X
1
《不等式》知识点归纳
? (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;不等式解集的端点值往往是不
等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值
?
(2) 解分式不等式fx a a =O 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解因式,X
的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回);
(3) 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?( 一般是分类讨论、平方转化或换元转化); (4) 解含参不等式常分类等价转化,必要时需分类讨论?注意:按参数讨论,最后按参数取值
分别说明其解集,但若按未知数讨论,最后应求并集 .
、利用重要不等式a ?b_2?ab 以及变式abm (
α^
b
)2等求函数的最值时,务必注意a,b R (或a ,b 非
负),且 等号成立”时的条件是积ab 或和a + b 其中之一应是定值(一正二定 三等四同时). 三、?常用不等式有:?
I 2 三2 X J a b ≥ 1 1 (根据目标不等式左右的运算纟口构选用)a 、b 、
a b
C R , a 2 b 2 G^ab bG Ga (当且仅当a = b = c 时,取等号)
四、含立方的几个重要不等式(a 、b 、G 为正数):
a 3
b 3 G 3≥ 3abc
(abG ?0等式即可成立,a = b = c 或a ■ b ^O 时取等); 3 1
^abG abG ≤
3
—
a b c 3 a 3 b 3 G 3
=abG ≤ (
) ≤ 3
3
〒、最值定理
(积定和最小) ①x, y 0,由X y ≥ 2 Xy ,若积Xy = P (定值),则当x = y 时和X y 有最小值
2、、P ;
1 (和定积最大)②X, y ■ 0,由X y ≥
2 _ Xy ,若和X 申=S (定值),则当x = y 是积Xy 有最大值-S 2.
1 1 【推广】:③已知a,b, X, y R ,若ax by
= 1 ,贝U 有则
的最小值为:
X y
1 1 1
by ax (ax by)( ) = a b
y X y
X
y
④等式到不等式的转化:已知 x>0, y>0, x + 2y + 2xy = 8,则x + 2y 的最小值是
2xy=8_(x 2y)= x 2y=8_(x 2y)m
如果求 Xy 的最大值,则 2xy = 8 -(X ? 2y)= x ? 2y = 8 - 2xy _ 2.., 2Xy ,
然后解关于 Xy 的一元二次不等式,求 Xy 的范围,进而得到 Xy 的最大值
六、 比较大小的方法和证明不等式的方法主要有: 差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、
分析法和放缩法(注意:对 整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径, 配方、函数单调性
等”对放缩的影响). 七、 含绝对值不等式的性质:
a 、
b 同号或有 0 = | a ? b |=| a | ? |b | 亠 Ilal -Ibll=∣ a - b |;
a 、
b 异号或有 0= ∣a -b ∣=∣a ∣ ∣b ∣ -∣∣a ∣-∣b ∣∣=∣a b ∣? 八、 不等式中的函数思想
不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖 知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这 类问题的过程中涉及的 函数与方程”化归与转化”数形结合” 分类讨论”等数学思想对锻 炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈 谈这类问题的一般求解策略。 一、函数法
(1) 一次函数 f (x) = kx b,x [m, n]有:
I 一 卜、
’f(m) >0
一 卜、 f (m) <0
f (x) >0恒成立=丿
,f (x) <0恒成立=
」(n) >0
」(n) <0
(2) 一元二次函数 f (x) = ax 2 bx c 0(a = 0, X R)有:
._ 一「、、 a a 0
1) f(x)>0对XER 恒成立=」
;
Δ <0
(X 2y)2 4
即(X 2y )2
4
(X 2y) -8 _ 0 =
(x 2y 8)(x 2y - 4) _ 0
解得x ? 2y 岂-8(舍)或
X ? 2y _ 4
故x + 2y 的最小值是4
(3)不等式中X 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例1.设f (x) = X 2「2mx ? 2 ,当X ? [ _「::)时,f (x) _ m 恒成立,求实数m 的取值范围 解:设 F(X)=X 2 -2mx 2-m ,则当 x [一1,::)时,F(X) _0恒成立 当拱=4(m -1)(m
2) :: 0即- 2 :: m :: 1 时,F(X) 0 显然成立;
当■: -0时,如图,F(X) _0恒成立的充要条件为:
A ≥0
? F (-1)X0 解得-3兰m 兰-2。 综上可得实数 m 的取值范围为[-3,1)。
-2m A - ------ ≤-1 J 2
、最值法: 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:
(1) f(x) a 恒成立a . f(x)min (2) f (X) < a 恒成立 U a ■ f (X)max
例2.已知两个函数f (x) =8χ2 ■ 16x - k , g(x) = 2x 3 5x 2 4x ,其中k 为实数.
(1)若对任意的X ?〔-3,3 1,都有f (X) S(X)成立,求k 的取值范围;
⑵若对任意的%、x< l -3,3 1,都有f(xj 乞g(X 2),求k 的取值范围. ⑶若对于任意X i ?丨-3,3】,总存在x^
l
-3,3使得g(x °) = f(xj 成立,求k 的取值范围.
解:(1)令 F(x) =g(x) - f(x) =2x 3 -3x 2 -12x k,
问题转化为F(X) 一0在X 〔-3,3上恒成立,即F(x)min -0即可
〔-3,3 时,都有 f (X)max - g(x)min .
(3) 于任意x 1? I -3,3」,总存在x 0 I -3,31使得g(x 0) = f (x 1)成立,等价于f X 的值域
是g X 的值域的子集,
三、 分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,
从而问题转化为求主元
:X
?b
/
W 1
■
O X 2) f(χ) :::0 对 X R 恒成立 U
IO Δ <0'
(2)由题意可知当X
函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:
1) f(x) ::g(a)(a为参数)恒成立二g(a) f(x)max
2) f(x) g(a)(a为参数)恒成立=g(a) :: f(x)max
例3:已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n [-1,1],m n = O时f(m) f(n) 0,若m + n
f (xΓ≤t2-2at ?1对于所有的X [-1,1],a [-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
解:题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明f(x)
是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则f (x)乞t2- 2at ■ 1对于所有的χ? [-1,1],a ? [-1,1]恒成立=1 Ig ⑴≤ O t <-2或t -2或t = O . 四、变换主元法 理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行换位”思考,往往会使问题降次、简化。 例4:,不等式X2+(a -4)x+4-2a >0恒成立,求X的取值范围。 分析:题中的不等式是关于X的一元二次不等式,但若把a看成主元,则问题可转化为一次不等式(x-2)a X2-4x 4 O在a [ -1,1]上恒成立的问题。 解:令f(a) =(x-2)a X2-4x 4 ,则原问题转化为f(a) O恒成立(a? [-1,1])。 当X =2时,可得f(a) =O,不合题意。 当x≠2时,应有^f(I) >O解之得X V诚X >3。 J(T)A O 故X的取值范围为(-::,1) (3, ?::)。 五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过:数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想 的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。函数图象和不等式有着密切的联系: 1)f(x) .g(x)u函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方; 2) f (x) :: g(x)函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方. =2,即a=--,由图可知,要使f (XK g (x)恒成立,实数a的取值范 3 围是a 六、分类讨论 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类 讨论的思想来解决。 例6:∣-2,2 1时,不等式x2 ax ?3_a恒成立,求a的取值范围 解:设f X =x2ax 3 - a,则问题转化为当[-2,2】时,f(x )的最小值非负。 a / 当—一< -2 即:a>4 时,f (x m i n =f (-2)=7 —-a^0 二a≤—又a>4 所以a 不存在; 2 3 综上所得:-7岂a^2 半圆相切时就有:: (2) a 当—2 兰巳兰2 即:—4≤a≤4 时,f(x I m in= a 2 2 M一a一匸一0-^^2又 (3)当- 一2即: a<—4时,f (x)n i n =f(2)=7 + a^0 二a K—7又a<—4二一7 兰av—4 (1) 例5.设函数f(X^^ -x2 4x, g(x∏ ax a ,若恒有f (χ) ^g(χ)成立,试求实数a的取值范围. 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为a b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1 +=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18. 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: 高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值 不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②(传递性),a b b c a c >>?> ①(对称性)a b b a >?> ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>?∈>且 ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性) 0,0a b a b c d c d >>< > ⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则)b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ②(基本不等式) 2 a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>(当且仅当a b c ==时取到等号). ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式: 22 .2 a b ab +≤ ④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈,(当且仅当a b c ==时取到等号). ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3 ()a b c R + ∈、、(当且仅当 a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号)0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 2 2 .x a x a a x a -<< ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>,,规律:小于1同加则变大, 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式: 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈, (当且仅当a b =时取 ""=号).(即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式:2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式:222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式:222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++ 向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小) 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <-=?=->?>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a b b a >(对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a +>+?>(加法单调性) (4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >>< >(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. 高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例:求函数224y x =+的值域。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=>(2)12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数(1)y x x = -.;3.203 x <<,求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。 最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一:绝对值三角不等式 1.定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab ≥0时,等号成立. 2.定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c|≤ |a -b|+ |b -c|,当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.知识点二:绝对值不等式的解法 1.不等式|x|a 的解集: 不等式 a>0a =0a<0|x|a {x|x>a ,或x<-a}{x|x ≠0}R 2.|ax +b|≤c(c>0)和|ax +b|≥c(c>0)型不等式的解法: (1)|ax +b|≤c?-c ≤ax +b ≤c; (2)|ax +b|≥c?ax +b ≤-c 或ax +b ≥c. (3)|x -a|+|x -b|≥c(c>0)和|x -a|+|x -b|≤c(c>0)型不等式的解法: 巩固专区:典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析:由|x+1|+ |x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2,故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若* ,R b a ∈,则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 (1)若,,,a b c d R ∈,则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=,求证:2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5:不等式选讲: 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二:利用不等式求函数值域 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)正确理解题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义; (3)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)x a <表示小于a 的全体实数,在数轴上表示a 左边的所有点,不包括a 在内。 (2)x a ≥表示大于或等于a 的全体实数,在数轴上表示a 右边的所有点,包括a 在内。 (3)()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 (1)基本性质1:若a b <,b c <,则a c <。(不等式的传递性) (2)基本性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。 ①若a b >,则a c b c +>+,a c b c ->-;②若a b <,则a c b c +<+,a c b c -<-。 (3)基本性质3:①不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立; 若a b >,且0c >,则ac bc >, a b c c >。 ②不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得的不等式成立。 若a b >,且0c <,则ac bc <,a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念:不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法:步骤如下 (1)去分母:在不等式两边同乘分母的最小公倍数;(根据基本性质3) (2)去括号:把所有因式展开;(根据单项式乘多项式法则) (3)移项:把含未知数的项移到不等式的左边,不含有未知数的项移到不等式的右边;(根据基本性质2) (4)合并同类项:将所有的同类项合并,得ax b >或ax b <(0a ≠)的形式; (5)系数化为1:不等式两边同除以未知数的系数,或乘未知数系数的倒数。(根据基本性质3) 4、一元一次不等式的应用:解有关应用题步骤如下 (1)审题:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,抓住题设中的关键字眼,如“大于”、“不小于”等; (2)设:设出适当的未知数; (3)找:找出不等关系; (4)列:根据题中的不等关系,列出不等式; (5)解:解出所列不等式的解集; (6)答:写出答案,并检验答案是否符合题意。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42 -=?,则 不等式的解的各种情况如下表: 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是: 1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; 2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; 3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1 -= n n S S 偶 奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 (1)性质 当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2 =a p a q ,数列{ka n },{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{a n }为等差数列,则{n a a }为等比数列(a>0且a ≠1); 若{a n }为正数等比数列,则{log a a n }为等差数列(a>0且a ≠1)。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中1k a ,2k a ,…,n k a 恰为等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和,求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且1a S 2n n +=,求: (1) 数列{a n }的通项公式; (2) 设1n n n a a 1b += ,数列{b n }的前n 项的和为B n ,求证:B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中,前m 项的和为77(m 为奇数),其中偶数项的和为33, 且a 1-a m =18,求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列,n a n )21(b =,已知b 1+b 2+b 3=821,b 1b 2b 3=8 1 ,求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2),则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项,它的前2n 项之和为100,后2n 项之和为200,则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ,b ,c 成等比数列,则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0,公比q>-1(q ≠1),设数列{b n }的通项高中数学不等式知识点总结
基本不等式知识点归纳.
高中不等式知识点总结
必修五不等式知识点总结
高中数学必修5基本不等式知识点总结
不等式知识点汇总
基本不等式知识点归纳
关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
最新高中数学不等式知识点归纳汇总
高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
基本不等式知识点和基本题型
一元一次不等式知识点汇总
一元一次不等式知识点总结
不等式知识点总结及题型归纳
不等式知识点归纳与总结