高一数学期末考试试题及答案
高一数学期末考试试题
及答案
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俯视图
高一期末考试试题
命题人:增城高级中学 吴玮宁
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题中的四个
选项中，只有一项是符合题目要求）
1.已知集合{}/8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10
2.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B
，且AB =，则实数x 的值是（ ） A.3-或4 B.6或2 C.3或4- D.6或2- 3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ） A.1:3
B.1:9 D.1:81
4.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A.2 .1 C
5.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ）
A.
B.
6.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是
( )
A.0
B.1
C.0或1
D.0或1- 7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A.()y x x R =-∈
B.3()y x x x R =--∈
C.1
()()2
x y x R =∈
D.1
(,0)y x R x x
=-∈≠且
8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A.4
π
B.54π
C.π
D.32π
9.设,m n 是不同的直线，,,αβγ
①
//////αββγαγ???? ②//m m αββα⊥??⊥?? ③//m m ααββ⊥?
?⊥??
④
////m n m n αα?
????
其中，真命题是 （ ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
10.函数2
()ln f x x x
=-的零点所在的大致区间是（ ）
A.()1,2
B.()2,3
C.11,e ??
???
D.(),e +∞
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11.设映射3:1f x x x →-+，则在f 下，象1的原象所成的集合为 12.已知2()41f x x mx =-+在(],2-∞-上递减，在[)2,-+∞上递增，则(1)f = 13.过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y +-=的直线方程为
14.已知12,9x y xy +==，且x y <，则
12
1122
12
x y x y
-=+
三、解答题。本大题6题共80分。
15（12分）已知二次函数2()43f x x x =-++
（1） 指出其图像对称轴，顶点坐标；
（2） 说明其图像由2y x =-的图像经过怎样的平移得来； （3） 若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值。
16（12分）求过点(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 17（14分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111ABC A B C -中，
3
3,5,cos 5
AC AB CAB ==∠=，14,AA =点D 是AB （1）求证：1AC BC ⊥
（II ）求证：11//AC CDB 平面（III ）求三棱锥 11A B CD -的体积。
A
D
18（14分）求经过(0,1)A -和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆的方程。
19(14分) 对于函数2()
()21x
f x a
a
R ,
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数证明你的结论 20（14分）已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++- （1） 当m 取何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；
（2） 如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的值。
参考答案
一、 选择题 CDABB CBCCB 二、 填空
11.{}1,0,1- 13.4570y x -+= 14.-三、解答题
15.22()43(2)7f x x x x =-++=--+ 2分 （1）对称轴2x =，顶点坐标(2,7) 4分
（2）2()43f x x x =-++ 图象可由2y x =-向右平移两个单位再向上平移7个单位可得。
6分
（3）(1)6,(4)3,(2)7f f f ===，由图可知在[]1,4x ∈，函数()f x 的最大值为7，最小值为3 12分 16.法一:(截距式)
当直线过原点时,过点(2,3)的直线为3
2y x =------------------------(5分)
当直线不过原点时,设直线方程为1x y
a a
+=(0a ≠),直线过点(2,3),代入解得
5a =
所以直线方程为155
x y
+=
所以(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为32y x =和155
x y
+=.
法二(斜截式)
依题意知直线显然存在斜率, --------------------(2分) 设直线方程为y kx b =+,直线过点(2,3)P ,代入方程有
32k b =+ ①
直线在x 轴和y 轴的截距分别为b
k
-和b ,
依题意有b
b k
-= ② ----6分
由① ②解得320
k b ?
=
???=?或15k b =-??
=? 10分 所以直线的方程为3
2
y x =
和5y x =-+----------------------------12分 17.证明（1）在ABC 中，由余弦定理得4BC =，ABC ∴为直角三角形，AC BC ∴⊥
又1CC ⊥面ABC 1CC AC ∴⊥，1CC BC C ?=
∴
1AC BCC ⊥面1AC BC ∴⊥----------6分
（2） 连结1B C 交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ，则在1ABC 中，
1//DE AC ，又1DE CDB ?面，则11//AC B CD 面----------------------
-------10分
（3） 在11,ABC C CF AB F ABB A ABC ⊥⊥中过作垂足为由面面知
11CF ABB A ⊥面
1111A B CD C A DB V V --∴=
而11
11111541022
DA B S
A B AA ==??=又
113412
55
112108
35
A B CD AC BC CF AB V -?=
==
∴=??= -----------------------------------------14分
18.解:因为圆心在直线2y x =-上,设圆心坐标为(,2)a a - 1分 设圆的方程为222()(2)x a y a r -++= 2分 圆经过点(0,1)A -和直线1x y +=相切
所以有222(21)a a r r ?+-=?
?=?
?
8分
解得r =1a =或1
5
a =- 12分
所以圆的方程为
22(1)(2)2x y -++=或2212
()()255
x y ++-= 14分
19、(1)函数()f x 为R 上的增函数．证明如下：
函数()f x 的定义域为R ，对任意
12
,x x R ，1
2
121222()()
()()2
1
2
1
x x x x f x f x a
a
且，有 =
1221
21222(22)
21
21
(21)(21)
x x x x x x . ………………………………
…4分
因为2x y
是R 上的增函数，1
2x x ，所以1
222x x ＜
０，…………………………6分
所以12()
()f x f x ＜０即12()
()f x f x ，函数()f x 为R 上的增函
数. ……………8分
(2)存在实数a ＝1，使函数()f x 为奇函
数． ………………………10分
证明如下：
当a ＝1时，2()121
x f x ＝21
21
x x
. 对任意x R ，()
f x 212
1
x x
＝1212x x ＝－21
21
x x
＝－()f x ，即()f x 为奇函数．
………………………
……14分
20.（1）函数()f x 的图象与x 轴有两个零点，即方程
22(1)4210m x mx m +++-=有两个不相等的实根，
∴2168(1)(21)02(1)0m m m m ??=-+->?+≠?
得1m <且1m ≠-
∴ 当1m <时，函数()f x 的图象与x 轴有两个零点。
------------4分
（2） 1m =-时，则()43f x x =--从而由430x --=得3
04
x =-<
∴ 函数的零点不在原点的右侧，帮1m ≠- ----------------6分
当1m ≠-时，有两种情况： ①原点的两侧各有一个，则
212168(1)(21)02102(1)m m m m x x m ??=-+->?
-?
=
解得1
12
m -<<
-------------10分 ②都在原点的右侧，则 21212168(1)(21)042(1)0
212(1)0m m m m x x m m x x m ??=-+-≥?
?+=-
?+>?
-?=
?+>??
解得m φ∈ 综 ①②可得1
(1,)2
m ∈--
-------14分