小学奥数整数裂项[1].题库版

整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3

n n n =-??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4

n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+

【例 1】 1223344950?+?+?++?L =_________

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

设S ＝1223344950?+?+?++?L

1×2×3＝1×2×3

2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3

3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……

49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50

3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51

S ＝49×50×51÷3＝41650

【答案】41650

【巩固】 1223344556677889910?+?+?+?+?+?+?+?+?=________

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然

不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

()()()()()()()()()12111111211333

n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333????=???+???-???++???-??? ? ?????

L 1910113303

=???= 另解：由于()21n n n n +=+，所以

原式()()()

222112299=++++++L ()()222129129=+++++++L L 119101991062

=???+??330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123

n n n n n ?+?++?+=++L 这一结论． 【答案】330

【例 2】 14477104952?+?+?++?L =_________

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 设S ＝14477104952?+?+?++?L

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2

例题精讲 知识点拨

整数裂项

4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10

………….

49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52

9S ＝49×52×55＋1×4×2

S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572

【答案】15572

【例 3】 12323434591011??+??+??++??=L

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 ()()()()()()()()111212311244

n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444????=????+????-????++????-???? ? ?????

L 191011124

=????2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234

n n n n n n n ??+??+??++?+?+=+++L 【答案】2970

【例 4】 计算：135357171921??+??++??=L ．

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 可以进行整数裂项．

357913573578???-?????=

， 5791135795798

???-?????=， 17192123151719211719218

???-?????=， 所以原式35791357171921231517192113588???-??????-???=??+

++L 1719212313571358???-???=??+171921231358

???+??=19503= 也可适用公式．

原式()()()()()()323325255219219192=-??++-??+++-??+L

()()()22222232352519219=-?+-?++-?L

()()333351943519=+++-?+++L L

()()3333135194135193=++++-?+++++L L

而()()

333333333333135191232024620++++=++++-++++L L L 22221120218101144

=??-???19900=， 21351910100++++==L ，所以原式1990041003=-?+19503=．

【答案】19503

【巩固】 计算：123434565678979899100???+???+???++???=L

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，

再进行计算．

记原式为A ，再设23454567678996979899B =???+???+???++???L ，

则123423453456979899100A B +=???+???+???++???L

197989910010119010098805

=?????=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．

12342345345645675678979899100A B -=???-???+???-???+???++???L

4(123345567...979899)=???+??+??++??

222242(21)4(41)6(61)98(981)??=??-+?-+?-++?-??L

33334(24698)4(24698)=?++++-?++++L L

221148495041004942

=????-???48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．

【答案】974510040

【例 5】 2004200320032002200220012001200021?-?+?-?++?L

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式20032200123212=?+?++?+?L

()213520012003=?+++++L

()21200310022=?+?÷

2008008=

其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=L 得出

2135200120031002+++++=L

【答案】2008008

【例 6】 11!22!33!20082008!?+?+?++?=L

【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算

【解析】 观察发现22!221(31)213!2!?=??=-??=-，

33!3321(41)3214!3!?=???=-???=-，……

20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!

?=?????=-?????=-L L ， 可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++-L 2009!=

【答案】2009!

【例 7】 计算：1234569910023459899

?+?+?++?=?+?++?L L 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算

【解析】 设原式=B A

122334989999100A B +=?+?+?++?+?L

()()()11230122341239910010198991003=??-??+??-??++??-?????

?L 1991001013333003

=???= 1232992501005000B A -=?+?++?=?=L

3333005000338333330050003283

B A +==-

3383【答案】

3283