概率论与数理统计第一章教案.docx
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第一随机事件
一、随机象
在自然界和人社会生活中普遍存在着两象：一是在一定条件下必然出的象，称
确定性象。
例如： (1) 一物体从高度h （米）垂直下落，t （秒）后必然落到地
面，且当高度 h一定，可由公式h1gt 2得到，t2h / g （秒）。
2
(2)异性荷相互吸引，同性荷相互排斥。?
另一是在一定条件下我事先无法准确知其果的象，称随机象。例如： (1) 在
相同条件下抛同一枚硬，我无法事先知将出正面是反
面。
(2)将来某日某种股票的价格是多少。?
概率就是以数量化方法来研究随机象及其律性的一数学学科。
二、随机
了随机象的律性行研究 ,就需要随机象行重复察，我把随机象的察称随
机，并称， E 。例如，察某射手固定目行射；抛一枚硬三次 ,察出正面的次数；
某市 120 急救一昼夜接到的呼叫次数等均随机。
随机具有下列特点：
(1)可重复性；可以在相同的条件下重复行；
(2)可察性；果可察 ,所有可能的果是明确的；
(3)不确定性：每次出的果事先不能准确知。
三、本空
尽管一个随机将要出的果是不确定的 , 但其所有可能果是明确的 , 我把随机的
每一种可能的果称一个本点 , e（或）；它的全体称本空 , S (或 ).
精品文档反面 . 本空 S={ 正面，反面 } 或121正面，2反面。
S {e , e }( e e)
(2)在将一枚硬抛三次，察正面H、反面 T 出情况的中，有8 个
本点，本空： S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH ,TTT }。
(3)在抛一枚骰子，察其出的点数的中，有 6 个本点： 1 点， 2 点，
3 点，
4 点，
5 点，
6 点，本空可S {1 ，2，3，4，5，6} 。
(4)察某交台在一天内收到的呼叫次数，其本点有无多个：i 次，
i=0,1,2,3，?，本空可 S {0 ， 1， 2， 3，? } 。
(5)在一批灯泡中任意抽取一个，其寿命，其本点也有无多个(且不可
数)：t小，本空可S { t |0t}=[0,+ ] 。
注：同一个随机，的本点与本空是要根据要察的内容来确定的。
四、随机事件
在概率中，把具有某一可察特征的随机的果称事件，事件可分以下三：
(1)随机事件：在中可能生也可能不生的事情。
(2)必然事件：在每次中都必然生的事件。
(3)不可能事件：在任何一次中都不可能生的事件。
然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，方便，今后将它看作是两个特殊的
随机事件，并将随机事件称事件。
五、事件的集合表示
任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A, B,等表示。
称含一个本点的事件基本事件；含有两个或两个以上本点的事件复合事件。然，
本空 S 作事件是必然事件，空集作一个事件是不可能事件。
六、事件的关系与运算
事件之的关系与运算可按集合之的关系和运算来理 .了方便，出下列照表：
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记号
A
A
A B A B A B
AB A B AB
表 1.1
概率论
样本空间,必然事
件不可能事件
基本事件
事件
A
的对立事
件
事件A发生导致B发生
事件A与事件B相等
事件A与事件B至少有一个发
生事件A与事件B同时发生
事件A发生而事件B不发生
事件A和事件B互不相容
集合论
全集
空集
元素
子集
A
的余集
A
是B的子集
A
与B的相等
A
与B的和集
A
与B的交集
A
与B的差集
A
与B没有相同的元素
注：两个互为对立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件，
而且，互斥的概念适用于多个事件，但是对立概念只适用于两个事件。
七、事件的运算规律
由集合的运算律，易给出事件间的运算律：
（1）交换律；
（2）结合律；
（3）分配律；
（4）自反律；
（5）对偶律。
例 1 甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶”B“乙中靶”C“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
(1)“甲未中靶”：
(2)“甲中靶而乙未中靶”：
(3)“三人中只有丙未中靶” ：
(4)“三人中恰好有一人中靶” ：
(5)“三人中至少有一人中靶” ：A;
AB ;
ABC ;
ABC ABC ABC;
A B C;
(6)“三人中至少有一人未中靶”：或
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(7)“三人中恰有两人中靶”：
(8)“三人中至少两人中靶”：
(9)“三人均未中靶”：
(10)“三人中至多一人中靶”：ABC ABC A BC;
AB AC BC;
ABC ;
ABC ABC ABC ABC ;
(11)“三人中至多两人中靶”：ABC ; 或A B C ;
注：用其它事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法。
课堂练习
1.设当事件 A与 B同时发生时 C 也发生,则().
(A)A B是C的子事件;(B) ABC;或A B C ;
(C)AB是C的子事件;(D) C是AB的子事件 .
2.设事件 A{ 甲种产品畅销 , 乙种产品滞销 },则 A 的对立事件为().
(A)甲种产品滞销 ,乙种产品畅销 ;
(B)甲种产品滞销 ;
(C)甲、乙两种产品均畅销 ;
(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销 .
课后作业
P6, 1，2，4
第二节随机事件的概率
一、频率及其性质
定义 1 若在相同条件下进行n 次试验,其中事件A发生的次数为 r n ( A) ,则称
f n ( A)r n( A)
为事件 A 发生的频率。n
频率的基本性质 :
(1)0 f n ( A)1;
(2)f n (S) 1;
(3)设 A1, A2,, A n是两两互不相容的事件,则
f n ( A1 A2A n ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( A n ) .
定义 2 在相同条件下重复进行n 次试验，若事件A发生的频率f n( A)r n ( A)
随着n
试验次数 n 的增大而稳定地在某个常数p ( 0p 1) 附近摆动，则称p为事件的概率，记为 P(A)。
例 1 从某鱼池中取 100 条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来40 条鱼，发现其中两条有记号，问池内大约有多少条鱼？
二、概率的公理化定义
定义 3设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数, 记为P( A) , 若P( A)满足下列三个条件 :
(1)非负性：对每一个事件 A ,有P( A) 0;
(2)完备性： P(S) 1;
(3)可列可加性：设 A1 , A2 , 是两两互不相容的事件，则有
P(A i )P( A i ).
i1i 1
则称 P( A) 为事件A的概率.
三、概率的性质
性质 1P() 0
性质 2(有限可加性 )若事件 A1 , A2 , , A n两两互不相容，则有
P( A1A2A n ) P( A1 ) P( A2 )P( A n )
性质 3对任一事件 A ，有P( A) 1 P( A)
性质 4P(A B)P( A) P( AB)；特别地，若A B，则有
（1）P(B A)P(B)P( A) ，（2） P(B)P( A)
性质 5对任一事件 A ，P( A)1
性质 6对任意两个事件 A, B ，有 P( A B) P( A)P( B) P( AB)
注：推广到对任意三个事件A, B, C ，则有
P(A B C) P(A) P(B) P(C ) P( AB) P(AC) P((BC) P(ABC )
例 2已知 P( A)0.5, P( AB )0.2,P( B)0.4,求
(1) P(AB) ;(2) P( A B) ;(3) P( A B) ;(4) P(AB) .
课堂练习
1.设AB, P( A) 0.6, P( A B) 0.8,求事件B的逆事件的概率.
2.设P( A)0.4, P(B) 0.3,P( A B) 0.6, 求P(A B) .
3.设A, B都出现的概率与A, B都不出现的概率相等 , 且P( A)p ,求 P(B) .
课后作业
P10 3、4
第三古典概型
一、古典概型
1、我称具有下列两个特征的随机模型古典概型。
(1)随机只有有限个可能的果 ;
(2)每一个果生的可能性大小相同 .
古典概型又称等可能概型 .在概率的生和展程中，它是最早的研究
象，且在中也最常用的一种概率模型。
2、古典概率
k k k包含的基本事件数
P( A) P(e i j )P (e i j)中基本事件的总数.
j1j 1n S
二、算古典概率的方法
1.基本数原理：
(1)加法原理：完成一件事有 m 种方式,其中第一种方式有 n1种方法，第二种方
式有 n2种方法，??,第 m 种方式有 n m种方法，无通哪种方法都可以完成件事,完成件事的方法数n1n2n m.
(2)乘法原理：完成一件事有 m 个步,其中第一个步有 n1种方法，第二个步
有 n2种方法，??，第m 个步有 n m种方法；完成件事必通每一步才算
完成，完成件事的方法数n1n2n m.
2.排列合方法
(1)1 排列公式： (2) 合公式。
例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球 , 其中 3 个黑球 , 7 个白球 , 求
(1)从袋子中任取一球 , 这个球是黑球的概率 ;
(2)从袋子中任取两球 , 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概
率.
例 2 将 3 个球随机放入 4 个杯子中 , 问杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的概率各是多少 ?
例 3 在 1~2000 的整数中随机地取一个数 , 问取到的整数既不能被 6 整除 , 又不能被8 整除的概率是多少 ?
课堂练习
P14 1、2、3、4、
课后作业
P14 6、9、10
第四节条件概率
一、条件概率的引入
引例一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
厂别
数量
甲厂乙厂合计
等级
合格品4756441119
次品255681
合计5007001200
(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少？
(2)当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多
大？
在事件 A 发生的条件下，求事件 B 发生概率，这就是条件概率，记作P( B | A) 。
二、条件概率的定义
1、定义 1设 A, B 是两个事件,且 P(A)0,则称
P(B | A)P( AB)
(1) P( A)
为在事件 A 发生的条件下，事件 B 的条件概率。相应地，把P(B) 称为无条件概率。一般地， P(B | A)P(B) 。
2、条件概率的性质
(1)0 P(A) 1;
(2) P( S| A)1;
(3)设 A1, A2 , , A n互不相容，则
P( A1A2A n | A ) P( A1 | A ) P( A2 | A )P( A n | A )
例 1 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球 , 7 个白球 , 先后两次从袋中各取一球 (不放回 )
(1) 已知第一次取出的是黑球 , 求第二次取出的仍是黑球的概率 ;
(2)已知第二次取出的是黑球 , 求第一次取出的也是黑球的概率 .
注: (1) 用维恩图表达 (1)式 .若事件A已发生 ,则为使B也发生 ,试验结果必须是既在 A 中又在 B 中的样本点,即此点必属于 AB .因已知A已发生,故 A 成为计算条件概率
P( B | A) 新的样本空间.
(2)计算条件概率有两种方法 :
a)在缩减的样本空间 A 中求事件 B 的概率，就得到P(B | A)；
b)在样本空间 S 中，先求事件P( AB)和P( A)，再按定义计算P( B | A)。
例 2 袋中有 5 个球 , 其中 3 个红球 2 个白球 . 现从袋中不放回地连取两个 . 已知第一次取得红球时 , 求第二次取得白球的概率。
三、乘法公式
由条件概率的定义立即得到 :
P(AB)P( A)P(B | A)(P(A)0)(2)
注意到 AB BA ,及A, B的对称性可得到:
P( AB)P(B)P(A | B)(P(B)0)(3)
(2)和(3)式都称为乘法公式 ,利用它们可计算两个事件同时发生的概率 .
例 3 一袋中装 10 个球 , 其中 3 个黑球、7 个白球 , 先后两次从中随意各取一球 (不放回 ), 求两次取到的均为黑球的概率。
例 4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时打破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率 .
四、全概率公式
全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
定理 1设 A, A ,, A ,是一个完备事件组
,且P(A) 0,
i
1,2, , 则对任一事
12n i
件 B ,有P(B) P(A1)P( B | A1)P(A n )P( B | A n )
五、贝叶斯公式
利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率 .下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性。
定理 2设 A1,A2,, A n , 是一完备事件组,则对任一事件B, P(B)0 ,有
P( A i
P(A i B)P( A i )P(B | A i )
| B),i 1,2, , P(B)P( A j ) P(B | A j )
j
注: 公式中 , P( A i)和P( A i| B)分别称为原因的先验概率和后验概率。特别地，若取 n 2 ，并记A1 A ,则 A2 A ,于是公式成为
P( AB)P( A)P( B | A)
P(A| B).
P(B)P( A)P( B | A)P( A) P( B | A)
例 5 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票
价格的基本因素 , 比如利率的变化 . 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,
上涨的概率为 80%，而在利率不变的情况下 , 其价格上涨的概率为 40%, 求该支股票将
上涨的概率 .
例 6 有三个瓶子， 1号装有 2红1黑共 3个球，2号装有 3红 1黑共 4个球，3号装有 2红2黑共 4个球，
（1）若某人从中随机取一瓶，再从该瓶中任意取出一个球，求取得红球的概率？
（2）若已知某人取出的球是红球，问取自第一个瓶子的概率？
课堂练习
1、设某种动物由出生算起活到20 年以上的概率为0.8, 活到 25 年以上的概率为0.4. 问现年 20 岁的这种动物 , 它能活到 25 岁以上的概率是多少 ?
2、对以往数据分析结果表明 , 当机器调整得良好时 , 产品的合格率为 98%, 而当机
器发生某种故障时 , 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时 , 机器调整良好的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时 , 机器调整得良好的概率是多少 ?
课后作业
P217,8
第五节事件的独立性
一、两个事件的独立性
定义 1若两事件A,B满足
P(AB) P( A)P(B)(1)
则称 A, B 独立,或称 A ,B 相互独立。
注: (1) 两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个不同
的角度表述了两事件间的某种联系。互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同
时发生，而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互
无影响。
(2)当 P( A) 0 , P( B) 0 时,A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。
(3)若 A , B 既独立又互斥，则至少有一个是零概率事件。
定理 1设 A,B 是两事件,且P(A) 0,若 A,B相互独立,则P(A|B)P( A) .反之亦然.
定理 2设事件 A , B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:
A与B,A与B,A与B.
例 1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 , 记A { 抽到K }, B{ 抽到的牌是黑色的 },问事件 A、 B是否独立?
注：从例 1 可见，判断事件的独立性，可利用定义或通过计算条件概率来判断。
但在实际应用中 , 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。
二、有限个事件的独立性
1、定义 2设A, B,C为三个事件,若满足等式
P(AB) P( A) P(B),
P(AC ) P( A)P(C),
P(BC ) P(B)P(C),
P(ABC ) P( A) P(B)P(C),
则称事件 A, B, C 相互独立。
定义 3设A1, A2,, A n是 n 个事件,若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称
A1 , A2 ,, A n两两独立.
2、相互独立性的性质
性质1若事件A1, A2,, A n (n 2) 相互独立,则其中任意 k(1 k n) 个事件也相互
独立 ;
性质 2 若n个事件A1, A2, , A n( n2) 相互独立,则将 A1,A2,, A n中任意
m(1 m n) 个事件换成它们的对立事件,所得的 n 个事件仍相互独立;
注：设 A1, A2 , , A n是 n (n 2) 个随机事件，则
A1, A2 , , A n相互独立A1 , A2 , , A n两两独立.
即相互独立性是比两两独立性更强的性质,
例 2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4 的四个球 . 今从甲、乙两袋中各
取出一球 , 设A{ 从甲袋中取出的是偶数号球},B{ 从乙袋中取出的是奇数号球},
C{ 从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证A, B, C两两独立但不相互
独立 .
例 3 如图是一个串并联电路系统 . A, B,C, D, E, F , G, H都是电路中的元件。它们下
方的数字是它们各自正常工作的概率，求电路系统的可靠性。
.
C
F
0.70
A B D0.75H
0.950.950.70G0.95
E
0.75
0.70
例 4 甲, 乙两人进行乒乓球比赛 , 每局甲胜的概率为 p,p≥1/2. 问对甲而言 ,采用三局二胜制有利 , 还是采用五局三胜制有利 . 设各局胜负相互独立 .
三、伯努利概型
设随机试验只有两种可能的结果 : 事件A发生 (记为A ) 或事件A不发生 (记为A ),则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验.设
P( A) p,P(A) 1 p, ( 0 p 1),
将伯努利试验独立地重复进行n 次,称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验,或简称为伯努利概型 .
注: n重伯努利试验的特点是：事件A在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中 A 是否发生的影响.
定理 3（伯努利定理）设在一次试验中 ,事件A发生的概率为p(0 p1), 则在 n 重贝努里试验中 ,事件A恰好发生k次的概率为
P{ X k} C n k p k (1 p) n k , (k0,1,, n).
推论设在一次试验中 ,事件A发生的概率为p( 0 p1),则在 n 重贝努里试验中,事件 A 在第 k 次试验中的才首次发生的概率为
p(1p )k 1 , (k0,1, , n).
注意到“事件 A 第 k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的 k 重伯努利试验中“事件 A 在前 k 1 次试验中均不发生而第 k 次试验中事件 A 发生”,再由伯努利定理即推得 .
例 5某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发 , (1)问：欲以 99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮? (2)现有 3 门
炮,欲以 99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提高到多少?
课堂练习
1. 某工人一天出废品的概率为0.2, 求在 4 天中 :
(1)都不出废品的概率 ;
(2)至少有一天出废品的概率 ;
(3)仅有一天出废品的概率 ;
(4)最多有一天出废品的概率 ;
(5)第一天出废品 , 其余各天不出废品的概率.
课后作业
P25 3,6,8
第一章习题课
一、基本知识点
1、概率的定义
2、概率的性质
3、基本公式：古典概型、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、
独立性、伯努利定理
二、典型例题
例 1、已知P( A)0.5, P(B) 0.3, P( A U B) 0.6, 求 P( AB ) ， P( A | B) ， P( A B)
例 2、P( A)0.4, P( B) 0.2, （1）若 A, B 互不相容，则 P( A U B)=
（2）若A, B相互独立，则P( A U B)=
例 3、设某批产品中 , 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占 45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件 ,
(1) 求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为次品 , 求该产品是甲厂生产的概率。
例 4、发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“ .”及“ -”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“ .”时，收报台分别以概率0.8 及0.2 收到“ .”及“-”；又当发出信号“ -”时，收报台分别以概率 0.9 及 0.1 收到“ -”及“ .”，求当收报台收到“ .”时，发报台确系发出信号“ .”的概率，以及收到“ -”时，确系发出“ -”的概率。
例 5、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废
品的概率是 0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第二台加工的零件比第一台
加工的多一倍，
(1)求任意取出的零件是合格品的概率;
(2)如果任意取出的零件是废品, 求它是第二台车床加工的概率.
数三概率论与数理统计教学大纲
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
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《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题： 1. 集合的并运算 和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题： 第二章随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；
二．本章的教学内容及学时分配 学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)。四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系； c) 构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数关于x处处连续，且单点处概率为0，其中x为任意实数； e) 注意正态分布的标准化以及计算查表问题； 五．思考题和习题 思考题：1.会判别给定函数是否是某个随机变量的分布函数？ 2. 分布函数两种定义主要的区别是什么？ 3. 均匀分布与几何概率有何联系？ 4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。 5．列举正态分布的应用。 第三章二维随机变量及其分布 一．教学目标及基本要求 (1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。 (2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。 三．本章教学内容的重点和难点
概率论与数理统计习题及答案
概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
= 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 定义若X的分布律为P（X=x i）=p i，i=1，2… 当级数绝对收敛时（即收敛） 就说是离散型随机变量X的说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，x n 则 （2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，x n… 则 这时才要求无穷级数绝对收敛。 很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念， 所以EX也叫X的均值。 4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。 1.两点分布 随机变量X的分布律为 分布EX X～（0,1） X～B（n,p） X～P（λ） p np 4.1.3下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。 定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x k}=p k，k=1，2，…。 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的特别情形 4.1.4 连续型随机变量的期望 对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机 变量的期望给予定义，只需将和式中的x i改变x,p i改变 为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数） 以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。 定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义 积分绝对 收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即 1.均匀分布 设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为 则 在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。 2.指数分布 设随机变量X服从参数为λ>0的指数分布，其概率密度为 解：在微积分中有 即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。 3.正态分布 设其概率密度为 则X的期望 E（X）=μ。（不证） 上面三种情况列表如下（可以作为公式使用） 分布EX X～U（a,b） X～E（λ） X～N（μ，σ2）μ 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目： 1． 景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. 2． 玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社，1995。 3．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版 社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述 # 本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求 # （1） 理解并掌握概率论的基本概念。 《概率论与数理统计》课程教案 第一章 随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概 率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机事件及事件之间的关系 第二节 频率与概率 2学时 第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时 第四节 条件概率 第五节 事件的独立性 2 学时 三．本章教学内容的重点和难点 1） 随机事件及随机事件之间的关系； 2） 古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解 事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组 合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律 或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时 三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何 事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)； 四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任 《随机事件的独立性》说课和教学方案(含板书)设计 一,说教材 1,教学内容:"随机事件的独立性"这节课属于同济大学出版社出版的"概率论与数理统计(经管类)"中的第一章第五节的内容,是继上一节条件概率,乘法公式,全概率公式等内容后的有一节有关随机事件独立性的概率求法的内容,这是概率统计中必学的一节内容,为后面随机变量的独立性内容的基础. 2,教学目标 通过本节课的学习,理解随机事件独立性的概念,会用公式判别或根据实际判断随机事件是否独立,并能利用时间的独立性公式来求一些概率. 3,教学的重难点 教学重点:如何利用事件的独立性来求一些事件的概率; 教学难点:随机事件独立性的判断. 4,教材分析 由于随机事件的独立性的有关概念有些抽象,教材采用了描述性定义的方式,要求学生达到理解的层次.并在对前面的内容进行分析后通过一个引例后来讲述本节课的内容. 二,说教法与学法 一节课的效果如何,关键是看教师的教与学生的学如何相结合.由于本节知识的抽象性,按照学生的心理特点和思考规律,本节采用调动学生思考的积极性,不管他们最终思考结果如何,一定要体现学生的主体作用,教师为辅.在教学过程中多提疑点,启发引导.为了巩固知识和方法,采用讲练结合.同时可适当借助多媒体辅助教学,以引导思考为核心,展示课件,启发引导学生观察思考,分析,并沿着积极的思维方向,逐步达到即定的教学目标.应该充分发挥学生的主动性,由学生自己阅读,审题,分析,提炼,再由教师讲解题目的含义,教学生如何正确阅读分析,如何利用随机事件的独立性来求解某一类概率问题. 三,说教学程序设计 1,复习引入,并自然进入新课 设A和B是试验E的两个事件,在一般情况下,A的发生对B的发生是有影响的,即.但有时,,即事件A的发生与否,不影响事件B发生的概率,由乘法公式可得 引例:某检修工人负责甲,乙两个车间机器的检修. 已知甲车间机器需要检修的概率是0.2,乙车间机器需要检修的概率是0.15,求检修工人空闲的概率. 解:设A={甲车间不需要检修},B={乙车间不需要检修},所求为P(AB). 由概率乘法公式P(AB)= 解引例:因为A与B独立, 所以P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.2)(1-0.15)=0.68 引入的目的: ①,充分让学生思考为什么会成立,体现学生主体作用. ②,教师多提疑问,调动学生的思考积极性,逐步引入. ③,可让不同角度的解法,同时纠正了学生惯性思维导致的错误,打开了学生思维空间. ④,巩固上节课所学习的条件概率,乘法公式,全概率公式等内容,并强调注意事项,让学生熟练掌握条件概率的公式. 以提问的方式引入,再现旧知识,巩固旧知识,为学习本节课的知识作好铺垫,并有利于新旧知识的衔接.可借助多媒体动画演示随机事件独立性公式.这不仅使学生直观,形象地得以理解和再现,同时,也有利于培养学生的探索性思维能力,激发学生的求知欲. 2,学习新概念 《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了 《概率论与数理统计》教学大纲 编写人：刘雅妹审核：全焕 一、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。 二、教学基本要求 本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。 〈一〉、随机事件与概率 ⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。 ⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。 ⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。 ⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。 6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。 〈二〉、一维随机变量及其概率分布 ⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念. 2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率. 3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。 5.会求简单的随机变量的函数的分布。 〈三〉、二维随机变量及其分布 ⒈了解二维（多维）随机变量的概念。 ⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。 3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。 4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。 概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程 摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=? 概率论与数理统计英 文版总结 Sample Space样本空间 The set of all possible outcomes of a statistical experiment is called the sample space. Event 事件 An event is a subset of a sample space. certain event（必然事件）： The sample space S itself, is certainly an event, which is called a certain event, means that it always occurs in the experiment. impossible event（不可能事件）： The empty set, denoted by?, is also an event, called an impossible event, means that it never occurs in the experiment. Probability of events （概率） If the number of successes in n trails is denoted by s, and if the sequence of relative frequencies /s n obtained for larger and larger value of n approaches a limit, then this limit is defined as the probability of success in a single trial. “equally likely to occur”------probability（古典概率） If a sample space S consists of N sample points, each is equally likely to occur. Assume that the event A consists of n sample points, then the probability p that A occurs is ()n p P A N == Mutually exclusive(互斥事件) Mutually independent 事件的独立性 Two events A and B are said to be independent if ()()() P A B P A P B =? I Or Two events A and B are independent if and only if (|)() P B A P B =. 第一章随机事件及其概率 概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一. 【教学目的与要求】 通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。 【教学重点】 事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。 【教学难点】 古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用； 【计划课时】8 【教学内容】 第一节随机事件 一. 随机现象 从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科. 二. 随机现象的统计规律性 由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验. 随机试验具有下列特点: 1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行; 2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的; 3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知. 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 《概率论与数理统计》课程教案 第一章随机事件及其概率 一．本章的教学目标及基本要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2)掌握随机事件之间的关系与运算,； (3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。 了解概率的公理化定义。 (5)理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。二．本章的教学内容及学时分配 第一节随机事件及事件之间的关系 第二节频率与概率2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率 第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理 四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义， 理解事件的互斥关系； 3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排 列和组合，复习排列、组合原理； 5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回； 五．思考题和习题 思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？ 2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？ 习题： 第二章 随机变量及其分布 一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质； 二．本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量 第二节 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征 第三节 常用的离散型随机变量 常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时 第四节 随机变量的分布函数 分布函数的定义和基本性质，公式 第五节 连续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时 第六节 常用的连续型随机变量 常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学概率论与数理统计教案模板
概率论与数理统计课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲
概率论与数理统计课本_百度文库
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