函数的奇偶性与周期性
1.下面四个结论:(1)偶函数的图像一定与y 轴相交;(2)奇函数的图像一定通过原点;(3)偶函数的图像关于y 轴对称;(4)既是奇函数又是偶函数的函数一定是()0,f x x R =∈,其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知函数()f x 在[-5,5]上是偶函数,()f x 在[0,5]上是单调函数,且(3)(1)f f -<,则下列不等式中一定成立的是( )
A.(1)(3)f f -<-
B.(2)(3)f f <
C.(3)(5)f f -<
D.(0)(1)f f <
3.已知函数()y f x =是奇函数,则函数(1)y f x =+的图像的对称中心是( ) A (1,0) B (1,0)- C (0,1) D (0,1)-
4.如果偶函数在[2,1]--上有最大值,那么该函数在[1,2]上( )
A.有最大值
B.有最小值
C.没有最大值
D.没有最小值
5.设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤,()2(1),f x x x =-则5()2
f -=( ) A .12- B. 14- C. 14 D. 12
6.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时,()f x x =,则(
7.5)f 等于( )
A .0.5
B .0.5-
C .1.5
D . 1.5-
7.已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A .(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<-
C . (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<
8.已知2()4f x ax bx =+-,其中,a b 为常数,若(2)2f -=,则(2)f 的值等于( )
A.2-
B. 4-
C. 6-
D. 10-
9.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数,且(1)()f x f x +=-,若()f x 在[1,0]-上是减函数,那么()f x 在[1,3]上是( )
A .增函数
B .减函数
C .先增后减的函数
D .先减后增的函数
10.偶函数()f x 满足(3)()f x f x +=-,当[3,2]x ∈--时,()2f x x =,则(116.5)f =( )
A .3- B. 4- C. 5- D. 6-
11.已知函数()y f x =是奇函数,其图象与x 轴有3个交点,则方程()0f x =的所有实根之和
是 .
12.已知奇函数()f x 的定义域为R ,且对于任意实数x 都有(4)()f x f x +=,又(1)4f =,那么[(7)]f f =________.
13.已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足(2)()f x f x +=-,则(6)f =
14.设函数()f x 是定义在R 上周期为3的奇函数,若(1)1f <,21(2)1a f a -=+,则a 的取值范围是________.
15.已知函数()f x 为R 上的奇函数,当0x ≥时,
()(1)f x x x =+,若()2f a =-,则实数 a =
函数的奇偶性及其应用举例 (湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚) 【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线,也是高中数学的核心 内容,那么真正掌握函数,其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。 【关键词】 函数的奇偶性,判定,应用 一、奇、偶函数的定义: 若函数)(x f ,在其定义域内,任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者, 则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数(或者偶函数) 二、函数的奇偶性分类 ???? ? ?? =--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数: 且非奇非偶函数偶函数奇函数 三、奇、偶函数的图象: 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数 偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 四、函数奇偶性的性质: ①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称 ②若f(x)是奇函数,且x 在0处有定义,则f(0)=0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。 五、 判断函数奇偶性的方法: (1)定义法:欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性:
第一步:先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称,若 不对称,则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。 第二步:若对称,再判断)(x f -与)(x f 的关系: ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数 ③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数 (2)图象法:图象关于原点成中心对称的函数是奇函数; 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。, 六、函数奇偶性的应用: (1)函数奇偶性的判断 例1、(2011年高职统考第4题)下列函数为奇函数的为 )0(.5 1<=x x y A )0(.7 1>=x x y B 2 1.x y C = 3 1.x y D = 析:A,B ,C 这三个函数的定义域都不关于原点对称,故均为非奇非偶函数, 只有D 选项,定义域为()+∞∞-,,关于原点对称,并且()3 13 1x x -=-,故D 项所在函数为奇函数。 例2、(2014年文化综合第25题改编)下列函数中为奇函数的是 A .2 ()1f x x =- B .3 ()f x x = C .5()3x f x ?? = ??? D .2 ()log f x x = 析:A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称,但 () 11)(2 2 -=--=-x x x f ,)()(x f x f =-故为偶函数; C 项5()3x f x ?? = ??? 定义域 为()+∞∞-,关于原点对称,但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x -≠-≠-??? ??=--且, 故为非奇非偶函数;D 项2()log f x x =,定义域为()+∞,0,不关于原点对称, 故为非奇非偶函数,只有B 项符合。 例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性: 析:(法1-定义法)()f x 函数的定义域是()-∞+∞, , ∵ 2()21f x x x =-+,
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数奇偶性在解题中的应用 徐辉 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛,在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用,在解题过程中如果应用的好,常能使难题变易,繁题变简,起到事半功倍的效果。 1.用于求值 例1:已知奇函数,则 解:因为奇函数, 所以对任意,都有成立. 令,则有,从而可得; 令,则有, 从而 . 故. 注:此解利用了若函数是奇函数,则对定义域内的任意, 都有这一性质,特别地,当0在定义域内时,必有. 2.用于比较大小 例2.已知偶函数在区间上单调递减,试比较 的大小.
解:因为是偶函数,所以,故此题只需比较的大小即可. 又因在区间上单调递减,而且 所以,故. 注:此解利用了若函数是偶函数,则对定义域内的任意x,都有这一性质.当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质,首先得到在区间是单调递增的,然后再用单调性进行求解. 3.用于求最值 例3.如果奇函数在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么在区间[-7,-3]上是() A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 解:由在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,有, 又是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称, 故有在[-7,-3]上也是增函数,且当x=-3时,函数取得最大值, 故选B. 注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质. 4.用于求参数的值 例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3,求a、b、c的值.
解:由是奇函数,知f(-x)=-f(x), 从而,即-bx+c=-(bx+c),c=-c,∴c=0. 又由f(1)=2,知,得a+1=2b①, 而由f(2)<3,知,得② 由①②可解得-1<a<2. 又a∈Z,∴a=0或a=1. 若a=0,则b=,应舍去; 若a=1,则b=1∈Z. ∴a=1,b=1,c=0. 注:本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想建立方程或不等式,组成混合组,最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值,如由f(-1)=-f(1),可得c=0. 5.用于求函数的解析式 例5.已知定义在(-∞,+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+2,求函数f(x)的解析式。解:当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称,故函数f(x)为奇函数, 于是f(-x)=-f(x),从而当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+2)=-x2-2x-2,
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--
教学过程: (一)函数的奇偶性定义 1.偶函数(even function) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2.奇函数(odd function) 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注意: ○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则 -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (三)典型例题 1.判断函数的奇偶性 例1.(例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论,师生共同总结具体方法步骤) 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○2确定f(-x)与f(x)的关系; ○3作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 例2.(习题1.3 B组每1题) 说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数. 2.利用函数的奇偶性补全函数的图象 规律:偶函数的图象关于y轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据.