武汉市乐其教育培训学校2017-2018年九年级数学相似三角形讲义 第 三 讲 平行与比例、相似(拔高)

知识要点：第三讲平行与比例、相似（拔高）

一、平行线分线段成比例（平行?比例）；

二、平行于三角形一边的直线得截得的三角形与原三角形相似（平行?相似?比例）；三、共线比的平行构造：（1）公共点在端点?构造平行A 型；

（2）公共点在中间?构造平行X 型.

第一部分【能力提高】

一、角平分线定理（构造平行线证明“共线比”）

（1）如图1，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB

=

BD

； A AC CD

B D C

（2）如图2，AD 为△ABC 的外角平分线，求证：AB

=

BD

.

AC CD

B C D

二、（梅涅劳斯定理）如图，任意一条直线分别交△ABC 的三边所在的直线于D、E、F 三点，求证：

AD

?BE

?

CF

= 1 .

A

DB EC FA

三、（塞瓦定理）如图，已知O 为△ABC 内任意一点，直线AO、BO、CO 分别交对边于D、E、F 三点，

求证：AF

?

BD

?

CE

= 1 .

FB DC EA A

B D C

四、如图，P 为△ABC 内任意一点，AP、BP、CP 分别交对边于D、E、F 三点，求证：PD

+

PE

+

PF

= 1 . AD BE CF

A

B D C

五、如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，连接DE 与BC 相交于点F ，

求证：DF∶FE=DB∶CE.

A

C

D

六、如图，D、E 分别为AB、AC 上一点，BD=CE，直线DE、BC 交于点F，求证：DF

AC

.

EF AB

A

B C F

七、如图，在△ABC 中，D 为BC 延长线上的一点，BC=CD，E 为AC 的中点，直线DE 交AB 于点F，

EF

求的值.

ED

B C D

八、如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，E 为边AC 的中点，延长ED 并交AB 延长线于点F AB BF

，求证：.

AC DF

A

F

A

第二部分【综合运用】

九、已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，BA=BD，E 为AC 的中点，AD、BE 相交于点F，求证：

AB·AF=BC·DF. A

B D C

十、如图，△ABC 中，M 为BC 的中点，P 为AM 上任一点，延长CP 交AB 于点Q，求证：AP

2 AQ

. PM QB

A

B M C

十一、如图，在△ABC 中，BC=6，E、F 分别是AB、AC 的中点，点P 在射线EF 上，连接BP 交CE 于D 点

，∠CBP 的平分线交CE 于点Q，设BP= y ，PE= x .当CQ= 1

CE（n 为不小于2 的常数）时，n

求y 与x 之间的函数关系式.

十二、如图，△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分∠ABC，求证：1

+

1

=

1

.

AB AC AD

A

B D C

十三、如图，在△ABC 中，M、N 分别为AB、AC 的中点，P 为MN 上一点，BP 延长交AC 于点D，设MP

=x ，NP

AD

=y ，求y 与x 的函数关系式. A DN

B C 十四、如图，△ABC 中，M 为AC 的中点，E 为AB 上一点，AB =nAE ，延长EM 交直线BC 于点D.

（1）

若n = 4 ，求CD

的值； A BC

（2）若C 为BD 的中点，求n 的值；

CD

（3）请用n 的代数式表示

BC

的值.

B C D

十五、如图，等腰△ABC 中，AB=AC，D 为BC 上一点，CD =nBD ，E 为AD 的中点，延长BE 交AC 于点F. A

（1）当n =2 时，求AF

的值；FC

（2）若CF = 2 A F ，求证：AD⊥BC；

（3）请求出AF

的值.（用n 的代数式表示）

FC

B D C

十六、如图，在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 的中点，P 为DE 上一点，延长BP 交AC 于点N，延长

CP 交AB 于点M，求证：AN

+

AM

=1. A

NC MB

B C

十七、如图，△ABC 中，M 为BC 的中点，N 为AM 的中点，P 为AB 上的一个动点，延长PN 交AC 于点

Q，当P 点运动时，求BP

+

CQ

的值. A

AP AQ

B M C

十八、已知□ABCD 的对角线交于点O，M 为OD 上一点，过点M 的直线分别交AD、CD 于P、Q 两点，与BA、BC 的延长线于E、F 两点.

（1）如图1，若M 为OD 的中点，EF∥AC，求证：PE+QF=2PQ；

（2）如图2，若M 为OD 的中点，EF 与AC 不平行时，（1）中的结论是否仍然成立？说明你的理由；

（3）如图3，若BM= n DM，EF 与AC 不平行时，请写出：P E QF

的值为. PQ

请用含n 的式子表示你的结论并证明．

十九、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完

整.

原题：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线

CD 于点 G ，若 AF = 3 ，求 CD

的值.

EF CG

（1） 【尝试探究】

在图 1 中，过点 E 作 EH ∥AB 交 BG 于点 H ，则 AB 和 EH 的数量关系是

，CG 和 EH

的数量关系是 ， CD

的值是 ；

CG

A D

B

E

C

图 1

（2）

【类比延伸】

如图 2，在原题条件下，若 AF = m （ m ＞0 ），求 CD

的值；（用含m 的代数式表示）

EF CG

B

E C

图 2

（3）

【拓展迁移】

如图 3，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，点 E 是 CD 的延长线上一点，BE 和 AC 相交于点 F ，若 BC

= a ，

AD

CD = b ，则 BF

的值是 .（用含a 和b 的代数式表示） CE EF

B

图 3

C