础型式选择，当有条件时应优先采用原状土（不含桩基础）基础，也可采用钢筋混凝土板 数学抽象及其在教学中的应用 抽象性是数学的基本特点之一，所有的数学知识能够说都是经过抽象得到的，小学数学中的知识和方法亦是如此。数学抽象也是一种基本的数学思想。学生学习数学，不但是要学习那些由前人抽象概括形成的数学知识，同时还要学习形成知识的抽象概括的方法。了解数学抽象的特殊性以及如何在小学数学教学中有效应用数学抽象方法就显得十分必要。本文将在分析数学抽象的内涵、分类、教育价值的基础上，探讨数学抽象在小学数学教学中的应用。 一、数学抽象的内涵和分类 1.数学抽象的内涵。 “抽象”一词源于拉丁语“abstracio”，其本意是排除、抽取的意思。现在人们对抽象的理解一般有两种，一种是用来形容那种远离具体经验，因而不太容易理解的对象性质的水准；另一种是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。后者反映出抽象是一种思维活动。 抽象性是数学的基本特点之一，抽象也是数学活动最基本的思维方法。作为方法的数学抽象抽取的是事物在数量关系和空间形式等方面本质属性，进而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。 2．数学抽象的分类。 数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法，在实际应用中的数学模型方法，小到一个概念的给出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征都需要用到数学抽象。由此也能够看出数学抽象是多种多样的，也是多层次的。了解数学抽象的分类有助于我们在教学中抓住抽象的重点和关键。 数学抽象根据抽象对象的性质能够分为“表征型抽象”“原理型抽象”和“建构型抽象”。对事物所表现出来的特征的抽象，称为“表征型抽象”。例如三角形、正方形、圆、立方体、轴对称等概念都是“表征型抽象”的结果。对事物内在因果性、规律性、关系性的抽象，称为“原理型抽象”。例如乘法分配律、三角形内角和为180o等基本数学关系都是“原理型抽象””的结果。而建立在这些抽象基础上的数学建构性活动称为“建构型抽象”。如定义质数和合数的概念的活动就是“建构型抽象”。 数学抽象还能够从抽象过程的特征上分为“理想化抽象”“等置抽象”“弱抽象”和“强抽象”。理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象的思维过程，理想化抽象得出的数学概念包含了对于真实事物或现象的简化和完善化，因而这些概念与现实原型本身未必完全相符，如线段、射线、直线等概念都是理想化抽象的结果；又如，在解决实际问题的时候，往往用线段图来表示题目中的数量关系，而线段图也是理想化抽象的结果。理想化抽象也能够通过引进理想化元素来发现数学理论，如虚数概念的建立。等置抽象是指依据某种等价关系抽取一类对象共同特征的抽象方法。如从三个苹果、三棵树、三枚棋子……这些在数量上具有共同特征的事物中抽取出“自然数3”这个概念，就是等置抽象。弱抽象也能够叫做概念“扩张式抽象”，即 数学核心素养之数学抽象理解 高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。…… 反思1：只舍去“物理属性”，不舍去“社会属性”“形式属性”？应该是“具体属性”. 反思2：“表征”应改为“表示”，如此更通俗易懂，也更准确。表征是教育心理学的术语，是认知者在脑中重新表示反映——再表示的意思。 反思3：数量与数量关系、图形与图形关系已经属于纯数学世界的内容，由两者抽象出数学概念及关系就是所说的垂直数学化，即数学世界内部由低级向高级的发展。“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”指的是从真实世界得出数学原理结构，是由真实世界到数学世界的水平数学化之一，但却少了另一种更基础的水平数学化：由真实世界抽象出数量、图形、概念等数学模式。例如：实际问题→茎叶图；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。 反思4：抽象是数学的特点之一，但不是数学所特有的。逻辑学、哲学、文学、艺术中的“抽象”俯拾皆是。浙江大学120周年校庆通告你读懂了多少？“庠序”“缉熙”“黾勉”不抽象吗？毕加索的画不抽象吗？ 概括性才是数学更本质的特点。抽象是过程手段，是概括的基础，而概括才是最终的目的.理解数学概念、原理的本质不是理解抽象性，而是理解数学概念、原理的概括性或者说“通杀性”！ 反思5：“数学抽象”是一种提炼抽取数学对象的手段，把它作为一种数学思想恰当吗？请问国际上有哪一本专著、论文把数学抽象作为数学思想之一？从定义所阐述的内容看，“数学抽象”实际上就是数学家、数学教育家早已提出的“数学化”的部分内容。 数学化是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程这里的“现实性”是指真实世界和数学世界的总和，不能望文生义地理解为真实世界、现实世界. 公理化是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程. 形式化是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.”而关于图式化，在介绍完公理化、形式化后，是这样形容的：“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候.”.因此，可以认为，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构. 建模是数学化的一个方面，在的术语观中，模型是不可缺少的一种中介，建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理. 数学化被分成两种：一是水平数学化，即从生活世界中抽象概括出数学概念、数学原理等数学模式的过程，是从“生活世界”到“数学世界”的转化过程.二是垂直数学化:即从现有的数学世界中抽象概括出更高级的数学模式的过程，是从低层数学到高层数学的过程. 国内外同行早已认同了的观点：学数学就是学习数学化，教数学就是教数学化。数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化，以及学习在数学内部由低级向 近世代数习题解答 第二章群论 1群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 证不是一个群，因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件 4,5'来作群的定义： 4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立 5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e A_1 证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e 因为由4 G有元a能使a'a =e 1 1 1 ' 所以(a a)e = (a a)(a a ) 即a a = e (2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即 由ae = a 得ea = a 即ea = a 这样就得到群的第二定义. (3)证ax二b可解 取x = a 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到4,5'是不困难的. 2单位元，逆元，消去律 1. 若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群. 证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba . 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. _1 n —1 n n —1 —1 证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e 若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ ? a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的阶等于a °的阶 _4 _4 2 (2) a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾 (3) a b 贝U a「b' 斗 架空线路的基本结构 架空输电线路的主要部件有:导线和避雷线(架空地线)、杆塔、绝缘子、金具、杆塔 基础、拉线和接地装置等。如图所示。 图架空输电线路 一、导线和避雷线 导线是用来传导电流、输送电能的元件。输电线路一般都采用架空裸导线，每相一根，220kV及以上线路由于输送容量大，同时为了减少电晕损失和电晕干扰而采用相分裂导线，即每相采用两根及以上的导线。采用分裂导线能输送较大的电能，而且电能损耗少，有较 好的防振性能。 (一)架空导线的排列方式 导线在杆塔上的排列方式：对单回线路可采用上字形、三角形或水平排列，对双回路线路可采用伞形、倒伞形、干字形或六角形排列，见图4—1。 图4-1导线在杆塔上排列方式示意图 导线在运行中经常受各种自然条件的考验，必须具有导电性能好、机械强度高、质量轻、价格低、耐腐蚀性强等特性。由于我国铝的资源比铜丰富，加之铝和铜的价格差别较大，故几乎都采用钢芯铝线。 避雷线一般不与杆塔绝缘而是直接架设在杆塔顶部，并通过杆塔或接地引下线与接地装置连接。避雷线的作用是减少雷击导线的机会，提高耐雷水平，减少雷击跳闸次数，保证线路安全送电。 (二)导、地线分类 导、地线一般可按所用原材料或构造方式来分类。 1、按原材料分类 裸导线一般可以分为铜线、铝线、钢芯铝线、镀锌钢绞线等。 铜是导电性能很好的金属，能抗腐蚀，但比重大，价格高，且机械强度不能满足大档距的强度要求，现在的架空输电线路一般都不采用。铝的导电率比铜的低，质量轻，价格低，在电阻值相等的条件下，铝线的质量只有铜线的一半左右，但缺点是机械强度较低，运行中表面形成氧化铝薄膜后，导电性能降低，抗腐蚀性差，故在高压配电线路用得较多，输电线路一般不用铝绞线;钢的机械强度虽高，但导电性能差，抗腐蚀性也差，易生锈，一般都只用作地线或拉线，不用作导线。 钢的机械强度高，铝的导电性能好，导线的内部有几股是钢线，以承受拉力;外部为 多股铝线，以传导电流。由于交流电的集肤效应，电流主要在导体外层通过，这就充分利用了铝的导电能力和钢的机械强度，取长补短，互相配合。目前架空输电线路导线几乎全部使用钢芯铝线。作为良导体地线和载波通道用的地线，也采用钢芯铝线。 模块1 输电线路基础知识 【模块描述】本模块主要介绍输电线路的基础知识。通过概念描述和图例讲解，使学员能够认知导线、避雷线、绝缘子、金具、杆塔、基础、拉线、接地装置及附属设施等元件。 【正文】 一、输电线路的构成 输电的通路由电力线路、变配电设备构成。 输电线路从结构可分为架空线路和电缆线路两类。 构成架空输配电线路的主要部件有:导线、避雷线（简称避雷线）、金具、绝缘子、杆塔、拉线和基础、接地装置等，如图。 13 4 6 710258 9 1－横担；2－横梁；3－避雷线；4－绝缘子；5－砼杆； 6－拉线；7－拉线盘；8－接地引下线；9－接地装置； 10－底盘；11－导线；12-防振锤； 98 接地装置俯视图 11 12 二、各部件作用及分类 (一)、导线 导线是固定在杆塔上输送电流用的金属线，由于导线常年在大气中运行，经常承受拉力，并受风、冰、雨、雪和温度变化的影响，以及空气中所含化学杂质的侵蚀。因此，导线的材料除了应有良好的导电率外，还须具有足够的机械强度和防腐性能。目前在输电线路设计中，架空导线和避雷线通常用铝、铝合金、铜和钢材料做成，它们具有导电率高，耐热性能好，机械强度高，耐振、耐腐蚀性能强，重量轻等特点。 现在的输电线路多采用中心为机械强度高的钢线，周围是电导率较高的硬铝绞线的钢芯铝绞线，如图0-2所示。钢芯铝绞线比铜线电导率略小，但是具有机械强度高、重量轻、价格便宜等特点，特别适用于高压输电线。钢芯铝绞线由于其抗拉强度大，弧垂小，所以可以使档距放大。 钢芯铝绞线按其铝、钢截面比的不同，分为正常型（LGJ ）、加强型（LGJJ ）、轻型（LGJQ ）三种。在高压输电线路中，采用正常型较多。在超高压线路中采用轻型较多。在机械强度高的地区，如大跨越、重冰区等，采用加强型的较多。 铝合金线比纯铝线有更高的机械强度，大致与钢芯铝绞线强度相当， 但重量 6 75 8 9接地装置俯视图 7 8 1－避雷线；2－双分裂导线；3－塔头；4－绝缘子； 5－塔身；6－塔腿；7－接地引下线；8－接地装置； 9－基础；10－间隔棒； 小学数学中的抽象与推理 东北师范大学史宁中 一、数学的基本思想 1. 课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变） 过去的教育理念：以知识为本 教学大纲 关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆） 基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练） 教学形式是： 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论） 现代的教育理念：以人为本、育人为本（纲要） 课程标准 以学生的发展为本 人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法 不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能 还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生 感悟数学的基本思想，通过数学教学（数量、图形） 积累基本活动经验：会想问题、会做事情 课程目标：基础知识、基本技能+ 基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+ 发现问题、提出问题 解决问题→问题解决 2. 什么是数学的基本思想 数学是研究数量关系和空间形式的科学 研究对象：数量、图形 研究内容：数量关系、图形关系 数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型 数学教学的责任：会抽象、会推理 通过抽象：现实→数学 把研究对象、以及对象之间的关系形成概念 从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学→数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学→现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性 得到数学的基本特征： 送电线路基础知识简介 1.送电线路类型 送电线路包含三种类型：架空线路、电缆线路、光缆线路（俗称通信线路）。 2.送电线路单项工程 架空线路分为五个单项工程：土石方工程、基础工程、杆塔工程、架线工程、附件工程。 电缆送电线路的本体工程由电缆沟、井、隧道、小间及保护管工程，电缆支架、桥架及托架工程，电缆敷设工程，避雷器及接地工程，两端工程及电缆常规试验等六大扩大单位工程组成。 3.各单项工程主要功能 3.1.架空线路 3.1.1.基础工程 杆塔基础是保持杆塔稳定的地下构筑物，以保证杆塔不发生倾斜、倒塌、下沉等。 送电线路的杆塔基础按施工方式分为预制基础、现浇混凝土基础、桩式基础、岩石基础等，安装工序包括基础砼浇灌、基础钢筋制作与安装。 ●刚性基础：底板不配筋，俗称阶梯式基础。 ●柔性基础：底板配筋，俗称大板式基础。 ●斜柱基础：又称插入式基础、斜插基础。 ●掏挖基础：基本组成由上圆柱、中间圆台、下圆柱，或者上圆柱、底部圆台。 掏挖基础的适用土质：可塑性粘土和亚粘土、黄土。 电杆基础底盘：承受电杆的下压力。 卡盘：承受混凝土杆的横向力。 拉盘：承受拉线拉力。 3.1.2.杆塔工程 杆塔的作用主要是支持导线、地线、绝缘子和金具，保证导线与地线之间，导线与导线之间、导线与地面或交叉跨越物之间所需的距离。 送电线路杆塔按其不同的用途和作用分为：直线、悬垂转角、耐张、终端、换位、大跨越 电杆的种类钢筋混凝土电杆、薄壁离心钢管混凝土电杆、拔梢钢管电杆 3.1.3.接地装置 接地装置主要用于防直击雷，由接闪器、引下线、接地体三部分组成。 接闪器：接受雷电流的金属导体，可分为避雷针、避雷带（线）、避雷网三种。位于导线上方的架空地线，就是架空线路的接闪器。 引下线和接地体总称为接地装置。 3.1. 4.架线工程 ?导线 导线是架空线路的主体，担负着传输电能的作用。 种类硬铝线(裸铝绞线) LJ 钢芯铝绞线LGJ 防腐型钢芯铝绞线LGJF 铝包钢绞线LBGJ 导线切面如图： 型号导线型号由导线的材料、结构和载流截面积两部分组成。 拼 音 T L J H G B F 含义铜铝多股绞线或加强型合金钢包 防 腐 导线的规格LGJ-300/50 表示标称截面为铝300mm2、钢50mm2，如下 抽象函数问题有关解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的 灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+= --∴ 2()1x f x x -= - 2.凑配法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 拼凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还 能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111 ()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+ ≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0 ()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?-- 输电线路的基本知识线路 一、送电线路的主要设备： 送电线路是用绝缘子以及相应金具将导线及架空地线悬空架设在杆塔上，连接发电厂和变电站，以实现输送电能为目的的电力设施。主要由导线、架空地线、绝缘子、金具、杆塔、基础、接地装置等组成。 1．导线：其功能主要是输送电能。线路导线应具有良好的导电性能，足够的机械强度，耐振动疲劳和抵抗空气中化学杂质腐蚀的能力。线路导线目前常采用钢芯铝绞线或钢芯铝合金绞线。为了提高线路的输送能力，减少电晕、降低对无线电通信的干扰，常采用每相两根或四根导线组成的分裂导线型式。 2．架空地线：主要作用是防雷。由于架空地线对导线的屏蔽，及导线、架空地线间的藕合作用，从而可以减少雷电直接击于导线的机会。当雷击杆塔时，雷电流可以通过架空地线分流一部分，从而降低塔顶电位，提高耐雷水平。架空地线常采用镀锌钢绞线。目前常采用钢芯铝绞线，铝包钢绞线等良导体，可以降低不对称短路时的工频过电压，减少潜供电流。兼有通信功能的采用光缆复合架空地线。 3．绝缘子：是将导线绝缘地固定和悬吊在杆塔上的物件。送电线路常用绝缘子有：盘形瓷质绝缘子、盘形玻璃绝缘子、棒形悬式复合绝缘子。 （1）盘形瓷质绝缘子：国产瓷质绝缘子，存在劣化率很高，需检测零值，维护工作量大。遇到雷击及污闪容易发生掉串事故，目前已逐步被淘汰。 （2）盘形玻璃绝缘子：具有零值自爆，但自爆率很低（一般为万分之几）。维护不需检测，钢化玻璃件万一发生自爆后其残留机械强度仍达破坏拉力的80%以上，仍能确保线路的安全运行。遇到雷击及污闪不会发生掉串事故。在Ⅰ、Ⅱ级污区已普遍使用。 （3）棒形悬式复合绝缘子：具有防污闪性能好、重量轻、机械强度高、少维护等优点，在Ⅲ级及以上污区已普遍使用。 4．金具 送电线路金具，按其主要性能和用途可分为：线夹类、连接金具类、接续金具类、防护金具类、拉线金具类。 （1）线夹类： 悬式线夹：用于将导线固定在直线杆塔的悬垂绝缘子串上，或将架空地线悬挂在直线杆塔的架空地线支架上。 耐张线夹：是用来将导线或架空地线固定在耐张绝缘子串上，起锚固作用。耐张线夹有三大类，即：螺栓式耐张线夹；压缩型耐张线夹；楔型线夹。数学抽象的内涵
数学分类与抽象数学
2014高中数学抽象函数专题
近世代数习题第二章
架空输电线路基础选型
数学抽象及其在教学中的应用
数学核心素养之数学抽象理解
近世代数习题解答张禾瑞二章
架空线路的基本结构
1.输电线路基础知识解析
小学数学中的抽象与推理(史宁中)
送电线路基础知识
高中数学中抽象函数的解法及练习
输电线路的基本知识线路