《圆周运动》练习(二)
1.如图所示,两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点 )放在水平圆盘上, a 与转轴 OO ′的距离为 l , b 与转轴的距离为 2l ,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的
k 倍,重力加速度大小为
g.若圆盘
从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )
A . b 一定比 a 先开始滑动
B .a 、 b 所受的摩擦力始终相等
C .ω=
kg
是 b 开始滑动的临界角速度
2l
D .当 ω=
2kg
时, a 所受摩擦力的大小为 kmg
3l
2.如图所示,一质量为 M 的光滑大圆环,用一细轻杆固定在竖直平面内;套在大环上质量为 m 的小
环 (可视为质点 ),从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为 g.当小环滑到大环的最低点时,大环
对轻杆拉力的大小为 (
)
A . Mg - 5mg
B . Mg + mg
C .Mg + 5mg
D . Mg + 10mg
3.如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹.质点从
M 点出发经 P 点到达 N 点,已
知弧长 MP 大于弧长 PN ,质点由 M 点运动到 P 点与从 P 点运动到 N 点所用的时间相等.则下列说法 中正确的是 (
)
A .质点从 M 到 N 过程中速度大小保持不变
B .质点在这两段时间内的速度变化量大小相等,方向相同
C .质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等,但方向相同
D .质点在 M 、 N 间的运动不是匀变速运动
4.如图所示,质量相同的钢球①、②分别放在 A 、 B 盘的边缘, A 、 B 两盘的半径之比为 2∶ 1,a 、 b 分别是与 A 盘、 B 盘同轴的轮, a 、 b 轮半径之比为 1∶ 2.当 a 、 b 两轮在同一皮带带动下匀速转动时,
钢球①、②受到的向心力大小之比为 ( )
A . 2∶ 1
B . 4∶ 1
C .1∶ 4
D . 8∶ 1
5.利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面,
如图所示,
用两根长为 L 的细线系一质量为
m 的小球,两线上端系于水平横杆上的
A 、
B 两
点, A 、 B 两点相距也为 L ,若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动,则小球运
动到最低点时,每根线承受的张力为 ( )
A . 2 3mg
B . 3mg
73mg
C.2.5mg D. 2
6.如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴距离
3
(设最大静摩擦力等于
2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为 2
滑动摩擦力 ),盘面与水平面的夹角为30°, g 取 10 m/s2.则ω的最大值是 ()
A. 5 rad/s
B. 3 rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/ s
7.如图所示,在竖直平面内有xOy 坐标系,长为 l 的不可伸长细绳,一端固定在 A 点,A 点的坐标为 (0,
l
2),另一端系一质量为m 的小球.现在x 坐标轴上 (x>0)固定一个小钉,拉小球使细绳绷直并呈水平位
置,再让小球从静止释放,当细绳碰到钉子以后,小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动.
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(1) 当钉子在 x=4 l 的 P 点时,小球经过最低点时细绳恰好不被拉断,求细绳能承受的最大拉力;
(2) 为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动,而细绳又不被拉断,求钉子所在位置的范围.
8.如图所示,一小物块自平台上以速度v0水平抛出,刚好落在邻近一倾角为α=53°的粗糙斜面AB 顶端,并恰好沿该斜面下滑,已知斜面顶端与平台的高度差h= 0.032 m ,小物块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,A 点离 B 点所在平面的高度H= 1.2 m.有一半径为R 的光滑圆轨道与斜面AB 在 B 点相切连接,
已知 cos 53 °= 0.6, sin 53 =°0.8, g 取 10 m/s2.求:
(1)小物块水平抛出的初速度v0是多少;
(2) 若小物块能够通过圆轨道最高点,圆轨道半径R 的最大值.
9.如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图,整个轨道在同一竖直平面内,表面粗糙的 AB 段轨道与
四分之一光滑圆弧轨道 BC 在 B 点水平相切.点 A 距水面的高度为 H ,圆弧轨道 BC 的半径为 R ,圆心 O 恰在水面.一质量为
m 的游客 (视为质点 )可从轨道 AB 的任意位置滑下,不计空气阻力.
(1) 若游客从 A 点由静止开始滑下,到 B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面
D 点, OD = 2R ,求游客滑
到 B 点时的速度 v B 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功 W f ;
(2) 某游客从 AB 段某处滑下,恰好停在
B 点,又因受到微小扰动,继续沿圆弧轨道滑到
P 点后滑离轨
道,求 P 点离水面的高度 h.(提示:在圆周运动过程中任一点,质点所
2
受的向心力与其速率的关系为 F 向 =m v )
R
10.如图所示, 一块足够大的光滑平板放置在水平面上,
能绕水平固定轴 MN 调节其与水平面的倾角. 板
上一根长为 l = 0.6 m 的轻细绳,它的一端系住一质量为
m 的小球 P ,另一端固定在板上的
O 点.当平
板的倾角固定为 α时,先将轻绳平行于水平轴 MN 拉直,然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度
v 0= 3 m/s.若小球能在板面内做圆周运动,倾角
α的值应在什么范围内 (取重力加速度 g =10 m/ s 2)?
11.半径为 R 的水平圆盘绕过圆心
O 的竖直轴匀速转动, A 为圆盘边缘上一点.在 O 的正上方有一个
可视为质点的小球以初速度
v 水平抛出时,半径 OA 方向恰好与 v 的方向相同,如图所示.若小球与圆
盘只碰一次,且落在 A 点,重力加速度为g,则小球抛出时距O 的高度 h= ________,圆盘转动的角速度大小ω= ________.
12.一长 l= 0.80 m 的轻绳一端固定在O 点,另一端连接一质量m= 0.10 kg 的小球,悬点O 距离水平地面的高度H= 1.00 m.开始时小球处于 A 点,此时轻绳拉直处于水平方向上,如图所示.让小球从静
止释放,当小球运动到 B 点时,轻绳碰到悬点O 正下方一个固定的钉子P 时立刻断裂.不计轻绳断裂的能量损失,取重力加速度g= 10 m/s2.求:
(1)当小球运动到 B 点时的速度大小;
(2) 绳断裂后球从 B 点抛出并落在水平地面上的 C 点,求 C 点与 B 点之间的水平距离;
(3)若 OP= 0.6 m,轻绳碰到钉子 P 时绳中拉力达到所能承受的最大拉力断裂,求轻绳能承受的最大拉力.
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答案
1. 答案 AC
解析
小木块 a 、 b 做圆周运动时,由静摩擦力提供向心力,即
f = m ω 2R.当角速度增加时,静摩擦力增
大,当增大到最大静摩擦力时,发生相对滑动,对木块 a : f a
2 l ,当
a
2 a
a
a
=m ω f =kmg 时, kmg = m ω
l , ω
=
kg
2 b
2 b
kg
;对木块 b : f b
b
b
,所以 b 先达到最大静摩
l =m ω ·2l ,当 f = kmg 时, kmg = m ω ·2l , ω =
2l
擦力,选项 A 正确;两木块滑动前转动的角速度相同,则
f a
2 b 2 a b
=m ω l , f = m ω ·2l , f kg 2kg 2 当 ω= 2l 时 b 刚开始滑动,选项 C 正确;当 ω= 3l 时, a 没有滑动,则 f a = m ω2l = 3km g ,选 项 D 错误. 2. 答案 C 解析 设大环半径为 R ,质量为 m 的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律,所以 1 2 2mv = mg ·2R.小环滑 mv 2 到大环的最低点时的速度为 v =2 gR ,根据牛顿第二定律得 F N - mg = R ,所以在最低点时大环对小 mv 2 环的支持力 F N = mg + R = 5mg.根据牛顿第三定律知, 小环对大环的压力 F N ′= F N = 5mg ,方向向下.对 大环,据平衡条件,轻杆对大环的拉力 T = Mg + F N ′ = Mg + 5mg.根据牛顿第三定律,大环对轻杆拉力的大小为 T ′ =T = Mg + 5mg ,故选项 C 正确,选项 A 、 B 、D 错误. 3. 答案 B 解析 由题图知,质点在恒力作用下做一般曲线运动,不同地方弯曲程度不同,即曲率半径不同, 所以 速度大小在变,所以 A 错误;因是在恒力作用下运动,根据牛顿第二定律 F = ma ,所以加速度不变, 根据 v =a t 可得在相同时间内速度的变化量相同,故 B 正确, C 错误;因加速度不变,故质点做匀 变速运动,所以 D 错误. 4. 答案 D 解析 皮带传送,边缘上的点线速度大小相等,所以 v a = v b ,因为 a 轮、 b 轮半径之比为 1∶ 2,根据线 速度公式 ωa 2 v = ωr 得: b = ,共轴的点, 角速度相等, 两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等, 2 ω 1 a 1 8 F 1 8 ω1 2 则 ω2= 1.根据向心加速度 a = r ω,则 a 2= 1,由 F = ma 得F 2 = 1,故 D 正确, A 、 B 、C 错误. 5. 答案 A 2 解析 小球恰好过最高点时有: mg = m v 1 R 解得 v 1 = 3 2 gL ① 根据动能定理得: 1 2 1 2 mg · 3L = 2mv 2 - 2mv 1② 2 由牛顿第二定律得: v 2 3T - mg =m ③ 5 联立 ①②③ 得, T = 2 3mg 故 A 正确, B 、C 、 D 错误. 6. 答案 C 解析 当小物体转动到最低点时为临界点,由牛顿第二定律知, μmgcos 30 °- mgsin 30 °= m ω2r 解得 ω=1.0 rad/s ,故选项 C 正确. 7. 审题突破 (1)由数学知识求出小球做圆周运动的轨道半径, 由机械能守恒定律求出小球到达最低点 时的速度,然后由牛顿第二定律求出绳子的拉力. (2)由牛顿第二定律求出小球到达最高点的速度,由 机械能守恒定律求出钉子的位置,然后确定钉子位置范围. 解析 (1) 当钉子在 x = 5 l 2 +x 2 4 l 的 P 点时,小球绕钉子转动的半径为: R 1= l - 2 小球由静止到最低点的过程中机械能守恒: mg( l + R )= 1 mv 2 1 1 2 2 2 v 1 在最低点细绳承受的拉力最大,有: F - mg =m R 1 联立求得最大拉力 F = 7mg. (2) 小球绕钉子做圆周运动恰好到达最高点时,有: 2 v 2 mg = m R 2 运动中机械能守恒: mg( l - R 2)= 1 mv 22 2 2 钉子所在位置为 x ′ = l - R 2 2 l 2 - 2 联立解得 x ′ = 7 6 l 因此钉子所在位置的范围为 7 5 6 l ≤ x ≤ 4 l . 答案 (1)7 mg (2) 7 5 6 l ≤ x ≤ 4 l 8. 解析 (1) 小物块自平台做平抛运动, 由平抛运动知识得: v y = 2gh = 2× 10× 0.032 m/s = 0.8 m/ s(2 分 ) 由于物块恰好沿斜面下滑,则 tan 53 =° v y (3 分 ) v 0 得 v 0= 0.6 m/s.(2 分 ) (2) 设小物块过圆轨道最高点的速度为v ,受到圆轨道的压力为 N. v 2 则由向心力公式得: N + mg = m R (2 分) μ mgHcos 53 ° 1 2 1 2 由动能定理得: mg(H + h)- sin 53 °- mg(R + Rcos 53 )°=2mv - 2mv 0 (5 分 ) 小物块能过圆轨道最高点,必有 N ≥ 0(1 分 ) 联立以上各式并代入数据得: 8 8 R ≤21 m ,即 R 最大值为 21 m . (2 分 ) 答案 (1)0.6 m/s (2) 8 m 21 9. 答案 (1) 2gR - (mgH - 2mgR) (2)2 R 3 解析 (1) 游客从 B 点做平抛运动,有 2R =v B t ① 1 R =2gt 2 ② 由 ①② 式得 v B = 2gR ③ 从 A 到 B ,根据动能定理,有 1 2 mg(H - R)+W f = 2mv B - 0④ 由 ③④ 式得 W f =- (mgH - 2mgR)⑤ (2) 设 OP 与 OB 间夹角为 θ,游客在 P 点时的速度为 v P ,受到的支持力为 N ,从 B 到 P 由机械能守恒定 律,有 1 mg(R - Rcos θ)= mv 2 - 0⑥ P 2 过 P 点时,根据向心力公式,有 2 v P mgcos θ- N = m R ⑦ N =0⑧ h cos θ=R ⑨ 2 由 ⑥⑦⑧⑨ 式解得 h =3R ⑩ 10. 答案 α≤ 30° 解析 小球在板面上运动时受绳子拉力、板面弹力、重力的作用.在垂直板面方向上合力为 0,重力在 沿板面方向的分量为 mgsin α,小球在最高点时, 由绳子的拉力和重力分力的合力提供向心力: T + mgsin 2 mv 1 α= l ① 研究小球从释放到最高点的过程,据动能定理: 1 2 1 2 - mglsin α= 2mv 1 - 2mv 0② 若恰好通过最高点绳子拉力 F T 2 = 0, v 3 2 1 联立 ①② 解得: sin α= 0 3gl = 3× 10× 0.6 = 2. 故 α最大值为 30°,可知若小球能在板面内做圆周运动,倾角 α的值应满足 α≤ 30°.