2016年考研数学三试题

2016年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（1）设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）

A.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点

B.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点

C.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点

D.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点

（2）已知函数(,)x e f x y x y =-，则（ ） A.0

x y f f ''-= B.0x y f f ''+= C.f f f y x =-'' D.f f f y x =+''

（3）设dxdy y x J i D i ??-=3（3,2,1=i ），其中{}1

(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤， {}2(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤，{}23(,)01,1D x y x x y =≤≤≤≤则（ ）

A.123J J J <<

B.312J J J <<

C.231J J J <<

D.213J J J <<

（4）级数为1(

)sin()1

n n k n n ∞=-++∑（k 为常数）（ ） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与k 有关

（5）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）

A.T A 与T B 相似

B.1A -与1B -相似

C.T A A +与T B B +相似

D.1A A -+与1B B -+相似

（6）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别

为1,2，则（ ）

A.1a >

B.2a <-

C.21a -<<

D.1a =或2a =-

（7）设,A B 为两个随机变量，且0()1,0()1P A P B <<<<，如果()1P A B =，则（ ） A.()1P B A = B.()0P A B = C.()1P A B ?= D.()1P B A =

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(1,4)X N Y N ，则()D XY =（）

A.6

B.8

C.14

D.15

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）已知函数()f x

满足02x →=，则0lim ()x f x →=__________.

（10）极限2112lim

(sin 2sin sin )n n n n n n n →∞+++=___________.

（11）设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =由方程22(1)(,)x x y x f x z y +-=-确定，则(0,1)|dz =__________.

（12）设{(,)|||1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤，则

22y D x e dxdy -=??___________. （13）行列式10

00100014

321

λλλ

λ--=-+_________.

（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为__________.

三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分） 求极限4

1

0lim(cos 22sin )x x x x x →+。

（16）（本题满分10分）

设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数)(P Q Q =，需求弹性

(0)120p p

ηη=>-，P 为单价（万元）。 （Ⅰ）求需求函数的表达式；

（Ⅱ）求100=P 万元时的边际效益，并说明其经济意义。

（17）（本题满分10分） 设函数dt x t x f ?-=

1022)(（0>t ），求)('x f ，并求)(x f 的最小值.

（18）（本题满分10分）

设函数()f x 连续，且满足

00()d ()()d 1x x

x f x t t x t f t t e --=-+-??，求()f x 。

（19）（本题满分10分） 求幂级数22

0(1)(21)n n x n n -∞

=++∑的收敛域及和函数。

（20）（本题满分11分）

设矩形11110111a A a a a -?? ?= ? ?++??，0122a β?? ?= ? ?-??

，且方程组AX β=无解， 求：（1）求a 的值

（2）求方程组T T A AX A β=的通解.

（21）（本题满分11分）

已知矩阵011230000A -?? ?=- ? ???

（Ⅰ）求99A

（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量(,)X Y

在区域{2(,)|01,D x y x x y =<<<<上服从均匀分布，令1,.0,.X Y U X Y ≤?=?>?

（I ）写出(,)X Y 的概率密度；

（II ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由；

（III ）求Z U X =+的分布函数()F z .

（23）（本题满分11分）

设总体X 的概率密度??

???<<=其他,00,3);(32

θθθx x x f ，其中(0,)θ∈+∞为未知参数，

123,,X X X 为来自X 的简单随机样本，令123max(,,)T X X X =.

（1）求T 的概率密度；

（2）确定a ，使得()E aT θ=.