高考数学黄金100题系列第18题几类特殊函数对勾函数、绝对值函数等理
第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）
I ．理论基础·解题原理 （I ）对勾函数 一、对勾函数的定义
形如)0,0(>>+
=b a x
b
ax y 的函数，叫做对勾函数． 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a x
b
ax x f 的图象与性质
1.定义域 0}{≠∈x R x
2.值域
当0>x 时，ab x
b
ax x b ax 22=?≥+
（当且仅当x b ax =，即a b x =
时取等号）． 当0 b x -=时取等号）． 函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ?--∞） ∞+． 3.奇偶性 由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(x b ax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数． 4.单调性 由于2)(x b a x f - ='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x a b 或 a b x < <0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a b -上为减函数， 在),0(a b 上为减函数，在),( +∞a b 上为增函数． 5.渐近线 当0>x 时，0>+ x b ax ，当0 b ax ，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当0>x 时，x b x b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0 ax x b ax x f <+ =)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方． 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线． 特别1,1==b a 时，x x x f 1 )(+ =，函数图象如下图所示： （II ）绝对值函数 一、绝对值函数的定义：形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数． 含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如 ()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像,可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方 部分关于x 轴对称得到；2．形如()f x 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0 x <的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究． 二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质 1.定义域：R ； 2.值域：),0[+∞； 3.单调性：函数)(x f 在）（a b -∞-,上为减函数，在),(+∞-a b 上为增函数． 特别0,1==b a 时，x x f =)(，图象如下图所示 （III ）取整函数 取整函数的定义 若x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数．举例如下： ,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】 解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】 注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题． V ．举一反三·触类旁通 考向1 对勾函数 【例1】【2018河北唐山模拟】已知1 ()1f x x x =+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3- 【答案】A 【解析】∵ 1 () 1 f x x x =+-，∴ x x x f 1 1 ) (+ = +，令1 ) ( ) (+ =x f x F，则) (x F为奇函数，则) ( ) (x F x F- = -，所以1 ) ( 1 ) (- - = + -x f x f，有4 2 2 2 ) ( ) (- = - - = - - = -a f a f，故选A． 考点：函数值、函数的奇偶性． 【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数32 ()3 f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是（） A． 51 (,] 8 -∞ B．(,3] -∞ C． 51 [,) 8 +∞ D．[3,) +∞ 【答案】C 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性． 【例3】【2017山西四校联考】若函数) ( ) (R b x b x x f∈ + =的导函数在区间（1，2）上有零点，则) (x f 在下列区间上单调递增的是 A．(]1,- ∞ - B．()0,1- C．()1,0 D．() +∞ ,2 【解析】0 1 ) ( 2 = - = ' x b x f，b x= 2，显然0 > b，函数) ( ) (R b x b x x f∈ + =的导函数在区间（1，2）上有零点，4 1< (x f为增函数，只需b x x b x x b x f≥ ≥ - = - = '2 2 2 2 ,0 1 ) (，故选D． 【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件． 3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数() 1 2,1, 2 { 1 2,1, 2 x x x x x f x x -> = -≤ 函数()() g x f x m =-，则下列说法错误的是（） A．若 3 2 m≤-，则函数() g x无零点 B．若 3 2 m>-，则函数() g x有零点 C．若 33 22 m -<≤，则函数() g x有一个零点 D．若 3 2 m>，则函数() g x有两个零点【答案】A 【解析】作出函数() f x的图象如图所示： 观察可知：当 3 2 m=-时，函数() g x有一个零点，故A错误．故选A． 【跟踪练习】 1．若函数() 4 f x x x =+，则下列结论正确的是（） () () () () 4 (0,2),(2,) 4 (0,2),(2 . ) . . ., A f x B f x C f x D f x +∞ +∞ 的最小值为 在上单调递减在上单调递增 的最大值为 在 函数 函数 函数 函上单调递增在 数上单调递减 2．关于函数() 21 lg || f x x x+ =有下列命题： （1）其图象关于y轴对称； （2）函数f(x)在(0,) +∞上单调递增，在(,0) -∞上单调递减； （3）函数f(x)的最小值为lg2； （4）函数f(x)在(1,0),(2,) -+∞上单调递增； （5）函数f(x)无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是（） 【解析】注意函数的定义域为0x ≠． 如图： 所以在(0,)+∞上，g (x )在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．所以由复合函数单调性可知，f (x ) 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．由函数对称性，f (x ) 在(1,0)-上递增，在(,1)-∞-上递减，所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g (x )的最小值为2，所以f (x )的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确． 3．函数22 4 log ([2,4])log y x x x =+∈的最大值为______ 【答案】5 4．求函数3 ()f x x x =+在下列条件下的值域： (1)()(,0)0,x ∈-∞+∞； (2)(2,3]x ∈ 【解析】（1）当x>0时，由均值不等式，有33 23x x x x + ≥?= 当3 x x = 时，即3x =时，取到等号； 当x<0时，有 33 [()]23x x x x +=--+≤-- 所以函数的值域为：(23][23,)-∞-?+∞， 5．已知函数()a f x x x =+ 其中常数a>0． (1)证明:函数f(x)在]a 上是减函数,在,)a +∞ 上是增函数； (2)利用(1)的结论,求函数20 y x x =+ (x ∈[4,6])的值域； (3)借助(1)的结论,试指出函数27()1x g x x x -= ++ 的单调区间,不必证明． （3）55 (1)1 1 1 y x x x x =+=-++ -- ，所以值域为：[251,) ++∞． 考向2 绝对值函数 【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x的方程 1 2 a x x = + 有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是（） A．(),0 -∞ B．() 0,1 C．() 1,+∞ D．() 0,+∞ 【答案】C 【例6】已知函数 2 1,0 () log,0 x x f x x x ?+≤ ? =? > ?? ,若方程() f x a =有四个不同的解 1 x, 2 x, 3 x, 4 x,且 1234 x x x x <<<,则 3122 34 1 () x x x x x ++的取值范围是（） A．(1,) -+∞ B．(] 1,1 - C．(,1) -∞ D．[) 1,1 - 【答案】B 【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数() 2,1 {2 ,1 x x f x x x x +< = +≥ ，设a R ∈， 若关于x的不等式() 2 x f x a ≥+在R上恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】[] 2,2 - 【例8】【2015高考湖北卷】a 为实数,函数2 ()||f x x ax =-在区间[01]， 上的最大值记为()g a ． 当a = 时,()g a 的值最小． 【答案】322- 【解析】()()2f x x ax x x a =-=-．①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示．函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-． a O y x ②当0a =时,2 ()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-． ③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示． x y O a 【例9】函数x x g 2log )(= )2 1(> x ,关于x 的方程2 ()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解,则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3423 m - <≤- 【例10】【2018广东广州模拟】已知函数()()11f x x x x R =-++∈ (1)证明：函数()f x 是偶函数； (2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域； (3)在同一坐标系中画出直线2y x =+，观察图像写出不等式()2f x x >+的解集． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）{|02}x x x 或． 【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(-x)与f(x)的关系，判断函数f(x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想． 试题解析： （1）依题可得： ()f x 的定义域为R ()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-= ∴ ()f x 是偶函数 （2）()()2(1){2 112(1) x x f x x x x -<-=-≤≤> 由函数图象知，函数的值域为[ )2,+∞ （3）由函数图象知，不等式的解集为{|02}x x x 或 【跟踪练习】 1．【2018浙江台州模拟】函数{} ()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,,a a b a b b a b ≤?=? >? ，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ??的最大值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】D 由m x x =-=-2222，得m x -=22，02>-m 由m x x =-=-2233，得23+=m x ，02>+m ()()()124414412242 22222321=?? ????-+≤-=+?-?=??∴m m m m m m m x x x ，当且仅当2 24m m -=， 即2= m 时取到等号，故答案为D ． 考点：1、函数图象的应用；2、基本不等式的应用． 2．【2018北京西城区模拟】设函数3 ||, 1,()log , 1.x a x f x x x -?=? >?≤ （1）如果(1)3f =，那么实数a =___； （2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___． 【答案】2-或4；(1,3]- 【解析】由题意()113, f a =-= ，解得2a =-或4a =； 第二问如图： 考点：1．分段函数值；2．函数的零点． 3．设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数） （1）a =2时，讨论函数)(x f 的单调性； （2）若a >-2，函数)(x f 的最小值为2，求a 的值． （2）2 222)(2 2 a x a x a x x a x x x f <≥???+--+=，12,2-> ∴->a a ，结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2，解得a =3符合题意； 当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24 )2(2 == a a f ，无解； 综上，a =3． 考向3 取整函数与程序框图 【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的 S 值为 A ．5 B ．7 C ．9 D ．12 考向4 取整函数与函数的周期性 【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[] f x x x =-在R 上为 ( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ． 周期函数 【答案】D 【解析】因为f （x ）=x-[x]，所以f （x+1）=（x+1），-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f （x ）， ∴f （x ）=x-[x]在R 上为周期是1的函数．所以选D ． 考点：函数的周期性． 【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示 的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________． 【答案】 考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题． 【跟踪练习】 1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如．求的值为（） A．0 B．-2 C．-1 D．1 【答案】C 【解析】=?2,?2< 由“取整函数”的定义可得， =?2?2?1+0+1+1+2=?1． 故选：C． 点睛：正确理解高斯（Gauss）函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”， 首先小于等于此实数，并且其为最大的整数，条件想全面． 2．【2018江苏南京模拟】函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 ． 【答案】}{0,1,2,3 3．【2018福建三明模拟】对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4 n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知 41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n ==========， 244(12...1)2n S n n n n ∴=+++-+=-． 考向5 取整函数与函数的零点 【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数 () []()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】34 ,45?? ??? 【解析】由f （x ）=0得 a x x =] [，令g （x ）=x x ][（x>0），作出g （x ）的图象，利用数形结合即可得到a 的取值范围．由f （x ）=0得a x x =] [；令g （x ）=x x ][，（x>0），则当0＜x ＜1，[x]=0，此时g （x ）=0， 当1≤x ＜2，[x]=1，此时g （x ）=x 1，此时1)(21 ≤ 当2≤x＜3，[x]=2，此时g （x ）=x 2，此时1)(32 ≤ 当3≤x＜4，[x]=3，此时g （x ）=x 3，此时1)(4 3 ≤ 当4≤x＜5，[x]=4，此时g （x ）= x 4，此时1)(5 4 ≤ 作出g （x ）的函数的图象，要使函数() []()0x f x a x x =->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与 直线y=a 有且只有三个零点，由图象可知：5443≤ 4 43≤ 【例15】【2018杭州重点中学联考】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数 []()(0)x f x a x x = -≠有且仅有3个零点，则 a 的取值范围是 3443.,,4532A ????????????? 3443.,,4532B ????? ??????? 1253.,,2342C ????? ??????? 1253.,,2342D ???? ????????? 【答案】B 若x ＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则 []0x x =，若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故[][][] 1a 1[]11[]1x x x x x x ＜，＜，且[][]1x x 随着[x]的增大而增大．若x ＜0，此时[x]＜0； 若﹣1≤x＜0，则 []1x x ≥，若x ＜-1，因为[x]≤x＜-1；[x]≤x＜[x]+1，故[x][x][x] 1 1a x [x]1[x]1 ＜，＜, 且 [] []1 x x 随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x （） 有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．若[x]=1，有121
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