2008年广东省初中数学竞赛初赛试题

2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）

初 赛 试 卷

（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月20日8:30——10:30）

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内

1. 若a 为实数，则化简2a 的结果是

A. -a

B. a

C. ±a

D. |a | 2．如果1)1(2++-x m x 是完全平方式，则m 的值为

A ．-1

B ．1

C ．1或-1 D. 1或-3

3. 如图1，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度，那么只需条件

A ．AB=12

B ．BC=4

C ．AM=5 D. CN=2

4．在平面直角坐标系y o x 内，已知A(3,-3)，点P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有

A ．2个

B ．3个

C ．4个 D. 5个

图1

N M

C

B A

l

5．已知关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，那么b a 的值是

A ．负数

B ．正数

C ．非负数

D ．非正数 6．一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M(-1,-2)，则其图像与y 轴的交点是 A ．（0，-1） B ．（1，0） C ．（0，0） D ．（0，1） 7．如图2，在线段A

E 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE(∠ACE ＜120°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．非等腰三角形

8．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.

鞋码 38 39

40

41 42 人数

5

3

2

下列说法中正确的是

A ．这组数据的中位数是40，众数是39

B ．这组数据的中位数与众数一定相等

C ．这组数据的平均数P 满足39＜P ＜40

D ．以上说法都不对 9．如图3，A 、B 是函数x

k

y =

图像上两点， 点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6， 则长方形OEBF 的面积是

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

10. 某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称

A ．4次

B ．5次

C ．6次 D. 7次

图3

图2 A

B

C

D

P

M

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）

11．如果不等式组?

?

?<->-00

1a x x 无解，则a 的取值范围是 .

12．已知1=-b a ，12

2

-=-b a ，则=-20082008

b a

.

13．如图4，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足， 若cosB 5

4

=

，EC=2，P 是AB 边上的一个动点，则线段 PE 的长度的最小值是 .

14．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是 .

15．已知a 、b 为实数，且1=b a ，1≠a ，设11+++=b b a a M ，1

1

11++

+=b a N ，则N M -的值等于 .

16. 如图5，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ，则△CDE 的面积为_________.

17. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图、左视图如图6所示，要摆成这样的图形，至少需用______块小正方体

18. 若直线b y =（b 为实数）与函数342+-=x x y 的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是_________.

图5 A

B C

D E

O ·

图4

A

B

C

D

E

P ·

图

6

主视图

左视图

三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)

19. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

20. 如图7，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E.

（1）求证: AF=DF+BE.

（2）设DF=x （0≤x ≤1），△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S. 若不存在，请说明理由.

图7

A

B

C D

E F

2008年全国初中数学竞赛（海南赛区）

初赛试卷参考答案

一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 二、11. a ≤1 12. -1 13. 4.8 14. 271 15. 0 16. -1 17. 5

2

18. 0＜b ≤1 解答提示：

1．∵ 当a ＜0时，2a =|a |=-a . 故选D. 2．21±=+m ，解得1=m 或3-=m . 故选D.

3.()AB BC AC BC AC NC MC MN 2

1

212121=-=-=

-=,∴只要已知AB 即可.故选A. 4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑.

5. 关于x 的方程01)2(=-+x b a 无解，则02=+b a . ∴有0==b a 或者a 、b 异号，故选D.

6. ∵一次函数)1(-=x k y 的图像经过点M(-1,-2)，则有()211-=--k ，解得1=k .所以函数解析式为1-=x y .令0=x 代入得1-=y .故其图像与y 轴的交点是(0,-1).故选A.

7.易得△ACD ≌△BCE.所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP=CM 且，∠PCM=60°，故△CPM 是等边三角形，选C.

8.（1）由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时，众数必然是40，所以A 错误.（2）当39码与40码的人数都是5时，中位数与众数不等，所以B 错误.（3）假设剩余10人全部穿39码鞋，可得平均数为39.35；假设剩余10人全部穿40码鞋，可得平均数为39.85.可以判断C 正确.（或者设穿39码鞋的有x 人，且由0≤x ≤10也可得解） 故选C.

9. ∵ 621

21OC OD 21OCAD ==?=?=

k y x S A A 正方形, ∴ 62

1

21OF OE 21B B OCAD ==?=?=k y x S 长方形 ，故选B.

10.拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克，两两一称，记录下相

应的重量，若分别等于a 千克、b 千克、c 千克，则有方程组??

???=+=+=+c x z b z y a

y x 容易求出x 、y 、z ；

另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量.所以需要称5次，故选B.

11．解不等式组???<->-0

1a x x 得???<>a x x 1，因为原不等式组无解，所以必有a ≤1.

12．∵ ()()122-=-+=-b a b a b a ，又1=-b a ，则1-=+b a

∴ ???=--=+11b a b a ，解得???-==1

0b a . 故()1102008200820082008-=--=-b a .

13. 设菱形ABCD 的边长为x ，则AB=BC=x ，

又EC=2，所以BE=x -2，因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中， cosB x x 2-=

，又cosB 5

4=，于是54

2=-x x ，解得x =10，即AB=10. 所以易求BE=8，AE=6，当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值. 故由三角形面积公式有：21AB ·PE=2

1

BE ·AE ，求得PE 的最小值为4.8 .

14．用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果.

上面只画出树状图的一部分（列出9种结果），把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法，可再列出9种结果，最后改为“锤”同样也列出9种结果，所以共有27种结果，故求得P （布，布，布）=27

1

15．∵1=b a ，1≠a ,

∴ =

+++=+++=+++=)1()1(11a b b b a a b a b b b a a a b b a a M N b a =+++1

111. ∴ N M -=0.

16. 如图，连结AE 、BD ，作DF ⊥EC 于点F. ∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB=∠AEB=90° 又∵ AB=AC ，∴CE=

2

1

BC=1，∴ AE=222=-CE AC ∵ BD AC AE BC ?=?2

1

21，∴ BD=554，

∴ 在△ABD 中，AD=553，∴ CD=

55

2 又∵△CDF ∽△CAE ，∴AE DF

CA CD =

，可求得DF=54. ∴ △CDE 的面积为5

221=?DF CE . 解法2：如图，连结AE 、BD ，DE.∵ AB 是⊙O 的直径 ，∴ ∠ADB=∠AEB=90°

又∵ AB=AC ，∴ BE=CE=1，∴ AE=222=-CE AC . 剪 剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤 剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A

B C

D E F O · A

B C

D

E P

∵ BD AC AE BC ?=?2

1

21，∴ BD=554，

∴ 在△ABD 中，AD ＝553

，∴ CD=

55

2. ∴ S △CDE =

21S △BDC =?215

2

552554212121=???=??CD BD

. 17.小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块.

18. y =x 2-4x +3=(x -2)2-1, 的图象如图②所示，而当b y 知b 的取值范围为0＜b ≤1.

三、19．因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8设小美第二次购物的原价为x 元，则（x -300）×0.8+300×情况1: 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元 则小丽应付（316+94.5-300）×0.8+300×0.9=358.4（元）

情况2: 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元； 则第一次购物原价为：94.5÷0.9=105（元）

所以小丽应付（316+105-300）×0.8+300×0.9=362.8（元）.

20．（1）证明: 如图，延长CB 至点G ，使得BG=DF ，连结AG. 因为ABCD 是正方形，所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中，AD=AB ，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG. ∴ Rt △ADF ≌Rt ?ABG （SAS ），∴AF=AG ，∠DAF=∠BAG. 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线 ∴∠EAF=∠BAE, ∴ ∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE 即∠EAD=∠GAE. ∵ AD ∥BC ，∴∠GEA=∠EAD ，∴∠GEA=∠GAE ，∴ AG=GE. 即AG=BG+BE.∴ AF=DF+BE ，得证.

（2）AB BE AD DF S S S ABE ADF ?+?=+=??21

21

∵ AD=AB=1, ∴ )(2

1

BE DF S +=

由（1）知，AF=DF+BE, 所以AF S 2

1

=.

在Rt △ADF 中，AD=1，DF=x , ∴12+=x AF ,∴12

1

2+=x S .

由上式可知，当x 2

达到最大值时，S 最大.而0≤x ≤1，

所以，当x =1时，S 最大值为221

1212=+x .

A B C D

E F G 俯视图 2 1

2 图① 1

A

B C D

E O ·